高考数学 压轴大题突破练 三角函数

中档大题规范练

中档大题规范练——三角函数

1．已知函数f(x)＝(sin x －cos x )sin 2x sin x

. (1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间．

解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k ∈Z)，

故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}．

因为f(x)＝(sin x －cos x )sin 2x sin x

＝2cos x(sin x －cos x)

＝sin 2x －2cos2x

＝sin 2x －(1＋cos 2x) ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.

(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为

⎣

⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)． 由2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k ∈Z)，

得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k ∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为

⎣⎡⎭⎫kπ－π8，kπ和⎝

⎛⎦⎤kπ，kπ＋3π8(k ∈Z)． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f(x)＝23sin2x ＋2sin xcos x －3在x ＝A 处取得最大值．

(1)求f(x)的值域及周期；

(2)求△ABC 的面积．

解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，

所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，

所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.

因为f(x)＝23sin2x ＋2sin xcos x － 3

＝3(2sin2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x

＝2sin ⎝⎛⎭

⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.

又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，

所以f(x)的值域为[－2,2]．

(2)因为f(x)在x ＝A 处取得最大值，

所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1.

因为0

故当2A －π3＝π2时，f(x)取到最大值，

所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝

c

sin π4

⇒c ＝ 2.

又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π

6＝2＋6

4， 所以S △ABC ＝12bcsin A ＝3＋34.

3．已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos2x ＋a.

(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；

(2)当x ∈[0，π

4]时，函数f(x)有最大值4，求实数a 的值．

解 f(x)＝3sin 2x ＋2cos2x ＋a

＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a

＝2sin(2x ＋π

6)＋a ＋1.

(1)函数f(x)的最小正周期为2π2＝π， 由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π

2，k ∈Z ， 解得kπ－π3≤x≤kπ＋π

6，k ∈Z.

故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π

6](k ∈Z)．

(2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，

从而sin(2x ＋π6)∈[1

2，1]．

∴f(x)＝2sin(2x ＋π

6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]，

∵f(x)有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.

4．设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈[0，π

2]．

(1)若|a|＝|b|，求x 的值；

(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．

解 (1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x ，

|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，

由|a|＝|b|，得4sin2x ＝1.

又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，

所以x ＝π6.

(2)f(x)＝a·b ＝3sin x·cos x ＋sin2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋1

2

＝sin(2x －π6)＋1

2.

当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π

6)取最大值1，

所以f(x)的最大值为3

2.

5．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx －π

6)＋1(ω>0)的最小正周期是π.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)求f(x)在[π8，3π

8]上的最大值和最小值．

解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx －π

6)＋1 ＝23sin ωxcos ωx －2cos2ωx ＋1

＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π

6)． 最小正周期是2π

2ω＝π，所以ω＝1，

从而f(x)＝2sin(2x －π

6)． 令－π2＋2kπ≤2x －π6≤π

2＋2kπ，k ∈Z. 解得－π6＋kπ≤x≤π

3＋kπ，k ∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋kπ，π

3＋kπ](k ∈Z)．

(2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π

12]，

f(x)＝2sin(2x －π6)∈[6－2

2，2]，

所以f(x)在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－2

2.