元胞自动机简介
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元胞自动机简介 （Cellular Automata）
元胞自动机(Cellular Automata)简要发展历程
• 元胞自动机是定义在一个由离散、有限状态的元胞组成的元胞空间上，按照 一定的局部规则，在离散时间维度上演化的动力学系统。
• 冯诺依曼提出模仿人脑的行为，人脑包含自控制和自维护机理。考虑在完全 离散的框架下处理，每个元胞都具有内在的状态，由有限数量的信息为组成； 这个元胞系统按照离散时间进行演化 • 1970年数学家Conway提出了著名的生命游戏(Game of life)。尽管生命游 戏的规则简单，但具有出乎预料的复杂行为 • Wolfram著名的物理学家，他在研究一维和二维元胞自动机，注意到，元胞 自动机是一个离散的动力学系统，但显现出许多连续系统中遇到的行为。 • 2002年《一种新科学》，对自然选择提出挑战，对时间单向流逝，怎样制造 人造生命，股市如何涨落给出了解释；探索了树叶、数目、贝壳为什么是其 形状；在其新科学的到统一解释，即元胞自动机 • 生物学、生态学（兔子-草），物理学（流体力学、场的模拟）、化学（各 种粒子在化学反应中的相互作用）、交通科学等
[1,0,1]->0; [1,1,0]->0; [1,1,1]->0对元胞空间内的元胞，独立
施加上述局部函数，则可得到全局的演化。
2 元胞自动机的构成
1) 元胞 元胞又可称为单元。或基元，是元胞自动机的最基本的组成 部分。元胞分布在离散的一维、二维或多维欧几里德空间的晶 格点上。 状态可以是{0,1}的二进制形式。或是{s0,s2,……si……sk} 整数形式的离散集，严格意义上。元胞自动机的元胞只能有一 个状态变量。但在实际应用中，往往将其进行了扩展。例如每 个元胞可以拥有多个状态变量。就设计实现了这样一种称之为 “多元随机元胞自动机”模型。在车辆交通元胞自动机模型中， 对车辆占用的元胞，元胞中含有车辆的位置和速度等
4)状态离散有限： 5)同步计算:元胞自动机的处理同步进行，适合并行计算 6)时空局域性:元胞在t+1时刻的状态，取决于其周围半径r的邻域 中的元胞在t时刻的状态，及所谓的时间、空间局限性 7)维数高:在动力系统中一般讲变量的个数称为维数。由于任何完 备元胞自动机的元胞空间是定义在一维、二维或多维空间上的无 限集，每个元胞的状态便是这个动力学系统的变量。因此，元胞 自动机是一类无穷维动力系统。
2）典型的Wolfram规则
rule 18
rule 57
rule 150
rule 30
rule 73
rule 126
rule 124
rule 169
3)元胞自动机种类
Stephen Wolfram 对初等元胞自动机的分类 平稳型:自任何初始状态开始,经过一定时间运行后，元胞空间 趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处 于固定状态。不随时间变化而变化。 周期型:经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固 定结构(Stable Paterns)或周期结构(Perlodical Patterns)。 混沌型:自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞自 动机表现出混沌的非周期行为，所生成的结构的统计特征不 再变化，通常表现为分形分维特征。 复杂型:出现复杂的局部结构，或者说是局部的混沌，其中有 些会不断地传播。
二、经典的元胞自动机模型
2)“生命游戏”中一些演化形态
二、经典的元胞自动机模型
2 Wolfram和他的初等元胞自动机
1)初等元胞自动机
初等元胞自动机是状态集S只有两个元素，即k=2，邻 居半径r=1的一维元胞自动机。 初等一维元胞自动机可能的8种输入状态组合 111 110 101 100 011 010 001 000
3) 邻居 元胞及元胞空间只表示了系统的静态成分，为将"动态"引入系 统，必须加入演化规则。在元胞自动机中，这些规则是定义在 空间局部范围内的，即一个元胞下一时刻的状态决定于本身状 态和它的邻居元胞的状态。因而，在指定规则之前，必须定义 一定的邻居规则，明确哪些元胞属于该元胞的邻居。在一维元 胞自动机中，通常以半径，来确定邻居，距离一个元胞，内的 所有元胞均被认为是该元胞的邻居。二维元胞自动机的邻居定
二、经典的元胞自动机模型
1 Conway和他的“生命游戏”
1)“生命游戏”的构成及演化规则 (1)”生命游戏”的构成：①元胞分布在规则换分的二维方形网格上； ②元胞具有0、1两种状态，0代表死，1代表生；③元胞以相邻的 上下左右好对焦线上的8个元胞维邻居；④一个元胞的生死有其 在该时刻本身的生死状态和周围8个邻居的状态决定。 (2) “生命游戏”的演化规则：①生存：对一个活的元胞，如果它的 邻居中有2个或3个元胞是活的，那么该元胞将继续生存； ②死 亡：对于一个活的元胞，如果它的邻居中有4个或4个以上的元胞 是活的，该元胞死亡；如果它的邻居中只有1个或没有活的元胞， 那么死亡； ③繁殖：对1个空的元胞，如果它的邻居中有3个活 的，那么该元胞将成为活的元胞
三、元胞自动机应用
在社会学中，元胞自动机用于研究经济危机的形成与爆发过 程、个人行为的社会性，流行现象，如服装流行色的形成等。
在生物学中，元胞自动机的设计思想本身就来源于生物学自
繁殖的思想，因而它在生物学上的应用更为自然而广泛。
例如：元胞自动机用于肿瘤细胞的增长机理和过程模拟、人类 大脑的机理探索(Victor.Jonathan.D. 1990)、爱滋病病毒HIV 的感染过程(Sieburg.H.B.1990)、自组织、自繁殖等生命现象 的研究以及最新流行的克隆 (Clone)技术的研究等 (ErmentroutG.B.1993)。 • 应用领域涉及社会学、生物学、生态学、信息科学、计算机科 学、数学、物理学、化学、地理、歹境、军事学等。
010 0
001 0
000 0
1.2 结果
横轴：空间
纵轴：时间
时空分布图
2
二维基本模型
2.1模型的建立
• 考虑一个L*L的网格，对任一格子(i,j),共有三 种状态，即有一个向右行驶的车、有一个向 上行驶的车和空。行驶规则为奇数时间向右 行驶的车可以前进，且一辆车只有前方格子 里空时可前进一格。不能跟驰，偶数时间步 向上的车可以行驶，规则同右行。
边界条件 在理论上，元胞空间通常是在各维向上是无限延展的，这有利于 在理论上的推理和研究。但是在实际应用过程中，我们无法在计 算机上实现这一理想条件，因此，需要定义不同的边界条件。 三种类型:周期型、反射型和定值型。 周期型：是指相对边界连接起来的元胞空间。对于一维空间，元胞 空间表现为一个首尾相接的“圈”。对于二维空间，上下相接， 左右相接。而形成一个拓扑圆环面 ，形似车胎或甜点圈。周期 型空间与无限空间最为接近，在理论探讨时，常以此类空间型作 为试验。 反射型：指在边界外邻居的元胞状态是以边界为轴的镜面反射。 定值型：指所有边界外元胞均取某一固定常量，如0，1等。 在实际应用中，尤其是二维或更高维数的构模时，可以相互结合。 如在二维空间中，上下边界采用反射型，左右边界可采用周期型
四、基于元胞自动机的基本交通模型
1一维模型
1.1模型的建立
考虑一个有等长的L个格子的线段，每个格子可有一个向 右行驶的车或为空。行驶规则为：若前方格子有车，则停止。 若前方为空，则前进一格，不能跟驰。采用周期边界，此即 为NS模型 即：f为：
T T+1
111 1
110 0
101 1
100 1
011 1
这个动态演化又由各个元胞的局部演化规则f所决定的。这 个局部函数f通常又常常被称为局部规则。对于一维空间，元 胞及其邻居可以记为S2r+1，局部函数则可以记为: F(Sit+1)=f(sti-r,…,sti,…sti+r)
sti 表示在t时刻位置i处的元胞，至此，我们就得到了一个 元胞自动机模型
对于局部规则f来讲，函数的输入、输出集均为有限集合， 实际上。它是一个有限的参照表。例如，r=1，f的形式则形似 如下:[0,0,0]->O; [0,0,1]->0; [0,1,0]->1; [1,0,0]->0; [0,1,1]->1;
• 3.2 结果
• 3.2 二维双向模型
3.2.1模型
在原二维的元胞自动机基础上，考虑双向行驶机 制，则每个格子有七中状态：空，右行，上行，左行， 下行，左右，上下。 运行规则类似于原二维模型。
3.2.2 结果
平均速度和平均车流密度的关系
3.2.3 快照
2) 元胞空间
元胞所分布在的空间网点集合就是这里的元胞空间。
理论上，它可以是任意维数的欧几里德空间规则划分。目 前研究多集中在一维和二维元胞自动机上。对于一维元抱自 动机。元胞空间的划分只有一种。而高维的元胞自动机。元 胞空间的划分则可能有多种形式。对于最为常见的二维元胞 自动机。二维元胞空间通常可按三角、四万或六边形三种网 格排列。
三角网格的优点是拥有相对较少的邻居数目，这在某些时候很有用;其缺点是 在计算机的表达与显示不方便，需要转换为四方网格。 四方网格的优点是直观而简单，而且特别适合于在现有计算机环境下进行表达 显示;其缺点是不能较好地模拟各向同性的现象，例如后面提到的格子气模型中 的HPP模型。 六边形网格的优点是能较好地模拟各向同性的现象，因此，模型能更加自然 而真实，如格气模型中的FHP模型;其缺点同三角网格一样，在表达显示上较为困 难、复杂。
义较为复杂，但通常有以下几种形式(我们以最常用的规则四
方网格划分为例)
(1)冯-诺依曼(Von Neumann)：上下左右 4个 (2)摩尔型(Moore)：上下左右；左上、左下、右上、右下；8个
(3)扩展摩尔(Moore)型：r 扩展为2或更多
(4)马哥勒斯(Margolus)型：它是每次将一个2x2的元胞块做统 一处理，而上述前三种邻居模型中，每个元胞是分别处理的
2.2 结果
平均速度和平均车流密度的关系
快照
3 基本模型的改进
• 3.1 一维变速模型
3.1模型
在NS模型的基础上，考虑车可有不同的 速度，并制定相应的运行规则，最大速度为 Vmax为正整数，这样，每个格子的状态为空， 或具有一个小于等于Vmax的非负整数的车。 运行规则考虑加速、减速、随机事件等因素。
一、元胞自动机的定义、构成和特征
1 wk.baidu.com义
(1) 物理学的定义
元胞自动机是定义在一个由具有离散、有限状态的元胞组
成的元胞空间上，并按照一定局部规则，在离散的时间维上
演化的动力学系统。
一、元胞自动机的定义、构成和特征
1 元胞自动机的定义
(2)数学定义(基于集合论的定义)
设d代表空间维数，k代表元胞的状态，并在一个有限集合 S中取值，r表元胞的邻居半径。Z是整数集，表示一维空间， t代表时间。 为叙述和理解上简单起见，在一维空间上考虑元胞自动机， 即假定d=1。那么整个元胞空间就是在一维空间，将整数集Z 上的状态集S的分布，记为SZ。元胞自动机的动态演化就是在 时间上状态组合的变化，可以记为:
4)规则(Rule)
根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该元胞状 态的动力学函数，简单讲，就是一个状态转移函数。
记为f: sit+1=f(sit,sNt)，sNt为t时刻的邻居状态组合，我们称f 为元胞自动机的局部映射或局部规则
3 元胞自动机的特征
1)同质性、齐性:同质性，每个元胞的变化服从相同的规律；齐性， 元胞的分布方式相同，大小形状相同，空间分布规则整齐 2)时间离散:元胞按一定规律分布在离散的元胞空间上 3)空间离散:演化按等间隔时间分步进行,时间只取等步长的时刻点
元胞自动机(Cellular Automata)简要发展历程
• 元胞自动机是定义在一个由离散、有限状态的元胞组成的元胞空间上，按照 一定的局部规则，在离散时间维度上演化的动力学系统。
• 冯诺依曼提出模仿人脑的行为，人脑包含自控制和自维护机理。考虑在完全 离散的框架下处理，每个元胞都具有内在的状态，由有限数量的信息为组成； 这个元胞系统按照离散时间进行演化 • 1970年数学家Conway提出了著名的生命游戏(Game of life)。尽管生命游 戏的规则简单，但具有出乎预料的复杂行为 • Wolfram著名的物理学家，他在研究一维和二维元胞自动机，注意到，元胞 自动机是一个离散的动力学系统，但显现出许多连续系统中遇到的行为。 • 2002年《一种新科学》，对自然选择提出挑战，对时间单向流逝，怎样制造 人造生命，股市如何涨落给出了解释；探索了树叶、数目、贝壳为什么是其 形状；在其新科学的到统一解释，即元胞自动机 • 生物学、生态学（兔子-草），物理学（流体力学、场的模拟）、化学（各 种粒子在化学反应中的相互作用）、交通科学等
[1,0,1]->0; [1,1,0]->0; [1,1,1]->0对元胞空间内的元胞，独立
施加上述局部函数，则可得到全局的演化。
2 元胞自动机的构成
1) 元胞 元胞又可称为单元。或基元，是元胞自动机的最基本的组成 部分。元胞分布在离散的一维、二维或多维欧几里德空间的晶 格点上。 状态可以是{0,1}的二进制形式。或是{s0,s2,……si……sk} 整数形式的离散集，严格意义上。元胞自动机的元胞只能有一 个状态变量。但在实际应用中，往往将其进行了扩展。例如每 个元胞可以拥有多个状态变量。就设计实现了这样一种称之为 “多元随机元胞自动机”模型。在车辆交通元胞自动机模型中， 对车辆占用的元胞，元胞中含有车辆的位置和速度等
4)状态离散有限： 5)同步计算:元胞自动机的处理同步进行，适合并行计算 6)时空局域性:元胞在t+1时刻的状态，取决于其周围半径r的邻域 中的元胞在t时刻的状态，及所谓的时间、空间局限性 7)维数高:在动力系统中一般讲变量的个数称为维数。由于任何完 备元胞自动机的元胞空间是定义在一维、二维或多维空间上的无 限集，每个元胞的状态便是这个动力学系统的变量。因此，元胞 自动机是一类无穷维动力系统。
2）典型的Wolfram规则
rule 18
rule 57
rule 150
rule 30
rule 73
rule 126
rule 124
rule 169
3)元胞自动机种类
Stephen Wolfram 对初等元胞自动机的分类 平稳型:自任何初始状态开始,经过一定时间运行后，元胞空间 趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处 于固定状态。不随时间变化而变化。 周期型:经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固 定结构(Stable Paterns)或周期结构(Perlodical Patterns)。 混沌型:自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞自 动机表现出混沌的非周期行为，所生成的结构的统计特征不 再变化，通常表现为分形分维特征。 复杂型:出现复杂的局部结构，或者说是局部的混沌，其中有 些会不断地传播。
二、经典的元胞自动机模型
2)“生命游戏”中一些演化形态
二、经典的元胞自动机模型
2 Wolfram和他的初等元胞自动机
1)初等元胞自动机
初等元胞自动机是状态集S只有两个元素，即k=2，邻 居半径r=1的一维元胞自动机。 初等一维元胞自动机可能的8种输入状态组合 111 110 101 100 011 010 001 000
3) 邻居 元胞及元胞空间只表示了系统的静态成分，为将"动态"引入系 统，必须加入演化规则。在元胞自动机中，这些规则是定义在 空间局部范围内的，即一个元胞下一时刻的状态决定于本身状 态和它的邻居元胞的状态。因而，在指定规则之前，必须定义 一定的邻居规则，明确哪些元胞属于该元胞的邻居。在一维元 胞自动机中，通常以半径，来确定邻居，距离一个元胞，内的 所有元胞均被认为是该元胞的邻居。二维元胞自动机的邻居定
二、经典的元胞自动机模型
1 Conway和他的“生命游戏”
1)“生命游戏”的构成及演化规则 (1)”生命游戏”的构成：①元胞分布在规则换分的二维方形网格上； ②元胞具有0、1两种状态，0代表死，1代表生；③元胞以相邻的 上下左右好对焦线上的8个元胞维邻居；④一个元胞的生死有其 在该时刻本身的生死状态和周围8个邻居的状态决定。 (2) “生命游戏”的演化规则：①生存：对一个活的元胞，如果它的 邻居中有2个或3个元胞是活的，那么该元胞将继续生存； ②死 亡：对于一个活的元胞，如果它的邻居中有4个或4个以上的元胞 是活的，该元胞死亡；如果它的邻居中只有1个或没有活的元胞， 那么死亡； ③繁殖：对1个空的元胞，如果它的邻居中有3个活 的，那么该元胞将成为活的元胞
三、元胞自动机应用
在社会学中，元胞自动机用于研究经济危机的形成与爆发过 程、个人行为的社会性，流行现象，如服装流行色的形成等。
在生物学中，元胞自动机的设计思想本身就来源于生物学自
繁殖的思想，因而它在生物学上的应用更为自然而广泛。
例如：元胞自动机用于肿瘤细胞的增长机理和过程模拟、人类 大脑的机理探索(Victor.Jonathan.D. 1990)、爱滋病病毒HIV 的感染过程(Sieburg.H.B.1990)、自组织、自繁殖等生命现象 的研究以及最新流行的克隆 (Clone)技术的研究等 (ErmentroutG.B.1993)。 • 应用领域涉及社会学、生物学、生态学、信息科学、计算机科 学、数学、物理学、化学、地理、歹境、军事学等。
010 0
001 0
000 0
1.2 结果
横轴：空间
纵轴：时间
时空分布图
2
二维基本模型
2.1模型的建立
• 考虑一个L*L的网格，对任一格子(i,j),共有三 种状态，即有一个向右行驶的车、有一个向 上行驶的车和空。行驶规则为奇数时间向右 行驶的车可以前进，且一辆车只有前方格子 里空时可前进一格。不能跟驰，偶数时间步 向上的车可以行驶，规则同右行。
边界条件 在理论上，元胞空间通常是在各维向上是无限延展的，这有利于 在理论上的推理和研究。但是在实际应用过程中，我们无法在计 算机上实现这一理想条件，因此，需要定义不同的边界条件。 三种类型:周期型、反射型和定值型。 周期型：是指相对边界连接起来的元胞空间。对于一维空间，元胞 空间表现为一个首尾相接的“圈”。对于二维空间，上下相接， 左右相接。而形成一个拓扑圆环面 ，形似车胎或甜点圈。周期 型空间与无限空间最为接近，在理论探讨时，常以此类空间型作 为试验。 反射型：指在边界外邻居的元胞状态是以边界为轴的镜面反射。 定值型：指所有边界外元胞均取某一固定常量，如0，1等。 在实际应用中，尤其是二维或更高维数的构模时，可以相互结合。 如在二维空间中，上下边界采用反射型，左右边界可采用周期型
四、基于元胞自动机的基本交通模型
1一维模型
1.1模型的建立
考虑一个有等长的L个格子的线段，每个格子可有一个向 右行驶的车或为空。行驶规则为：若前方格子有车，则停止。 若前方为空，则前进一格，不能跟驰。采用周期边界，此即 为NS模型 即：f为：
T T+1
111 1
110 0
101 1
100 1
011 1
这个动态演化又由各个元胞的局部演化规则f所决定的。这 个局部函数f通常又常常被称为局部规则。对于一维空间，元 胞及其邻居可以记为S2r+1，局部函数则可以记为: F(Sit+1)=f(sti-r,…,sti,…sti+r)
sti 表示在t时刻位置i处的元胞，至此，我们就得到了一个 元胞自动机模型
对于局部规则f来讲，函数的输入、输出集均为有限集合， 实际上。它是一个有限的参照表。例如，r=1，f的形式则形似 如下:[0,0,0]->O; [0,0,1]->0; [0,1,0]->1; [1,0,0]->0; [0,1,1]->1;
• 3.2 结果
• 3.2 二维双向模型
3.2.1模型
在原二维的元胞自动机基础上，考虑双向行驶机 制，则每个格子有七中状态：空，右行，上行，左行， 下行，左右，上下。 运行规则类似于原二维模型。
3.2.2 结果
平均速度和平均车流密度的关系
3.2.3 快照
2) 元胞空间
元胞所分布在的空间网点集合就是这里的元胞空间。
理论上，它可以是任意维数的欧几里德空间规则划分。目 前研究多集中在一维和二维元胞自动机上。对于一维元抱自 动机。元胞空间的划分只有一种。而高维的元胞自动机。元 胞空间的划分则可能有多种形式。对于最为常见的二维元胞 自动机。二维元胞空间通常可按三角、四万或六边形三种网 格排列。
三角网格的优点是拥有相对较少的邻居数目，这在某些时候很有用;其缺点是 在计算机的表达与显示不方便，需要转换为四方网格。 四方网格的优点是直观而简单，而且特别适合于在现有计算机环境下进行表达 显示;其缺点是不能较好地模拟各向同性的现象，例如后面提到的格子气模型中 的HPP模型。 六边形网格的优点是能较好地模拟各向同性的现象，因此，模型能更加自然 而真实，如格气模型中的FHP模型;其缺点同三角网格一样，在表达显示上较为困 难、复杂。
义较为复杂，但通常有以下几种形式(我们以最常用的规则四
方网格划分为例)
(1)冯-诺依曼(Von Neumann)：上下左右 4个 (2)摩尔型(Moore)：上下左右；左上、左下、右上、右下；8个
(3)扩展摩尔(Moore)型：r 扩展为2或更多
(4)马哥勒斯(Margolus)型：它是每次将一个2x2的元胞块做统 一处理，而上述前三种邻居模型中，每个元胞是分别处理的
2.2 结果
平均速度和平均车流密度的关系
快照
3 基本模型的改进
• 3.1 一维变速模型
3.1模型
在NS模型的基础上，考虑车可有不同的 速度，并制定相应的运行规则，最大速度为 Vmax为正整数，这样，每个格子的状态为空， 或具有一个小于等于Vmax的非负整数的车。 运行规则考虑加速、减速、随机事件等因素。
一、元胞自动机的定义、构成和特征
1 wk.baidu.com义
(1) 物理学的定义
元胞自动机是定义在一个由具有离散、有限状态的元胞组
成的元胞空间上，并按照一定局部规则，在离散的时间维上
演化的动力学系统。
一、元胞自动机的定义、构成和特征
1 元胞自动机的定义
(2)数学定义(基于集合论的定义)
设d代表空间维数，k代表元胞的状态，并在一个有限集合 S中取值，r表元胞的邻居半径。Z是整数集，表示一维空间， t代表时间。 为叙述和理解上简单起见，在一维空间上考虑元胞自动机， 即假定d=1。那么整个元胞空间就是在一维空间，将整数集Z 上的状态集S的分布，记为SZ。元胞自动机的动态演化就是在 时间上状态组合的变化，可以记为:
4)规则(Rule)
根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该元胞状 态的动力学函数，简单讲，就是一个状态转移函数。
记为f: sit+1=f(sit,sNt)，sNt为t时刻的邻居状态组合，我们称f 为元胞自动机的局部映射或局部规则
3 元胞自动机的特征
1)同质性、齐性:同质性，每个元胞的变化服从相同的规律；齐性， 元胞的分布方式相同，大小形状相同，空间分布规则整齐 2)时间离散:元胞按一定规律分布在离散的元胞空间上 3)空间离散:演化按等间隔时间分步进行,时间只取等步长的时刻点