1992考研数学真题+答案

dy y sin xy e x y = . dx e x y x sin xy
(2) 函数 u ln( x2 y2 z 2 ) 在点 M (1, 2, 2) 处的梯度 gradu M 2 1, 2, 2 / 9 (3) 设 f ( x)
1, x 0 2 ，则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 处收敛于 . x 2 2 1 x ,0 x
3 2
(4) [92-1、2] 设 f ( x) 3x x x , 则使 f (A) 0. (B) 1.
(0) 存在的最高阶数 n 为
2.
(C)
1 0 (5) 要使 1 0 , 2 1 都是线性方程组 AX=0 的解, 只要系数矩阵 A 为 2 1

W
3 t 2 dt .
0
OM 1
yzdx zxdy xydz
下面求W 在条件
2 2
a2 b2

2
c2
1( 0, 0, 0)下的最大值.
令F( , , ) (1
2 2
a2 b2
( n)
(百度文库)
n 1

(1 cos ) (常数 0) n
(B) 条件收敛.
2 3

(A) 发散. (A) 只有 1 条
(D) 收敛性与 有关. (B) (C) 3. (A) (D) 不存在 (D)
(3) 在曲线 x t, y t , z t 的所有切线中， 与平面 x 2 y z 4 平行的切线 (B) 只有 2 条
x 3 x
……3 分
1 1 3 x * ，所以 y xe ……5 分 4 4
……6 分
1 xe3 x . 4
五、(本题满分 8 分) 计算面积分
( x

3
az 2 )dydz ( y 3 ax 2 )dzdx ( z 3 ay 2 )dxdy,
1992 年 • 第 2 页
(4) 微分方程 y y tan x cos x 的通解为 y ( x c) cos x .
a1b1 a1b2 a b a b 2 1 2 2 (5) 设 A= anb1 anb2
a1bn a2 bn ， 其中 ai 0, bi 0 ,( i 1, 2, , n )， 则矩阵 A 的秩 r(A)= 1 . anbn
三、(本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分) (1) 求 lim
. 1 1 x2 e x sin x 1 解：原式 = lim 1 2 x 0 2 x
x 0
e x sin x 1
……2 分 ……4 分 ……5 分
e x cos x x 0 x 1. lim
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) x1 f (2 ),( x2 2 x1 x2 ) .
不妨设 x1 x2 ，则有 1 2 . 由于 f ( x) 0 ，知 f ( x) 单调减少，故 f (2 ) f (1 ) ， 而 x1 0 ，所以 f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) ， 由 f (0) 0即得，f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) . 七、(本题满分 8 分) 在变力 F yz i zx j xy k 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
……3 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分
i (i 1, 2,3) ， n 故 A 2A 1 2An2 An3 21n1 22 2 3n3
n n i i
n 1 n 1 1 1 2 2 3 ……7 分 2 1 2 2n 2 3n 3 2 2n 2 3n 1 . 1 4 9 2 2n 3 3n 2 1 0 0 1 解二：因 P AP 0 2 0 ，其中 P [1 , 2 , 3 ] . ……4 分 0 0 3 n 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n 1 故 A P 0 2 0 P ， A P 0 2 0 P P 0 2n 0 P 1 ， ……5 分 0 0 3 0 0 3 0 0 3n n 1 n 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 2 2 3 n n 0 P 1 1 2 3 0 2n 0 2 2 2n 2 3n 1 .……7 分 所以 A P 0 2 0 0 3n 1 4 9 0 0 3n 1 2 2n 3 3n 2
解： 解：令 x 2 t ，则原式 =

1
1 0 1
f (t )dt (1 t 2 )dt et dt
0 1
……2 分 ……4 分 ……5 分

四、(本题满分 6 分)
7 1 3 e
求微分方程 y 2 y 3y e 3x 的通解. 解：对应齐次方程的通解为： y c1ex c2e3x ，其中 c1 , c2 为任意常数. 设原方程的一个特解为 y* Axe3x ，代入原方程得 A 所求通解为 y c1e c2e
……6 分
从而
2
a
2

2
b
2

2
c
2
,即得
2
a
2

2
b
2

2
2
1 1 1 1 a, b, c. , 于是得 c 3 3 3 3
……7 分 ……8 分
由问题的实际意义知 Wmax 八、(本题满分 7 分)
3 abc . 9
设向量组 1 , 2 , 3 线性相关，向量组 2 , 3 , 4 ，问： (1) 1 能否由 2 , 3 线性表出？证明你的结论. (2) 4 能否由 1 , 2 , 3 线性表出？证明你的结论. 解：(1) 1 能由 2 , 3 线性表出. 因为已知 2 , 3 , 4 线性无关，所以 2 , 3 线性无关. 又因为 1 , 2 , 3 线性相关，故证得 1 能由 2 , 3 线性表出. (2) 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出. 用反证法.假设 4 可由 1 , 2 , 3 线性表出，即 4 11 22 33 . 又由(1)知， 1 l22 l33 ，故代入上式得 4 (2 1l2 )2 (3 1l3 )3 . 即 4 可由 2 , 3 表出，从而 2 , 3 , 4 线性相关，这和已知矛盾. 因此， 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出. 九、(本题满分 7 分) 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 3, 对应的特征值向量依次为 ……7 分 ……1 分 ……3 分 ……4 分 ……5 分
2z (2) 设 z f (ex sin y, x2 y2 ) , 其中 f 具有二阶连续偏导数, 求 . xy
z ……2 分 e x sin yf1 2 xf 2 x 2 z f11e2 x sin y cos y 2e x ( y sin y x cos y ) f12 4 xyf 22 f1e x cos y .……5 分 xy 3 1 x 2 , x 0 (3) 设 f ( x) x ，求 f ( x 2) dx . 1 e , x 0

……2 分 ……4 分 ……6 分 ……7 分
y2 x2 z2 1 上第一卦限的点 M( , , ) ，问当 , , 取何值时，力 F 所作的功 W a2 b2 c2 最大? 并求出 W 的最大值.
解：直线段 OM : x t , y t , z t , t从0到1， ……1 分 ……2 分 ……4 分

2
c2
),
……5 分
1992 年 • 第 3 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1992 年数学试题参考解答及评分标准
2 F 0 a 2 , 2 F 0 ，得 2 , 由 b F 2 0 c 2 ,
1992 年 • 第 1 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1992 年数学试题参考解答及评分标准
0 1 1 2 0 1 1 0 2 (A) 2 1 1 ； (B) ；(C) 0 1 1 ；(D) 4 2 2 0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0
2

a
……6 分 ……8 分
6 1 29 a5 a5 a5 . 5 4 20
六、(本题满分 7 分) 设 f ( x) 0, f (0) 0, 证明: 对任何 x 1 0, x 2 0, 有 f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) . 证：由微分中值定理，有 f ( x1 ) f (0) x1 f (1 ),(0 1 x1 )
1 1 1 1 1 1, 2 2, 3 3. 又向量 1. 1 4 9 3 n (1) 将 用 1 , 2 , 3 线性表出；(2) 求 A (n 为自然数).
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1992 年数学试题参考解答及评分标准
其中 为上半球面 z = a 2 x 2 y 2 的上侧． 解：记 S 为平面 z 0( x2 y2 a2 ) 的下侧， 为与S所围成的空间区域 ，则 原式
( x
S S
3
az 2 )dydz ( y3 ax2 )dzdx ( z3 ay 2 )dxdy
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1992 年数学试题参考解答及评分标准
1992 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) (1) 设函数 y y ( x ) 由方程 ex y cos( xy) 0 确定, 则
1992 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1992 年数学试题参考解答及评分标准
得唯一解 (2, 2,1) ，故 21 2 2 3 . (2) 解一： An An (21 22 3 ) 由于 Ai i i, A
n n
(1) 解：设 x11 x22 x33 ， ……1 分 ……2 分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则由 1 2 3 1 0 1 2 0 0 1 2 0 1 4 9 3 0 3 8 2 0 0 2 2
……2 分 ……4 分
a
3 2 3 2 3 2 ( x az )dydz ( y ax )dzdx ( z ay )dxdy
3( x2 y 2 z 2 )dxdydz

x2 y 2 a2

ay 2 dxdy
2
3 d 2 sin d 4 d a sin 2 d r 3dr
1
二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
x 2 1 x 1 (1) 当 x 1 时，函数 e 的极限 x 1
(A) 等于 2 (2) 级数 (B) 等于 0.
n
（D） (C) 为 . (D) 不存在但不为 . (C) (C) 绝对收敛. (C) 至少有 3 条