LMI线性矩阵不等式
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航空航天飞行器控制、制导与导 航
线性矩阵不等式
Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿
射）的矩阵不等式.
1.1: LMI的 基 本 性 质
1
Q正定：如果 xT Qx > 0, ∀x ̸= 0 Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ∀x ̸= 0 P 负定（半负定）：如果Q = −P 正定（半正定）。
9
%可行 ( 是稳定的A) tmin
当且仅当 tmin <0
运行结果：
Lyap =
1
S o l v e r f o r LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x )
10
T h i s s o l v e r minimizes
t
subject to
只需要写出对角线上面，或下面的项。
% AP+PA’ <0 % 0 % P>0
l m i t e r m ( [ Lyap 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 1 2 0 ] , 0 ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , − 1) ; LMIsys= g e t l m i s ; [ tmin , x f e a s ] = feasp ( LMIsys ) ;
L ( x ) < R( x ) + t ∗ I
The b e s t v a l u e o f t should be n e g a t i v e f o r f e a s i b i l i t y
Iteration
:
Best v a l u e o f t so f a r
1
−0.244586
(2) (1)
任意方阵Q可以写作
(Q + QT ) (Q − QT ) Q= + 2 2
(3)
第一项对称，第二项反对称。
2
如果Q为复数矩阵，并且对任意的非零的x， 有xH Qx > 0成立，则称Q正定。Q为Hermintian矩阵。
LMI的基本结构：
F (x) = F0 +
m ∑ i=1
xiFi
(4)
4
= F0 +
n ∑ i=1
GiXiHi
(6)
其中，F0, Gi, Hi为给定矩阵，Xi是需要求解的矩阵变量。
Example 1. 设Q 是一个Hermitian矩阵（Q = QH )，具
有Q = QR + jQI 的形式，证明当且仅当
QR QI −QI QR
>0
(7)
1.2: LMI系 统
best value of t : f −r a d i u s s a t u r a t i o n :
Result :
−0.244586
0.000% o f R = 1.00 e+009
tmin =
−0.2446
11
12
xi是变量，而Fi是给出的常数实对称矩阵。
LMI的基本问题：
可行性问题：就是找到x使得不等式(4)成立。注意式(4)中 [ ]T 的F (x) > 0描述的是变量x = x1 · · · xm 的一种仿射关 系。
3
而正常情形下，我们看到的变量x是由一个或多个矩阵组 成，这些矩阵的列在不等式(4)中被堆砌成为一个向量， 即：
F (x) = F (X1, X2, · · · , Xn)
(5)
其中，Xi ∈ R
q i × pi
∑n 是一个矩阵，而 i=1 qi × pi = m，所有矩
阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。 于是我们考虑下面常用形式的函数：
F (X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn
我们经常遇到下面形式的LMI约束：
5
F1(X1, · · · , Xn) > 0 F2(X1, · · · , Xn) > 0
. . .
(8) (9) (10) (11)
Fp(X1, · · · , Xn) > 0
其中：
Fj (X1, · · · , Xn) = F0j +
n ∑ i=1
Gij XiHij
(12)
1.3: LMI问 题 的 类 型
LMI可行性问题 6
一般是寻求带有LMI约束的优化问题或特征值问题。 寻求可行解{X1, X2, · · · , Xn}，使得
F (X1, · · · , Xn) > 0
(13)
对解的最优性不感兴趣，只是希望找到一个解，它可能不 唯一。
Example 2. 确 定 线 性 系 统 的 稳 定 性 ：
P > 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI：
(15)
AT P + P A 0 0
8
<0
(16)
P
求解这个LMI的Matlab代码如下：
% % A : n∗n s t a t e m a t r i x A=[−2 1 ; 1 − 2]; setlmis ( [ ] ) P= l m i v a r ( 1 , [ s i z e ( A , 1 ) 1 ] ) ; Lyap=newlmi % %
考虑一个自治线性系统
x ˙ = Ax
那么，用于证明该系统稳定 性(Re{λi(A)} < 0, ∀i)的Lyapunov LMI问题，就是寻
7
找P > 0பைடு நூலகம்使得
AT P + P A > 0
(14)
这是一个关于变量P > 0的LMI可行性问题，然而，给定满 足该问题的任意的P > 0，明显地集合 { } P = βP : 标量β > 0 中任意矩阵都满足上述问题。
线性矩阵不等式
Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿
射）的矩阵不等式.
1.1: LMI的 基 本 性 质
1
Q正定：如果 xT Qx > 0, ∀x ̸= 0 Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ∀x ̸= 0 P 负定（半负定）：如果Q = −P 正定（半正定）。
9
%可行 ( 是稳定的A) tmin
当且仅当 tmin <0
运行结果：
Lyap =
1
S o l v e r f o r LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x )
10
T h i s s o l v e r minimizes
t
subject to
只需要写出对角线上面，或下面的项。
% AP+PA’ <0 % 0 % P>0
l m i t e r m ( [ Lyap 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 1 2 0 ] , 0 ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , − 1) ; LMIsys= g e t l m i s ; [ tmin , x f e a s ] = feasp ( LMIsys ) ;
L ( x ) < R( x ) + t ∗ I
The b e s t v a l u e o f t should be n e g a t i v e f o r f e a s i b i l i t y
Iteration
:
Best v a l u e o f t so f a r
1
−0.244586
(2) (1)
任意方阵Q可以写作
(Q + QT ) (Q − QT ) Q= + 2 2
(3)
第一项对称，第二项反对称。
2
如果Q为复数矩阵，并且对任意的非零的x， 有xH Qx > 0成立，则称Q正定。Q为Hermintian矩阵。
LMI的基本结构：
F (x) = F0 +
m ∑ i=1
xiFi
(4)
4
= F0 +
n ∑ i=1
GiXiHi
(6)
其中，F0, Gi, Hi为给定矩阵，Xi是需要求解的矩阵变量。
Example 1. 设Q 是一个Hermitian矩阵（Q = QH )，具
有Q = QR + jQI 的形式，证明当且仅当
QR QI −QI QR
>0
(7)
1.2: LMI系 统
best value of t : f −r a d i u s s a t u r a t i o n :
Result :
−0.244586
0.000% o f R = 1.00 e+009
tmin =
−0.2446
11
12
xi是变量，而Fi是给出的常数实对称矩阵。
LMI的基本问题：
可行性问题：就是找到x使得不等式(4)成立。注意式(4)中 [ ]T 的F (x) > 0描述的是变量x = x1 · · · xm 的一种仿射关 系。
3
而正常情形下，我们看到的变量x是由一个或多个矩阵组 成，这些矩阵的列在不等式(4)中被堆砌成为一个向量， 即：
F (x) = F (X1, X2, · · · , Xn)
(5)
其中，Xi ∈ R
q i × pi
∑n 是一个矩阵，而 i=1 qi × pi = m，所有矩
阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。 于是我们考虑下面常用形式的函数：
F (X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn
我们经常遇到下面形式的LMI约束：
5
F1(X1, · · · , Xn) > 0 F2(X1, · · · , Xn) > 0
. . .
(8) (9) (10) (11)
Fp(X1, · · · , Xn) > 0
其中：
Fj (X1, · · · , Xn) = F0j +
n ∑ i=1
Gij XiHij
(12)
1.3: LMI问 题 的 类 型
LMI可行性问题 6
一般是寻求带有LMI约束的优化问题或特征值问题。 寻求可行解{X1, X2, · · · , Xn}，使得
F (X1, · · · , Xn) > 0
(13)
对解的最优性不感兴趣，只是希望找到一个解，它可能不 唯一。
Example 2. 确 定 线 性 系 统 的 稳 定 性 ：
P > 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI：
(15)
AT P + P A 0 0
8
<0
(16)
P
求解这个LMI的Matlab代码如下：
% % A : n∗n s t a t e m a t r i x A=[−2 1 ; 1 − 2]; setlmis ( [ ] ) P= l m i v a r ( 1 , [ s i z e ( A , 1 ) 1 ] ) ; Lyap=newlmi % %
考虑一个自治线性系统
x ˙ = Ax
那么，用于证明该系统稳定 性(Re{λi(A)} < 0, ∀i)的Lyapunov LMI问题，就是寻
7
找P > 0பைடு நூலகம்使得
AT P + P A > 0
(14)
这是一个关于变量P > 0的LMI可行性问题，然而，给定满 足该问题的任意的P > 0，明显地集合 { } P = βP : 标量β > 0 中任意矩阵都满足上述问题。