集合的概念

集合的概念

一、集合的有关概念

由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作

（3）整数集：全体整数的集合记作

（4）有理数集：全体有理数的集合记作

（5）实数集：全体实数的集合记作

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A

a∉

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如

元素通常用小写的拉丁字母表示，如

⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

二、集合的表示方法

1.列举法：将所给集合中的元素出来，写在里，元素与元素之间用分开适用情况：

（1）集合是有限集，元素又不太多；例如：15的所有正因数构成的集合表示为：

（2）集合是有限集，元素较多但有一定规律；例如：不大于100的正整数的全体构成的集合表示为：

（3）有规律的无限集；例如：

2.描述法：将所给集合中元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来。

其一般格式如下：{x|x适合的条件}大括号内竖线左边的x表示：；

大括号内竖线右边表示：；

3.Venn图

三、集合的基本关系

1.子集一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作A ⊆B.读作“A包含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集

合B的子集.

2.真子集如果A⊆B，但存在元素x ∈B，且x ∉A，称A是B的真子集.

3.空集不含任何元素的集合为空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集，空集是任何集合的真子集.

4.集合相等对于两个集合A与B，若A⊆B且B⊆A，则这两个集合相等，记为A=B.两个非空集合相等当且仅当它们的元素完全相同.

例1⑴写出集合{a，b}的所有子集；⑵写出所有{a，b，c}的所有子集；

⑶写出所有{a，b，c，d }的所有子集

总结：一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n－1个. 例2 设集合A＝{1, a, b}，B＝{a, a2, ab}，若A＝B，求实数a，b.

例3 已知A＝{x | x2－2x－3＝0},B＝{x | ax－1＝0},若B⊆A, 求实数a的值．

四、集合的基本运算

1.并集

（1）并集的定义

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集合A与B的并集，记作A ∪B（读作“A并B”）；

（2）并集的符号表示

A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝.

并集定义的数学表达式中“或”字的意义应引起注意，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的.

x∈A，或x∈B包括如下三种情况：

①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B.

由集合A中元素的互异性知，A与B的公共元素在A∪B中只出现一次，因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.

2、交集

（1）交集的定义

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）.

（2）交集的符号表示

A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝.

（3）交集的图形表示如下所示Venn图.

B

A

)(

)

2

3

(

1

)(

图（1）表示集合A与集合B的关系是A⊆B，此时集合A与B的公共部分就是A，即A∩B=A.

图（2）表示集合A与集合B的公共部分不是空集，但不是A，也不是B，即A∩B≠A，且A∩B ≠B.

图（3）表示集合A与集合B的公共部分是空集，即A∩B=∅.

3、补集

一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集

合,叫做S 中子集A 的补集(或余集)记作CsA.

例4 已知M =｛y |y =2x 2+1，x ∈R ｝，N =｛y |y =－x 2+1，x ∈R ｝，则M ∩N =________，M ∪N =________.

例5 设A =｛x |x 2+4x =0｝，B =｛x |x 2+2（a +1）x +a 2－1=0｝.

（1）若A ∩B =B ，求a 的值；（2）若A ∪B =B ，求a 的值.

1． 下列说法正确的是 ( )

A.{}1,2,{}2,1是两个集合

B.{}(0,2)中有两个元素

Ｃ.6|x Q N x ⎧

⎫∈∈⎨⎬⎩⎭

是有限集 Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 ２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )

Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2-- Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3

３.{},0.3,0,00R Q N +

∉∈∈其中正确的个数是( ) Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个

４.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩

的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ５.已知集合Ａ＝{}

20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

6.已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是 ( )

Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形