28.1.4圆的认识 课件 华师大版数学九年级下册

求证：PO平分∠BPD
B
E
O
若把上题改为：P C 是⊙O内一点， 直线APB，CPD A 分别交⊙O于A、 P B和C、D，已知 AB=CD ， F 结论还成立吗？
D
如图，⊙ O 的半径为 5 ，弦 AB 的长为 8 ， M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 的长的最小
值为____. 3 最大值为________. 5
垂径定理及其推论可概括成以下结论
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
A
B O

只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
你可以写出相应的命题吗?
D
C
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ 结论 ③④⑤ ②④⑤ 命题
O
D
B
N
M
O
C
A B N
探索二：
② MN⊥AB ③ AC=BC
①直线MN过圆心O ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论1:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧; .
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M
O
C
A B N
探索三：
①直线MN过圆心O ⑤弧AN=弧BN
② MN⊥AB ③ AC=BC ④弧AM=弧BM
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
推论2.
圆的两条平行弦所夹 的弧相等。
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挑战自我
1.两弦在圆心的同侧 2.两弦在圆心的两侧 3.一条弦经过圆心 E A A C
A
M└
●
B
O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D 平分(不是直径)弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
推论1:
(3)平分弦所对的 一条弧的直径,垂直平 分弦,并且平分弦所对 的另一条弧。
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推论1:
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平 分弦所对的两条弧;. (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直 平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
∴ MN过圆心是直径 ∴ MN平分CD
N
∴MN垂直平分CD
M C D
证明：
B
A
O
由AB∥CD可得： 弧AC=弧BD MN是AB的垂直平分线 则有： MN过圆心O是直径 弧AM=弧BM
N
∴ 弧AM－弧AC ＝弧BM－弧BD 即 弧CM＝弧DM
∴MN垂直平分CD
B
E
A
P
O F D
例：如图，P是 C ⊙O外一点，射 线PAB，PCD分 别交⊙O于A、B 和C、D，已知 AB=CD，
③AC=BC ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
二、垂 径定理 的推论
A
M
O
C
N
B
探索一：
结论：
①直线MN过圆心 ③ AC=BC
②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论1. (1)平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧。 A
M
一个圆的任意两 C 条直径总是互相平分， 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
A
作法： ⒈ 连结AB.
B
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. D
点E就是所求弧AB的中点。
变式一： 求弧AB的四等分点。
C m n
F
A
E
G
B
D
错在哪里？
●作AB的垂直平分线CD。
●作AT．BT的垂直
N E M
C G
平分线EF．GH
A
P
T
B
等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线。
F
H
D
本课内容：
垂径定理及其推论
垂径定理三种语言：
文字语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
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C
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
O
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ ⌒ AD=BD.
D
图形语言
几何语言
垂径定理：
①直线MN过圆心O ② MN⊥AB
的两条弧. 对的另一条弧.
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（错 ） （对 ）
（错）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行( 错
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （对 ）
讲解
例 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的 两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
C
20 E
25 25 24
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
EF有两解：15+7=22cm
15-7=8cm
已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，
MN是AB的垂直平分线。
求证：MN垂直平分CD。
M C
A O D
圆内平行弦 的垂直平分线是 B 互相重合的。
N
已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，
MN是AB的垂直平分线。
求证：MN垂直平分CD。
M C
A O
分析： 由AB∥CD， MN⊥AB
D
则有： 则有：
MN⊥CD
B MN是AB的垂直平分线
MN过圆心O是直径
由垂径定理，得
N
MN平分CD 所以：MN垂直平分CD
M C A O
证明： D ∵AB∥CD，MN⊥AB
B ∴MN⊥CD
∵ MN是AB的垂直平分线
●
└
O
●
O D
B
A
●
O
B D
B D C
C
└
F
推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
M C
A O D B 于是 弧AM＝弧BM， 弧CM＝弧DM 作直径MN垂直于弦AB ∵AB∥CD ∴直径MN也垂直于弦CD
∴弧AM－弧CM ＝弧BM－弧DM 即 弧AC＝弧BD N
C
例：平分已知弧AB
已知：弧AB 求作：弧AB的中点 E
如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F，
5 DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm
D A O E F C B
如图，在圆O中，已知AC=BD， 试说明：（1）OC=OD （2）AE= BF
O A C E D F B
︵
︵
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论1和推 论2,并且运用推论1等分弧。 ●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条 件,可推出什么结论 . 这是正确理解应用推论 1 的关键; ●基本几何作图,会通过作弧所夹弦 的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想 在这里的运用.
回味引伸
垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;
(2)直线MN垂直AB;
(3)直线MN平分AB;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB 中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个 结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作 进一步的推导,同学们课下不妨试一试.
C m E A n
B
变式二：你能确定
弧AB的圆心吗？
O D
你能破镜重
圆吗？
n
m
C
A
·
O
B
作弦AB．AC及它们的垂直平
分线m．n，交于O点；以O为圆 心，OA为半径作圆。
破镜重圆
A
m
n
C
·
O
B
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对