椭圆与双曲线知识点总结

椭圆与双曲线知识点总结
（一）椭圆
1.椭圆的定义
如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆
即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C
当a>c时表示
当a=c时表示
当a<c时
第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。

定点是，定直是e是
2.椭圆的标准方程参数方程
（1）标准方程
（2）参数方程
3.椭圆的性质
（1）焦点在x
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
长半轴的长短半轴的长焦距
离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越
准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P
（2）焦点在y轴上的椭圆
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
长半轴的长短半轴的长焦距
离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越
准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)
4.椭圆系
（1）共焦点的椭圆系方程为
22
2
1
x y
k k c
+=
-
(其中k>c2,c为半焦距)
（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程
22
22
(0) x y
a b
λλ
+=>
(二) 双曲线
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a
①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2) 若|P F1|-|PF2|=2a
①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
（1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)
（3）焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)
4.等轴双曲线
22(0)
x yλλ
-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x
=±③离心率为
5.共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线
22
22
1
x y
a b
+=的共轭双曲线是
6.双曲线系
（1）共焦点的双曲线的方程为
22
2
1
x y
k k c
+=
-
(0<k<c2,c为半焦距)
（2）共渐近线的双曲线的方程为
22
22
(0) x y
a b
λλ
-=≠。