绝对值的概念
绝对值
定 义
示例剖析
1．绝对值的几何意义：在数轴上，一个数a 所对应 的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a ．
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“
”，求一
个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号． ②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果 总是正数或0．
③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5．
33=，11
22
-
=，00=
3．绝对值的性质：
⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质；
⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >??
==??-
0 ；
⑶ 1(0)
(0)1(0)a
a a a a >?≠=?-
⑷ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑸ a a =-；若a b =，则a b =或a b =-
非负数性质：
如果若干个非负数之和为0，那么其中的每一个非负数都为0
例如：若0a b +=，则0a =，0b =
4． 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小．
总结：有理数大小的比较
0????
??
?
??
??????
同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数
正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0
模块一 绝对值的定义
【例1】 ⑴ ① 1.5--= ；② 绝对值不大于3的整数有 ．
⑵ 绝对值大于2而小于5的负整数是 ． ⑶ 下列说法正确的是 （ ） A. 符号相反的数互为相反数 B. 任何有理数都有倒数 C. 最小的自然数是1
D. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 ⑷ 3.5-的绝对值为 ， 3.5-的相反数为 ，
3.5-的倒数为 ， 3.5-的负倒数为 ． ⑸ 若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式
2a b
m cd a b c
++-+-的值.
【例2】 ⑴ 已知a 、b 为有理数，且0a <，0b >，b a <，则a 、b 、a -、b -的大小关系是
（ ）
A ．b a b a -<<<-
B ．b b a a -<<-<
C ．a b b a <-<<-
D ．a b b a -<<-<
⑵ 230x y -+-=，则xy =________；7x y =--，则xy =________． ⑶ 若2a -与3b +互为相反数，则2b a -的值为（ ）．
A ．8
B ．8-
C ．8±
D ．7
⑷方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无穷多
(5) 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，
. (6) 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ．
【例3】 ⑴ 已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++--的结果是
⑴ 如图，根据数轴上给出的a 、b 、c 的条件， 试说明a b b c a c -+---的值与c 无关.
b
夯实基础
能力提升
【例4】 ⑴ 已知1|2|0a ab -+-=，试求
1111
(1)(1)(2)(2)
(2012)(2012)
ab a b a b a b ++++
++++++的值；
⑴ 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-
【例5】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，
两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
【例6】 若2001
2
2002
x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【例7】 化简：⑴ 1x -；⑵ 5x + ；⑶ 523x x ++-
【拓展】124x x x -+++-
【例8】 已知a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，求a b c abc
a b c abc
+++
的值．
b a
模块二 绝对值代数意义的应用
【拓展】已知
a b c abc x a
b
c
abc
=+
+
+
，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值．
【例9】 如果d c b a ,,,为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a ，那么d a -等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例10】 将1，2，3…100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记
为b ，代入代数式
1
()2
a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．
知识模块一 绝对值的定义 课后演练
【演练1】 ⑴ a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是绝对值
等于2的数，则()a b c d +-++= ．
⑵ 若3x =，则x x -= ．
⑶ 已知4a =-，||||a b =，则3b -的值为（ ） A ．1+；7-
B ．1-；+7
C ．7
D ．1±
⑷ 已知||8a =，||5b =，且||a b a b +=+，则a b -= ．
【演练2】 若450x y -++=，则______x =；_____y =．
探索创新
实战演练
知识模块二 绝对值代数意义的应用 课后演练
【演练3】 ⑴化简：3x -
⑴化简代数式24x x ++-
【演练4】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．
【演练5】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．
化简b a b c b a c -+--+-．
【演练6】 【有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd
=-，求
a b c d a b c d
+++的值．
1.2.1.1.1绝对值(定义型)
1.2.1.1.1绝对值(定义型) 1. 绝对值大于2且不大于5的所有整数的和为___________ 2、绝对值等于2.5的数是；绝对值小于4的整数有。 3. |-5|等于 ( )A. -5 B. 5 C. ±5 D. 0.2 4. 有理数中绝对值最小的数是 ( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 不存在 6．若|a|=|b|，则a与b__________。 7.如果x3＝2，那么ｘ＝ . 8，a=3，b=2且b 9、已知有理数a、b、c在数轴上如图所示，则代数式︱a︱－︱a+b︱+︱c－a︱+︱b+c︱=( ) A、2c－a B、2a－2b C、－a D、a 7、绝对值小于5的所有整数是，它们的和是 . 8. 绝对值是25的数是_______________,平方是25的数是___________.绝对值是2的数有_____个，它们是_____，绝对值是1的数有_____个，它们是_____，那么0的绝对值记作| |=_____，10 －100的绝对值是_____，记作| |=_____. 1． 3.7______；0______； 3.______；0.______． 2．152______；______；______． 343 3．5______；6______； 6.5 5.5______． 4．______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数． 25．一个数的绝对值是，那么这个数为______． 3 0；当a0时，a______． 6．当a a时，a______ 7．绝对值等于4的数是______． 1．5______；21______； 2.______；______． 3 222．3的绝对值是______；绝对值等于3的数是______，它们互为________． 55
绝对值知识讲解
绝对值知识讲解 一、知识框架图 二、基础知识 1、绝对值的概念 （1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 （3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 （4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a ，总有a ≥0. 2、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a ，有： a （a ＞0） （1） 0（a=0） a -（a ＜0） a （a ≥0） （2） a -（a ＜0） a （a ＞0） （3） a （a ≤0） 这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（ ）”的作用，如125--=） （125--=415=-。由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后12-=（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。 3、利用绝对值比较两个数的大小 两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：
（1）先求出两个负数的绝对值； （2）比较这两个绝对值的大小； （3）写出正确的判断结果。 三、例题讲解 例1求下列各数的绝对值 （1）21；（2）31-；（3）4 34-；（4）331 分析：运用绝对值的意义来求解。 解：（1） 21=21；（2）31-=3131=--）（； （3）434434434=--=-）（；（4）3313=3 1 点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式，再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作3 1-=31-=31. 例2计算：（1）2.1--；（2）） （3---；（3）023+---. 分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。 解：（1）2.1--=－1.2；（2）） （3---=3-=3-；（3）023+---=1023=+-. 点评：去掉绝对值负号时，只管绝对值的数的性质，与绝对值外的负号无关，这一点一定要注意。 例3比较下列各组数的大小 （1）2413-和85-；（2）65-和7 5-；（3））（939+-和323-；（4）27和8- 分析：比较两个数的大小要结合前面的知识：0大于一切负数，正数大于0. 解：（1）∵24132413=-，24 158585==-， 又∵ 2413＜24 15 ∴2413-＞85- （2）∵=-6565，75-=7 5， 又∵65＞75，∴65-＜7 5-.
【学案】 绝对值的定义和性质
绝对值 学习目标: 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题的成功. 学习重点：绝对值的概念 学习难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 教学方法：学生自主探索 教学过程 一、学前准备 问题：如下图 小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线（填相同或不相同），他们行走的距离（即路程远近） 二、合作探究、归纳 1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，—10到原点的距离也是 到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对 . 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣ 2、练习 （1）式子∣-5.7∣表示的意义是 . （2）—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作 . （3）∣24∣= . ∣—3.1∣= ，∣—1 3 ∣= ，∣0∣= . 3、思考、交流、归纳 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 . 用式子表示就是： 当a是正数（即a>0）时，∣a∣= ； 当a是负数（即a<0）时，∣a∣= ； 当a=0时，∣a∣= . 4、随堂练习 P11第1、2、3大题
5、阅读思考，发现新知 阅读P12，你有什么发现吗？ 在数轴上表示的两个数，右边的数总要 左边的数 也就是：（1）正数 0，负数 0，正数大于负数. （2）两个负数，绝对值大的 . 三、巩固新知，灵活应用 1、例题 P13 2、比较下列各对数的大小：—3和—5； —2.5和—∣—2.25∣ 四、小结： 本节课的收获： 你还有什么疑惑？ 五、当堂清 1．______7.3=-；______0=；______75.0=+-． 2．______31=+；______45=--；______3 2=-+． 3．______510=-+-；______5.55.6=---． 4．______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．
初中绝对值知识
一、基础知积： 1、几何绝对值概念----在上，一个数到的距离叫做该数的绝 对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示的点 的距离 2、代数绝对值概念：---一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即： I a I = {a,(a > 0)0(a=0) 3、绝对值性质： (1)任何的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； (2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。 (3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数或相等。 (4)互为相反数的两个数的绝对值相等。 (5)正数的绝对值是它本身。 (6)负数的绝对值是它的相反数。 (7)0的绝对值是0。 4、绝对值其它性质： (1)任何一个数的绝对值都不少于这个数，也不少于这个数的相反数。
即：I a I> a; I a I> -a; ⑵若I a I = I b I 则a=b 或a=-b (3)I ab I = I a I * I b I ; I a/b I = I a I / I b I (b 工0) (4) I a I 2= I a2I =a2 (5) I a I - I b I绝对值基础知识讲解
绝对值(基础) 【学习目标】 1.掌握一个数的绝对值的求法与性质; 2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义; 3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4、 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题、 【要点梳理】 要点一、绝对值 1、定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|、 要点诠释: (1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值就是它本身;一个负数的绝对值就是它的相反数;0的绝对值就是0.即对于任何有理数a 都有: (2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数就是由符号与绝对值两个方面来确定的. 2、性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总就是正数或0. 要点二、有理数的大小比较 1、数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小、 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b. 2、法则比较法: 两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号 同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0 要点诠释: 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小. 3、 作差法:设a 、b 为任意数,若a -b ＞0,则a ＞b;若a -b ＝0,则a ＝b;若a -b ＜0,a ＜b;反之成立. 4、 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a b <,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反. 5、 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小、 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1.求下列各数的绝对值. 112-,-0、3,0,132??-- ??? (0)||0 (0)(0)a a a a a a >??==??-
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
绝对值优秀教案
《绝对值》教案 贵州省织金县三塘中学：程佳 一、教学目标 1、知识与技能 （1）、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。 （2）、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 2、过程与方法目标： （1）、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的 （2）、通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识； （3）、通过对“做一做”“议一议”“试一试”的交流和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法；通过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝 试评价两种不同方法之间的差异。 3、情感态度与价值观： 借助数轴解决数学问题，有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想。通过“做一做“议一议”“试一试”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。 二、教学重点和难点 理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。 三、教学过程： 1、教师检查组长学案学习情况，组长检查组员学案学习情况。（约5分钟） 2.在组长的组织下进行讨论、交流。（约5分钟） 3、小组分任务展示。（约25分钟） 4、达标检测。（约5分钟） 5、总结（约5分钟） 四、小组对学案进行分任务展示 （一）、温故知新: 前面我们已经学习了数轴和数轴的三要素，请同学们回想一下什么叫数轴？数轴的三要素什么？ （二）小组合作交流，探究新知 1、观察下图,回答问题: （五组完成）
绝对值问题的求解方法
绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0）
分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么
分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ，
整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。
绝对值
绝对值 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了有理数，认识了数轴，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。并初步体会到了数形结合的思想方法。 学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、学习任务分析 1．地位和内容 相反数的概念是学习绝对值知识的基础，绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。 本节课借助数轴引出相反数、绝对值的概念，并通过计算、观察、交流，发现绝对值的性质特征，利用绝对值来比较两个负数的大小。应让学生直观理解绝对值的含义，不要在绝对值符号内部出现多重符号和字母，多鼓励学生通过观察、归纳、验证，加深对绝对值的理解。 2．教学重点和难点 教学重点：理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。 教学难点：利用绝对值比较两个负数的大小。 3. 教学目标 (1)借助数轴，理解绝对值和相反数的概念 (2)知道｜a｜的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。 (3)能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小。 (4)通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。
三、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：合作交流，探索新知；第三环节：应用迁移，巩固提高；第四环节：总结反思，知识内化；第五环节：当堂检测，及时反馈；第六环节：拓展延伸，能力提升。 第一环节创设情境，导入新课 活动内容1： 3和-3有什么相同点与不同点？3/2与-3/2，5和-5呢？ 活动目的：提供几组数让学生进行比较，从而得出相反数的概念。并让学生理解消化相反数的概念。 活动内容2：点将游戏一。A同学任意说出一个有理数，再随意地点另一个同学B回答它的相反数。B同学回答后，也任意说出一个有理数，再点另一个同学C回答它的相反数……以此类推，约有一半的学生参与后，游戏结束。 活动目的：利用游戏的形式巩固相反数的概念。 活动内容3：将上面三组数用数轴上的点表示出来，每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系？ 活动目的：从形的角度进一步理解相反数。 实际效果：通过数、游戏、形多个方面让学生认识相反数，学生很快理解相反数，全体学生都能顺利的说出一个数的相反数。 第二环节合作交流，探索新知 活动内容：让学生观察图画，并回答问题，“两只狗分别距原点多远?” 1．引入绝对值概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数a的绝对值记作│a│．如│+3│=3，│-3│=3，│0│=0．
理解、掌握绝对值概念.
内容：绝对值课型：新授 学习目标: 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题的成功. 学习重点：绝对值的概念 学习难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 教学方法：引导学生自主探索 教学过程 一、学前准备 问题：如下图 小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线（填相同或不相同），他们行走的距离（即路程远近） 二、合作探究、归纳 1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，—10到原点的距离也是 到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对 . 这时我们就说10的绝对值 ．．．是10，—10的绝对值 ．．．也是10. 例如，—3.8的绝对值是3.8；17的绝对值是17；—61 3 的绝对值是 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣2、练习 1）、式子∣-5.7∣表示的意义是 . 2）、—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作 . 3）、∣24∣= . ∣—3.1∣= ，∣—1 3 ∣= ，∣0∣= . 3、思考、交流、归纳 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 . 用式子表示就是： 1）、当a是正数（即a>0）时，∣a∣= ； 2）、当a是负数（即a<0）时，∣a∣= ； 3）、当a=0时，∣a∣= . 4、随堂练习 P12第1、2大题（直接做在课本上） 5、阅读思考，发现新知 阅读P12问题—P13第12行，你有什么发现吗？ 在数轴上表示的两个数，右边的数总要左边的数。（1页） 也就是：1）、正数 0，负数 0，正数大于负数. 2）、两个负数，绝对值大的. 三、巩固新知，灵活应用
绝对值基础知识讲解
绝对值(基础) 【学习目标】 1掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2. 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题 . 【要点梳理】 要点一、绝对值 1.定义： 般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释: (1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数; 2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0. 要点二、有理数的大小比较 1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 .女口： a 与b 在数轴上的位置如图 所示，则a v b . 2. 法则比较法： 要点诠释： 禾U 用绝对值比较两个负数的大小的步骤： (1)分别计算两数的绝对值；(2)比较绝对值的大小；(3) 判定两数的大小. 3. 作差法：设a 、b 为任意数，若 a-b >0，则a >b ;若a-b = 0，则a = b ;若a-b v 0，a v b ;反之成立. a a a 4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若 1，则a b ；若 1，则a 二b ；若 1，则a ：：： b ；反之 b b b 0的绝对值 是0 .即对于任何有理数 a 都有: (2)绝对值的几何意义：一个数的 离，离原点的距离越远，绝对值越 |a| 才 0 (3) —个有理数是由符号和 (a 0)绝对值就是表示这个数的点到原点的距 (a= 0) 大；离原点的距离越近，绝对值越小. -a (a ：. 0)绝对值两个方面来确定的.
绝对值(基础)知识讲解
绝对值（基础） 【学习目标】 1．掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0 ，a ＜b ；反之成立． 4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b <，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1．求下列各数的绝对值． (0)||0(0)(0)a a a a a a >??==??-
绝对值教学设计说明
1.2.4 绝对值 【教学目标】 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题. 【教学重难点】 1、重点：绝对值的概念。 2、难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 【教法与学法】 1、教法指导：创设问题情境，引起学生学习兴趣，让学生通过自主合作，观 察、探究知识的产生、发展过程。利用数形结合思想，引入绝对值概念，形象生动。归纳有理数的绝对值时，利用分类讨论思想对正数、0，负数的绝对值进行总结。利用类比的方法，把数轴上数的大小与温度计中度数的高低进行比较，总结出负数比较大小的规律。讲解例题时，让学生先结合所学知识点进行自主探究，然后教师再规范、总结解题过程。 2、学法指导：通过小组交流、合作、自主探究知识的产生、发展过程，探索 各个知识点之间的联系，充分利用已学的数形结合思想，并体会分类讨论思想、类比思想方法，以此来加深理解绝对值的概念，以及负数比较大小的规律。 【探究课堂】 【教学准备】
教师：刻度尺，小黑板或多媒体，温度计图片 学生：刻度尺 【教学过程】 一、情境引入 问题 两辆汽车从同一处O 出发，分别向东、西方向行驶10km ，到达A 、B 两处如图，它们的行驶路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA 、OB 的长度）相同吗？ 学生讨论回答 教师总结：两辆车的行驶路线相反，它们行驶的路程相同都是10km 。 我们把上面这个过程看成一个数轴，那么就有数轴上表示-10和10的两个点到原点的距离都是10。 数轴上，一个点到原点的距离，是“形”的描述，那么对于“数”是表示一个数的绝对值。下面我们一起来学习今天的新知识——绝对值。 二、互动新授 问题1 如图数轴上有A 、B 、C 、D 、四个点， 西 东 -10 0 10 -2 -1 0 1 2 B A C D
绝对值知识讲解及例题
第三讲绝对值
【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）． A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4 【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C． （方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C． 【答案】C． 【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________． 【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6． 所以a＋b＝2＋（－6）＝－4． 【答案】－4． 知识点2有理数比较大小 （1）利用有理数的性质比较大小 ①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小. ②比较两个负数大小的步骤： a.分别求出这两个负数的绝对值； b.比较这两个绝对值的大小； c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．
（2）利用数轴比较大小 数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小． 【注意】 比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小． 【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）． A．0 B．C．－2 D． 【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小． （方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论． 【答案】C． 【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－，0，，－． 【解析】先把数2，－，0，，－分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论． 【答案】 由数轴可得，－＜－＜0＜＜2． 【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a． 【答案】－a＜－b＜b＜a． 1.互为相反数的两个数的绝对值_____. 2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.
绝对值定义
绝对值 几何意义 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值． 代数意义 正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0 互为相反数的两个数的绝对值相等 a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．|a|=a（a>0）|a|=-a（a<0）|a|=0 a= 0 思维点击 掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值． 掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答． 注意（1）任何一个数的绝对值均大于或等于0（即非负数）． （2）互为相反数的两数的绝对值相等；反之，当两数的绝对值相等时，?这两数可能相等，可能互为相反数 1. 如果|a|=4，|b|=3，且a>b，求a，b的值. 2.（1）对于式子|x|+13，当x等于什么值时，有最小值？最小值是多少？ （2）对于式子2-|x|，当x等于什么值时，有最大值？最大值是多少 3.阅读下列解题过程，然后答题： 已知如果两个数互为相反数,则这两个数的和为0,例如,若x和y互为相反数,则必有 x+y=0.现已知:｜a｜+a=0，求a的取值范围。 解：因为｜a｜+a=0，所以｜a｜与a互为相反数，所以｜a｜=-a ，所以a的取值范围是a 0 . 阅读以上解题过程，解答下题 已知：｜a-1｜+（a-1）=0，求a的取值范围. 4正式排球比赛，对所使用的排球的重量是严重规定的，检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记为正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表： +15 -10 +30 -20 -40 哪个排球的质量好一些（重量最接近规定重量）？ 1. 因为a>b，所以a = 4；b = 3或者-3； 2. （1）因为|x|>=0,所以|x|+13>=13,即x = 0时有最小值13； （2）同理，x=0时有最大值2； 3. 因为｜a-1｜+（a-1）=0，所以｜a-1｜=1-a >=0 所以a <=1 4. 由题目的要求可以看出应该找出绝对值最小的那个球，所以应该是-10 的那个球 已知a＜c＜0＜b，化简|b-c|-|b+c|+|a-c|-|a+c|-|a+b| 由已知,b-c>0,a-c<0,a+c<0,则 |b-c|-|b+c|+|a-c|-|a+c|-|a+b|=|b+c|-|a+b|+b-c-a+c+a+c=|b+c|-|a+b|+b+c; 若|b|>|c|,|b|>|a|,则原式=2c+b-a; 若|b|>|c|,|b|<|a|,则原式=3b+2c+a; 若|b|>|c|,则原式=a+b (1):|2x-3|+|3x-5|-|5x+1| 2):||2x-4|-6|+|3x-6| (2)-38；(2)0.15；(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；(5)a-2(a＜2)；(6)a-b
绝对值知识点及练习
绝对值知识点及练习 1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜a｜,读作“绝对值a”。 （2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.实数a的绝对值是：|a| ①a为正数时，|a|=a(不变) ②a为0时，|a|=0 ③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值) 任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。 2、实数的绝对值具有以下性质： (1)|a|大于等于0(实数的绝对值是非负实数); (2)|-a|=|a|(互为相反数的两实数绝对值相等); (3)-|a|小于等于a小于等于|a|; (4)|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b; (5)|a·b|=|a|·|b|; (6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0); (7)|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当a、b同号时，等式成立; (8)|a-b|大于等于||a|-|b||，当且仅当a、b同号时，等式成立; (9)a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。 特别提醒：（1）绝对值具有非负性，即|a|≥0； （2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数； （3）0是绝对值最小的有理数。 3、利用绝对值比较大小 (1)利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 比较的具体步骤： ①先求两个负数的绝对值； ②比较绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断． (2)几个有理数的大小比较 ①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小． ②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较． 4、利用绝对值解决实际问题 绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类： (1)判断物体或产品质量的好坏 可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法： ①求每个数的绝对值； ②比较所求绝对值的大小； ③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断． (2)利用绝对值求距离
绝对值的概念初一
绝对值的概念 1.一个数a 与原点的距离叫做该数的_______. 2.－|－76|=_______，－（－7 6）=_______，－|+31|=_______，－（+31）=_______， 3._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身. 4.a +b =0,则a 与b _______.5.若|x |= 51，则x 的相反数是_______. 6．如果|a |=|－7|，那么a =________. 比较大小： 1、 判断下列各式是否正确：(1)|- 31|＜41； (2) 32＜43-； (3)81＞-71 2、 比较下列每对数的大小： (1)-85与-83；(2)-113与-0 273；(3)-73与-94；(4)- 65与-1110；(5)- 3 2与-53； 绝对值的意义 1、 写出绝对值大于3而小于8的所有整数 2、 你能说出符合下列条件的字母表示什么数吗? (1)|a|=a ； (2)|a|=-a ； (3)x x =-1； (4)a ＞-a ； (5)|a|≥a ； (6)-y ＞0； (7)-a ＜0； (8)a+b=0 3．a 为何值时，下列各式成立? (1)|a |=a ； （2）|a |=－a ； （3）|a |≥a ； （4）|a |＜a ； （5）|a |=5； （6）|a |=－5. 4．（1）若a ＞3,则|a －3|=________;(2)若a =3,则|a －3|=________; (3)若a ＜3,则|a －3|=________. 5．若|m －1|=m －1,则m _______1. 若|m －1|>m －1,则m _______1. 若|x |=|－4|,则x =_______. 若|－x |=| 2 1-|,则x =_______. 若|a+1|+|b-a|=0，求a ，b ［例3］a 为何值时，下列各式成立? (1)|a |=a ； （2）|a |=－a ； （3）|a |≥a ；
初中绝对值知识
初中绝对值知识 一、基础知积： 1、几何绝对值概念----在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝 对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的 点的距离 2、代数绝对值概念：---一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即： ∣a∣=｛ a,(a﹥0) 0（a=0） 3、绝对值性质： （1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； （2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。 （3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数或相等。 （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。 （5）正数的绝对值是它本身。 （6）负数的绝对值是它的相反数。 （7）0的绝对值是0。 4、绝对值其它性质： （1）任何一个数的绝对值都不少于这个数，也不少于这个数的相反数。即：∣a∣＞a ; ∣a∣＞-a;
(2)若∣a∣=∣b∣则a=b或 a=-b （3）∣ab∣=∣a∣*∣b∣;∣a/b∣=∣a∣/∣b∣(b≠0) (4)∣a∣2=∣a2∣=a2 (5)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ 对于∣a+b∣＜∣a∣+∣b∣等号当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个0时等号成立。 对于∣a∣-∣b∣＜∣a∣+∣b∣等号当且仅当a，b异号或a，b 中至少有一个0时等号成立。 5、绝对值等式、不等式： （1）|a|×|b|=|ab| （2）|a|÷|b|=|a÷b|（b≠0） （3）a2=|a|2 这个性质一般用在含绝对值的一元二次方程中， 例：x2-3|x|+2=0，可以变成 |x|2-3|x|+2=0，(|x|-1)(|x|-2)=0，|x|=1或2，x=±1或±2（4）|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y| 由此可以得出推论|x|-|y|<=|x-y|<=|x|+|y|， 因为 |x|-|-y|<=|x+(-y)|<=|x|+|-y| 二、解含有绝对值不等式的基本思路：是去掉绝对值符号，使不等 式变为不含绝对值符号的一般不等式。而后其解法与一般不等式的解法相同。去绝对值符号的几种方法：
深度解析管综数学中的绝对值
深度解析管综数学中的绝对值 绝对值这一知识点是管综数学必考点，本文中，跨考教育管综教研室马老师讲从具体考点和历年真题两方面来深度解析绝对值。 一、考点分析 绝对值这部分的内容在历年管理类综合考试中都是以条件充分性判断题型出现的，分三个点来考查：定义、性质、三角不等式。 1）定义：绝对值的定义分代数和几何两种，代数定义主要体现了其非负性，这里常常用“整 体代换”的思想解题；几何定义主要体现了数轴上两点间的距离，在绝对值函数求 最值中有重要应用。 2）性质：绝对值的性质有○ 1对称性（a a -=）； ○ 222,a a a ==） ○3自比性（1010 x x x a a a x x x >?-≤≤?==?-
此题题干和条件中都是绝对值不等式，可考虑用绝对值的一些性质来求解 条件（1）：用反例法。假设3,3a b ==-，此时满足1a b +≤，但是31,31a b =>=>， 因此条件不充分 条件（2）：用反例法。假设3,3a b ==，此时满足1a b -≤，但是31,31a b =>=>， 因此条件不充分 条件（1）+（2）： 注意到条件（1）绝对值内部的a b +与条件（2）绝对值内部的a b -作和之后 为2a ，作差之后为2b ，则可用绝对值的三角不等式求解 2()()112a a b a b a b a b =++-≤++-≤+=，因此有1a ≤ 同理得，2()()112b a b a b a b a b =+--≤++-≤+=，因此有1b ≤ 条件（1）+（2）充分，此题选C 方法二： 此题题干和条件中都是绝对值不等式，可考虑先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后利用“不等式组同号可以相加，异号可以相减”的原理求解 条件（1）：用反例得此条件不充分； 条件（2）：用反例得此条件不充分 条件（1）+（2）： 将两个条件中的绝对值符号去掉，得到新不等式组()()11111121a b a b a b a b ?+≤-≤+≤??????-≤-≤-≤???? ，此时两个不等式同号，可以相加得222111a a a -≤≤?-≤≤?≤ 将不等式组（2）的左右两边同时(1)?-，得新的不等式组()() 111113a b b a -≤+≤???-≤-≤??，此时两个不等式同号，可以相加得222111b b b -≤≤?-≤≤? ≤ 因此条件（1）+（2）充分，选C 2011年10月真题 24.已知? ??<->=0,10,1)(x x x g ，221)(1)(++-++--=x x x x g x x f ，则)(x f 是与x 无关的常数 （1）01<<-x （2）21<