变形雪花曲线计算机实现及其性质分析

变形雪花曲线计算机实现及其性质分析学生姓名：胡腾龙

指导教师：盛中平教授

所在学院：数学与统计学院

所学专业：数学与应用数学

中国·长春

2016年5月

摘要

本文得出了变形雪花曲线的构造方法和面积公式，由最常见的三分雪花曲线入手，先构造一个三分雪花曲线，并且求出三分雪花曲线的面积，再将三分雪花曲线推广到变形雪花曲线，应用几何画板实现变形雪花曲线的构图，分析其性质，最后得出变形雪花曲线的构造方法和面积公式。

关键词三分雪花曲线；变形雪花曲线；面积

Abstract

Draw the construction method and formula for the area of the deformation curve snowflake by snowflake-third of the most common curve start to construct a third of the snowflake curve,and determine the area of snow-thirds of the curve,and then extended to the three-point curve snowflakes snow deformation curve,the conclusion that the constructor and the deformation area formula snowflake curve. Keywords thirds snowflake curve;deformation snowflake curve;area

目录

摘要————————————————————————————1 Abstract——————————————————————————2目录————————————————————————————3

1.引言———————————————————————————4

2.三分雪花曲线及其面积———————————————————4

3.变形雪花曲线的计算机实现及其性质分析———————————7参考文献——————————————————————————14致谢————————————————————————————15

1.引言

雪花曲线是一种典型的分形，研究雪花曲线，要先了解分形的思想，比如Cantor集合。Cantor集合就是取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间的一段，留下剩余的两段，再将剩余的两段再分别三等分，然后各去掉中间一段，再剩下更短的四段，以此类推，将这样的操作一直延续下去，直至无穷大，由于在不断分割和舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，长度也越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点的集合，这就是Cantor 集。而分形理论的最基本的特点就是，用分数维度的视角与数学方法描述问题并研究客观事物，也就是用分形分维把它当做一种数学工具来描述研究客观事物。分形理论不仅跳出了一维的线与二维的面，而且也跳出了三维的立体乃至四维时空的传统的藩篱，可以更加趋近对复杂系统的真实的属性和状态的描述，更为符合客观事物多样性、复杂性。

2.三分雪花曲线及其面积

2.1三分雪花曲线的定义及性质

雪花曲线（Koch curve）又叫做科克曲线，是一种典型的分形图形，平常所说的雪花曲线即三分雪花曲线。

定义2.1：设任意一个边长为1的等边三角形，将其每条边三等分，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。再将六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花，这种曲线就叫做三分雪花曲线，也叫科克曲线。

三分雪花曲线有如下的一些性质：

性质1.它是一条连续的封闭曲线，永不自相交。

性质2.它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积是有限的，是不会超过初始三角形的外接圆的。

性质3.曲线无限长的，即在有限空间里的无限长度。

性质4.它拥有自相似性，即将它放大之后会看到一个小的科克雪花。

2.2三分雪花曲线的构造

Koch是从一个等边三角形（如图2.1）开始，一步一步作出雪花曲线的。

（图2.1）

第一步：把等边三角形的各条边三等分，从每条边三等分后的中间的一段，向外作小等边三角形，再擦去与原来等边三角形重叠的边(如图2.2)。

（图2.2）

为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变换”。

第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变换(如图2.3)。

（图2.3）

第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变换(如图2.4)。

（图2.4）

第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变换(如图2.5)。

（图2.5）

第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到三分雪花曲线。

2.3三分雪花曲线的面积

从三分雪花曲线的构造过程可以看出，三分雪花曲线是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。那么，接下来我们可以研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。

我们通过观察三分雪花曲线的构造过程，可以得到以下的规律：

规律1.三分雪花曲线每次变换后，原来等边三角形的一条边，所得到的折线包括4条线段，所以新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；

规律2.三分雪花曲线每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的1/9。

我们可以利用这两条规律求三分雪花曲线的面积，也就是三分雪花曲线所围的区域的面积。为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。

经过第1次变换，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形，每个小等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×1/9。

经过第2次变换，边数变成了3×4，向外作了3×4个小等边三角形，每个小等边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是3×4×(1/9)2。

经过第3次变换，边数变成了3×42，向外作了3×42个小等边三角形，每个小等边三角形的面积是(1/9)3，增加的面积是3×42×(1/9)3。

经过第4次变换，边数变成了3×43，向外作了3×43个小等边三角形，每个小等边三角形的面积是(1/9)4，增加的面积是3×43×(1/9)4。