梯形常规辅助线做法

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梯形常用辅助线的做法资料

梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作 ,交AB于E.∵ AB平行于CD,且 ,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又 ,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵ ,∴∴是直角三角形,∵ , ,∴ .∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴ .变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。

在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： .分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵ ,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

图5析解：延长BA、CD交于点E。

全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。

在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。

以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。

1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。

2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。

3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。

4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。

5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。

6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。

7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。

8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。

这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。

通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。

请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。

例谈梯形中常见的辅助线的作法

数学篇梯形作为一种比较特殊的四边形，其特点就是只有一组对边是平行的.因此，解答梯形问题的基本思路是通过添加辅助线来“搭桥”，对梯形进行割补、拼接，将其转化为熟悉的基本图形来解答.合理、巧妙地添加辅助线，不仅可以极大地降低解题难度，而且可以提高同学们思维的灵活性和创造性.一、平移一（两）腰平移腰即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形；或利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中，进而为解题创造条件.例1如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B +∠C =90°，AD =10，BC =30，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长.图1图2解：过E 作EG //AB 交BC 于G ，过E 作EH //CD 交BC 于点H ，如图2所示.∵AD //BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形，∴AE =BG ，同理可得DE =CH ，∴BG +CH =AE +DE =AD =10，又∵BC =30，∴GH =BC -BG -CH =20，又∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴BF =CF ，且AE =DE ，又∵AE =BG ，DE =CH ，∴GF =FH ，即F 为GH 的中点，在Rt△EGH 中GH =20，F 是GH 的中点，由直角三角形中线与斜边关系可知，EF =12CH =10，即EF =10.评注：平移梯形的一腰或两腰，可把梯形转化成三角形和平行四边形，从而把相对分散的条件集中到一个图形中以方便解题.二、平移对角线平移对角线即过梯形上底的一个端点作梯形一条对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和几个三角形.当题目中有梯形的对角线相等或互相垂直时，可以平移对角线把两条对角线、上下底之和放在一个三角形中，就会出现等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，然后利用特殊三角形的性质来解答此类问题.例2如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，BC =7，BD =52，求证：AC ⊥BD.图3图4证明：过点C 作CE //BD 交AD 延长线于学思导引27数学篇学思导引E，如图4所示.∵AD//BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴DE=BC且BD=CE，又∵AD=3，BC=7，∴AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10，∵ABCD为等腰梯形，∴AC=BD，又∵BD=CE且BD=52，∴AC=CE=BD=52，在△ACE中，AC2+CE2=(52)2+(52)2=100，AE2=102=100，即AC2+CE2=AE2，所以，△ACE是以∠C为直角的直角三角形，即AC⊥BD.评注：过梯形的一个顶点平移对角线，把两条对角线转移到同一个三角形中，若对角线相等，则这个三角形是等腰三角形；若对角线垂直，则这个三角形是直角三角形；若对角线相等又垂直，则这个三角形是等腰直角三角形.这些结论可以为解题创造有利条件.三、延长两腰延长两腰即延长梯形的两腰使其交于一点，化梯形为两个（相似的）三角形.如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形.延长两腰可以将梯形转化为多个三角形，从而借助三角形的性质定理等知识要点，为解题铺平道路.例3如图5所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.图5图6解：四边形ABCD为等腰梯形，证明如下.延长AD、BC交于E，如图6所示.在△ABD和△BAC中，有ìíîïïBD=AC，AD=BC，AB=AB，∴△ABD≌△BAC，∴∠BAD=∠ABC，在△EAB中，∵∠BAD=∠ABC，∴△EAB为等腰三角形，即AE=BE，又∵AD=BC，∴DE=CE，∴DE AE=CE BE，即AB//CD，又∵AD=BC，∴四边形ABCD为等腰梯形.评注：预测四边形形状后根据需要寻找条件即可.此题要灵活运用三角形全等、对应线段成比例、平行线的判定等知识点.四、作对角线作对角线即连接对角线将梯形转化为三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解答四边形的问题.尤其在特殊梯形中，将没有画出的对角线作出来，再利用特殊梯形对角线的性质(如等腰梯形对角线相等)，将题目中的条件进行转化，可以实现有效解题.例4如图7，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE.图7图8解：连接BD，如图8所示.∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∵AD//BC，∴∠1=∠3，∵BC=CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，在△DBE和△DBA中，28数学篇学思导引有ìíîïï∠1=∠2,∠BAD =∠BED BD =BD ,,∴△DBE ≌△DBA ,∴AD =DE .评注：在直角梯形中连接对角线往往可以构造直角三角形，然后利用直角三角形与全等三角形的知识来证明.五、连接顶点和一腰中点并延长连接梯形上底一端点和一腰的中点，并延长与下底延长线相交，从而将梯形割补成几个三角形.这样作辅助线可以充分利用梯形中的平行和等量关系，将上下底之和统一到一段线段上来，再结合三角形全等和其他特殊三角形的性质使问题得到解答.例5如图9，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是DC 的中点，连接AE 和BE ，求证：∠AEB =2∠CBE.1234图9图10证明：延长AE 、BC 交于F ，如图10所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，且AD //BC ，∴AB ⊥BC ，∴△ABF 为以∠ABF 为直角的直角三角形.∵AD //BC ，∴∠1=∠2，又∵E 是DC 的中点，∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，有ìíîïï∠1=∠2,∠3=∠4,DE =CE ,∴△ADE ≌△FCE ，∴AE =EF ，即E 是AF 的中点，又∵△ABF 是直角三角形，∴BE =12AF =EF ，∴△BEF 是等腰三角形，∴∠F =∠CBE ，∴∠AEB =∠F +∠CBE =2∠CBE ，即∠AEB =2∠CBE .评注：在梯形中，只要有腰上的中点，可过中点构造全等三角形，从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中，而这个三角形又是一个特殊三角形，问题就简单了.在解答有关梯形的证明题和计算题时，辅助线的作法并不是单一的，有时可同时作两种或两种以上的辅助线，但目的是一致的，就是在梯形中构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识来解题.同学们要结合已知条件添加合适的辅助线，以探求简捷的解题方法.《〈圆〉拓展精练》参考答案1.D ；2.A ；3.C ；4.A ；5.23-π；6.6cm ；7.相离；8.30°或150°；9.100或700;10.（1）证明略；（2）S 阴影部分＝S △OAC -S 扇形AOE ＝12×3×33-60π×32360=32π．11.（1）证明略；（2）解：由题意知方程x 2+（m -2）x +m +1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（m -2）2-4（m +1）＝0，∴m ＝0或8，当m ＝0时，方程为x 2-2x +1＝0，解得x 1＝x 2＝1，∴CE ＝1．当m ＝8时，方程为x 2+6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝-3（不符合题意舍去）．∴CE ＝1．综上所述，CE ＝1．29。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。

一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm ，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA 、CD ，使它们交于E 点，∵AD ∥BC∴∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED ，EB=EC （等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD 中，AD =1.5cm ，B C=3.5cm ，对角线AC ⊥BD ，且BD=3cm ，AC=4cm ，求梯形ABCD 的面积。

解：过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于E∵AD ∥BC ，DE ∥AC∴四边形ACED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm ，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯=。

梯形中常用添加辅助线的方法

梯形中常用添加辅助线的方法1.作高：过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化为矩形或直角三角形来解决；例1、已知等腰梯形的上底长为5cm，腰长为7 cm，下底角为600，求这个梯形的周长和面积。

练习：在梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC。

求证：AC2=AB2+BC·AD。

2.平移腰：通过平移梯形的一腰或两腰，使梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例2、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=900，E、F分别是AD和BC边上的中点，求证：EF=（BC-AD）/2。

练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=800，∠C=500，求证：AB=BC-AD。

3.延长两腰：延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决；例3、等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠B=600，AD=15，AB=45，求BC的长。

练习：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。

求证：AB=CD。

4.平移对角线：平移其中的一条对角线，使梯形问题转化为直角三角形来解决，此法适合于已知对角线互相垂直的问题；例4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是高，求证：AB+CD=2CH。

练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD互相垂直，GD⊥BC于G，EF是中位线。

求证：EF=DG。

5.连对角线：连结对角线，将梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例5、梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，求证：AC=CE。

6.取腰的中点：有一腰的中点时，往往取另一腰的中点构成梯形的中位线；例6、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD的中点。

求证：AM、BM平∠分DAB、∠CBA。

7.连结上底与一腰中点并延长与下底的延长线相交，借助于得到的三角形解决梯形问题；例7、梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且AB+CD=BC。

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【最新整理，下载后即可编辑】梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作,交AB于 E.∵AB平行于CD,且,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵,∴∴是直角三角形,∵,,∴.∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。

在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

图5析解：延长BA 、CD 交于点E 。

梯形的常用辅助线

梯形的常用辅助线一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC⊥BD。

变式训练1.已知等腰梯形ABCD的两条对角线AC ，BD互相垂直,上底AD=11，下底BC=19，求梯形ABCD的面积2.在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例3］在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

三、作梯形的高作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

［例4］在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。

C第9题图跟踪练习1等腰梯形的上底、下底、高之比为1∶3∶1，则下底角的度数是（） A 30° B 45° C 60° D 75°2.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______.3.梯形的上底长为5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______.4直角梯形的斜腰长为12cm ，这条腰和一底所成的角为30°，则另一腰是________5如图4-84，ABCD 是一梯形，DC AB //，AB ＝5，23=BC ，︒=∠45BCD ，︒=∠60CDA ，DC 的长度是（）A ．338+B ．8C ．219 D ．38+6 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC ⊥BD 于点O ，∠BAC=60°，若，则此梯形的面积为（）A ．2 B．1C．27.梯形ABCD中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN上一点，那么PC+PD 的最小值为8 如图2，等腰等形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=5， ∠B=60°，BC=8，且AB ∥DE ，（1）求ΔDEC 的周长和面积（2）求梯形的面积9已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BD=6，AC=BC=8。

初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题

初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题
1. 梯形中常见的辅助线
我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.
1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.
2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.
3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.
4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.
5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.
常见的辅助线添加方式如下：
梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三
角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线。

梯形中常见辅助线的作法

梯形中常见辅助线的作法岳雁翎甘肃省陇西县紫来学校　748100 在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1　平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1　如图1,在梯形AB CD 中,AB ∥CD ,∠A D C=2∠B ,A D =a ,CD =b,求AB 的长.解　过D 作D E ∥BC ,交AB 与点E ,则∠D EA =∠B ,四边形D EB C 是平行四边形,故B E=CD =b,∠ED C =∠B ,由∠A D C =2∠B ,得∠A D E =∠A ED ,因而A E =AD =a ,所以AB =A E+B E =a +b .2　平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2　如图2,在梯形AB CD 中,A D ∥BC ,M 、N 分别为上、下底的中点,且∠B +∠C =90°.求证:MN =12(BC -A D).证明　过点M 作M E ∥AB 交B C 于点E ,作M F ∥CD 交B C 于点F ,则∠M EC =∠B ,∠M FB =∠,∵∠B +∠=°,∴∠M +∠M FB =°,即∠M F =°,又∵AD ∥BC ,∴四边形AB EM 和四边形MD CF 都是平行四边形,∴A M =B E ,D M =FC,∵A M =D M ,B N =CN ,∴B E +FC =A D ,EN =N F ,B C -A D =E F ,∵M ,N 分别是上、下底的中点,在Rt △M E F 中,E N =F N ,∴E F 是直角三角形斜边上的中线,∴MN =12E F ,即MN =12(B C-A D ).3　平移对角线过底的一端作对角线的平行线,通过作对角线的平行线,可以将梯形的上底加下底转化到一条线段上,也常通过作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决.图3例3　如图3,已知梯形ABCD 的面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直,则另一条对角线的长为多少?解　S 梯形A B CD =12(A D +BC )BD =32,A D +BC +BD =16,得AD +B C =8,BD =8,过D 作DE ∥A C 交BC 的延长线于E.∴四边形A D E C 是平行四边形,∴D E =AC ,A D =CE.在Rt △DB E 中,∠D B E =90°,B E =CE +BC =AD +BC =8,BD =8,根据勾股定理得D E =B E 2+D B 2=82+82=8 2.因A C =D E ,故A C=8 2.4　作两条高过同一底的两个顶点作另一底的垂线,通过作高,将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,从而将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题,用直角三角形和矩形的知识来解决45数学教学研究第27卷第1期专辑　2008年6月C C 90EC 90E 90.图4例4　如图4,在等腰梯形AB CD 中,∠B =60°,AD =2,BC =4.计算梯形A BCD 的面积.解　过点A ,D 分别作A E ⊥B C,D F ⊥BC,垂足分别为E ,F ,则∠A EB =∠D F C =90°,A E ∥D F ,而A D ∥B C,∴四边形A E FD 是矩形,∴E F =A D =2,易证得△AB E ≌△DC F ,∴B E =F C =12(B C-A D )=12(4-2)=1.在Rt △AB E 中,A E =B Eta n ∠B =B Etan60°=1×3=3,∴S =12(2+4)×3=3 3.5　延长两腰构成三角形延长两腰交于一点,构造出两个相似三角形,利用相似三角形以及三角形的有关性质来解题.图5例5　如图5,等腰梯形的对角线分它的中位线为8c m ,20cm 的两部分,腰长为24c m.则梯形的下底角的度数为多少?解　延长A D ,BC 交于点G ,易证得E P ,F P 分别是△A D C,△CA B 的中位线,则D C =2E P =16c m ,AB=2P F =40cm ,由D C ∥AB ,得∠GD C =∠D AB ,∠GCD =∠GB A ,故△GD C ∽△GA B ,所以DC ∶AB =D G ∶AG ,即16∶40=D G ∶(D G +24),解得D G =16,则A G =40,同理可得B G =40,△GAB 为等边三角形,所以梯形的下底角的度数为60°.6　连结顶点与腰的中点,把梯形割补成三角形通过连结顶点与腰的中点并延长与另一底边相交,把梯形中的边、角转化到一个三角形中进行解决.图6例6　如图6,在梯形AB CD 中,A D ∥BC ,E ,F 分别为AB ,CD 边上的中点.求证E F 12(A D +B C ).证明　连结A F 并延长交BC 的延长线于点P.∵A D ∥BC(已知),∴∠AD F =∠P CF (两直线平行,内错角相等),在△AD F 和△P CF 中∠D FA =∠CF P (对顶角相等)D F =FC(已知)∠A D F =∠PCF (已证),△A D F ≌△P CF ,∴C P =AD ,A F =P F ,又∵A E =B E ,∴E F 是三角形AB C 的中位线,∴E F ∥B P ,E F 12B P ,即E F 12(A D +BC ).通过添加辅助线,将梯形分成一个或几个特殊图形是解决梯形问题的基本思路,它把分散的条件得以集中,隐含条件加以显现,把复杂的问题转化为容易解答的简单问题,体现了解数学问题的一个基本而重要的方法———化归法.只要细心观察、认真体会,就会找到解题的捷径.55第27卷第1期专辑　2008年6月数学教学研究。

梯形辅助线的常见作法

例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。

本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

图1析解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD 转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。

在△BCM 中，BM=AD=4，CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

图2析解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点所以)CH BG BC (21GH 21EF --==3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。

图3析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BCE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10。

等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而ACE ，于是AC ⊥BD 。

梯形辅助线的做法

梯形辅助线的做法
一、平移
1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

5，求证：AC ［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2
⊥BD。

［例4］如图4，在梯形ABCD中，AB//DC，AC=15cm，BD=20cm，高BH=12cm，求梯形ABCD的面积。

二、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

三、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

四、作梯形的高
1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC ⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

梯形常见辅助线

梯形中常见的几种辅助线作法一、跟腰相关的辅助线（1）在梯形内部平移一腰例1（如图1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。

求证：B= C(2)梯形内平移两腰例3（如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C(3)延长两腰例4（如图4）在梯形ABCD中,∠B=∠C，AD∥BC。

求证：梯形ABCD是等腰梯形。

练习、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交于点F。

（1）求证：BF=AD+CF。

（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。

二、作梯形的高,梯形转化成矩形与直角三角形例1：如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，BC=11；求梯形ABCD的面积．例2：已知：梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD，AD=1，CD= 22，求：BE练习、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．（1）证明：EF＝CF；（2）当AE：AD＝13时，求EF的长．FEDCBA三、利用中点（1）连接梯形一顶点及一腰的中点。

例1：在梯形ABCD中，AD∥BC, E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF=(AD+BC)（2）过一腰的中点作另一腰的平行线。

例2：:在梯形ABCD中，AD∥BC, E为CD的中点，求证：S=(3)作中位线例3：在梯形ABCD中，AB∥CD,M为AD的中点，AB+CD=BC求证：BM⊥CM练习、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC；（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．求DFFC的值．四、平移对角线,将梯形转化成：平行四边形、三角形.A 、把上下底之和，两对角线转移到同一个三角形BDE 中B 、△ABD 与△CDE 面积相等 S 梯形ABCD ＝S △BDEC 、 BD ⊥AC 推出BD ⊥DE 得到直角三角形BDE例1：如图所示，在梯形ABCD 中，上底AD ＝1cm ，对角线BD ⊥AC ，且BD ＝3cm ，AC ＝4cm. 求下底BC 以及梯形的高。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。

为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。

下面介绍六种常用的技巧。

1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。

然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。

这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。

2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。

3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。

这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。

4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。

5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。

利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。

6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。

根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。

这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。

通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。

在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。

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知识点讲解：
梯形中的常见辅助线
梯形常规辅助线做法
经典例题精讲
【例1】如图，我们知道两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，设梯形的上底为a，下底为b，高为h，则得到这个平行四边形面积为(a＋b)h，我们用这种方法得到了
梯形的面积是1
2
(上底＋下底)×高，请同学们再想至少四种方法证明梯形的面积。

【例2】⑴梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，∠C＝70°，∠B＝40°，则AB的长为______。

⑵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝30°，AD＝CD＝6，则AB的长度
为____。

⑶如图，在梯形ABCD中，∠B＝52°，∠C＝38°，AD＝6，BC＝10 ，点E、F分
别是AD、BC的中点，则EF的长度______。

高难题目挑战
【例3】(西城期末)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC＝120︒，AD＝2，BC＝4。

求：等腰梯形ABCD的面积。

梯形常规辅助线做法

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