椭圆与双曲线知识点总结

椭圆与双曲线知识点总结

（一）椭圆

1.椭圆的定义

如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆

即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C

当a>c时表示

当a=c时表示

当a

第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0

2.椭圆的标准方程参数方程

（1）标准方程

（2）参数方程

3.椭圆的性质

（1）焦点在x

标准方程

x,y的范围

顶点焦点对称轴对称中心

长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越

准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P

（2）焦点在y轴上的椭圆

标准方程

x,y的范围

顶点焦点对称轴对称中心

长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越

准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)

4.椭圆系

（1）共焦点的椭圆系方程为

22

2

1

x y

k k c

+=

-

(其中k>c2,c为半焦距)

（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程

22

22

(0) x y

a b

λλ

+=>

(二) 双曲线

1.双曲线的定义

如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线

若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支

F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a

①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

(2) 若|P F1|-|PF2|=2a

①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

2.双曲线的标准方程

3.双曲线的性质

（1）焦点在x轴上的双曲线

标准方程

x,y的范围

顶点焦点对称轴对称中心

实半轴的长虚半轴的长焦距

离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越

准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)

（3）焦点在y轴上的双曲线

标准方程

x,y的范围

顶点焦点对称轴对称中心

实半轴的长虚半轴的长焦距

离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越

准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)

4.等轴双曲线

22(0)

x yλλ

-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x

=±③离心率为

5.共轭双曲线

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆

双曲线

22

22

1

x y

a b

+=的共轭双曲线是

6.双曲线系

（1）共焦点的双曲线的方程为

22

2

1

x y

k k c

+=

-

(0

（2）共渐近线的双曲线的方程为

22

22

(0) x y

a b

λλ

-=≠