高数下册习题答案4

x®
p 2
cos 3 x = -3 ; cos x
7、曲线 f ( x ) = arctan x - x 在区间 ( -¥, +¥ ) 上单调减少; 8、方程 x + x + x - 1 = 0 在区间 ( 0,1) 内至少有一个实根；
3 2
9、曲线 y = e 10、曲线 y =
- x2
在区间 [ 0, +¥ ) 上是上凸的；
5
令 y¢ = 2 ( x - 3)( x + 1) = 0 ,解得 x1 = -1, x2 = 3 ,把定义域 R 分成三个子区间
( -¥, -1) , ( -1,3) , ( 3, +¥ ) ,
当 x Î ( -¥, -1) , y¢ > 0 时, ( -¥, -1) 是函数的单调增区间; 当 x Î ( -1,3) , y¢ < 0 时, ( -1,3) 是函数的单调减区间; 当 x Î ( 3, +¥ ) , y¢ > 0 时, ( 3, +¥ ) 是函数的单调增区间; （2） y = x + 解 由
x ln ç 1- 2 ÷ 1 ö æ lim ç1 - 2 ÷ = lim e è x ø = 1 x ®¥ è x ø x ®¥ x æ 1 ö
Fra Baidu bibliotek于是
（11） lim (sin x) = lim+ e +
x x ®0 x ®0
x ln sin x
；
其中
cos x 2 ln sin x sin x = lim x cos x lim x ln sin x = lim = lim x ® 0+ x ® 0+ 1 x ® 0+ 1 x ® 0+ sin x - 2 x x 2 x cos x - x 2 sin x = lim =0 x ® 0+ cos x
y = x2 + 1
C.
y=
1 -x x
D. ） ；
y = x -1
18、函数 y = x (1 - x ) 在区间 [ 0,1] 上满足罗尔定理的 x = （ C
1
A. 0
B.
1 3
C.
1 2
D. 1 ）; D.
19、下列函数在区间 [1, e] 内满足拉格朗日定理条件的是（ C A.
y = ln ( ln x )
x ln ç1- 2 ÷ 1 ö è x ø = lim e ÷ 2 x ®¥ x ø
x
æ
1 ö
其中
2 1 ö æ ln ç1 - 2 ÷ x ( x 2 - 1) 1 ö 2x æ lim x ln ç1 - 2 ÷ = lim è x ø = lim = - lim 2 =0 x ®¥ x ®¥ x ®¥ x ®¥ x - 1 1 1 è x ø - 2 x x
n
23、当 x ® +¥ 时，幂函数 x 度(
( n > 0 ) 趋向于无穷大的速度比对数函数 ln x 趋于无穷大的速
C. 一样快 D. 哪一个快不一定
A );
A. 快得多 B. 慢得多 C ); B. 有两个不同实根 C. 只有一个实根 D. 没有实根
24、方程 e - x - 1 = 0 (
x
2 3
B. 单调减少，曲线是下凸的 D. 单调减少，曲线是上凸的
30、点 (1, 2 ) 是曲线 y = ax + bx 的拐点，则（ D ） ； A. a = 0, b = 2 31、曲线 y = B. a = 1, b = 1 C. a = 2, b = 0 D. a = 3, b = -1
ex （ B ） ； 1+ x
A.
æ 1ö ç 0, ÷ è e ø
B.
æ1 ö ç ,1÷ èe ø
C.
(1, e )
D.
( e, +¥ )
27、不等式 tan x > x +
x3 成立的范围是（ C ） ； 3
2
A.
x<
p 2
B.
-
p < x<0 2
） ；
C.
0< x<
p 2
D.
x>
p 2
28、曲线 y = 3 x 2 - x 3 在（ B A. B. C. D.
A. 有三个不同实根 25、函数 f ( x ) =
x （ D ） ； 1 + x2
B. 在 ( -¥, +¥ ) 上单调增加 D. 在 ( -1,1) 内单调增加
A. 在 ( -¥, +¥ ) 上单调减少 C. 在 ( -1,1) 内单调减少 26、函数 y = x ln x 在区间(
A )内单调减少；
( -¥,1) 内是上凸的，在 (1, +¥ ) 内是下凸的 ( -¥,1) 内是下凸的，在 (1, +¥ ) 内是上凸的 ( -¥, 0 ) 内是上凸的，在 ( 0, +¥ ) 内是下凸的 ( -¥, 0 ) 内是下凸的，在 ( 0, +¥ ) 内是上凸的
29、若函数 f ( x ) 在区间 ( a, b ) 内有 f ¢( x ) < 0 ， f ¢¢( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在该区间内（ B ） ； A. 单调增加，曲线是下凸的 C. 单调增加，曲线是上凸的
B.
y = ln ( 2 - x )
C.
y = ln x
y=
1 ln x
20、 若函数 y = f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上满足拉格朗日定理的条件， 则至少存在一个 x Î ( a, b ) ， 使 f ¢ ( x )=( D A. 0 21、极限 lim A. ); B.
x - sin x =( x ®¥ x + sin x
（9）
2 - ( x + 1) 1 ö 1- x æ 2 lim ç 2 = lim = lim 2 ÷ 2 x ®1 x - 1 x ®1 x - 1 x - 1 ø x ®1 x - 1 è ； 1 1 = - lim =- . x ®1 x + 1 2
4
（10） lim ç 1 -
æ x ®¥ è
p é pù 内的最大值点是 x = ; 6 ë 2ú û
x 的图形有水平渐近线 y = 1 ; 1 + x2 1 2 16、函数 y= 4 x + 的图形有铅直渐近线 x = 0 ; x
15、函数 y=1+ 17、下列函数在区间 [ -1,1] 内满足罗尔定理条件的是（ B ）; A . y = 1+ x B.
（4） lim
e2 x - 1 2e2 x 2 = lim = ； x ® 0 tan 3 x x ®0 3 3 2 cos 3x
1 -1 ln cot x x 1 cot x sin 2 x = - lim （5） lim = lim = - lim = -1 ； + + + + x ®0 x®0 1 x ® 0 cos x sin x x ® 0 cos 2 x ln x x 1 ln x 1 （6） lim n = lim x = lim n = 0 ( n Î N + ) ； x ®+¥ x x ®+¥ nx n -1 x ®+¥ nx
B. 有一个拐点 C. 有两个拐点 D. 有三个拐点
A. 无拐点
32、 x0 为 f ( x ) 在 [ a, b ] 上的一点，且 f ¢( x0 ) = 0 ，则点 x0 是（ C ） ； A. 零点 B. 极值点 ） ； B. 既有极大值，也有极小值 D. 只有极小值，而无极大值 ） ； C. 驻点 D. 拐点
4 , ( x ¹ 0) ; x y¢ = 1 4 x2
令 y¢ = 1 -
4 = 0 ,解得: x = ±2 ,它们将定义域分成四个子区间 x2
( -¥, -2 ) , ( -2,0 ) , ( 0, 2 ) , ( 2, +¥ )
当 x Î ( -¥, -2 ) , y¢ > 0 时, ( -¥, -2 ) 是函数的单调增区间; 当 x Î ( -2, 0 ) , y¢ < 0 时, ( -2,0 ) 是函数的单调减区间; 当 x Î ( 0, 2 ) , y¢ < 0 时, ( -¥, -2 ) 是函数的单调减区间; 当 x Î ( 2, +¥ ) , y¢ > 0 时, ( -¥, -2 ) 是函数的单调增区间; 38、判定函数 y = f ( x ) = x - sin x 在 [0,2p ] 上的单调性. 解：显然 f ( x ) Î C[0,2p ] ,且
2
4、函数 f ( x ) = x - x - 2 x 和 F ( x ) = 2 x + 1 在区间 [ 0, 2] 上满足柯西定理的 x =
3 2
1+ 7 ; 3
5、在区间 [ a, b ] 内，若 f ¢( x ) = g ¢( x ) ，则 f ( x ) - g ( x ) = C（常数）; 6、 lim
33、函数 y = x 2 e - x （ B A. 无极值
C. 只有极大值，而无极小值
34、若连续函数 f ( x ) 在闭区间上只有一个极大值和一个极小值，则（ D A. 极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值 B. 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值 C. 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值 D. 极大值必大于极小值 35、函数 y =
B.
f (b) - f (a ) 2
A
);
C.
f (b ) - f ( a )
D.
f (b) - f (a ) b-a
1
0
n
C.
-1
D.
不存在
22、当 x ® +¥ 时，幂函数 x (
( n > 0 ) 趋于无穷大的速度比指数函数 e x 趋于无穷大的速度
C. 一样快 D. 哪一个快不一定
B );
A. 快得多 B.慢得多
习题 4 及解答 1、罗尔定理中的条件是其结论成立的__充分但不必要___条件； 2、函数 f ( x ) = x -
p 2 é pù sin x 在区间 ê0, ú 内满足罗尔定理的 x = arccos 2 p ë 2û
a+b ; 2
3、函数 f ( x ) = lx + mx + n 在区间 [ a, b ] 上满足拉格朗日中值定理的 x =
于是
x ®0
lim (sin x) x = lim e x ln sin x = 1 + +
x ®0
tan x
æ1ö （12） lim ÷ + ç x ®0 è x ø
其中
= lim e +
x ®0
tan x ln
1 x
.
æ 1 ö 1 xç- 2 ÷ 1 sin 2 x è x ø x = lim lim tan x ln = lim = lim x ® 0+ x ® 0+ 1 1 x ® 0+ x x ® 0+ 1 x 2 2 tan x tan x cos x sin x = lim sin x = 0 x ® 0+ x ln
a æ 1 1 ö 在区间 ç , ÷ 内是下凸的，则 a ³ 0 或 a £ 0 ; 2 1+ x 3 3ø è
3
11、曲线 y = 1 - ( x - 2 ) 的拐点坐标是 ( 2,1) ; 12、 f ¢( x0 ) = 0 是函数 y = f ( x ) 在点 x = x0 处取得极值的充分但不必要条件； 13、函数 f ( x ) = x + 2 cos x 在区间 ê 0, 14、函数 y = e x - x 的最小值是 1;
（7） lim （8）
ex ex ex = lim = L = lim = +¥ x ®+¥ x n x ®+¥ nx n -1 x ®+¥ n !
(n Î N ) ；
+
lim(1 - x) tan
x ®1
px 1- x -1 = lim = lim x ® 1 x ® 1 1 p px 2 px 2 - tan -2 sec px 2 2 2 tan ； 2 2 1 2 = lim = . p x ®1 sin 2 p x p 2
x 的图形（ D ） ； 1 - x2
3
A. 只有水平渐近线，而无铅直渐近线 B. 只有铅直渐近线，而无水平渐近线 C. 既无水平渐近线，也无铅直渐近线 D. 既有水平渐近线，也有铅直渐近线 36、用洛必达法则求下列极限:
1 ln(1 + x) 1 （1） lim = lim 1 + x = ； x ® 0 sin 2 x x ® 0 2 cos 2 x 2 x - sin x 1 - cos x sin x 1 （2） lim = lim = lim = ； 3 2 x ®0 x ®0 x ®0 6 x x 3x 6 sin x - sin a （3） lim = lim cos x = cos a ； x ®a x®a x-a
于是
æ1ö lim ÷ + ç x ®0 è x ø
tan x
= lim e +
x®0
tan x ln
1 x
=1
37、求下列函数的单调区间： （1） y = x3 - 3 x 2 - 9 x + 14 ; 解 由
y¢ = 3 x 2 - 6 x - 9 = 2 ( x 2 - 2 x - 3) = 2 ( x - 3 )( x + 1)