心理统计学第四章 差异量数

95.21
98
1739
91.53
134 131
1641 1507
86.37 79.32
100 PR
[Fb
f (X
Lb)]
125
1376
72.42
N
i
149
1251
65.84
136
1102
58.00
134 126
966 832
50.84 43.79
x 82时，
138 139 147
706 568 429
1.67
3.分组数据的标准差和方差（了解）
方差：s2
f
Xc X
f
2
标准差：S
2
f Xc X
f
练习：学生创造性思维成绩分布表，求标准差
第1行 第2行 人数f 第3行 Xc 第4行 f Xc 第5行 Xc-M 第6行 (Xc-M)2 第7行 f(Xc-M)2
40-44 35-39 30-34 25-29 20-24
37
32
27
22
17
—
第4行
d
3
2
1
0
-1
-2
—
第5行
d2
9
4
1
0
1
4
—
第6行
fd 3
14
3
0
-8
-4
8
第7行
fd2 9
28
3
0
8
8
56
把结果带入公式
S fd2 fd2 f i f
56 82 32 5 1.30 5 6.50
32
4.总标准差的合成
ST2
Ni Si2 Ni
73
71.5—74.5 |||| ||||
69---
70
68.5—71.5 |||| ||
66---
67
65.5—68.5 |||
63---
64
62.5—65.5 |
60---
61
59.5—62.5 |
上限以下的累加次数
次数f
实际累加 相对累加 频数p/N 次 数 次 数
2
0.02
100
1
3
0.03
450
合计
2500
2500
2500
均数
500
500
500
,
甲乙 丙
第四章 差异量数
差异量数： 表示一组数据的差异情况或离散程度的量数； 反映数据分布的离中趋势； 描述事物差异性的表现。 差异量越小，平均数的代表性越好。 差异量越大，平均数的代表性则差。
第一节 全距与百分差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用 第四节 差异量数的选用
37.16 29.89 22.58
1809 PR＝
82
80
5
51
100
151
282
14.84
1900
98
131
6.89
＝96.28
26
33
1.74
7
7
0.37
第二节 平均差、方差与标准差
一、平均差 1.含义：原始数据与平均数绝对离差的平均值。 2.符号：A.D.或者M.D.
Xi X
Lb=49.5，Fb=138，i=5，f=8
Lb=14.5，Fb=7， i=5，f=9
（4）代入公式计算P90 ，P10
P90
49.5
141.3 138 8
5
51.56
P10
14.5 15.7 7 9
5
来自百度文库
19.33
（5）计算P90-P10=51.56-19.33=32.23
课堂练习
10 4.86
课堂练习：采用原始数据计算
x 编号
X2
1 4 16
2 5 25
3 7 49
4 4 16
5 6 36
6 8 64
36 226
解： 1.先对原始数据求和：
X 36
2.再对原始数据平方求和：
X 2 226
3.把结果带入公式
s2
X N
2
X N
2
226 6
36 6
2
第一节 全距与百分差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用 第四节 差异量数的选用
例题
例：设甲、乙、丙三人，做四级英语模拟试题5套得分 结果如下：
编号
甲
乙
丙
1 560 520 510
550
2 540 510 505
3 500 500 500
500
4 460 490 495
5 440 480 490
i=10.2不是整数, 向上取整,所以第85百分位数对应的 是第11项, 其值为2630。 （3）i=(50/100) 12=6，因是整数，第50百分位 数是第6项和第7项的平均值,(2390+2420)/2=2405。
2.分组数据计算公式：
p N Fb
Pp Lb 100
i
f
Pp—第p个百分位数
3.百分等级的公式： 可以通过百分位数公式推导而出
PR 100 [Fb f ( X Lb) ]
N
i
分数分组
908580757065605550454035302520151050-
次数
累积次数 累积百分数
13
1900
100.00
27
1887
99.32
课堂练习
51
1860
97.89
70
1809
88
86.5—89.5 |||| |||
84---
85
83.5—86.5 |||| |||| |
81---
82
80.5—83.5 |||| |||| ||||||
78---
79
77.5—80.5 |||| |||| ||||||||
75---
76
74.5—77.5 |||| |||| ||||
72---
计算上例中P75，P25
二、四分位差
1.四分位数可视为百分位数的特例，用Q来表示。 2.P25,P50 , P75把数据分成四等份，所以称为四分位数。 P25（第一个四分位，Q1）； P50（第二个四分位，Q2）； P75 （第三个四分位，Q3）；
3. 四分位差是百分位差特例: （P75-P25）/2=（Q3-Q1）/2。 4.实质：反映了中间50%数据的离散程度。
四分位差实质反映中间50%数据的离散程度
四分位差越小中间50% 数据越集中
四分位差越大中间50% 数据越离散
Q1 Q2 Q3
Q1 Q2 Q3
根据百分位数的计算公式，推导Q1Q3的计算 公式
p N Fb
Pp Lb 100
i
f
三、百分等级
1.含义：是指某个数据在整个数据中所处的百分位置。 2.作用：可以表示任何一个分数在该团体中的相对位
98
0.98
4
0.04
95
0.95
8
0.08
91
0.91
11
0.11
83
0.83
17
0.17
72
0.72
19
0.19
55
0.55
14
0.14
36
0.36
10
0.1
22
0.22
7
0.010.+070.01=0.0122
0.12
3
0.03
5
0.05
1
0.01
2
0.02
1
0.01
1
0.01
∑f=100 1
据分布中全部数据个数的一定百分比，符号为Pp。 如：P75=90，即百分位数为90，实际指的是在这组数
据中90分以下的数据包含了整个数据的75%。 又如： P25=60，即百分位数为60，实际指的是在这
组数据中60分以下的数据包含了整个数据的25%。
1.未分组数据百分位数的求法 第一步：从小到达排列原始数据。 第二步：计算位置指数i。i=（p/100）n， n为项数，
解：
S f m X 2 f
1350 42.1875 6.50 32
分组数据标准差计算的便捷式
S fd2 fd2 f i f
学生创造性思维成绩分布表
第1行
40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19
第2行 人数
1
7
3
11
8
2
32
第m3行 组中值 42
Nidi2 ; ST
Ni Si2
N
i
d
2 i
Ni
ST2为总方差; ST为总标准差 Si为各小组标准差 Ni为各小组数据个数
di XT X i ( XT总平均数，X i各小组的平均数)
例题4-4：
在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平 均数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。
班级 1 2 3
Lb—百分位数所在组的精确下限
f—百分位数所在组的次数
Fb—小于Lb的各组次数的和
N—总次数
i—为组距
例题4-1 计算百分位差P90—P10
组别
65～ 60～ 55～
50～ 45～ 40～ 35～ 30～ 25～ 20～ 15～ 20～
f
1 4 6
8 16 24 34 21 16 11 9 7
（3）代入方差和标准差的公式，计算结果：
s2 x2 10 1.67 s s2 1.67 1.29 N6
课堂练习
x x x x x 2
73
-6
36
87
8
64
X x x 2 236
83
4
16
80
1
1
77
-2
4
79
0
0
75 -4
16
78
1
1
72 -7
49
86
7
49
S x x2 N 236 23.6
二、方差与标准差
1.含义: （1）方差：是离均差平方的算术平均数，表示一列
数据平均差距的平方 。 符号：样本方差— s2 总体方差—σ2 (2)标准差就是方差的算术平方根，表示一列数据的
平均差距。 符号：样本标准差—s、 总体标准差—σ
2.未分组数据计算公式
方差：s2
X X N
第一节 全距与百分位位差
一、全距 定义 ：是一列数据中最大数与最小数的差距，又称
极差。公式：R=Xmax-Xmin 特点： 1.是说明数据离散程度最简单的统计量； 2.不能充分利用数据信息； 3.不稳定，不可靠，也不灵敏。
1,2,3,4,5,6数列的全距
二、百分位差
（一）百分位数（Percentile） 百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数
15-19
1
7
3
11
8
2
32
42
37
32
27
22
17
—
42
259
96
297
176
34
904
13.75
8.75
3.75 -1.25
-6.25
-11.25
0
189.062 76.562 14.062 1.562 39.062 126.562 —
189.062 535.93 42.187 17.187 312.500 253.125 1350.00
Xi
A.D.
n
n
A.D. - - - - - - - - - 平均差
Xi X - - - - - - - - - 离均差
例如计算下列数据的平均差 16,18,20,22,17 先算平均数
3.特点： 较好反映了数据分布的离散程度； 平均差是绝对值，使用受到限制； 属于低效的差异量数。
向上累加次数
157 156 152 146
138 122 98 64 43 27 16
7
解：（1）先确定P90，P10的位置： 157*（90/100）=141.3; 157*（10/100）=15.7
（2）确定P90，P10所在区间：
P90在“50～”这组，P10在“15～”这组
（3）确定公式中的符号：
5.方差、标准差的性质和意义 （1）性质 每个观测值加一个常数C，标准差不变。 每个观测值乘一个常数C，新数据标准差为原标准差
人数 42 36 50
平均数 标准差
103
16
110
12
98
17
计算过程
班级 n X
1 42 103
2 36 110
3 50
98
74
—
S
d X X t d 2 X Xt 2
16
0.02 0.000004
12
3.02
9.1204
17
5.02 25.2004
—
—
—
X 42103 36110 5098 103.02 42 36 50
NiSi2 42 162 36 122 50 172 30386 Nidi2 42 103.2 1032 36 103.2 1102 50 103.2 982
0.01681753.9344 1260.02 3013.971
ST
Ni Si2 Nidi2 Ni
30386 3013.971 260.94 16.15 42 36 50
置。 例如：某人考试成绩的百分等级PR=80，就意味着他
的成绩比约79%的人要好，比约19%的人要差。
百分等级的编制过程
精确
分组区间 组中值Xc 上下限
登记
次数
96---.
97
95.5—98.5 ||
93---
94
92.5---95.5 |||
90---
91
89.5—92.5 ||||
87---
2
x2
N
标准差：S
XX
2
x2
N
N
利用原始数据计算
方差：s2
X
N
2
X
N
2
标准差：S
X
N
2
X
N
2
例题4-2
计算6、5、7、4、6、8这一组数据的方差和标准差。 解: （1）先计算平均数：
X (6 5 7 4 6 8) 6 6
（2）求离均差的平方和：
x2 (6 6)2 (5 6)2 (7 6)2 (4 6)2 (6 6)2 (8 6)2 10
i为所求的百分位的位置。 第三步：若i不是整数，将i向上取整；若i是整数，则
第p百分位数是第i项与第（i+1）项数据的平均值。
例题
有12个职员薪金的数据，求第85和第50百分位数。 解：（1）先排序： 2210 2225 2350 2380 2380
2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 （2） i=(p/100)n=(85/100) 12=10.2。由于