第2课时 因式分解(2)PPT课件
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湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
首2 ±2×首 +尾2 ×尾
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
《分解因式》PPT课件2
(1)8m解2n+2mn
(2)ab2-a2b
(3) x2 y2
(4)4a2-b2
提问：多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)总共有多少种？
答：两种；分别(fēnbié)是：提取公因式法；公式法。
因式分解的步骤(bùzhòu)怎样？
答：1、首先考虑提取公因式法；
2、第二考虑公式法。 3、因式分解要分解到不能再分解为止。
例如：3x2y4-27x4y2
=3x2y2(y2-9x2)
基本概念
因式分解(yīn shì fēn jiě)
把一个多项式化成几个(jǐ ɡè)整式的积的形式叫做因式分解， 也叫分解因式。
ma mb mc 因 整式式乘 分法解m(a b c)
2021年9月29日星期三
第四页，共34页。
4
第四页，编辑(biānjí)于星期五：十五点 三十九分。
我们学习了因式分解(yīn shì fēn jiě)，请同学们想一 下我们学习了几种因式分解(yīn shì fēn jiě)的方法：
20
第二十页，编辑(biānjí)于星期五：十五点 三十九分。
◆不论(bùlùn)a、b为何数，代数式 a2+b2-2a+4b+5的值总是 （ ）D A.0 B.负数 C.正数 D.非负数
2021年9月29日星期三
第二十一页，共34页。
21
第二十一页，编辑(biānjí)于星期五：十五点 三十九分 。
C. x2－1=(x+1)(x－1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
2、下列因式分解中，正确的是（ ）C
A．3m2－6m=m(3m－6)
2.直接开平方法和因式分解法(二)PPT课件(华师大版)
(2)(x＋10)2＝16.
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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参考答案
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
华师版九年级数学上册《因式分解法》课件PPT
如果a·b=0, 那么a=0或b=0.
感悟新知
知识点 1 因式分解法的依据
知1－练
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两 个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式 中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
例 1 解方程： 10x－4.9x2＝0.
解： 方程的右边为0，左边可以因式分解,得
x(10－4.9x)＝0.
第22章 一元二次方程
22.2
一元二次方程的解法
第2课时 因式分解法
学习目标
1 课时讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程
感悟新知
例2 解下列方程： (1) 3x2＋2x＝0； (2) x2＝3x；
解：(1)方程左边分解因式，得
x(3x＋2)＝0.
分解x＝0或3x＋2＝0.
得x1＝0，
x2
2 3
.
知2－练
感悟新知
(2)移项，得 x2－3x＝0.
方程左边分解因式，得 x(x－3)＝0.
所以x＝0或x －3＝0. 得 x1 0, x2 3.
x2＝3x.但他们的解法各不相同．
复习提问 引出问题
由方程x2＝3x，得
方程x2＝3x两边
x2－3x＝0.
同时约去x，得
因此x＝ 3 9 ，
2
x1＝0，x2＝3.
x＝3. 所以这个数是3.
所以这个数是0或3.
人教版《因式分解》PPT实用课件2
A.x2 1 B. x2 2x 1 C. x2 4x 4 D. x2 x 1
分析(1)审题:能用完全平方公式；
(2)判断:
选择C
从项数入手，排除A；
从符号入手，排除B； x2 4x 4 x2 2 2x 22.
从公式结构入手，排除D； x2+4x+4=(x+2)2
例 将多项式x3-xy2分解因式，结果正确
例 在下列各多项式中，不能用平方差公 式分解因式D的是（ ）.
B．1 4m2
D． m2 1
分析(2)判断: A． a2-( 4b)2 符合；
B．可以变形为4m2-1 (2m)2-12 符合； C．也可以变形为y2-36x2，符合；
D．-m2-1=-(m2+1)，不符合．故选择D．
例 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是（ C ）.
p2 4
此多项式各项有公因 式当吗多项式不是
最简形式时，, 此可多以项先式使能用用整公式法 分式解乘因法式进吗行计
算化简,再进 行因式分解.
( p 2)( p 2).
巩固练习 分解下列因式:
(1) a2b(a b) 4b(b a);
(2) (a2 b2 )2 4a2b2;
(3) (x y)2 4(x y 1) .
平方差公式 完全平方公式
分解彻底
2.多项式分解因式的结果的一般要求
(1)数字写在字母前; 结 (2)因式之间省略乘号; 果 要 (3)相同因式写成幂的形式; 求 (4)每个因式中能合并的同类项要
合并. (5)每一个因式分解到不能再分解 为止.
课后作业
分解下列因式：
1. 9a2b 3a2c2 6abc;
=
y( y2+4xy 4x2 )
【课件】2 提公因式法因式分解(2)
则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b是否正确? (1) (y-x)2 = -(x-y)2 (2) (3+2x)3 = -(2x+3)3 (3) a-2b = -(-2b+a) (4) -a+b = -(a+b) (5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x)
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)
因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.
因式分解(2)——公式法(人教版)八年级数学上册PPT课件
原式＝（x-y）（a2-b2） ＝（x-y）（a+b）（a-b）．
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
七年级数学下册第3章因式分解公式法(第2课时)课件(新版)湘教版
解:原式=3x2y2(3xy-7x+4). 原式= x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y). 原式=(a-b-2c)2. 原式=m2-3m-4+3m= m2-4 =(m+2)(m-2).
【火眼金睛】
因式分解: 1 x2-2x+3.
4
解:原式=x2-x+ ( 1 )2
2
= (x 1 )2 .
2
知识点一 用完全平方公式进行因式分解(P65例5、6、 7拓展) 【典例1】因式分解: 4x2-12xy+9y2.
(x-y)4-2(x-y)2+1. (x2+2x)2+2(x2+2x)+1.
【思路点拨】题目可直接利用完全平方公式进行因式 分解. 题目注意要把(x-y)看成整体,并且要分解到每个因式 都不能再分解为止. 题目要两次运用完全平方公式进行因式分解.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
(A)
A. 1 x2-xy+y2
4
B.2x2+4x+1
C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy
2.多项式x2+ax+4能用完全平方公式分解因式,则a的值
是 __±__4____.
3.因式分解:x2-x+ 1 .
(A)
A.4x2-4x+1
B.9x2+3x+1
C.x2+4x+2y2
D.x2+5xy+25y2
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
12.2因式分解的方法(第2课时 运用平方差公式因式分解)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
解：不能.
课堂练习
2. 因式分解：
1
2
2
− 16;
解： − 16 = − 4
= +4 −4 .
2
2
2
4 2
2 − ;
25
4 2
2
2
解： − = −
25
5
2
2
= + − .
5
5
2
2
课堂练习
2. 因式分解：
3
9
2 2
− 812 ;
4
解：9 − 81 = 9 − 9
− 81
2
2
2
−9
=
= 2 + 9 2 − 9
= 2 + 9 + 3 − 3 .
(x+3)(x-3).
课堂练习
课堂练习12.2 2
1. 口答
下列整式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
1
4
+ 2 ;
2
4 − 2 ;
解：不能.
解：能.
3
4
−4 + 2 ;
解：能.
−4 − 2 .
课本例题
例4
因式分解：
1
3 3 − 12;
解 1
3 − 12
=3 2 − 4
= 3 + 2 − 2 .
3
当整式的各项含有公因式时，通常
先提取公因式，然后再考虑是否统
进一步因式分解
课本例题
例4
因式分解：
2
4 − 81.
解 2
4
因式分解要分解到每个因式都不能
人教版九年级数学上册第21章第2节《因式分解法》优质课件
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
4
x
x
11 4
0
故x=0或 x 11 0
4
x1=0,x2
11 4
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？
第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
推进新课
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=14090 .
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降 为一次的？
5x2－2x－1 x2 2x 3
4
4
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1=1 , x2= 1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（D ）
北师大版 八年级下册 因式分解 示范课课件 (2)
观察并总结 (1) 3x2-3x=3x(x-1) (2)ma+mb-m=m(a+b-1) (3) m2-16=(m+4)(m-4) (4) y2-6y+9= (y-3)2 (5) a3-a=a(a+1)(a-1)
因式分解定义:
把一个多项式化成几个整式的积的 形式,这种变形叫做因式分解.因式分 解也可以称为分解因式.
整式乘法
(5)m2-4=(m+2)(m-2) 因式分解
(6)2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
1、连一连
x2-y2 9-25b2 x2+2x+1 xy-y2
y（x-y）
（3-5b）·（3+5b）
（x-y）·（x+y）
（x+1）2
2、把下列各式写成乘积的形式:
(1) ax+ay
(2) a2-1 (3) a2+8a+16
因式分解
ab+ac=a(b+c) 理解 定义
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-b2=(a+b)(a-b)
和
积
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这 种变形叫做因式分解．
注意
1、等式左边是一个多项式（和）； 2、等式右边是几个整式的积； 3、因式分解是一个恒等变形；
4、因式分解在实数范围内要分解到不能再分解为止.
是
是 不是
不是
不是
不是
8x 1 x1 1x
是
不是
(1) 3x(x-1)=_3_x_2_-_3_x___ (1) 3x2-3x=__3_x_(x_-_1_)__
第2课时因式分解法-2024-2025学年数学华师大九年级(上册)课件
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步 骤 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
例题讲解 例1 解下列方程
情景导入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上 抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，
即
10x－4.9x2＝0.
①
用什么方法解方程①比较简单呢？
(1)3x2+2x=0;
解(2)：x2（=31x）方程左边分解因式，得
x(3x+2)=0
所以 x=0 或 3x+2=0
得
x1
0,
x2
2 3
（2）移项，得 x2-3x=0
方程左边分解因式，得 x(x-3)=0
所以 x=0 或 x-3=0 得 x1 0, x2 3
例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）；
获取新知 一起探究
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0， 那么a = 0或 b = 0.
x =0 或 10-4.9x=0
降次，化为两个一次方程
x1 0,
x2
100 49
2.04
来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步 骤 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
例题讲解 例1 解下列方程
情景导入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上 抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，
即
10x－4.9x2＝0.
①
用什么方法解方程①比较简单呢？
(1)3x2+2x=0;
解(2)：x2（=31x）方程左边分解因式，得
x(3x+2)=0
所以 x=0 或 3x+2=0
得
x1
0,
x2
2 3
（2）移项，得 x2-3x=0
方程左边分解因式，得 x(x-3)=0
所以 x=0 或 x-3=0 得 x1 0, x2 3
例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）；
获取新知 一起探究
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0， 那么a = 0或 b = 0.
x =0 或 10-4.9x=0
降次，化为两个一次方程
x1 0,
x2
100 49
2.04
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(2 y2
1) 2
否
否
否
是
a表示2y， (2 y 3x)2
b表示3x
是
a表示(a+b)， (a b 1) 2
b表示1
填一填
多项式
x2 x 1 4
是否是完全平 a、b各表示什 表示（a+b）2或（a
方式
么
－b）2
是
a表示x， b表示1/2
(x 1)2 2
9a2b2 3ab 1 否
1 m2 3mn 9n2 4
填一填
多项式
是否是完全平 a、b各表示什 表示（a+b）2或（a
方式
么
－b）2
x2 8x 16
4y4 4y2 1
1 9b2
x2 1 x 1 24
x2 4x 4y2
4 y2 12xy 9x2
(a b)2 2(a b) 1
是
a表示x， b表示4
(x 4)2
是
a表示2y2， b表示1
等式右边是：这两个数的平方差
（a+3)(a-3)= a2 -9 (2x+y)(2x-y)= (2x)2-y2=4x2-y2
a2 -9= （a+3 ）( a-3 )
4x2-y2= (2x+y )(2x-y ) a2- b2 =(a +b) (a - b)
因式分解的平方差公式：
两个因式的积 的形式
a² - b² = (a+b) (a-b)
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍.
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式； 2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
首2 2首尾尾2
随堂演练
判别下列各式是不是完全平方式.
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
752- 252 =(75+25)(75-25）
数字变字母：a2- b2=(a + b)( a - b)
总结： 利用平方差公式的逆运算——分解因式.
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b² 两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差。
公式结构特点：
等式左边是：两个数的和与这两个 数的差的积
是
a表示
1 2
m，
(
1
m
3n)
2
b表示3n 2
x6 10x3 25
否
课堂小结
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2
• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a2 2ab b2 a b2
• 3:完全平方公式特点： 含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?
• 答: a平方前符号为正，b平方前符号为负。
例1：分解因式: (1) x5－x3
解：(1) x5－x3 =x3 (x2 –1)= x3 (x+1)(x－1)
结论： 1、若有公因式，要先提公因式，再考虑
平方差公式. 2、分解因式分解到不能分解为止. (2)2x4-32y4 =2(x4-16y4)
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
（√）
(4) 4x2- 9 =(2x+3)(பைடு நூலகம்x- 3 ) （ √ ）
1、分解因式学了哪些方法
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习 把下列各式分解因式
① ax 4 ax 2
② x4-16
解:原式=ax2(x2-1)
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=ax2(x+1)(x-1)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
（有公因式，先提公因式） （因式分解要彻底）
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
推进新课
你们能快速计算： 752－ 252 ＝？吗？
两个数(式)的平方差 与
这两数(式)的和 这两数(式)的差的积。
公式中的a，b可以是单独的 、数字 ，字也母可以
是
、单项式 。 多项式
因式分解的平方差公式：
a²- b²= (a+b) (a-b)
具备什么特征的多项式是平方差式？
• 答：1. 多项式只有两项，两项符号相反 2.两部分都可写某个式子(或数)的平方
第12章 整式的乘除
12.5 因式分解 第2课时 因式分解（2）
八年级上册
新课导入
1:什么叫多项式的因式分解?
把一个多项式化为几个整式乘积的形 式，叫做多项式的因式分解
2、判断下列变形过程，哪些是因式分解？
(1) (x+2)(x-2)=x2- 4
（ ×）
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x （×）
=2(x2+4y2)(x2-4y2) = 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
现在我们把乘法公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”.
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式.