趋势外推法

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第六讲趋势外推法

Λ
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预测2003年我国卫生机构总人数。解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法：利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。一阶、二阶、k阶差分广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作为优度好坏的指标：

时间序列分解法和趋势外推法

时间序列分解法和趋势外推法时间序列分解法和趋势外推法是两种常用的时间序列分析方法。

时间序列分析是一种用来预测未来数据趋势和周期性的统计学方法。

时间序列分解法是一种将时间序列数据分解成趋势、周期性和随机成分的方法。

它的基本假设是时间序列数据是由多个不同的组成部分构成的，通过将这些组成部分分离出来，我们可以更好地理解数据的特征和行为。

常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。

加法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的和。

趋势指的是数据的长期演变趋势，周期性表示数据在一段时间内出现的重复模式，而随机成分则代表了无法归因于趋势和周期性的随机波动。

加法模型的优点是适用于各种类型的时间序列数据，并且容易理解和解释。

乘法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的乘积。

乘法模型假设趋势和周期性分量与数据的幅度成比例，这意味着它适用于数据波动较大的情况。

与加法模型相比，乘法模型更适用于数据幅度随时间变化的情况。

趋势外推法是一种基于时间序列数据的趋势进行未来预测的方法。

它假设趋势是时间序列数据最主要的特征，通过拟合趋势线并对其进行外推，我们可以预测未来数据的变化趋势。

趋势外推法常用的方法包括线性趋势外推和指数趋势外推。

线性趋势外推假设趋势是线性的，即数据随时间的变化呈现线性增长或减少的趋势。

通过线性拟合找到数据的趋势线，然后根据趋势线的斜率和截距，预测未来数据的变化趋势。

线性趋势外推是最简单的趋势外推方法，但它假设趋势是恒定的，忽略了数据的非线性特征。

指数趋势外推假设趋势是指数增长或指数衰减的，即数据呈现幂函数的趋势。

通过拟合指数增长或衰减曲线找到数据的趋势线，然后根据趋势线进行未来数据的预测。

指数趋势外推较线性趋势外推更灵活，能够更好地适应不同的趋势模式。

总之，时间序列分解法和趋势外推法是时间序列分析的常用方法。

时间序列分解法可以将数据分解成趋势、周期性和随机成分，帮助我们更好地理解数据的特征和行为。

第7章趋势外推预测方法

趋势外推法的假设条件： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。
第1节指数曲线法
指数曲线模型（7.1.1）对式（7.1.1）两端取对数，得令则这样就把指数曲线模型转化为直线模型
在利用包络曲线预测时首先要建立包络曲线，具体步骤为：第一步：分析各类预测对象的预测参数的发展趋势；第二步：求出各技术单元功能相对增长速度最快的点（xi，yi），i=1，2，…，m；第三步：绘制包络曲线，即在点（ xi，yi ）处与i（i=1，2，…，m）技术单元曲线相切的曲线。
二、应用范围某项技术发展的前期阶段，采用包络曲线对技术发展进行深入研究，可以外推出新的远景技术，从而可以未雨绸缪，提前完成技术贮备，以便及时进行技术更新。当某一技术的发展趋于极限时，采用包络曲线外推可能出现的新技术。用包络曲线外推未来某一时刻的特性参数水平，借以推测将会出现那种新技术。验证决策中制定的技术参数是否合理。如果拟定的参数在包络曲线之上，则可能有些冒进，如在其下则可能偏于保守。合理的技术参数应与包络曲线相吻合，偏高偏低皆需调整。
0
y
a
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
第2节修正指数曲线法
修正指数曲线预测模型（7.2.1）式中：a、b、c为待定参数。为求出a、b和c三个参数，可应用分组法。通常的做法是先把整个时间序列数据分成三组，使每组数据个数相等，然后通过各组数据之和求出参数的具体数值。
表7.2.1 修正指数曲线模型差分计算表
第3节生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段。发生初期成长速度较慢；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线龚珀兹曲线皮尔曲线。

趋势外推法

趋势外推法（trend projection）是生产预测中常用的一种方法。

这种方法是找出一系列历史数据的趋势线并外推于将来做中长期预测。

该方法的原理是：给趋势型时间数列拟合以时间单位为自变量的数学模型，然后以顺延的时间单位作已知条件，外推时间数列后续趋势值。

外推预测的准确程度取决于所拟合模型的拟合优度，最小二乘法以其所拟合模型的预测标准误差最小的优势成为最常用的趋势模型的拟合方法。

趋势外推法又分为以下几类：增长型趋势模型外推法（又包括：等差增长趋势模型、二级等差增长趋势模型、等比增长趋势模型等），周期波动趋势模型外推法，生命周期趋势模型法等。

一、增长趋势模型增长趋势模型包括等差增长趋势模型、二级等差趋势模型、等比增长趋势模型等，详述如下：（三）等比增长趋势模型当时间数列逐期变量值以同一比率增长时，可配以指数曲线增长模型：二、周期波动趋势模型季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。

尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。

正弦曲线预测模型的一般形式为：只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得β0～β5，代入预测方程即可开始预测。

三、生命周期趋势模型当时间数列变化呈前期增长缓慢、中期增长逐渐加速、后期增长逐渐平缓、末期逐渐加速负增长时，可配以生命周期趋势模型。

这类曲线包括能模拟生命周期的前期、中期和后期的龚珀资曲线、罗吉斯蒂曲线（蒲尔-里得）曲线以及能模拟生命周期中后期的修正指数曲线模型。

龚珀资曲线和罗吉斯蒂曲线是拟合从前期至后期的生命周期趋势，而后者是拟合从中后期至后期的生命周期趋势。

----摘自《市场预测方法与案例》。

趋势外推法法

第四节趋势外推法趋势外推法，也称趋势延伸法，是根据预测目标的历史时间序列所揭示的变动趋势外推到未来以确定预测值的时序预测法。

可分为随手作图法，拟合直线方程法、拟合曲线方程法。

一、随手作图法这种方法是选定时间作为横轴，预测目标量作为纵轴，先按时间序列数据作出散点图。

然后根据备散在点所显示的趋势走向图形(直线或某种曲线)，运用直尺或曲线板随手画出一条沿各个点拟合度最佳的直线或曲线，并加以延伸，得出待预测时间对应的预测值。

该方法简便易行，不用建立数学模型，预测效果良好。

但这种方法全凭预测者的观察力和作图技巧，它直接影响到预测的精度。

二、拟合直线方程法这种方法是根据呈线性变动趋势的时间序列，拟合出直线方程bx a Y +=∧，再利用方程进行预测外推，得出预测结果。

直线方程bx a Y +=中，x 为按整数序编号的时间序列，Y 为预测目标量，a 、b 为参数。

设时刻为i x 时，对应的观察值为i Y ，n i ,,2,1 =。

根据这些数据我们要利用最小二乘法拟合出一条直线方程bx a Y +=∧即确定参数a 、b ，使拟合偏差i i Y Y ∧-的平方和∑∧-=22)(i i Y Y S 最小。

由微分法，令02=∂∂a S ，02=∂∂bS ，解之可得到∑∑---=-=x b Y x nb Y n a i i 11 （4-13） ∑∑∑∑∑--=22)())((i i i i i i x x n Y x Y x n b （4-14）当时间序列是整数项时，我们取i x 的中间项为0，其余按下列取值 …，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，… （中间项）例如 n=7时，i x 分别取为-3，-2，-l ，0，1，2，3七个数值。

这样规定i x 取值后，n 为奇数时有∑=0i x ，则计算参数a 、b 的公式可以简化为∑==-i Y nY a 1（4-15）∑∑=2ii i xY x b （4-16）例8 某市五金公司1978年到l984年销售额资料为年份 l978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 销售额 4923 5811 7171 8248 8902 9860 l0800(万元)试预测l985、1986两年的销售额。

趋势外推预测法

表3.2某家电企业1993～2003年年利润及加权拟合直线法计算表（单位：万元）
年份
1993
1Hale Waihona Puke 9419951996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
利润额
200
300
350
400
500
630
700
750
850
950
1020
6650
10
9
8
7
6
5
4
3
2
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ，，，，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得，，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)
大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。

第三章趋势外推预测法

❖ 初始平滑值的确定：
（1）当原数列的数值个数较多时（n>15），由于经过多次平滑运算，初始值对指数平滑值影响逐步减弱到极小的程度，可以忽略不计，所以可以选用第一期观察值作为初始平滑值S0=Y1
❖ （2）当原序列的数值个数较少时， n<15，可以选用最初几期的平均数作为初始平滑值,一般是前3-5个数据的算术平均数。
Ft+T=at+btT
T为预测的长度。 N为移动项数。
注意：输出区域此时的选择
❖ 建立预测方程： F11+T=202.75+8.5T
3、指数平滑预测法
指数平滑法是用过去的时间序列的加权平均数作为预测值，是加权移动平均法的一种特殊形式，由美国经济学家布朗（Robert G.Brown）于1959年在其著作《库存管理的统计预测》中提出来的。
❖ 例：假定1993-2008年产品C销售情况如表所示，试用指数平滑法预测2009年的产品销售量。
❖ 方法1： ❖ 直接计算：先计算指数平滑再进行预测。
❖ 假定初始平滑值S0=97，以平滑系数=0.3为例。
❖ 方法2: ❖ Excel实现： ❖ 工具—数据分析——指数平滑
注意：（1）默认的初始平滑值是原始数据的第一项。（2）阻尼系数=1-a （3）最后一期平滑值需要再重新计算一下。（4）注意输出区域的选择。
指数平滑公式：St(1) =aYt+(1-a)St-1
St(1) ：t时期的一次指数平滑值。a平滑系数
（0< a<1)；Yt为t时期的观察值。 ❖ 预测公式： St=Ft+1：第t 期的指数平滑值作
为第t+1期的预测值。
因此，上式可写成：Ft+1= aYt+(1-a)Ft T=1,2,3,4….n。

定量预测方法

定量预测方法定量预测方法种类很多，这里仅介绍常用的趋势外推法、时间序列法、回归预测法和灰色预测法。

1．趋势外推法趋势外推法就是运用直线或曲线拟合模型展开预测的方法。

在运用趋势外推法时，应当根据以获取的市场实际资料分析其发展趋势，挑选预测方案，按预测方案里的有关方法展开运算得出结论财政预算值。

(1)直线趋势法。

直线趋势法的方程为用最轻平方等方法估算a和b的值，创建直线预测模型。

然后再根据变量t的值展开预测。

(2)曲线趋势法。

以二次抛物线为例，曲线趋势法的公式为用最轻平方等方法估算a、b、c的值，创建曲线预测模型。

然后再根据变量t的值展开预测。

2．时间序列法（略）3．重回预测法回归预测法是通过分析自变量与因变量之间的相互关系，根据自变量数值的变化，预测因变量数值变化的一种方法，也可称为相关分析预测法。

这种方法是预测学的基本方法，应用十分广泛。

(1)一元线性重回法。

一元线性重回预测的数学模型就是一元线性方程，其计算公式为(2)二元线性回归法。

二元线性回归预测的数学模型是二元线性方程，其计算公式为4．灰色预测法灰色预测法是指通过分析系统内部各因素之间的相关程度，根据原始数据的生成处理来寻求系统变化规律，以此建立微分方程模型，从而预测市场发展趋势的预测方法。

灰色预测法通过生成法处理系统内的变量。

生成法分为累加生成法和累减生成法。

累加生成法是将原始序列通过累加得到生成序列，即将原始序列的第一个数据作为新序列的第一个数据，将原序列的第二个数据加到第一个数据上，其和作为新序列的第二个数据，将原序列的第三个数据加到第二个数据上，其和作为新序列的第三个数据，依此类推，得到生成序列。

累减生成法是将原始序列的数据前后相减，得到累减生成序列。

定量预测趋势外推法

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二趋势(qūshì)模型及选择
• 正确识别并选择趋势模型是应用趋势外推法的首要工作，基本方法有两种： 1 图形(túxíng)识别法
• 2 差分计算
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1 直线，指数，二次抛物线，三次曲线等模型(móxíng)的图形
直线(zhíxiàn)
二次抛物线
三次曲线
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指数
2差分法
10.73是市场(shìchǎng) 的饱和点
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二、皮尔曲线
模型形式：yˆ
1
L aebt
数学特点：倒数的一阶
差分的环比为常数
皮尔：美国生物学家和人口统计学家(Raymond Pearl， 1870～1940年)，皮尔曲线有时也被称作逻辑斯蒂(logistic) 曲线或生长曲线。由于该曲线可以反映生物的生长过程，所以皮尔曲线在生物繁殖、人口发展统计和产品生命周期分析等方面(fāngmiàn)都有着广泛的应用。L为时间序列中Y值的极限值。
• 所谓差分，是变量的微小变化。根据历史数据计算差分把数据修匀，将非平稳时间序列转换为平稳序列，通过该平稳序列的表现，来发现该套用那个(nà ge)模型。
• 假设时间序列为yt （t=1 ,2，3 ……，n） • 一阶向后差分为： y’t = yt - yt -1 • 二阶向后差分为： y”t= y’t -y’t -1 • 三阶向后差分为： y”’t= y”t –y”t -1 • 多阶以此类推
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函数(hánshù)图形
Yˆ
t
a
ln
bbt
Yˆ
t
aln
b2
bt
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• 指数曲线模型不能预测接近极限值时的特性值，因为当接近某一极限值时，特性值已不按指数规律增长。在产品导入期阶段，产品需求增长很慢，而随着时间的推移，社会需求不断增大，产品在早期的市场中也逐渐完善起来，因而需求量会快速增加，当产品的市场容量接近市场上限时，需求量的增长速度就会慢下来。产品市场发展(fāzhǎn)的全过程就会经历发生、发展(fāzhǎn)、成熟和衰退四个阶段，而这正是生长曲线所能描述的。生长曲线又称S曲线。S曲线（又称逻辑增长曲线）包括龚珀兹曲线和皮尔曲线。两种曲线模型特别适用于成熟期商品的预测。

趋势外推法

( 3)
三阶差分
一阶差分环比指数
y t y t 1
y t y t1
注意：
增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一阶差分、二阶差分、三阶差分、一阶差分环比指数为一常数的特征。
曲线趋势外推预测法
y 一、直线趋势外推法(Liner tend ) 1、principle
2 3 t
2.指数曲线外推模型
一般形式：对数曲线 3.增长曲线外推法：修正的指数曲线罗吉斯曲线龚珀兹曲线
ˆt ab y
t
ˆt a b ln t y
ˆt K ab y
1 ˆt y t K ab
t
ˆt Ka y
bt
差分概念
一阶差分
二阶差分
y t y t y t 1 y t y t y t1 yt
Q 2 ( yt a bt) a a 2 ( yt a bt) 0
y
t
na bt 0
（2）
Q 2 ( yt a bt) b b 2t ( yt a bt) 0
2 ty a t b t t 0
-4 -3 -2 -1
25
16 9 4 1
-1000
-2000 -1050 -800 -500
191.0
273.7 356.4 439.1 521.8
0
1 2 3 4
0
1 4 9 16
0
300 700 1200 2000
1999
2000 2001
630
700 750
0
1 2
0
1 4
0
700 1500

第4章趋势外推法

?即1??a20?aniiiqybx??????1??a20?niiiiqybxxb??????解得11??nniiiinabxy??2111??annniiiiiiixbxxy???即得估计式为1111??anniiiiybxnn??n??11122?nniiiiiiinniinxyxybnxx?????i??i??2?iiixxyybxx??????aybx?或得11二加权拟合直线方程法在市场预测中按照时间先后本着重近轻远的原则对离差平方和进行赋权然后再按最小二乘原理使离差平方和达到后再按最小二乘原理使离差平方和达到最小求出加权拟合直线方程
32 2849.4
（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
第4章趋势外推法
（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，用二次曲线模型来拟合该曲线
yˆt b0b1tb2t2
（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 t 2 ，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：
y ˆt 5 7 7 .2 4 4 4 .3 3 t 3 .2 9 t2
其中调整的 R2 0.9524，F290F 0.05(2,29)，
则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。
第4章趋势外推法
最小二乘曲线拟合
polyfit(x, y, n) 对描述n阶多项式y=f(x)的数据进行最小二乘曲线拟合 n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。通常称为线性回归。 n=2作为阶次，得到一个2阶多项式 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的函数polyval。第4章趋势外推法
假设由近及远的离差平方和的权重分别为：
0,1,2, , n1

趋势外推预测方法简介

1996 1997 1998 1999 2000 60.0 68.0 69.6 71.1 71.7
2001 2002 72.3 72.8
2003 73.2
第五章趋势外推预测方法
5.3 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线龚珀兹曲线和皮尔曲线。
lg yˆ lg k bt lg a （5.3.2）
式（5.3.2）在形式上已与式（5.3.1）表示的修正指数曲线相同。
第五章趋势外推预测方法
6. 龚帕兹（Compertz）模型
yt kabt
取对数， ln yt ln k (ln a)bt 修正指数曲线。
特征： yt 线性变化。 yt
2 1.75
1.5 1.5
1.25
1 1
0.75
0.5
0.5
0.25
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ln a 0 0 b 1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ln a 0 b 1
第五章趋势外推预测方法
150 25
125 20
100
15 75
10 50
5
25

第四讲趋势外推法

yt yt yt 1 B yt 1 yt 1 yt 2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 y t Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。
ln y t ln A bt Yt ln y t , a ln A Yt a bt
年份
1963 1964 1965 1966 1967
时序（t）
12 13 14 15 16
总额（ yt ）
604.5 638.2 670.3 732.8 770.5
年份
1974 1975 1976 1977 1978
时序（t ）
23 24 25 26 27
总额（ yt ）
1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆt K abt y
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预测2003年我国卫生机构总人数。解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt 615.641 205.667 (0.9172)t
差分特性使用模型
一阶差分相等或大致相等二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等环比相等或大致相等一阶差分比率相等或大致相等
一次线性模型二次线性模型
三次线性模型指数曲线模型修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法

y t a bt

将 t 19 代入模型,得到2003年我国卫生机构总人数的预测值:

趋势外推法

预测精度判断
用相对误差指标
σ= θ= σ
Y (Y Y ) 2 ∑ nk
某电视机厂连续24个月销售量
月份销售量 (万台) 月份销售量 (万台) 1 161 .2 13 214 .5 2 135 .4 14 161 .7 3 120 .7 15 237 .1 4 136 .7 16 269 .1 5 143 .3 17 291 .3 6 145 .9 18 310 .4 7 152 .8 19 380 .4 8 209 .6 20 340 .1 9 165 .5 21 350 .5 10 209 .3 22 381 .5 11 205 .9 23 385 .4 12 144 .7 24 261 .2
= n∑ Yt ∑ Y ∑ t b n∑ t 2 (∑ t ) 2
∑ Y b∑ t a=
n
例:有下数据,请用线性回归预测第8年和第10年的值,并画出趋势图.
年份 1 2 3 4 5 6 7 营业收入 290,463 317,661 346,853 338,812 413,310 459,453 389,866 回归预测值 295,747.2 318,899 342,050.8 365,202.6 388,354.4 411,506.1 434,657.9
=
0.6153 = 0.32 (万件) 6
用双侧t检验,取α=0.1,
y ± t0.10 / 2 SE = 32.35 ± 1.943 × 0.32
上述预测2004年销售量为32.35万件,在给定90 %的概率保证下,其近似的预测置信区间为 31.72 万件到32.97万件之间.
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data
b0 = 35 .05
39.5 9 81 38 16 256 274 .0 60 708

趋势外推预测方法

案例
比较图2和图1 , 并结合表2可知, 表1中数据序列的图形和数字特征都符合指数曲线模型,，因此，可以选用模型 ˆ y = ae 得到如下的a，b：a=1510.20，b=0.15 所以, 北京地区生产总值的指数曲线预测模型为
bt t
฀
实例
通过指数曲线预测模型计算得到的预测结果以及残差值参见表3。从表3中，我们可以看出，对于北京地区生产总值的预测，所有残差 ε 均小于0.04，因此预测结果具有较高的可信度。
n −1 I = na + b c −1
c
n −1 nc II = na + bc c −1
n −1 III = na + bc c c −1
2n
系数的表达式：系数的表达式：
III − II c = II − I
lg y = lg k + b t lg a
（4）取对数后的各组数据求和，分别记为 I，II，III。（5）解得
1 b −1 III − II n b = ,lg a = ( II − I ) • n 2 II − I ( b − 1) bn − 1 1 lg k = I − • lg a n b −1 Ι • III − ( II ) 2 或 lg k = 1 n Ι + II − 2 III
t t −1
指数曲线模型的差分表
常数
时序(t)
y t = ae
∧
bt
y 一阶差比率（ t
—
yt −1
）
1 2 3
ae b
ae 2b
ae 3b

趋势外推

11
12
13
代入相应的x，得出预测值y
解例3 某家用电器厂1993 2003年利润额数据资料如表 1993~ 年利润额数据资料如表3 解例 3.1 某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如表3.1 所示。试预测2004 2005年该企业的利润 2004、年该企业的利润。所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
t =1 t =1 t =1
n
n
n
n∑ xt2 − (∑ xt ) 2
t =1 t =1
n
n
=
∑x y
t =1 n t
n
t
xt2 ∑
t =1
拟合直线方程法的特点
ˆ et 2 = ∑( yt − yt )2 ∑
t =1 t =1
n
n
拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）
ˆ ˆ ˆ yt′ = yt − yt −1 = b
2.
三个例子：三个例子：预测未来两期的指标水平
1400 1200
y2005预测
利润额 yt
1000 800
y2004预测
600 400 200 0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
某家用电器厂1998～2008年利润额序列数据某家用电器厂1998～2008年利润额序列数据 1998
1993 200
199 4 300
1995 1996 350
利润额 yt
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 500 630 700 750 850 950 1020

5预测与决策-趋势外推法

利润额yt 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
1200 1000
利润额 yt
1200 1000
利润额 yt
？？
800
800
600
600
400
400
200
200
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
45
销售量（万件）
40
35
30
25
10000 9000 8000 7000 6000 5000
总需求量（件）
20
4000
15
3000
10
2000
5
1000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
加权拟合直线方程法的数学模型
Q n t(y t a b t)2
(tt)(yy) (tt)2
利润额 1200
1000
800
yc abt
600
400
200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
……………… T= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
由近及远，按比例递减。
各期权重衰减的速度取决于的取值。

趋势外推法的不足

趋势外推法的不足
趋势外推法是一种通过分析和延伸已有的趋势来预测未来发展情况的方法。

虽然趋势外推法在某些情况下可以提供有用的预测信息，但也存在一些不足之处。

1. 基于历史数据：趋势外推法主要依赖过去的数据来进行预测，忽视了其他可能影响未来发展的变量和因素。

因此，如果未来发生一些不可预测的事件或者出现结构性的变化，趋势外推法很可能无法准确预测未来的趋势。

2. 线性假设：趋势外推法通常基于线性假设，即认为过去的趋势将持续下去。

然而，真实的发展可能会受到非线性的变化和突发事件的影响，使得线性假设不再适用。

这种无法预测的非线性的影响可能导致趋势外推法的预测偏差很大。

3. 数据局限性：趋势外推法依赖于可靠的数据来生成预测。

然而，数据可能存在误差、不完整或者不准确，这将影响趋势外推法的预测准确性。

另外，如果需要预测的数据太过稀缺或者不可获得，趋势外推法也无法应用。

4. 忽略突发事件：趋势外推法主要关注长期趋势，而忽视短期内可能发生的突发事件和不可预测的因素。

例如，自然灾害、政治动荡、技术创新等都有可能对未来的发展产生重大影响，但这些因素在趋势外推法中很难纳入考虑。

综上所述，趋势外推法存在着局限性，对于特定情况下的预测可能不够准确和可靠，因此在使用趋势外推法进行预测时，需要谨慎评估其适用性，并考虑其他可
能的预测方法和因素。

趋势外推法

第六讲 趋势外推法

时间序列分解法和趋势外推法

第7章趋势外推预测方法

趋势外推法

趋势外推法法

趋势外推预测法

第三章趋势外推预测法

定量预测方法

定量预测趋势外推法

趋势外推法

第4章趋势外推法

趋势外推预测方法简介

第四讲 趋势外推法

趋势外推法

趋势外推预测方法

趋势外推

5预测与决策-趋势外推法

趋势外推法的不足

第六讲趋势外推法

第四讲趋势外推法