第5章 线性系统的频率响应分析法
自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
这时，求扰动输入下的误差传递函数 en(s) ，
先求 E(s) 0 C(s) 1GG（（s）s） N（s）
而
e（n s）
NE（（ss））
1
G（s） G（s）
则 ess（2 t） An e（n j）sin(t en( j))
幅频特性
相频特性
二.频率特性的物理意义及求解方法
R
ur
C uc
RC网络微分方程为:
优点:
(1).可以根据系统的开环频率特性判断闭环系 统的稳定性,而不必求解特征方程。
(2).很容易研究系统的结构,参数变化对系统性 能的影响,并可指出改善系统性能的途径,便于
对系统进行校正。
(3).提供了一种通过实验建立元件或系统数 学模型的方法。
(4).可以方便地设计出使系统噪声小到规定 程度的系统。
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
w? ?
450 W=1/T
1 W=0 w
对数幅频特性：L(w) 20lg 1 T 2w2 1
20lg T 2w2 1
当wT≥1时,L(w)≈-20lgwT
当wT≥1时,L(w)可用一条斜率为-20dB/dec的渐近 直线来表示。
当wT≤1时,L(w)≈0,是一条与0分贝线重合的直线。 两直线交于横坐标w=1/T的地方。
自动控制系统—— 第5章-1 频率特性及其表示法
7
(1)输入为 ui (t) sin t 相对输入，输出有相位差，幅度不同
8
(2)输入为 ui (t) sin 2t 输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变
9
(3)输入为 ui (t) sin 3t 输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定
2
引言
频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典 方法称为频域分析法 引入频域模型：频率特性函数
线性定常系统的数学模型： 时域模型： 常微分方程
复数域模型： 传递函数 频域模型： 频率特性函数
3
频域分析的内容: 1.频率特性及其表示:幅相曲线，Bode图 2.典型环节的频率特性：一阶环节，二阶环节 3.Nyquist稳定判据：基于幅相曲线、Bode图 4.稳定裕度：幅值稳定裕度，相位稳定裕度 5.频域指标：带宽、谐振频率、谐振峰值等
cs (t) Kce jt K ce jt
K c 和 K c 可以由留数计算得到
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
22
由于 G( j) A()e j()
G( j) 与 G( j) 是共轭的
所以 G( j) A()e j()
Kc
G( j，) A
2j
A 2j
A()e j()
Kc
G( j)A
2j
A 2j
A()e
j ( )
代入 cs (t) Kce jt K ce jt
第五章 频域响应法
第五章 频域响应法5-1 频率特性一． 频率特性的基本概念1. 所谓频率特性，即在零初始条件下，系统输入在正弦信号的控制下，其稳态输出C(t) 的被控制量信号的幅值A(ω)和相角ψ（ω）随r(t)信号的角频率ω变化的规律，记为G(j ω)。
G(j ω)=G(S)| s=j ω C(j ω) C(s)G(j ω)== R(j ω) R(s)| s=j ωb 0(j ω) m +b 1(j ω) 1+m +……+b 1-m (j ω)+b m G(j ω)=( j ω) n +a 1(j ω) 1-n +……a 1-n (j ω)+a n2、G(j ω)的数模表达式有两种标准式: （1）Nyquist 标准式：G(j ω)=︱G(j ω)︱e)(jw G j ∠=u(ω)+jv(ω)其中A(j ω)= ︱G(j ω)︱称为幅频特性，是ω的偶函数。
ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为相频特性，是ω的奇函数。
u(ω)=Re [G(j ω)]为实部； v(ω)=Im [G(j ω)]为虚部。
（2）Bode 表达式：L (ω)=20lg [A(j ω) ] 称为对数幅频，ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为对数相频。
二． 频率特性的图解表示法在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发研究。
现以RC 网络为例。
如图5-2。
其频率特性为G(j ω)=)(11jw T +（T=RC ）。
A(ω)= G(j ω)=2)(11TW +；ψ(ω)=-arctg(T ω)1.极坐标图----Nyquist图当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形成的轨迹,称Nyquist曲线（幅相频率特性曲线）简称幅相曲线即Nyquist图，是频率响应法中常用的一种曲线。
2、对数坐标图----Bode图对数频率特性曲线又称Bode曲线，包括对数幅频和对数相频两条曲线。
自动控制原理第五章-频率响应法
Im
（K，0°）
0
Re
图5.5 比例环节乃氏图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
L( )
0
( )
dB K>1
K=1 K<1
lg
0
lg
图5.6 比例环节的Bode图
作用：比例环节只改变原系统的幅值（K＜1，降低；K ＞ 1， 抬高），不改变原系统的相位。
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
➢ 乃氏图的绘制—— “三点法”
G(jω)= A(ω)ejφ(ω) →
A(ω)：起止位置 φ(ω) ：起止方向
起点：ω→0，[A(0),φ(0)] 终点： ω→∞，[A(∞),φ(∞)] 与负实轴的交点：令φ(ω) =-180°→ ωx
相位截止频 率或相位剪
切频率
则交点为[A(ωg)，-180°]
注意：由φ(0) → φ(∞)的变化范围可判断乃氏图所在 的 象限。
2 ( )
1 ( )
图5.8 积分、微分环节Bode图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
3. 纯微分环节
G(s) s
G( j) j e j90
传递函数与积分 环节互为倒数
Im
A()
（1）乃氏图 ( ) 90
起点：[0, 90°]；终点： [∞, 90°]
0
Re
图5.9 微分环节乃氏图
I ( )
T 1 2T
2
联立消去ω可以得到实部和虚部 的关系式：
[R( ) 0.5]2 [I( )]2 0.52
故，惯性环节的乃氏图是圆心为点（0.5，j0）上，半径为 0.5的半园（ω=0~∞）。
（2）Bode图
自动控制理论_哈尔滨工业大学_5 第5章线性系统的频率分析_(5.1.1) 5.1频率特性的概念
如果线性定常系统的输入r(t)和输出c(t)存在傅里叶变换， 频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。
G(
j
)
C( R(
j) j)
其中 R( j) r(t)e jtdt C( j) c(t)e jtdt
经过傅氏反变换
c(t)
U1m
1
1 j
sin(t
1
1
j
)
上式表明： 对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为 Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
Ye j Xe j0
Y X
e j
A()e j ()
后于输入的角
度为：
φ=
B A
360o
②该角度与ω有
关系 ,为φ(ω)
③该角度与初始
角度无关 。
二、频率特性的定义
例：如图所示电气网络的传递函数为
U2 (s) 1 Cs 1 1
U1(s) R 1 Cs RCs 1 s 1
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t
其拉氏变换为：
1
2
G( j)R( j)e jtd
系统的单位脉冲响应为：
g (t )
1
2
G( j)e jt d
本节小结
1. 控制系统频率特性的基本概念。 2. 频率特性与传递函数的关系。
频率特性有明确的物理意义，可以方便地用实验方法测定， 并用于系统的分析和建模。
频率特性主要适用于线性定常系统。
线性系统的频率响应分析
实验名称：线性系统的频率响应分析系专业班姓名学号授课老师预定时间实验时间实验台号一、目的要求1．掌握波特图的绘制方法及由波特图来确定系统开环传函。
2．掌握实验方法测量系统的波特图。
二、原理简述1．频率特性当输入正弦信号时，线性系统的稳态响应具有随频率( ω由0 变至∞) 而变化的特性。
频率响应法的基本思想是：尽管控制系统的输入信号不是正弦函数，而是其它形式的周期函数或非周期函数，但是，实际上的周期信号，都能满足狄利克莱条件，可以用富氏级数展开为各种谐波分量；而非周期信号也可以使用富氏积分表示为连续的频谱函数。
因此，根据控制系统对正弦输入信号的响应，可推算出系统在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
2．线性系统的频率特性系统的正弦稳态响应具有和正弦输入信号的幅值比和相位差随角频率（ω由0 变到∞) 变化的特性。
而幅值比和相位差恰好是函数的模和幅角。
所以只要把系统的传递函数，令，即可得到。
我们把称为系统的频率特性或频率传递函数。
当由0 到∞变化时，随频率ω的变化特性成为幅频特性，随频率的变化特性称为相频特性。
幅频特性和相频特性结合在一起时称为频率特性。
3．频率特性的表达式(1) 对数频率特性：又称波特图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线，是频率响应法中广泛使用的一组曲线。
这两组曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图。
对数频率特性图的优点：①它把各串联环节幅值的乘除化为加减运算，简化了开环频率特性的计算与作图。
②利用渐近直线来绘制近似的对数幅频特性曲线，而且对数相频特性曲线具有奇对称于转折频率点的性质，这些可使作图大为简化。
③通过对数的表达式，可以在一张图上既能绘制出频率特性的中、高频率特性，又能清晰地画出其低频特性。
(2) 极坐标图(或称为奈奎斯特图)(3) 对数幅相图(或称为尼柯尔斯图)本次实验中，采用对数频率特性图来进行频域响应的分析研究。
实验中提供了两种实验测试方法：直接测量和间接测量。
直接频率特性的测量用来直接测量对象的输出频率特性，适用于时域响应曲线收敛的对象（如：惯性环节）。
自动控制理论第四版夏德钤翁贻方第五章笔记
第5章线性系统的频域分析频域分析法是一种图解分析方法，其特点是可以根据系统的开环频率特性去判断闭环控制系统的性能，并能较方便地分析系统中的参量对系统暂态响应的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。
一、频率特性1.基本概念（1）定义频率特性是将传递函数中的s以j代替。
当电路中的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于。
（2）分类①幅频特性：输出信号的幅值与输入信号幅值之比；②相频特性：输出信号的相角与输入信号相角之差。
2.频率特性的图形表示（1）极坐标图①定义极坐标图是指在平面上，以横坐标表示，纵坐标表示，采用极坐标系的频率特性图，又叫做奈奎斯特图。
②表达式可以分为实部和虚部，即（2）伯德图①定义伯德（Bode）图是指将频率特性化成对数坐标图的形式，又叫做对数坐标图。
②表达式对数幅值表达式为，单位为dB。
③优点利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并且可以用简便的方法绘制近似的对数幅频特性，从而使绘制过程大为简化。
3.线性定常系统的频率特性（1）定义频率特性是指，它反映了正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号之间的关系。
（2）分类①幅频特性：系统稳态输出信号与输入正弦信号的赋值比；②相频特性：系统稳态输出信号对输入正弦信号的相移。
二、典型环节的频率特性1.比例环节（1）比例环节的频率特性为其特点是输出能够无滞后、无失真地复现输入信号。
（2）比例环节的对数幅频特性和相频特性为（3）比例环节的伯德图如图所示（K>1的情况）。
2.惯性环节（1）惯性环节的频率特性为（2）惯性环节的对数幅频特性和相频特性为式中，。
惯性环节的幅频特性随着角频率的增加而衰减，呈低通滤波特性。
而相频特性呈滞后特性。
3.积分环节（1）积分环节的频率特性为（2）积分环节的对数幅频特性和相频特性为它的幅频特性与角频率成反比，而相频特性恒为，即。
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
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2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
2
引例：共振与谐振
索桥：美国原塔科马海峡悬索大桥垮塌事件 回忆生活中的例子： 秋千？蹦床？军队过桥？
收音机：调幅收音机载波频率
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第5章 线性系统的频率响应分析法
3
一阶系统的正弦响应
X (s)
x(t) Asin t
K Ts 1
y(t) 0.5sin(2t 45)
M ym 0.5 1 L 20 lg 1 12(dB)
xm 2 4
4
解释1：系统响应振幅衰减为激励振幅的四分
之一或衰减12分贝。
y
x
(45) 15
60
6
s
解释2：系统响应比激励滞后60°或相移60°，或者响应比激励滞后π/6秒。
2n n2 2
-20 180
135
90
φ(ω) (deg)
角频率处幅值误差
45
40dB/dec ξ=1
ξ=0.1
ξ=1 ξ=0.1
L( n ) 20 lg 2
0
-2
-1
0
1
2
10
10
10
10
10
ω (rad/sec)
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第5章 线性系统的频率响应分析法
◆二阶微分振荡环节 G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1
L() 20lg
(1
2 n2
)2
(2
n
) 280
60
04,0(lg(/nn)),(
n
)
L(ω) (dB)
40 20
0
(
)
tg
1
M
ym xm
1 1
放大 衰减
幅值的分贝表示→ L
20 lg
M
0 0
放大 衰减
◆相位差（相移）
y
x
0 0
超前 滞后
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
8
例5.1 频率响应的计算与解释
x(t) 2sin(2t 15)
j (t G ( j ))
)
j2
AG( j) sin(t G( j))
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
11
频率响应与正弦传递函数
系统的频率响应：
幅值特性 相角特性
M ym G( j) M ()
xm
y x G( j) ()
5
激励与正弦稳态响应的比较
x(t) Asin t
K Ts 1
yss (t)
KA sin(t ) 2T 2 1
比较激励与正弦稳态响应，总结规律： 1、频率：相同，都是ω。
2、振幅：不同，相差一个倍数
M ym
K
xm 2T 2 1
3、相位：不同，相差一个角度
(t ) t tg1(T )
时间t (sec)
2019年12月2日星期一
y(t)
6
8
φ(ω) (deg)
-20 0
-90 -180 -270 -360 -450 -540 -630
-1
10
第5章 线性系统的频率响应分析法
0
10 ω (rad/sec)
1
10
22
由基本环节描述的一般系统
基本环节串联形式描述的一般系统为
n
G(s) Gi (s) i 1
为此，定义系统的正弦传递函数为：
G( j) G(s) s j
传递函数
2019年12月2日星期一
正弦传递函数
第5章 线性系统的频率响应分析法
频率响应
12
例5.2：传递函数的解读
已知：
G(s)
1 sT1 1 sT2
, (T1,T2
0)
于是有：M () G( j)
1 2T12 1 2T22
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
16
积分和微分环节的Bode图
Magnitude (dB)
◆积分环节 G(s) 1/ s ◆微分环节 G(s) s
L() 20lg ,() 90 L() 20lg ,() 90
Bode Diagram 20
A
(s j)(s j)
n
num (s pi )
i 1
a
b
n
ci
s j s j i1 s pi
稳态响应 Ys (s) 暂态响应 Yh (s)
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
10
正弦稳态响应的一般性求解
Ys (s)
s
a
j
0, (T 1)
0
φ(ω) (deg)
20 lg
T
, (T
1)
-30
-45
() tg1T
-60
1/T -20dB/dec
-90
-2
-1
0
1
2
10
10
10
10
10
ω (rad/sec)
思考：参数T变化时频率响应曲线会怎样变？
2019年12月2日星期一
2
(s
/ n )
1
L() 20lg
(1
2 n2
)2
(2
n
)220
0
ξ=0.1
0, ( n ) 40lg( / n
),(
n
)
(
)
tg
1
2n n2 2
L(ω) (dB)
-20
ξ=1
角频率ω -40
s
b
j
留数法求待定系数：
a lim Y (s)(s j) A G( j), b a A G( j)
s j
j2
j2
系统的正弦稳态响应：
ys (t)
A G( j)e jt
j2
A G( j)e jt
j2
A G( j
e e j (t G( j ))
Bode Diagram 20
10
15
Magnitude (dB)
10
0
-10
20dB/dec 5 6dB/oct
0
-20
-5
-89
91
-89.5
90.5
Phase (deg)
-90
90
-90.5
89.5
-91
89
-1
0
10
10
1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
思考：横轴增大10倍频时，纵轴会变化多少？
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
17
Phase (deg)
一阶惯性环节的Bode图
◆一阶惯性环节
角频率（转折频率）
20
L(ω) (dB)
G(s) 1 sT 1
0
-3
-20
L() 20 lg 2T 2 1
-40
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
9
正弦响应的一般情况
X
(s)
A s2 2
Y (s) G(s) X (s) G(s)
Ys (s) Yh (s)
已知：
G(s)
Num , Den Den
n i 1
(s
pi ), Re( pi ) 0
Y (s)
()
G(
j)
tg 1T1
tg 1T2
若T1>T2，有 M () 1,() 0 ，该环节有 超前、放大作用。
若T1<T2，有 M () 1,() 0 ，该环节有 滞后、衰减作用。
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
13
例5.3：频率响应的图示KΒιβλιοθήκη Y (s)Ts 1
y(t) ?
Y(s) K X (s)
KA
sT 1
(sT 1)(s2 2 )
y(t)
KAT 2T 2 1
et
/
T
暂态响应
KA sin(t ), tg1(T ) 2T 2 1
稳态响应
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
6
频率响应的概念
◆振幅比 M ym K
xm 2T 2 1
振幅比与激励振幅无关，反映线性系 统的比例性；随频率变化，又叫幅频特性、 幅值特性或动态增益。
◆相位差 (t ) t tg 1(T )
第5章 线性系统的频率响应分析法