高考数学压轴题预测：4立体几何

2012届高考数学压轴题预测 专题4 立体几何 1. 如图, 在直三棱柱ABC

－A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；

解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.

答案:解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5，

∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；

（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1，

∴ AC 1//平面C D B 1；

解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （23，2,0） （1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0），

∴AC •1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1.

（2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－

23，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴121AC DE =

，∴DE ∥AC 1. 点评：2．平行问题的转化：

面面平行线面平行线线平行；

主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．

2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。

(1)求证：BM ∥平面PAD ；

A B C

A B C

E

x y z

(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ；

(3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，

二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

答案：（1）ΘM 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则 ME CD 21，又AB CD 21 ∴四边形ABME 为平行四边形 ∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄

PAD EA 平面⊂

∴BM ∥PAD 平面 （4分）

（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z

轴建立空间直角坐标系，如图，则())0,0,1B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,1,1M ，()1,1,0E 在平面PAD 内设()z y N ,,0，()1,1,1---=→--z y MN ，()2,0,1-=→

--PB ，()0,2,1-=→--DB 由→--→--⊥PB MN ∴0221=+--=⋅→--→--z PB MN ∴21=

z 由→--→--⊥DB MN ∴0221=+--=⋅→--→--y DB MN ∴2

1=y ∴⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,21,0N ∴N 是AE 的中点，此时BD MN P 平面⊥ （8分） （3）设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ

()2,2,2-=→--PC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=→

--21,21,1MN ，设→--→--MN PC ,为α 3

226

322

cos -=⋅-=⋅=→--→--→--→--MN PC MN

PC α 32cos sin =-=αθ 故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦为

32 （12分）

解法二：

（1）ΘM 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则 ME

CD 21，又AB CD 2

1 ∴四边形ABME 为平行四边形

∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄

PAD EA 平面⊂

∴BM ∥PAD 平面 （4分）

（2）由（1）知ABME 为平行四边形

ABCD PA 底面⊥∴AB PA ⊥，又AD AB ⊥

∴PAD AB 平面⊥ 同理PAD CD 平面⊥，PAD 平面⊂AE

∴A E A B ⊥ ∴AB ME 为矩形 CD ∥ME ，PD CD ⊥，又A E PD ⊥ ∴PD ⊥ME ∴ABME 平面⊥PD PBD PD 平面⊂

∴ABME PBD 平面平面⊥ 作EB ⊥MF 故PBD 平面⊥MF

MF 交AE 于N ，在矩形ABME 内，1==ME AB ，2=AE ∴3

2=MF ，22=NE N 为AE 的中点 ∴当点N 为AE 的中点时，BD MN P 平面⊥ （8分）

（3）由（2）知MF 为点M 到平面PBD 的距离，MPF ∠为直线PC 与平面PBD 所

成的角，设为θ，3

2sin ==MP MF θ ∴直线PC 与平面PBD 所成的角的正弦值为3

2 点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来

3. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=o 的菱形，M 为PB 的中点.

(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小；

(Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；

(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.

解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法

答案：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．

又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．

连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．

∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP 3 ∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°． ……6分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ． 建立空间直角坐标系如图，则(3,0,0),(0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C ．

由M 为PB 中点，∴33(

M ． ∴33(),(3,0,3),DM PA ==u u u u r u u u r (0,2,0)DC =u u u r ． ∴333203)0PA DM ⋅⨯-=u u u r u u u u r ， 03200(3)0PA DC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ． ∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．

……4分 (III)33(0,),(3,1,0)CM CB ==u u u u r u u u r ．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0n CM ⋅=u u u u r r ，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=u u u r r 30x y +=． ……②

由①、②，取x =−1，则3,1y z =． ∴可取(3,1)n =-r ． 由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,3)PA =u u u r ， ∴2310cos ,||||56n PA n PA n PA ⋅-<>==⋅u u u r r u u u r r u u u r r 10． ……6分

法二：（Ⅰ）方法同上

（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=o ，

则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，

又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2

CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为Y ，