16.1 S-L问题-武汉大学数学物理方法
第九章习题课-武汉大学数学物理方法
~ (ω ) ~ (ω ), F [ψ ( x )] = ψ ~ (ω , t ), F [ϕ ( x )] = ϕ 解 : (1) 记 F [u ( x, t )] = u ~ (ω , t ) d 2u 2 4~ + a ω u (ω , t ) = 0 (4) 2 dt 则 ~ (ω ) ~ (ω ,0 ) = ϕ u (5)
2 2 2
傅氏变换习题课
4π ⎡ 1 − μr ⎤ ⎡ 1 ⎤ 4π (μ > 0 ) 证明 : (1 ) F ⎢ ⎥ = 2 ; (2 ) F ⎢ e ⎥ = 2 2 ⎣r ⎦ ω ⎣r ⎦ ω +μ v v ∞ 4π 1 v −1 ⎡ 4 π ⎤ iω ⋅r e d ω 提示 : F ⎢ 2 ⎥ = 3 ∫ ∫ ∫− ∞ 2 ω ω (2 π ) ⎣ ⎦
4π ∞ 2π π 1 iωr cos θ 2 = e ω sin θ dθ dϕdω 3 ∫0 ∫0 ∫0 2 ω (2π ) x = cos θ 1 ∞ 1 = ∫ ∫ e iωrx dxd ω
π
0
−1
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二、有关性质及其应用
已知： ∫− ∞
∞
∞
傅氏变换习题课
求 f (x ) = ? 解:
−1
~ (ω , t )] u ( x, t ) = F −1 [u ~ (ω ) cos aω 2t ] − F −1 [ ~ (ω ) sin aω 2t ] = F −1 [ϕ ψ
−1
F e
−1
[ ]
iaω 2t
[
−1 −1 2 ( ) − F F ψ x ∗ F sin a ω t cos aω t
∫
∞
−∞
武汉大学数学物理方法考试习题
n n xm xm n 本征值：km , m 1,2, Rm (k ) J n ( ), m 1,2, a a
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三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
16.1 S-L问题
(2) m 0, m 1,2,
(3)
n (k m ) 2 0 如：
x 2 y xy [k 2 x 2
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x d dy n 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 n ]y 0 dx dx x
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dx dx
b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx N
a
2 n mn
(见附2）
a2 2 n J n1 (kln a) ml 如： J n (km )J n (kln )d 0 2 1 b (4) f ( x) cm ym ( x) cm 2 a ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m 1
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第十六章 斯－刘问题
问题的引入：
d 2 dy (1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
2
m2 (1 x 2 ) y 2 xy [l (l 1) ]y 0 2 1 x
） 解： 1 k ( x) 1, k (0) k (l ) 1, , q( x) 0, ( x) 1;
武汉大学：数学物理方法课件1_2三类数理方程的导出
Q u q= = K tS n
k 导热率
(3)热源强度:单位时间,单位体积放出热量
Q F= tV
2,分析: (1)研究的问题: [热量流动,是由温差造成]设u为温度 (2)已知:
Q C,ρ,k是常数
(3)方法: 与上面的方法相同
∴ u = u ( x,t )是一维问题
3,研究,建立方程: (1)考虑任一 x段在 t时间热量情况:
§1.2
三类数理方程的导出
一,弦的横振动: 1,物理模型:细长柔软弦,紧绷于A,B 之间,做微小横振动,求运动规律
2,分析:
α
(1)研究何问题: u(x , t) 为弦位移, 取如图所示坐标系 即平衡位置
α
1
2
T2
T1
x
x + x
(2)已知:
线密度 ρ ( x , t ) = ρ (t ), 重量不计 张力 T ( x, t )为切线方向 u 2 ux = 是小量 , u x = 0 x (3)研究方法:
2
∴由胡克定律可得: T ( x , t ) = T ( x ), (t ) = ρ ρ
又 sin x =
tgx 1 + tg 2 x
2
=
ux 1+ ux
2
= ux
∴ cos x = 1 + u x = 1 即 cos x1 = cos x2 = 1
代入<1> T1 = T2 = T 代入<2>
T [u x ( x + x1t ) u x ( x,t )] + F ( x + η 2 x1t ) x
ψ h ih = ψ + U ( r )ψ t 2
第十章习题课-武汉大学数学物理方法
r3
gi :
x
−
3
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
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第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2
数学物理方法参考答案
数学物理方法参考答案数学物理方法参考答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，通过数学方法来解决物理问题。
在物理学的研究中，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将为读者提供一些数学物理方法的参考答案，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、微积分微积分是数学物理方法中最基础也是最重要的一部分。
它包括了导数、积分和微分方程等内容。
在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动、求解力学问题、计算电磁场等等。
下面是一些常见的微积分问题的参考答案：1. 求解函数的导数：对于一个函数f(x)，求它的导数f'(x)。
可以使用导数的定义，即f'(x) =lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
也可以使用求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
2. 求解定积分：对于一个函数f(x)，求它在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx。
可以使用定积分的定义，即将区间[a, b]划分为若干小区间，然后对每个小区间求和，再取极限。
也可以使用定积分的性质，如线性性、区间可加性、换元积分法等。
3. 求解微分方程：对于一个微分方程，求它的通解或特解。
可以使用常微分方程的解法，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
也可以使用偏微分方程的解法，如分离变量法、特征线法、变换法等。
二、线性代数线性代数在数学物理方法中也扮演着重要的角色。
它包括了矩阵、向量、线性方程组等内容。
在物理学中，线性代数可以用于描述物体的旋转、变换、矢量运算等。
下面是一些常见的线性代数问题的参考答案：1. 求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，求它的解x。
可以使用高斯消元法，将线性方程组转化为阶梯形或行最简形，然后逐步求解。
也可以使用矩阵的逆，即x=A^(-1)b。
2. 求解特征值和特征向量：对于一个矩阵A，求它的特征值和特征向量。
可以使用特征方程，即det(A-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
第十五章习题课-武汉大学数学物理方法
∞
m =1
*例题分析
一、贝塞尔函数的有关性质
x1 4. 将ρ在[0, a]上按J1 ( m ρ )展开。 a ∞ 1 1 ρ = ∑ cm J 1 ( k m ρ ), cm = a 2 2 1
m =1
∫
=
a
0
1 ρ 2 J1 (k m ρ )dρ =
1
1 3 (k m )
∫
a
0
1 1 1 (k m ρ ) 2 J1 (k m ρ )d (k m ρ)
⎧d ν ν = x J x x Jν −1 ( x) [ ( )] (2) ν ⎪ dx ⎨ d 一、贝塞尔函数的有关性质 ⎪ [ x −ν Jν ( x)] = − x −ν Jν +1 ( x) (3) ⎩ dx
*例题分析
1.∫ x 4 J1 ( x)dx = ?
法二：
′ ( x) (3) → J1 ( x) = − J 0
当λ − μ < 0时, 记 − k 2 = λ − μ , x = kρ , y ( x) = R( ρ ),
x 2 y′′( x) + xy′( x) − ( x 2 + n 2 ) y ( x) = 0 → y ( x) = I n ( x)
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*本章主要内容
二、本征值问题：
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π
2x
J
1 l+ 2
( x)
*例题分析
一、贝塞尔函数的有关性质
1.∫ x J1 ( x)dx = ?
4
法一： 4 2 2 x J ( x ) dx = x [ x J1 ( x)]dx ∫ 1 ∫
物理问题中的数学方法
十、物理问题中的数学方法一、重点难点数学是解物理题的重要工具，在《考试说明》中明确指出：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果作出物理结论，必要时能运用几何图形,函数图像进行表达、分析。
在解决物理问题中，常用到的数学知识，数学方法有：①二次函数配方法；②判别式法；③不等式法；④三角公式法；⑤几何方法；⑥数列知识；⑦韦达定理；⑧更比定理等等。
虽然数学是中学物理解题中不可缺少的工具和方法，但物理学中的数学是处于从属地位，它的应用受到 物理实质的制约，有两个数学问题需要注意：1、 数学上有解，物理上未必有解如：在光滑水平面上，一个质量为0.2Kg 的小球，以5m/s 的速度向前运动，途中与另一个质量为0.3Kg 的小球发生正碰，假设碰撞后第二个小球的速度为4.2m/s 。
求碰后第一个小球的速度。
由于正碰，则动量守恒： m 1V 1=m 1V 1/+m 2V 2/ 解得：V /=-13m/s以上解题过程似乎毫无破碇，从数学上看也是有解的，但从物理过程来说是不可能的。
因为碰撞前的总动能J V m E 5.2212111==；碰后的总动能J V m V m E 8.221212/212/11/=+=，E />E,这违背了能量守恒定律，物理上是无解的，这道题的毛病出在所给数据不实际情况。
2、 数学上无解，物理上未必也无解如：一个左端封闭、右端开口的U 形管，用水银封闭一段20cm 长的空气柱（图1），若U 形管倒转1800，开口向下且开口端仍在右方，求空气柱的长度（设右臂很长，而两 臂相距很近，大气压强为76cmHg ）。
如图2、图3，根据玻意耳定律有90×20=（62-2x ）(20+x)整理有x 2-11x+280=0 据b 2-4ac=112-4×280<0，无实数解。
本题若单从数学角度考虑，此题确实无解，情况真的如此吗？只要仔细分析一下就会发现疑点。
数学物理方法课后习题答案
数学物理方法课后习题答案数学物理方法课后习题答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，为解决物理问题提供了强有力的工具和方法。
在学习这门课程时，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识点的理解和运用，提高解决实际问题的能力。
下面将针对数学物理方法课后习题给出一些答案和解析。
1. 假设有一根长度为L的均匀细杆，质量为M，细杆的一端固定在原点O，另一端可以自由运动。
求细杆的转动惯量和转动轴上的质心位置。
解析：首先，根据细杆的定义，我们可以将细杆看作是一根连续分布的质点链。
设细杆的质心位置为x，将细杆分为两段，一段长为x，质量为m1，另一段长为L-x，质量为m2。
由于细杆是均匀的，所以m1/m2=(L-x)/x。
根据转动惯量的定义，细杆的转动惯量为I=∫r^2dm，其中r为质点到转动轴的距离，dm为质点的质量微元。
对于细杆的转动惯量，可以将细杆看作是一根连续分布的质点链，所以I=∫r^2dm=∫x^2dm1+∫(L-x)^2dm2。
根据质心的定义，细杆的质心位置为x=(m1*x+m2*(L-x))/(m1+m2)。
将m1/m2=(L-x)/x代入，化简得到x=L/2，即细杆的质心位置在中点。
2. 一个质量为m的质点沿着x轴运动，其位置关于时间的函数为x(t)=Acos(ωt+φ)，其中A、ω和φ为常数。
求质点的速度和加速度关于时间的函数。
解析：根据题目中给出的位置函数，可以求出质点的速度和加速度。
首先，速度的定义为v(t)=dx(t)/dt。
对位置函数求导，得到v(t)=-Aωsin(ωt+φ)。
然后，加速度的定义为a(t)=dv(t)/dt。
对速度函数求导，得到a(t)=-Aω^2cos(ωt+φ)。
所以，质点的速度关于时间的函数为v(t)=-Aωsin(ωt+φ)，加速度关于时间的函数为a(t)=-Aω^2cos(ωt+φ)。
3. 一个质点受到一个外力F=mg和一个阻力F=-kv的作用，其中m为质量，g为重力加速度，k为阻力系数。
数学物理方法-武汉大学物理科学与技术学院
1．课程代码
0700136
0700340
2．课程名称
数学物理方法
Mathematical Methods in Physics
3. 授课对象
物理学基地班、物理学类、材料物理、电子科技和材料化学专业。
4．学分
4
5．修读期
第三学期
6．课程组负责人
责任教授：姚端正教授
主讲教师：姚端正教授；周国全副教授（在职博士生）
7．课程简介
数学物理方法是一门重要的基础理论课程。
本课程以培养学生具有用数学方法分析解决物理问题的能力为目的。
其内容包括复变函数、数学物理方程、特殊函数、非线性方程四篇。
其中复变函数篇包括解析函数、科西积分理论、无穷级数、Taylor及Lauren 展开、留数理论等内容；数学物理方程篇包括定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法等内容；特殊函数篇包括勒让德多项式、缔合勒让德函数、贝塞尔函数等内容；非线性方程篇包括非线性方程的一些初等解法和孤子等内容。
该课程采用课堂讲授、CAI和课外练习相结合的教学过程，并特别注重对学生分析、解决问题的能力和逻辑思维能力的培养，以使学生能较好地掌握本课程的知识，为后继课程的学习和日后开展科研和实际工作打下良好的基础。
8．实践环节学时与内容或辅助学习活动
上机4学时，辅以上习题课
9．课程考核
平时课堂小练习、课外作业，与期中、期末考试相结合考试
10．指定教材
姚端正著《数学物理方法》(第二版) 武汉大学出版社 1997。
11．参考教材
姚端正著《数学物理方法学习指导》科学出版社 2001。
12. 网上资源
有数学物理方法课程教学专题网站(见武汉大学校园网)。
武汉大学数学物理方法2_3Cauchy公式
e.g.
Ñ ò
ez dz, l = z = 1 n z
ì ez dz = 2p ie z z =0 = 2p i, (canchy公式) ïÑ l ò z ï z ï d n -1 z 2p i e Ñ l z n dz = í dz n-1 e z =0 = (n - 1)! (n 阶导数公式) ò ï ï0（Cauchy定理） ï î ③ 推论：若 j ( z ) 在曲线 l 上连续，
∴ 设
Df 1 f (x) 1 f (x)Dz - Ñ ò l (x -z)2 dx = 2pi Ñl (x -z -Dz)(x -z)2 dx ò Dz 2pi
m f (x) = M d = m x - z ax in
f (x )Dz f (x ) 1 ∴ Df - 1 Ñ l (x - z)2 dx £ 2p Ñ l x - z - Dz x - z 2 dx ò Dz 2p i ò Dz MS 1 M Dz < ×S = d3 2p 2 p d3
则
1 j(x ) f (z) = òl x - z dx 2pi p! j(z) ( p) f (z) = ò l (x -z)p+1 dx 2pi
由上述导数公式可推得： ④ 复通区域Cauchy导数公式仍成立 2．Cauchy不等式：
f
(n)
n ! MS ( z) £ 2p d n +1
d = min x - z
z =0
1 f (x ) f (z) = Ñ l x - z dx 2p i ò
fx f (x) 1 ÑCR x-zdz £Ñl x-z dx £ x - z Ñl f (x) dx ò ò ò 1 1 £ m f (x) ×2 R< z ×e2p ® ax p 0 R- z 1- R
武汉大学：数学物理方法课件2_2Cauchy定理
大家自然会产生这样的疑问：补充了条件后的证明定律，实际上是更改和增加了定理条件，这对证明原来的定理也就失去了意义。
然而本定理不是这种情况，Cauchy 定理已于1900年由Coursat 在没有条件在内连续的条件下证明了。
后来我们也会看到，在内连续是包含在条件在内解析中的。
所以在这里实质上并未增加条件，也未出现循环推理，Coursat 证明引论CH4。
Cauchy 定理很重要，人们又称之为解析函数或积分的基本定理。
注意：()f z ¢()f z ¢s s ()f z ¢s∴12()()l l f z dz f z dz=òò现在我们清楚了为什么))i OAii OAzdz zdz=òò∵z 在复平面解析，第（2）个问题还有待于解决。
三、不定积分原函数：1．定理：若在内解析则在内()f z s s 0()()zz F z f d x x =ò一单值解析，且()()F z f z ¢=2．原函数定义：若()()z f z ¢F =则称 为 的原函数，显然()z F ()f z 0()()()zz F z f d f z x x =ò为的一个原函数，∵()()F z f z ¢=当然原函数不是唯一的，任意两原函数()()z F z CF -=只差一常数即②证：∵()()z F z CF -=[]()()()()()()0z F z z F z f z f z ¢¢¢F -=F -=-=()()z F z C F -=∴即0()()zz z f Cx F =+ò4．Newton-Leibniz 公式：对于，取()()()z z z F z C f d Cx x F =+=+ò0z z =则0()z CF =∴0()()()zz f d z z x x =F -F ò但若分别以为中心作小圆，则挖去二小圆后便得一复通区域，1z =±被积函在此复通区域解析，因此我们自然考虑到复通区域Cauchy 定理是否存在？若存在，此积分应易于求出，究竟怎样求出。
数学物理方法
数学物理方法数学物理方法是一种将数学方法应用于物理问题求解的方法。
数学物理方法在解决物理问题中起着重要的作用，因为它能够将复杂的物理现象转化为数学模型，并通过数学的推导和计算得到解析解或近似解。
本文将介绍一些常用的数学物理方法。
微积分是数学物理方法中最基础的部分。
微积分通过导数和积分的概念，能够对物理过程进行建模和分析。
例如，在力学中，通过对物体的运动进行微积分，可以得到速度、加速度和位移等与时间相关的量。
在热力学中，通过对能量和熵的微积分，可以得到热量和功的关系。
微积分在物理学中的应用是非常广泛的。
常微分方程是描述物理过程中变量随时间变化的方程。
常微分方程可以用来描述林松系统、振动系统、电路等各种物理系统的行为。
通过对常微分方程进行求解，可以得到物理系统的解析解或近似解。
物理学中常用的求解常微分方程的方法有分离变量法、变系数法和拉普拉斯变换法等。
偏微分方程是描述物理过程中变量在空间和时间上的变化的方程。
偏微分方程可以用来描述电场、磁场、温度、压力等物理现象。
物理学中常用的求解偏微分方程的方法有分离变量法、变换法和变系数法等。
例如，在电动力学中，可以通过拉普拉斯方程求解电势分布情况；在热传导中，可以通过热传导方程求解温度分布情况。
波动方程是描述波动现象的方程。
波动方程可以用来描述声波、光波等波动的传播和干涉现象。
物理学中常用的求解波动方程的方法有分离变量法、变换法和叠加法等。
例如，在声学中，可以通过波动方程求解音波的传播和频谱特性；在光学中，可以通过波动方程求解光波的衍射和干涉现象。
变分法是一种计算变量最优值的方法。
在物理学中，变分法可以应用于发现物理系统的最优路径和能量最小化等问题。
变分法通过对泛函进行变分，得到使泛函达到极值的方程。
物理学中常用的变分法有欧拉-拉格朗日方程和哈密顿方程等。
例如，在光学中，可以通过变分法求解最速降线和菲涅尔原理等最优路径问题。
总之，数学物理方法是一种将数学方法应用于物理问题求解的方法。
数学物理方法习题答案
数学物理方法习题答案数学物理方法习题答案数学物理方法作为一门重要的学科，是自然科学中的基础学科之一。
它的研究对象是自然界中的现象和规律，通过数学的方法来描述和解释这些现象和规律。
在学习数学物理方法的过程中，习题是不可或缺的一部分。
下面我将为大家提供一些数学物理方法习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解微分方程：dy/dx = x^2 + y^2解：将方程改写为dy/(x^2 + y^2) = dx，然后对两边同时积分得到：arctan(y/x) = x + C其中C为积分常数。
将等式两边同时取正切，得到：y/x = tan(x + C)即为所求的解。
2. 求解偏微分方程：∂u/∂t = a^2(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)解：假设u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)，将其代入方程得到：X(x)Y(y)T'(t) = a^2(X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y))整理得到：T'(t)/a^2T(t) = X''(x)/X(x) + Y''(y)/Y(y)由于等式两边只依赖于不同的变量，所以必须等于同一个常数，设为-k^2。
于是得到三个常微分方程：T'(t)/a^2T(t) = -k^2X''(x)/X(x) = -k^2Y''(y)/Y(y) = -k^2解这三个方程，得到：T(t) = C1e^(-a^2k^2t)X(x) = C2sin(kx) + C3cos(kx)Y(y) = C4sin(ky) + C5cos(ky)将三个方程的解合并，得到原方程的通解：u(x, y, t) = Σ[C1e^(-a^2k^2t)][C2sin(kx) + C3cos(kx)][C4sin(ky) + C5cos(ky)]其中Σ表示对k的求和。
武汉大学：数学物理方法课件1_1引言
utt = a ∆u + f
2
u -波动，a -波速，f -与源有关的函数
ut = Duxx + f
u -浓度，D -系数，f -与源有关的已知量
∆u = −h
h -与源有关的已知量，u -表示稳定物理量
(3)十九世纪末到二十世纪初，其它方程： 如高阶方程： 如非线性方程：
utt = a uxxxx + f (x，t)
如： y′′(t) − 4y = 0 2t −2t y = C1e + C2e
y′′ − 4 y = 0 泛定方程 y(0) = 0 定解条件 y′(0) = 4
2、求解： 数理方程的求解方法大致有行波法、分离变 量法、上解法我们将在以后一 一阐述。 3、分析解答： 解出答案，需分析其意义及适定性。适定性： 指解是存在的、唯一的而且是稳定的。
§ 1.1 引言 一、数理方程简介： 1、数学物理方程： 数学物理方程是指从物理问题中导出的反映 客观物理量在各个地、时刻之间相互制约关系的 一些偏微分方程。偏微分方程分为线性和非线 性，这一篇主要讨论二阶线性方程，非线性方程 将在第四篇讨论。
2、发展史： (1) 十八世纪初 ， Taylor ： utt = a 2 u xx + f (2)十九世纪中期，三类数学物理方程：
2
ut + σuux + uxxx = 0 → KDV： 等离子体 ∂ψ h2 &&dinger方程： Schro ih =− ∆ψ + U (r )ψ ∂h 2µ 浅水沟
二、用数理方法研究问题的步骤 1、写出定解问题 泛定方程(共性，一般规律) 包括 定解条件(初始，边界等) 要把物理问题转化为数学语言。
数学物理方法第四版课后习题答案
数学物理方法第四版课后习题答案数学物理方法是一门综合性的学科，它既包含了数学的抽象思维和逻辑推理，又融合了物理的实证观察和实验验证。
对于学习数学物理方法的学生来说，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固所学的知识，提高问题解决能力。
本文将为读者提供《数学物理方法第四版》课后习题的答案，帮助读者更好地理解课本内容。
第一章：数学物理方法的基础1.1 习题答案：a) 由于是一元函数，所以可以将其表示为幂级数的形式：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...将f(x)代入微分方程，整理得到：a2 + (a3 - a1)x + (a4 - 2a2)x^2 + ... = 0由于等式左侧是一个幂级数，所以等式两边的每一项系数都为零，解得：a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/n(n-1) (n为奇数)b) 将f(x)代入微分方程，整理得到：2a2 + (3a3 - a1)x + (4a4 - 2a2)x^2 + ... = 0a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/(n+1)(n+2) (n为奇数)1.2 习题答案：a) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100LW = A解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A > 0解得：A < 625b) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A ≥ 0解得：A ≤ 625第二章：向量分析2.1 习题答案：a) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3解得：A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 3b) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 0以上是《数学物理方法第四版》第一章和第二章部分习题的答案，希望读者通过这些答案能够更好地理解课本内容，提高问题解决能力。
武汉大学12-13学年度第一学期数物A卷
武汉大学12-13学年度第一学期数物A卷武汉大学12-13学年度第一学期数物A卷武汉大学2022年―2022年学年度第学期《数学物理方法》试卷（A）学号姓名分数一、（本题10分）写出下列物理问题的定解问题1．一长度为的杆，在x=0的一端温度保持为零，而在另一端x= 处保持绝热，初始杆上温度梯度均匀，写出此定解问题。
2．散热片的横截面为矩形，边长分别为a和b。
它的一边处于较高的温度U，其它三边处于冷却介质中因而保持低的温度u0，写出该横截面上的稳定温度满足的定解问题。
ut Du__ 0(0 x l,t 0) 二、（本题10分）定解问题ux 0 t2,ux l 2t，若要使边界条件齐次化，求ut 0 0其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。
三、（本题10分）利用分离变量法求解下列定解问题：两端固定的弦的敲击问题。
utt a2u__ 0(0 x ,t 0) ux 0 ux 0ut 0 0u tt 0 （x c)(0 c )四、（本题10分）一半径为R的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为，ur R cos2 ，试求圆盘上稳定的温度分布。
utt 4u__ 0( x ,t 0) 五、（本题15分）一维无界波动问题ut 0 sinx utt 0 2cosx(5 1)1）试证u(x,t) f1(x 2t) f2(x 2t)是方程(5-1)的解，f1(x)和f2(x)两个任意函数。
2）利用达朗贝尔公式求解此一维无界波动问题。
六、（本题15分）柱坐标系中的热传导问题：有一无穷长的圆柱体，半径为1，若柱表面的武汉大学12-13学年度第一学期数物A卷温度为0，初始温度分布为f( ) (1 2)T0，试：1）写出此的定解问题；2）本征值和本征值函数；3）分离变量后，关于T(t)满足的方程和解；4）写出圆形膜的通解；5）求柱内的温度分布变化。
注意：通工、电科、电工、光科、测控专业做第七到第八题。
七、（本题15分）计算和证明下列各题1.微分方程X''(x) X(x) 0（0）和边界条件X( a) X(a) 0构成本征值问题，求相应的本征值和本征函数。
武汉大学：数学物理方法课件1_2Legendre多项式
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
最高幂系: cl ,当n = 0 l c0 , 当l - 2n = 0, 即n = 2 最低幂系:
l -1 c1 , 当l - 2n = 1,即n = 2
( -1) ( 2l - 2n ) ! l-2 n ∴ Pl ( x ) = ∑ l x n = 0 2 n ! ( l - n ) ! ( l - 2n ) !
( 3)
k + 2 )( k + 1) ( = lim k →∞ l ( l + 1) - k ( k + 1)
x < 1 收敛
=1
∴y(x)当
x > 1 发散 x = 1 收敛?发散?
2.由高斯判 Re µ > 1 收敛
∞
则 ∑ f k当
k =1
Re µ ≤ 1
发散
将x = ±1代入 ( 6 ) 和 ( 7 ) 得 :
0 1
1 = ( 3 x 2 - 1) 2
(12 )
e.g.
d 求 1- x2 y′ ( x ) + 6 y = 0的一特解 dx
( )
1 y = p2 ( x ) = ( 3 x 2 - 1) 2
五、Legendre多项式的其他表示
l 1 dl 2 1.微分式 Pl ( x ) = l x -1 l 2 l ! dx
l
d
P0 ( x ) = 1
P 1 (x) = x Pl (1) ≡ 1
LL
“在数学物理中一个方法的成功不是由于巧妙 的谋略，或幸运的偶遇，而是因为他表达着物理真理 的某个方面。” O.G.沙顿《数学的应用》1954
y0 ( x ) = c0 + c2 x 2 + ... + c2 n x 2 n + c2 n + 2 x 2 n
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第十六章 斯－刘问题
d 2 dy (1 − x ) y′′ − 2 xy′ + l (l + 1) y = 0 → [(1 − x ) ] + l (l + 1) y = 0 dx dx
2
问题的引入：
2 m 2 (1 − x ) y′′ − 2 xy′ + [l (l + 1) − ]y = 0 2 1− x
如：f ( ρ ) = ∑
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∞
m =1
cm J n ( k ρ ) cm =
n m
∫ 0 a2 2 n J n +1 (k m a ) 2
1
a
n ρf ( ρ ) J n (k m ρ )dρ
附：证明性质（3）
16.1 S-L问题
dym d [k ( x) ] − q ( x) ym + λm ρ ( x) ym = 0, (4) dx dx dy n d [k ( x) ] − q ( x) yn + λn ρ ( x) yn = 0, (5) dx dx b (4) ⋅ yn − (5) ym : (λm − λn ) ∫ ρ ( x) ym yn dx
2 ⎧ ′ ′ n Φ + Φ=0 例：⎨ ⎩Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
2 ⎧ r ⎪ + 2rR′ − l (l + 1) R = 0 r < R ⎨ ⎪ ⎩ R (r ) r =0 → 有限
2 ⎧ ⎪(1 − x ) y′′ − 2 xy′ + l (l + 1) y = 0 ⎨ y → 有限 ⎪ ⎩ x =1
四、例题
试证： （ ）e 1
2 tx −t
2
n d n x − x2 已知 H n ( x) = (−1) e e n 16.1 S-L 问题 dx
2
(1)
H n ( x) n =∑ t n! n =0
2
∞
证明： 令 e 2tx −t = ∑ an ( x)t n , 则
1 d 2tx −t 2 an ( x ) = e n n! dt
⎩ R(a) = 0 本征函数： n n xm xm n 本征值：k m = , m = 1,2,L Rm (kρ ) = J n ( ρ ), m = 1,2,L a a
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三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
16.1 S-L问题
n 2 ) ≥0 (2) λm ≥ 0, m = 1,2, L 如： (k m
2 d dy m → [(1 − x 2 ) ] − y + l (l + 1) y = 0 2 dx dx 1 − x 2 d dy n 2 2 2 2 2 → [( x ] − y + k xy = 0 x y′′ + xy′ + [k x − n ] y = 0 dx dx x
d dy [k ( x) ] − q ( x) y + λρ ( x) y = 0, a ≤ x ≤ b (1) dx dx
d 2 dy 例：(1 − x ) y′′ − 2 xy′ + l (l + 1) y = 0 → dx [(1 − x ) dx ] + l (l + 1) y = 0 dy n 2 d 2 2 2 2 x y′′ + xy′ + [k x − n ] y = 0 → [ x ] − y + k 2 xy = 0 dx dx x
2
dx
dx
具有有限性自然边界条件(下页）。
(2) 当 k (a ) = k (b)时，在边界x = a, x = b处， 具有周期性自然边界条件。
Φ′′ + n Φ = 0 →
2
例：
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d dΦ [1⋅ ] + n 2Φ = 0 dϕ dϕ
附：证明
16.1 S-L问题
d dy1 [k ( x) ] − q ( x) y1 + λρ ( x) y1 = 0, (2) dx dx d dy2 [k ( x) ] − q ( x) y2 + λρ ( x) y2 = 0, (3) dx dx dy2 d dy1 d (3) ⋅ y1 − (2) y2 : ] − y2 [k ( x) ] = 0, y1 [k ( x ) dx dx dx dx c d ′ − y2 y1 ′ )] = ′ − y2 y1 ′ )] = 0, → ( y1 y2 [k ( x)( y1 y2 dx k ( x) ′ − y2 y1 ′ y2 y1 y2 c y2 ( )′ = = ≠ 0 (Q ≠ C ) 2 2 y1 y1 k ( x) y1 y1
四、例题
16.1 S-L问题
ห้องสมุดไป่ตู้
⎧ X ′′( x) + λX ( x) = 0 (1) 1.已知S − L问题 : ⎨ ⎩ X (0) = 0, X (l ) = 0 (2)
求： 1 ）k ( x) = ?, k (0) = ?, k (l ) = ?, q( x) = ?, ρ ( x) = ? 2) λ = ?, 本征函数＝？ , N l = ?, 3）将f ( x) = x ∈ [0, l ]按上述本征函数展开
p ( x) = −2 x, h( x) = λ
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d − x2 − x2 (4) → [e y′] + λe y = 0 dx
−2 xdx − x2 ∫ → k ( x) = e =e
一、S-L方程
1、定义：
16.1 S-L问题
d dy [k ( x) ] − q ( x) y + λρ ( x) y = 0, a ≤ x ≤ b (1) 一S-L方程 dx dx
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一、S-L方程
1、定义：
16.1 S-L问题
dy d [k ( x) ] − q ( x) y + λρ ( x) y = 0, a ≤ x ≤ b (1) 一S-L方程 dx dx
k ( x) ≥ 0, q ( x) ≥ 0, ρ ( x) ≥ 0, λ − 常。
Mathematical Methods in Physics 武汉大学 物理科学与技术学院
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Methods in Mathematical Physics 第十六章 斯特母刘维尔问题 Problems of Sturm-Liuville equations
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2、任意的二阶方程可化为S-L方程
y′′( x) + p ( x) y′( x) + h( x) y ( x) = 0, (2)
p ( x ) dx p ( x ) dx d ∫ p ( x ) dx dy ∫ ∫ ( 2) ⋅ [ k ( x ) = e ] : [e ]+ e h( x) y = 0 (3) dx dx 例： Hermit方程：y′′ − 2 xy′ + λy = 0 (4)
(3)
∫
b
a
ρ ( x) ym ( x) yn ( x)dx = N n2δ mn
a
（见下页）
2 a n n 2 n ρ J ( k ρ ) J ( k ρ ) d ρ = J ( k 如： ∫0 n m n l n +1 l a )δ ml 2 ∞ 1 b (4) f ( x) = ∑ cm ym ( x) cm = 2 ∫a ρ ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m =1
2、 S-L本征值问题的性质： (1) 有无穷多个本征值：λ1 ≤ λ2 ≤ L ≤ λn ≤ L
无穷多个本征函数：y1 ( x) y2 ( x) L yn ( x) L 2 2 2 2 ⎧ ′ ′ ′ ρ ρ ρ ρ ρ R R k n ( ) + ( ) + ( − ) R( ρ ) = 0 例： ⎨
a
=∫
b
a
b dym dyn d d ]dx − ∫ yn [k ( x) ]dx ym [k ( x) a dx dx dx dx
a ′ − yn ym ′ )]b = [k ( x)( ym yn
1) 第一类：yn (a) = 0, ym (a) = 0 → 右边＝0
′ (a ) = 0, ym ′ (a ) = 0 → 右边＝0 2) 第二类：yn
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四、例题
∞
16.1 S-L问题
l n +1
2l (−1) nπx nπx c = 1 dx = x sin 3) x = ∑ cn sin , n 2 ∫0 nπ l Nl l n =1 n d −x 2. 已知 H n ( x) = (−1) n e x e (1) n dx
）k ( x) = 1, k (0) = k (l ) = 1, , q( x) = 0, ρ ( x) = 1; 解： 1 nπ 2 nπx 2) λ = ( ) , n = 1,2, L; X n ( x) = sin l l l l 1 l 2nπx 2 2 nπx N l = ∫ sin dx = ∫ [1 − cos ]dx = 0 l l 2 0 2
x
c dx + c1 ], 当k (a ) = 0, k (b) = 0时, y2 → ∞ y2 = y1[ ∫ x0 k ( x ) y 2 1
∴ y2
x = a ,b
→ 有限
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三、S-L本征值问题