集合概念的由来
集合概念的含义
集合概念的含义集合是数学中一个基本的概念，它可以理解为一个确定的、无序的元素的集合，这些元素可以是数字、符号、对象或其他事物。
集合是数学中非常基础且普遍使用的概念，是其他数学分支（如代数、几何、概率论等）的基础。
集合理论的发展可以追溯到19世纪，由法国数学家康托尔首次提出并建立了一套严密的集合论体系。
集合理论为数学建立了一个统一的框架，使得数学可以更加严谨地进行推理和证明。
首先，集合的最基本属性是无序性，即集合中的元素没有顺序之分。
例如，集合{1, 2, 3}和{3, 1, 2}是等同的，因为它们包含相同的元素。
其次，集合中的元素是确定的且互不相同的。
即使一个元素在一个集合中出现多次，它在该集合中也只能被算作一个元素。
例如，集合{1, 1, 2}与{1, 2}是等同的，因为它们包含相同的元素。
另外，集合可以为空集，即不包含任何元素的集合。
空集用符号∅表示。
集合中的元素可以是任何类型的东西，可以是数字、符号、对象等等。
一个集合可以包含无限多个元素，也可以只包含有限个元素。
例如，集合{1, 2, 3}只包含有限个元素，而集合N（自然数的集合）包含无限个元素。
集合的表示方法有多种方式。
最简单的一种是列举集合中的元素，用大括号{}括起来，元素之间用逗号分隔。
例如，集合{1, 2, 3}表示包含1、2、3三个元素的集合。
另一种常用的表示方法是描述集合的特性或性质。
例如，描述正整数集合可以写为{ x x > 0 }，表示所有大于0的整数构成的集合。
数学中常用到的几个特殊集合如下：- 自然数集N：包含所有的正整数，即N={1, 2, 3, ...}。
- 整数集Z：包含所有的整数，即Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
- 有理数集Q：包含所有可以表示为分数形式的数，即Q={ p/q p和q都是整数，且q≠0 }。
- 实数集R：包含所有的实数，包括有理数和无理数。
- 复数集C：包含所有的复数，即C={ a+bi a和b都是实数，i是虚数单位}。
集合的概念
集合的概念某些指定的对象集在一起就是集合。
一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。
如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。
任何集合是它自身的子集.一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。
空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。
任何集合是它本身的子集。
子集，真子集都具有传递性。
『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆B。
若 A 是 B 的子集，且 A 不等于B，则 A 称作是 B 的真子集，一般写作 A ⊂B。
中学教材课本里将⊂符号下加了一个≠ 符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
』集合的三种运算法则并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A 并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A 交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。
那么因为A和B中都有1,5，所以A ∩B={1，5} 。
再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。
那么说A∪B={1，2，3，5}。
图中的阴影部分就是A∩B。
有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。
集合的概念集合的定义是什么
集合的概念集合的定义是什么集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。
集合的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于集合的定义，欢迎大家前来阅读!集合的定义集合(简称集)是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。
最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。
集合里的“东西”，叫作元素。
由一个或多个元素所构成的叫做集合。
若x是集合A的元素，则记作x∈A。
集合中的元素有三个特征：1.确定性(集合中的元素必须是确定的)2.互异性(集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1)3.无序性(集合中的元素没有先后之分。
) 集合的概念集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
例如全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。
我们通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。
若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。
若y不是集合S的元素，则称y不属于S,记为y∉S。
一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
集合中不同元素的数目称为集合的基数，记作card( )。
当其为有限大时，集合称为有限集，反之则为无限集。
有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如，我们称之为空集，记为∅。
设S,T是两个集合，如果S的所有元素都属于T ，即，其中符号称为包含，即表示由左边的命题可以推出右边的命题，则称S是T的子集，记为。
显然，对任何集合S ，都有。
如果S是T的一个子集，即，但在T中存在一个元素x不属于S ，即，则称S是T的一个真子集。
如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T 。
集合的概念
x x 2n 1,
n Z
1．本节内容
集合
集合的概念 列举法 集合的表示法
描述法
属于关系 不属于关系
元素与集合的关系
2．需要注意的问题
（1）列举法中列举元素的要求； （2）描述法的表达形式； （3）表示元素与集合关系的符号； （4）常见数集的表示．
课后练习：习题1.1
A组 ： 1 、 3 题 ． Ａ组1、２题．
用描述法表示为： {x | 3x 2 0, x R}. 我们约定，如果从上下文看 x R 是明确的，那么上述 集合也可以写成 x 3 x 2 0 . 2 由于解不等式 3 x 2 0 可以得到 x 所以不等式
2 . 3
3
例6
用描述法表示下列集合:
（1 ） 不等式2 x 1 „ 0的解集； （2）所有正奇数组成的集合．
作业：达标训练题1.1
选作习题1.1 B组：1题．
方程的解集
一般把某个方程的所有解组成的集合叫做这个 方程的解集．
返回
方程的解集 一般把某 个方程的所有 解组成的集合 叫做这个方程 的解集．
不等式的解集 一般把某 个不等式的 所有解组成 的集合叫做 这个不等式 的解集．
返回
方程的解集
不等式的解集2解来自因为方程x 2 4 0 的解是−2和2， 所以方程
x 4 0 的解集由元素−2和2组成．
2
例3 由大于2并且小于5的自然数组成的集合是由 哪些元素组成？
解 由于大于2并且小于5的自然数只有3和4，所以 这个集合是由3和4组成．
练习1： 判断下列对象是否可以组成集合： （1）某校高一（3）班学生 （2）大于10的自然数全体 （3）某学校高一性格开朗的学生 （4）与1接近的实数全体
集合的名词解释
集合的名词解释集合，在我们日常生活中随处可见，无论是在数学领域、社会活动中还是自然界中，都存在着各种各样的集合。
那么，什么是集合？集合是指由一些个体或对象组成的整体或类别。
在这篇文章中，我们将探讨集合的概念、性质和应用。
一、集合的概念集合是一种基本的数学概念，它是由一些元素组成的整体。
这些元素可以是任何事物、对象或观念，例如自然数、人类、动物等等。
集合以大括号{}表示，其中可以列举出集合的元素，也可以使用条件来描述集合的元素。
例如，在自然数集合N={1, 2, 3, ...}中，可以找到无穷多个元素，每个元素都是一个自然数。
在这个例子中，集合N包含了所有自然数。
二、集合的性质1. 互异性：集合中的元素是独一无二的，没有重复的元素。
如果有两个或多个元素是相同的，就只算作一个元素。
2. 无序性：集合中的元素之间没有先后顺序的排列，也就是说，集合中元素的位置不影响集合本身的性质。
3. 包含关系：一个集合可以包含另一个集合，我们将包含一个集合的集合称为父集合，而被包含的集合称为子集合。
两个集合相等的条件是它们有相同的元素。
4. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
空集是每一个集合的子集。
5. 万有集：包含所有可能元素的集合被称为万有集，通常用U表示。
万有集是每一个集合的父集。
三、集合的应用集合的概念和性质在数学和其他领域中有着广泛的应用。
1. 数学中的集合论：集合论是数学的一个重要分支，它研究集合的性质、关系和操作。
集合论不仅仅是纯粹的数学理论，还在数学的各个分支和其他科学领域中起着重要的作用。
2. 数据分析与统计学：在数据分析和统计学中，集合被用来描述和分类数据。
通过将数据分组为不同的集合，我们可以更好地理解和分析数据的特征和规律。
3. 社会科学中的分类与归类：在社会科学研究中，集合概念可以用来对社会现象进行分类和归类，帮助我们理解和研究社会的各个方面，例如人口统计学、社会学和经济学等。
集合的概念
1 给出下列关系:① ∈R;② 2
2∉Q;③|-3|∉N+;④|− 3|∈N.
五.集合中元素的特性的应用
例.已知集合A由三个元素a2,a+1,0构成,且1∈A,试求实数a的值. 解:因为1∈A,所以a2=1或a+1=1. 若a2=1,则a=±1. 当a=1时,集合A中的元素是1,2,0,符合要求; 当a=-1时,集合A中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性. 若a+1=1,则a=0,集合A中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性. 综上可知,实数a的值为1.
根据集合中元素的确定性可以解出字母的 所有可能的值，再根据集合中元素的互异 性对集合中的元素进行检验．另外，在利 用集合中元素的特性解题时要注意分类讨 论思想的运用．
集合相等问题 【例】 设集合A中元素有x，y， B中元素有 0，x2，若A，B相等，求实数x，y的值． 思路分析：根据集合相等的概念可知x，y与0 ，x2分别对应相等，解方程并根据集合中元 素的互异性可求得x，y的值． 解：因为A，B相等，则x＝0或y＝0. (1) 当 x ＝ 0 时， x2 ＝ 0 ，则 B ＝ {0,0} ，不满足集 合中元素的互异性，故舍去． (2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知 x＝0应舍去． 综上知：x＝1，y＝0.
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
例1. 由方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根构成的集合 中,元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:方程x2-5x+6=0的根是2和3,方程x2-x-2=0的根是2和-1,因此 两个方程的所有实数根构成的集合中含有3个元素2,3,-1. 答案:C
集合是什么
集合是什么集合是数学中的一个重要概念，用于描述元素的组合。
简单来说，集合是由一些确定的事物、对象、元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号、单词、图形等等。
在集合中，元素的顺序是无关紧要的，每个元素在集合中只能出现一次，不能重复。
如果一个集合中的元素可以重复出现，则称为多重集合或重复集合。
集合是数学中最基本的概念之一，它是由康托尔在19世纪中叶引入的。
集合论是数学的一个重要分支，研究集合的性质、操作和关系，通过集合论可以建立数学的基础框架。
集合论在数学、计算机科学、逻辑学等领域都有广泛的应用。
集合的表示方法有两种常见的方式：列表法和描述法。
列表法是列举出集合中的所有元素，用大括号括起来，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。
描述法是通过描述集合中元素的特性来表示集合。
例如，集合B={x|x是正整数且小于10}表示由所有小于10的正整数所组成的集合。
集合的运算有三种基本的操作：并集、交集和补集。
并集表示两个集合中所有元素的总和，用符号∪表示；交集表示两个集合中共有的元素，用符号∩表示；补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素，用符号-表示。
集合还可以进行子集、真子集、空集等概念的定义。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，并用符号A⊆B表示。
如果集合A是集合B的子集且存在元素属于B但不属于A，则称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
在实际问题中，集合常用于描述事物的分类、关系和属性等。
例如，可以用集合来描述一个班级的学生，通过集合的运算可以求出选了某门课的学生、选了两门以上课的学生等。
集合还可以用于模拟和描述现实世界中的各种情况和问题。
通过集合的概念，我们可以更好地理解事物之间的关联和联系，更准确地描述和分析问题。
集合论在数学和其他领域中的应用广泛，是更高级数学理论的重要基础，对于培养逻辑思维和解决实际问题具有重要意义。
集合的概念
集合的概念集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。
第1课时集合的含义
（5）所有的正方形； （6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；
（7）方程 x2 3x 2 0 的所有实数根；
（8）新华中学2011年9月入学的所有的高一学生.
共同特点：都指“所有的”，即研究对象的全体.
一般地， 我们把研究对象统称为元素. 通常用小写的拉丁字母a,b,c...来表示. 我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 通常用大写的拉丁字母A,B,C...来表示.
集合元素的确定性．
(2)是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任何一
个元素都能判断出来是否属于这个集合．
(3)是错误的，3＝ 6，∣－ ∣＝10.5，因此，由1,
3， ，6 ∣
∣，10.25
4
2
这些数组成的集合为｛1，
，0.35｝，
24
2
2
共有3个元素．
(4)是错误的，因为集合中的元素是无序的．
中心任务三：会用符号表示元素与集合之间的关系 如果用A表示高一(11)班全体学生组成的集合， 用a表示高一(11)班的一位同学， b是高一(12)班的一位同学， 那么a，b与集合A分别有什么关系?
a是集合A中的元素, b不是集合A中的元素.
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A；
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集
合A，记作a A.
常见数集的表示方法
数集的扩充过程
N*或 N
正整 数集
N
自然 数集
C
复数 集
R
实数 集
Z
整数集
Q
有理 数集
用符号∈或∉填空.
(1)2
N；
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为: 许多的人或物聚在一起。
集合概念的抽象
集合概念的抽象集合概念是数学中一个重要的概念，在组合数学、逻辑学、计算机科学、数论、拓扑学等领域都有广泛的应用。
追溯其来源，集合概念最初是由德国数学家Georg Cantor提出的，他在19世纪末20世纪初对集合论的研究，推动了数学领域的发展。
本文将从集合的定义、表示、运算、性质以及应用方面，对集合概念进行抽象的探讨。
一、集合的定义在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。
这里的对象可以是数、字母、图形、空间、函数、命题等。
例如我们可以用A代表所有的偶数集合，或者用B 表示一个水果的集合，当然集合可以是任何东西，也可以是一个集合中的元素也是一个集合。
具体来说，集合的定义可以表述为：1. 集合是一个无序的元素的结构，选择哪些元素组成一个集合是任意的。
例如A=｛1，2，3，4｝，B=｛3，2，1，4｝，A，B都是集合，虽然A和B元素的顺序不同，但都是包含了1，2，3，4这四个元素的集合。
2. 集合中的元素不重复并且没有顺序。
例如C=｛1，2，1，4｝，C和A中包含的元素相同，但是C并不是一个集合，因为1重复了。
3. 用一个大括号｛｝包含集合中的元素，元素之间用逗号隔开。
例如D=｛a, b, c｝，a，b，c是D集合中的元素。
4. 如果x是一个集合中的元素，则常用x∈A表示x属于集合A，反之用x∉A 表示x不属于集合A。
二、集合的表示集合通常用大写字母来表示，例如A、B、C ，其元素用大括号表示，例如A={1,2,3,4,5}。
在集合中，元素不能重复，否则称为重复元素。
集合中的元素通常是一些实数、数列、向量、点集等等，有时也可以是其他元素。
1. 集合的元素集合的元素是构成集合的基本部分，它是一些事物的总和或所包含的一组值。
例如：- A={1,2,3}表示一个包含三个元素的集合，其元素是1、2和3。
- B={\sqrt {2},3}表示一个包含两个元素的集合，其元素是\sqrt 2和3。
- C ={dog, cat}表示一个包含两个元素的集合，其元素是dog和cat。
集合的含义及其表示
第一讲：集合的含义与表示【数学史话】格奥尔格・康托（Cantor Georg,1845.3.3―1918.1.6），德国数学家，集合论的创始人.1874年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑.”集合论的创立是数学史上的重大事件，也是康托对数学的主要贡献，他最重要的著作是《超穷数理论基础》.数学家希尔伯特（D.Hilbert ）称之为“数学家的乐园”,“数学思想最惊人的产物”，英国数学家罗素（B.Russel ）将它誉为“这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.由康托首创的具有划时代意义的集合论，渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程.【目标要求】1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.理解集合中元素的三个特性，并能利用它们进行解题.3.掌握集合的表示方法，并能够运用他们来表示一些简单的集合.【知识解读】1.集合：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．注意：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.2.元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉．注意：（1）对任何元素a 与集合A ,在A a ∈与A a ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立.（2）符号“∈”和“∉”表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系.例：下列所给的对象哪些能构成集合？（1）所有的等边三角形；（2）3的近似值的全体；（3）九章教育高一年级身高在170cm 以下的学生；（4）参加2020年东京奥运会的年轻运动员；（5）平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点.3.只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.4.含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．5.集合中元素的特性：（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.集合中的元素是不重复出现的.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的.集合中的元素没有前后之分.（1）用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法.（2）把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.（3）用集合所含元素的共同特征表示集合的方称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般形式：)}({x p x ，其中x 是表示集合元素的一般符号，)(x p 是这个集合中元素的共同特征.注意：元素的共同特征尽量用数学符号表示，多个特征之间的关系应正确使用“且”与“或”描述，不能出现未被说明的字母.例：分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程022=--x x 的解集； （2）大于-1且小于6的所有整数组成的集合.【典型例题】题型一 集合中元素的特性例1 已知{}x x ,1,02∈，求实数x 的值.题型二 元素与集合的关系例2 下列说法正确的是( )A ．若N a ∈，N b ∈,则N b a ∈-B ．若+∈N x ，则N x ∈C ．若0≥x ，则N x ∈D ．若Z x ∉，则Q x ∉例3 设集合},2{Z k k x x A ∈==，},12{Z k k x x B ∈+==.若A a ∈，B b ∈，试判断b a +与B A ,的关系.题型三 集合的表示法例4 用列举法表示下列集合.（1）=A {}8,<∈=x N x x x x 且 （2）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+==为非零实数b a b b a a x x B ,, （3） ⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈∈-==+N x Z x x x C ,36题型四 利用元素的个数求参数的取值（范围）例5 已知集合},012{2R a x ax x A ∈=++=.（1）若A 中只有一个元素，求a 的值.（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围.例6 已知三个集合}1{2+=x y x ，}1{2+=x y y ，}1),{(2+=x y y x .（1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？【拓展阅读】 常用数集符号的由来为什么用N 表示自然数集？用Z 表示整数集？用Q 表示有理数集？用R 表示实数集？一般情况下，符号的记法都是取自英文单词的首字母.1.自然数：Natural number ，所以就用N 了；2.实数：Real number ，所以就用R 了；3.有理数：rational number ，但不能再用R 表示.由于有理数是两个整数之比的结果(商)，而商的英文是quotient ，所以就用Q 了；4.整数：whole number ，但没能用W 表示.这个涉及到德国女数学家诺特对环论的贡献.1921年她写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），由于她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen ，于是当时她将整数环记作Z ，从那时候起整数集就用Z 表示了.第一讲 随堂练习1.用符号∈和∉填空：（1）N ____1- （2）*-N ____3 （3）Z ____21 （4）Q _____14.3 （5）Q _____π （6）Q _____5 （7）R _____22- （8）设集合C 是满足方程12+=n x （其中n 为正整数）的实数x 的集合，则C _____3，C ______5；（9）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则B _______32，B _______21+；（10）设π23,2531+=-=y x ，集合{}Q b Q a b a m m M ∈∈+==,2，，则M x _____，M y ______. 2.方程组⎩⎨⎧=-=+9,1y x y x 的解集是( )A.(5,4)B.(5,-4)C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}3.由实数332,,,,x x x x x -组成的集合中，元素最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.数集A 满足条件：若A a ∈，则()111≠∈-+a A a a .若A ∈31，求集合中的其它元素.5.已知集合{},2b a b a a A ++=，，，{}2,,ac ac a B =，且A 与B 是相等的集合，求c 的值.第一讲 回家作业姓名： 成绩：1. 设A,B 为两个实数集，定义集合},,,{2121B x A x x x x x B A ∈∈+==+若},3,2{},3,2,1{==B A 则集合B A +中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62. 已知b a ,是非零实数，代数式ab abb ba a++的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）A.M ∈0B.M ∈-1C.M ∉3D.M ∈1 3. 实数构成的集合A 满足条件：若,1,≠∈a A a 则.11)(A a a f ∈-=求证： （1）若,2A ∈则A 中必还有另外两个元素；（2）A 不可能是单元素集合；（3）A 中至少有三个不同的元素.4.已知{}Z n m n m x x A ∈+==,,2. （1）设24311-=x ，2492-=x ，()23231-=x ，试判断321x x x ，，与A 之间的关系； （2）任取A x x ∈21，，试判断21212121,,x x x x x x x x -+，与A 之间的关系. （3）设{},,,2Z n m n m x x B ∈+==试判断21212121,,x x x x x x x x -+，与B 之间的关系.5.集合M 的元素为自然数，且满足：若M x ∈，则M x ∈-8，试回答下列问题：（1）写出只有一个元素的集合M ；（2）写出元素个数为2的所有集合M ；（3）满足题设条件的集合M 共有多少个？家长意见： 学生总结：。
第一章 集合1.1.1集合的概念
• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝
集合的概念
1.集合的概念：
集合：一般的把一些能够确定的不同的对象看作 一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构 成的集合(或集).
如 “中国的直辖市”北京、天津、上海和重庆
2.元素：
构成集合的每一个对象叫做这个集合的元素 (或成员)。
如：young中的字母 committee y ， o ， u， n， g c ，o ，m ，i ，t ，e
课堂小结 1.集合的含义； 2.集合元素的性质：确定性、互异性； ； 3.元素与集合的关系：∈、 4.数集及有关符号.
作业
1.下列各组对象不能形成集合的是 A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=1图象上所有的点 2.M=｛a，b，c｝中的三个元素可构成某一个三角形的三边长， 那么此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 1 C. 1钝角三角形 D.等腰三角形 ｝ 3.方程ax2+5x+c=0的解集是 ｛ 2 ， 3 ， 则a=________，c=________. 4.含有三个实数的集合可表示为｛a，b，1｝，也可表示为｛a2， a+b，0｝，则a2007+b2008的值为________. 5.若－3是集合a－3，2a+1，a2+1中的元素，求实数a的值. 6.设a、b为整数，把形如a+b的一切数构成的集合记为M，设 x∈M，y∈M，试判断x+y，x－y，xy是否属于M，说明理由. ※1. P5练习B 1 、 2做到作业本上； 2.预习P5~P7，集合的表示方法。
集合的概念
创始者。1845年3月3日生于圣彼得 堡，1918年1月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国，在德国读 中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世 大学，翌年入柏林大学，主修数学， 1866年曾去格丁根学习一学期。 1867年以数论方面的论文获博士学 位。1869年在哈雷大学通过讲师资 格考试，后在该大学任讲师，1872 年任副教授，1879年任教授。 集 合论是现代数学的基础，康托尔在 研究函数论时产生了探索无穷集和 超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷 数的存在，并对无穷问题进行了哲 学的讨论，最终建立了较完善的集 合理论，为现代数学的发展打下了 坚实的基础。
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并集、交集、补集
并集、交集和补集是集合运算中常用的操作，它们能更好地描述和分析集合之间的关系。
集合的运算法则
集合运算有一些基本的法则和性质，掌握这些法则能够更有效地操作集合。
德摩根定律
德摩根定律是数学中常用的运算定律，用于简化和转换集合的逻辑表达式。
集合的概念可以追溯到古代，但直到19世纪，集合论才成为数学中独立的分 支。
集合的基本概念与符号表示
了解集合的基本概念以及如何用符号表示集合是理解集合论的基础。
空集、全集、子集
空集、全集和子集是集合论中的重要概念，它们有着特定的定义和性质。
集合之间的关系
集合之间可以有各种不同的关系，如相等、包含和相交等。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ欢迎来到我们的精品PPT课件分享！本次分享将带您回顾高中数学集合的起源、 发展历程以及基本概念与符号表示，让您领略集合理论在数学中的重要性。
什么是数学集合？
在高中数学中，集合是一种基本的概念，代表着一组具有共同特征的元素的 总体。
集合的起源和发展历史
11集合的概念
集合的概念一、引言集合论是数学的基础理论之一，起源于19世纪末，由德国数学家康托尔创立。
集合论以集合为研究对象，探讨集合的表示、结构、运算及其相互关系。
集合的概念在数学、逻辑学、计算机科学等领域有着广泛的应用，是现代数学不可或缺的组成部分。
二、集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体，这些对象称为集合的元素。
用符号表示，集合A由元素a1,a2,,an组成，记作A={a1,a2,,an}。
集合中的元素可以是具体的数、字母、图形等，也可以是抽象的概念。
集合的元素具有无序性、确定性、互异性等特点。
三、集合的表示方法1.列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4,5}。
2.描述法：用文字描述集合中元素的性质或规律。
例如，集合A={x-x是小于10的自然数}。
3.图形法：通过图形来表示集合。
例如，平面直角坐标系中的点集、线段、区域等。
4.符号法：用特定的符号表示集合。
例如，N表示自然数集，Z 表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集。
四、集合的性质与运算1.集合的性质（1）无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。
（2）确定性：集合中的元素是明确的、可判断的。
（3）互异性：集合中的元素各不相同。
2.集合的运算（1）并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，是由属于A 或属于B的所有元素组成的集合。
（2）交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，是由同时属于A和B的所有元素组成的集合。
（3）差集：两个集合A和B的差集，记作A-B，是由属于A但不属于B的所有元素组成的集合。
（4）补集：集合A在全集U中的补集，记作∁A，是由属于U 但不属于A的所有元素组成的集合。
五、集合的应用集合的概念在数学、逻辑学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在数学中，集合论为研究数学结构提供了一种统一的方法。
在逻辑学中，集合论为研究命题和推理提供了一种形式化的工具。
在计算机科学中，集合论为数据结构和算法的设计与分析提供了理论基础。
第一章1.1集合的概念
第⼀章1.1集合的概念第⼀章集合与常⽤逻辑⽤语[数学⽂化]——了解数学⽂化的发展与应⽤康托尔与集合论翻开⾼中数学课本，⾸先映⼊眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的⼀个基本分⽀，在数学中占据着⼀个极其独特的地位，⽽且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学⽐作⼀座⽆⽐辉煌的⼤厦，那么集合论正是构成这座⼤厦的基⽯.其创始⼈康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之⼀.康托尔(Georg Cantor，1845～1918)，德国数学家，⽣于俄罗斯圣彼得堡，⾃幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博⼠学位，以后⼀直在哈雷⼤学任教，从事数学教学与研究.[读图探新]——发现现象背后的知识⼀位渔民⾮常喜欢数学，但他怎么也想不明⽩集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先⽣，请你告诉我，集合是什么？”⽽集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.有⼀天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔⽹，轻轻⼀拉，许多鱼在⽹中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是⼀个集合”.问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全⼀样的吗？⽹中的“⼤鱼”能构成集合吗？问题2：渔民⽹中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各⾃渔⽹中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔⽹中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在⼀起的过程⼜是集合的哪种运算？链接：数学家所说的集合是指渔⽹中的鱼，很显然渔⽹中的对象都是确定的、⽆序的和互异的；渔⽹中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的⼀部分，是湖中鱼构成集合的⼀个⼦集；两个渔⽹中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔⽹中的鱼的种类合在⼀起就构成了两个集合的并集.1.1集合的概念课标要求素养要求1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在⾃然语⾔和图形语⾔的基础上，⽤符号语⾔刻画集合.在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由⾃然语⾔和图形语⾔到符号语⾔的表达过程，发展学⽣的数学抽象素养和数学运算素养.教材知识探究中国共产党第⼗九次全国代表⼤会(简称党的⼗九⼤)于2017年10⽉18⽇⾄10⽉24⽇在北京召开.问题党的⼗九⼤会议的代表能否构成⼀个集合？提⽰党的⼗九⼤会议的代表能构成⼀个集合.1.元素与集合的概念集合中元素的三个特性是解决集合问题的关键(1)⼀般地，我们把研究对象统称为元素，把⼀些元素组成的总体叫做集合(简称为集).(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、⽆序性.(3)只要构成两个集合的元素是⼀样的，我们就称这两个集合是相等的.2.元素与集合的关系在a∈A与a A这两种情况中有且只有⼀种成⽴知识点关系概念记法读法元素与集合属于如果a是集合A中的元素，a∈A “a属于A”的关系就说a属于A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于Aa A “a不属于A”名称⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R (1)列举法列举法对有限集情有独钟，但⾃然数集、整数集也可⽤列举法来表⽰，但不能⽤来表⽰实数集把集合的所有元素⼀⼀列举出来，并⽤花括号“{}”括起来表⽰集合的⽅法叫做列举法，⼀般可将集合表⽰为{a，b，c，…}.(2)描述法⼀般地，设A是⼀个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表⽰为{x∈A|P(x)}，这种表⽰集合的⽅法称为描述法，有时也⽤冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.教材拓展补遗[微判断]1.漂亮的花可以组成集合.(×)提⽰“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.2.由⽅程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)提⽰由于集合中的元素具有互异性，故由两⽅程的根组成的集合中有2个元素.3.元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(×)提⽰集合中的元素具有⽆序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同⼀集合.[微训练]1.⽤符号“∈”或“”填空.(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.解析(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴－1A.(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C，9.1C.答案(1)(2)∈2.试分别⽤描述法和列举法表⽰下列集合：(1)由⽅程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)⼤于2且⼩于7的整数.解(1)⽤描述法表⽰为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，⽤列举法表⽰为{0，－1，3}.(2)⽤描述法表⽰为{x∈Z|2[微思考]1.设集合A表⽰“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何⽤数学语⾔表⽰？提⽰3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4A.2.某班所有的“帅哥”能否构成⼀个集合？某班⾝⾼⾼于175厘⽶的男⽣能否构成⼀个集合？集合元素确定性的含义是什么？提⽰某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”⽆明确的标准.⾼于175厘⽶的男⽣能构成⼀个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定⼀个集合，那么任何⼀个元素在不在这个集合中就确定了.题型⼀集合概念的理解【例1】考察下列每组对象能否构成⼀个集合：集合中的元素具有确定性(1)不超过20的⾮负数；(2)⽅程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2019年在校的所有矮个⼦同学；(4)3的近似值的全体.解(1)对任意⼀个实数能判断出是不是“不超过20的⾮负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“矮个⼦”⽆明确的标准，对于某个⼈算不算矮个⼦⽆法客观地判断，因此不能构成⼀个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断⼀个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.规律⽅法判断⼀组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定⽆疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定⽆疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.【训练1】(1)下列给出的对象中能构成集合的是()A.著名物理家B.很⼤的数C.聪明的⼈D.⼩于3的实数(2)下列各组对象可以构成集合的是()A.数学必修第⼀册课本中所有的难题B.⼩于8的所有素数C.直⾓坐标平⾯内第⼀象限的⼀些点D.所有⼩的正数解析(1)只有选项D有明确的标准，能构成⼀个集合.(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“⼀些点”⽆明确的标准，对于某个点是否在“⼀些点”中⽆法确定，因此“直⾓坐标平⾯内第⼀象限的⼀些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合. 答案(1)D(2)B题型⼆集合中元素的性质及应⽤元素与集合的关系⽤“∈”或“”表⽰【例2】(1)给出下列关系：①12∈R；②|－3|N；③|－3|∈Q；④0N.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确；②③④不正确.答案 A(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－32.规律⽅法利⽤集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进⾏检验.(2)注意点：利⽤集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应⽤. 【训练2】(1)设集合M是由不⼩于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()A.a∈MB.a MC.a＝MD.a≠M解析判断⼀个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵11<23，∴a M .答案 B(2)已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3是集合A 中的元素，试求实数a 的值.解因为－3是集合A 中的元素，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求. 综上所述，满⾜题意的实数a 的值为0或－1.题型三集合的表⽰⽅法【例3】⽤适当的⽅法表⽰下列集合： (1)⽅程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在⾃然数集内，⼩于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解的集合；(4)⼤于0.5且不⼤于6的⾃然数的全体构成的集合； (5)⽅程组x ＋y ＝3，x －y ＝5的解集.解 (1){0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}；(4){1，2，3，4，5，6}；(5)解集⽤描述法表⽰为（x ，y ）|x ＋y ＝3，x －y ＝5，解集⽤列举法表⽰为{(4，－1)}.规律⽅法 (1)⼀个集合可以⽤不同的⽅法表⽰，需根据题意选择适当的⽅法，同时注意列举法和描述法的适⽤范围.(2)⽅程(或⽅程组)的解的个数较少，因此⽅程(或⽅程组)的解集⼀般⽤列举法表⽰；不等式(或不等式组)的解集⼀般⽤描述法表⽰.注意，当题⽬中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，⼀定要将最终结果写成集合的形式. 【训练3】 (1)下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{x |x ＝1} B.{y |(y －1)2＝0} C.{x ＝1}D.{1}(2)有下⾯六种表⽰⽅法①{x ＝－1，y ＝2}；②(x ，y )|??x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}.其中，能正确表⽰⽅程组2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号).解析 (1)由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，⽽集合{x ＝1}表⽰由⽅程x ＝1组成的集合，故选C. (2)件中“或”也要改为“且”⼀、素养落地1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有⼀个确定的标准，能确定⼀个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.3.表⽰集合的要求：(1)根据要表⽰的集合元素的特点，选择适当⽅法表⽰集合，⼀般要符合最简原则.(2)⼀般情况下，元素个数⽆限的集合不宜⽤列举法表⽰，描述法既可以表⽰元素个数⽆限的集合，也可以表⽰元素个数有限的集合.⼆、素养训练1.现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校2019年在校的所有⾼个⼦同学；③不超过30的所有⾮负整数；④⽅程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平⾯直⾓坐标系中第⼀象限内的点.其中能构成集合的是()A.①③B.②③C.③④D.③④⑤解析①著名的数学家⽆明确的标准，对某个数学家是否著名⽆法客观地判断，因此①不能构成⼀个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给⼀个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的⾮负整数”，因此③能构成⼀个集合；类似地，④也能构成⼀个集合；对于⑤，“在第⼀象限内”不仅可以⽤坐标系进⾏图⽰，也可以通过点的横纵坐标是否都⼤于0来判断，标准是明确的，因此能构成⼀个集合. 答案 D2.已知1，x ，x 2三个实数构成⼀个集合，x 满⾜的条件是( ) A.x ≠0 B.x ≠1C.x ≠±1D.x ≠0且x ≠±1解析根据集合中元素的互异性，得1≠x ，x ≠x 2，x 2≠1，解得x ≠0且x ≠±1. 答案 D3.下列所给关系正确的个数是( ) ①2Q ；②|－1|∈N ；③π∈R ；④－3∈Z .A.1B.2C.3D.4解析∵2是⽆理数，∴2Q ，因此①正确.⼜|－1|＝1∈N ，π是实数，－3是整数，故②③④也正确. 答案 D4.已知集合A 中的元素x 满⾜x ≥2，若aA ，则实数a 的取值范围是________.解析由题意a 不满⾜不等式x ≥2，即a <2. 答案 a <25.若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？解因为－2∈Z 且2∈Z ，所以－6＋22＝3×(－2)＋2×2是形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数，即－6＋22是集合A 中的元素.基础达标⼀、选择题1.以下各组对象不能组成集合的是( ) A.中国古代四⼤发明 B.地球上的⼩河流 C.⽅程x 2－1＝0的实数解 D.周长为10 cm 的三⾓形解析选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合. 答案 B2.⽅程组x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( )A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}解析⽅程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，⽽D 不是集合表⽰的描述法的正确形式，排除D. 答案 C3.下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A.{x 2－x ＝0} B.{y |y 2－y ＝0} C.{x |y ＝x 2－x }D.{y |y ＝x 2－x }解析选项A 中的集合只有⼀个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是⽅程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}；选项C ，D 中的集合中都有⽆数多个元素，故选B. 答案 B4.若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形B.平⾏四边形C.菱形D.梯形解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，⽽梯形的四条边可以互不相等，故选D.答案 D5.⽤描述法表⽰图中所⽰阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表⽰阴影部分点的集合.答案 B⼆、填空题6.已知①5∈R；②13∈Q；③0N*；④πQ；⑤－4Z.正确的个数为________.解析①②③④是正确的；⑤是错误的.答案 47.若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P和Q相等，则a的值为________.解析由于P和Q相等，故a2＝2，∴a＝±2.答案±28.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.解析由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故⽅程x2－4x＋4＝0的解为x ＝2，即{x |x 2－4x －a }＝{2}，则其所有元素之和为2. 答案 2 三、解答题9.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)2，32，64，－13，13这些数组成的集合有5个元素；(2)⽅程(x －3)(x ＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素. 解 (1)不正确.∵32＝64，－13＝13，∴这个集合有3个元素.(2)不正确.⽅程(x －3)(x ＋1)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.10.⽤适当的⽅法表⽰下列集合：(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的⾃然数的集合； (2)⽅程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集.解 (1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的⾃然数有：12，21，13，31，23，32，⽤列举法可表⽰为{12，21，13，31，23，32}. (2)由2x ＋1＋|y －2|＝0，得2x ＋1＝0，y －2＝0，所以x ＝－12，y ＝2，所以⽅程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集⽤描述法可表⽰为(x ，y )x ＝－12y ＝2；⽤列举法可表⽰为－12，2.能⼒提升11.由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同⼀个集合，求a 2 019＋b 2 019的值.解由a ，ba ，1组成⼀个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或a 2＝a ，a ＋b ＝1，ba ＝0，解得a ＝－1，b ＝0或a ＝1，b ＝0(不满⾜集合元素的互异性，舍去).所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋0＝－1. 12.下⾯三个集合： A ＝{x |y ＝x 2＋1}； B ＝{y |y ＝x 2＋1}； C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各⾃的含义是什么？解 (1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然特征性质的表达式⼀致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合. (2)集合A 的代表元素是x ，满⾜y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .集合B 的代表元素是y ，满⾜y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}.集合C 的代表元素是(x ，y )，满⾜条件y ＝x 2＋1，即表⽰满⾜y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为满⾜条件y ＝x 2＋1的坐标平⾯上的点.因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}.。
集合概念的由来
集合是科学家创造的吗？数学概念都很抽象，但是重要的核心概念都不是数学家吃撑了刻意创造的，要不然数学就不属于自然科学了呀。
“集合”和“数”很类似，属于人类不得不承认的事实。
这与四则运算、微积分一样，都不是发明而是发现。
外星人可以没有人样，却不能没有数学。
他们的语言、外貌、生活方式也许是我们无法想象的，但是他们必须会数数。
上世纪中旬美国向茫茫太空发射了地球使者——寻找外星人的旅行者号飞船，地球名片就是数学语言，因为只有数学是生物的通用自然语言。
古人类是为了分配管理猎物而不得不进行统计，演变成了自然数，农业产生后，丈量土地，萌生几何学。
后来人类关注的事物越来越多越复杂，就不得不分别考虑整体与局部，这就是分析、归纳的思维，于是集合的感念就形成了。
数有四则运算，集合同样有四则运算（并、差、交、余），同样都是来源于人类生活当中的事情。
组合计数的依据就是集合运算，概率论从赌博中诞生，集合同样在概率计算里扮演主角，数学家用集合来定义自然数，很漂亮。
有一个很有力的证据可以证明集合不是数学家创造的，那就是曾经的数学危机——集合悖论（限于篇幅不能介绍了）。
如果数学家是为了达到自己的目的而创造集合概念，那么，他们肯定要给集合下定义，这是数学家公认的程序。
可是至今没有集合的定义，也正是因为如此，数学家早就对集合概念不满，想办法下一个明确的定义。
你猜结果如何？狼来了，发现了集合悖论。
致使当时许多数学家极度悲观，认为数学大厦必定坍塌。
因为很多数学概念都用集合来定义的呀，集合出矛盾了，整个数学不就自己打自己的嘴吗？一时间数学界一遍恐慌，有些不服气的数学家想办法亡羊补牢，提出各种整改方案，至少也算是啊Q精神吧。
无巧不成书，数学家哥德尔又发现了不完备定理，给还抱着幻想的数学家当头一棒，宣判了完美主义者的死刑。
真是屋漏偏逢下雨天，直到上世纪初，数学元气才算复苏。
原来，数学大厦真是破烂不堪，将就着吧。
我说这个历史故事，就是为了佐证集合这玩意儿不好惹，数学家们用它来盖房子，结果大伤元气，所以集合绝不是他们创造来自残的东东。
集合的概念面试
集合的概念面试集合的概念是数学中一个非常基础而重要的概念，也是计算机科学中常常涉及到的概念。
集合是由一组确定元素构成的整体，元素的顺序和重复与否都不重要。
集合的概念最早由乔治·康托尔在19世纪末引入，并成为集合论的基础。
在数学中，集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示，例如：集合A={a, b, c}。
集合最基本的性质就是元素的唯一性。
即集合中的元素不重复，如果有重复的元素，只计算一次。
例如，集合A={1, 2, 3, 1}中，重复的元素1只计算一次，因此集合A实际上包含的元素是{1, 2, 3}。
集合的大小称为集合的基数或者集合的元素个数。
如果集合有限，则集合的基数是一个非负整数。
如果集合无限，则集合的基数是无穷的。
例如，集合A={1, 2, 3}的基数是3。
集合B={1, 2, 3, ...}是一个无穷集合，其基数是无穷。
集合之间可以有各种各样的关系，如子集、相等、交集、并集、差集等。
子集的关系表示一个集合中的所有元素都包含在另一个集合中。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
集合A={1, 2}是集合B={1, 2, 3}的子集。
相等的关系表示两个集合包含的元素完全相同。
如果集合A是B的子集，并且集合B是A的子集，则称A与B是相等的，记作A＝B。
交集是指两个集合中共同存在的元素的集合。
即属于集合A并且也属于集合B的元素组成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集是{2, 3}。
并集是指两个集合中所有元素的集合，元素不重复。
即属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集是{1, 2, 3, 4}。
差集是指从一个集合中去掉和另一个集合中相同元素后的所有元素的集合。
即集合A中存在但集合B中不存在的元素组成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的差集是{1}。
集合的概念
的顺序（通常用正常的顺序写出）
二、常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） N
（2）正整数集 N+
（3）整数集
Z
（4）有理数集 Q
（5）实数集
R
三、元素与集合的关系：
集合常用大写英语字母A、B、C……来表示。 元素常用小写英语字母a,b,c,d……来表示。 如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a 属于A；如果对象a不是集合A的元素，就记作a A， 读作a不属于A。 如：2∈Z，2.5 Z
集合的概念
学习目标：
（1）集合的概念；
（2）集合元素的性质；
（3）元素与集合的关系；
（4）集合的分类，分类依据是什么？ （5）特定的数集。
课前自测
1.②④ 2.①②④⑤ 3.A 4.D
2.自主纠错，具体要求:
①寻方法，找规律；
②总结解题的数学思想.
概念深化理解
下列对象能否构成集合
（1）康成中学高一全体同学
（2）关于x的方程x2-1=0的实数解
（3）漂亮的女孩
（4）教室内的桌椅
（5）著名的数学家 （6）高一级部的高个子
一、集合的有关概念：
集合的含义 （1）集合：把一些能够确定的、不同的对象的看 成一个整体，这个整体称为一个集合。 （2）元素：构成集合的每个对象叫做这个集合 的元素（或成员）。
一.集合的概念： 例 1.判断以下元素的全体是否组成集合， 并说明理由： （1）大于 3 小于 11 的偶数； （2）我国的小河流； （3）非负奇数； （4）方程 x2 1 0 的解； （5）康成中学 2015 级新生； （6）血压很高的人； （7）平面直角坐标系内所有第三象限的点； （8）全班成绩好的学生.
集合由来
例如：“我校的篮球队员”组成一个集合；
“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”组成一个集合；
数字“1、2、3、4”组成一个集合；
大西洋 属于 “太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”组成的集合；
5 不属于 “1、2、3、4”组成的集合。
你能举出其他集合的例子吗？
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初识集合：集合的表示
“我校的篮球队员”组成一个集合；
2、我校比较聪明的女学生可以组成集合；
3、数轴上非常靠近原点的点可以组成集合；
4、数学书上的难题可以组成集合；
5、使|x-1|很小的x的值可以组成集合；
6、直角坐标平面内第一象限的点可以组成集合；
7、方程x2-6x+9=0的解的集合是{3，3}；
8、{1，2}与{2，1}是两个不同的集合。
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数 集：当集合的元素都是数字时，我们称这样的
是不是所有的条件语句加上“{}”后都能成为集合？ 集合（元素）具有确定性：给定一个集合，任何一个对象
是否这个集合的元素就确定了。 集合（元素）具有互异性：在一个集合中不会出现两个相
同的元素。 集合（元素）具有无序性：集合中元素的排列是没有顺序
的。
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判断下列说法是否正确：
1、我班身高超过1.65m的男生可以组成集合；
立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学 创造，集合概念大大扩充了数学的研究
1845年—1918年），
领域，给数学结构提供了一个基础，集 德国数学家
合论不仅影响了现代数学，而且也深深
影响了现代哲学和逻辑。
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初识集合：
集合是不能精确定义的基本的数学概念。一般地，某 些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集 合中的每个对象叫做这个集合的元素。元素与集合之 间的关系用“ ”和“ ”表示。
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集合是科学家创造的吗？
数学概念都很抽象，但是重要的核心概念都不是数学家吃撑了刻意创造的，要不然数学就不属于自然科学了呀。
“集合”和“数”很类似，属于人类不得不承认的事实。
这与四则运算、微积分一样，都不是发明而是发现。
外星人可以没有人样，却不能没有数学。
他们的语言、外貌、生活方式也许是我们无法想象的，但是他们必须会数数。
上世纪中旬美国向茫茫太空发射了地球使者——寻找外星人的旅行者号飞船，地球名片就是数学语言，因为只有数学是生物的通用自然语言。
古人类是为了分配管理猎物而不得不进行统计，演变成了自然数，农业产生后，丈量土地，萌生几何学。
后来人类关注的事物越来越多越复杂，就不得不分别考虑整体与局部，这就是分析、归纳的思维，于是集合的感念就形成了。
数有四则运算，集合同样有四则运算（并、差、交、余），同样都是来源于人类生活当中的事情。
组合计数的依据就是集合运算，概率论从赌博中诞生，集合同样在概率计算里扮演主角，数学家用集合来定义自然数，很漂亮。
有一个很有力的证据可以证明集合不是数学家创造的，那就是曾经的数学危机——集合悖论（限于篇幅不能介绍了）。
如果数学家是为了达到自己的目的而创造集合概念，那么，他们肯定要给集合下定义，这是数学家公认的程序。
可是至今没有集合的定义，也正是因为如此，数学家早就对集合概念不满，想办法下一个明确的定义。
你猜结果如何？狼来了，发现了集合悖论。
致使当时许多数学家极度悲观，认为数学大厦必定坍塌。
因为很多数学概念都用集合来定义的呀，集合出矛盾了，整个数学不就自己打自己的嘴吗？一时间数学界一遍恐慌，有些不服气的数学家想办法亡羊补牢，提出各种整改方案，至少也算是啊Q精神吧。
无巧不成书，数学家哥德尔又发现了不完备定理，给还抱着幻想的数学家当头一棒，宣判了完美主义者的死刑。
真是屋漏偏逢下雨天，直到上世纪初，数学元气才算复苏。
原来，数学大厦真是破烂不堪，将就着吧。
我说这个历史故事，就是为了佐证集合这玩意儿不好惹，数学家们用它来盖房子，结果大伤元气，所以集合绝不是他们创造来自残的东东。
至于集合能解决什么问题，就像数能解决什么问题一样，数不清。
数就像温和的女孩，要多乖有多乖，绝不闹事，数不清道不完，魅力无限。
集合就像调皮的男孩，能干，啥事都扛得住，谁惹他就让谁难堪。