带电粒子在磁场中运动(周期性)

带电粒子在磁场中运动
（周期性）
1．自由电子激光器原理如图所示，自由电子经电场加速后，从正中央射入上下排列着许多磁铁的磁场区域，相邻两磁铁相互紧靠且极性相反．电子在磁场力作用下 “扭动”着前进，每“扭动”一次就会发出一个光子（不计电子发出光子后能量损失），两端的反射镜使光子来回反射，最后从透光的一端发射出激光
若加速电压U =1.8×104V ，电子质量m =9.0×10-31kg ，电子电量e =1.6×10-19C ，每对磁极间
的磁场可看作是匀强磁场，磁感应强度B =9.0×10-4T ，每个磁极左右宽l 1=0.30m ，垂直纸面
方向长l 2=1.0m ．当电子从正中央垂直磁场方向射入时，电子可通过几对磁极？
2．在受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子的运动束缚在某个区域内。

现有一个环形区域，其截面内圆半径R 1=3
3m ，外圆半径R 2=1.0m ，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（如图所示）。

已知磁感应强度B ＝1.0T ，被束缚带正电粒子的荷质比为q /m ＝4.0×107C/kg ，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用． ⑴若中空区域中的带电粒子由O 点沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v o. ⑵若中空区域中的带电粒子以⑴中的最大速度v o 沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从刚进入磁场某点开始到第一次回到该点所需要的时间t ．
3．如图所示，在半径为R 的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C 与平行金属板M 、N 相通。

两板间距离为d ，两板与电动势为E 的电源连接，一带电量为－q 、质量为m 的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C 点正下方紧靠N 板的A 点，经电场加速后从C 点进入磁
场，并以最短的时间从C 点射出。

已知带电粒子与筒壁的碰
撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。

求： ⑴筒内磁场的磁感应强度大小；
⑵带电粒子从A 点出发至重新回到A 点射出所经历的时间。

4如图所示，ABCDEF 是一边长为L 的正六边形盒，各边均为绝缘板，盒外有方向垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．在盒内有两个与AF 边平行的金属板M 、N ，且金属板N 靠近盒子的中心O 点，金属板M 和盒子AF 边的中点均开有小孔，两小孔与O 点在同一直线上．现在O 点静止放置一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计A B C
M N
E d -q ,m R
粒子的重力)．
(1)如果在金属板N 、M 间加上电压U NM =U 0时，粒子从AF 边小孔射出后直接打在A 点，试求电压U 0的大小．
(2)如果改变金属板N 、M 间所加电压，试判断粒子从AF 边小孔射出后能否直接打在C 点．若不能，说明理由；若能，请求出此时电压UNM 的大小．
(3)如果给金属板N 、M 间加一合适的电压，粒子从AF 边小孔射出后恰好能以最短时间回到该小孔(粒子打在盒子各边时都不损失动能)，试求最短时间．
5．如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。

一个带负电荷的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经
过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？
参考答案：
1．答案：
（1）每个激光光子的能量E =h υ ①
设该激光器每秒发射n 个光子，则
P nE = ②
由 ①②联立得 2710n = ③
（2）设电子经电场加速获得的速度为v ，由动能定理可得
212Ue mv = ④ 电子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为R ， 2v evB m R
= ⑤ s ，如图所示，由几何关系可得 221s R R l =-- ⑥
通过的磁极个数 252l n s
== ⑦
2．（1）22221)(r R r R -=+ 3
1=r m r
v m B qv 200= s m v /1033.170⨯= (2)如图3
,31πθθ===r R tg ，带电粒子必须三次经过磁场，才会回到该点 在磁场中的圆心角为π3
4，则在磁场中运动的时间为 s Bq
m T T t 711014.342323-⨯===⨯=π 在磁场外运动的时间为s v R t 70121023323-⨯=⨯
= 则 s t t t 7211074.5-⨯=+=
3．解、（1）带电粒子从C 孔进入，与筒壁碰撞2次再从C 孔射出经历的时间为最短．
由 qE ＝12
mv 2 粒子由C 孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为
v ＝2qE m
由 r ＝mv qB 即R cot30°＝mv qB
得 B ＝1R 2mE 3q
（2）粒子从A →C 的加速度为
a ＝qE ／md
由 d ＝at 12／2，粒子从A →C 的时间为
t 1＝2d a =d 2m qE
粒子在磁场中运动的时间为
t 2＝T ／2＝πm ／qB
将（1）求得的B 值代入，
得 t 2＝πR 3m 2qE
求得 t ＝2t 1＋t 2＝
m qE （22d +32πR ）- 4.(1) 依题意，R=L/4
由qvB=mv 2/R
qU 0=202
1mv 得U 0=m
L qB 322
2 (2)设AF 中点为G ，连接GC ，作其垂直平分线，与AF 延长线交点即为圆心
由相似三角形得R ’=O ’G=13L/4
qvB=mv 2/R ’
q=202
1mv ∴U NM =m
L qB 3216922 (3)由于粒子在磁场中运动周期T=qB
m π2，T 与速率无关 粒子撞击BC 中点和DE 中点后回到G,用时最短
圆周半径R ”=3L/2
得到最短时间t=3360
300⨯T =qB m π5 5解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v ，交替地在xy 平面内B 1与B 2磁场区域中做
匀速圆周运动，轨道都是半个圆周。

设粒子的质量和电荷量的大小分别为m 和q ，圆周运动的半径分别为1r 和2r ，有
得 1
1qB m r υ= 22qB m r υ=
现分析粒子运动的轨迹.如图所示，在xy 平面内，粒子先沿半径为r 1的半圆C 1运动至y 轴上离O 点距离为12r 的A 点，接着沿半径为2r 的半圆1D 运动至O 1点，OO 1的距离
)(212r r d -=
此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y 轴出发沿半径为r 1的半圆和半径为r 2的半圆回到原点下方的y 轴），粒子的y 坐标就减小d 。

设粒子经过n 次回旋后与y 轴交于OO n 点，若OO n 即nd 满足nd =2 r 1
则粒子再经过半圆1+n C 就能经过原点，式中n ＝1，2，3，……为回旋次数. 由③④式解得121+=n n r r n ＝1，2，3，…
联立①②⑤式可得1B 、2B 应满足的条件：
1
21+=n n B B n ＝1，2，3，…。