电磁感应动力学问题归纳

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问题 1、电磁感应现象中的动态与终态分析问题： 例：如图甲所示，两根足够长的直金属导轨 MN、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为 L. M、P 两点间接有阻值为 R 的电阻. 一根质量为 m 的均匀直金属杆 ab 放在两导轨上，并与导轨垂直， 整套装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略。让 ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.
2
【解析】金属棒 ab 下滑时电流方向及所受力如图乙所示，其中安培力 F IlB B2l2 v / R ，棒下滑的 加速度
a mg sin (mg cos B2l2 v / R) m
棒由静止下滑，当 v 变大时，有下述过程发生； v F合 a v ，可知 a 越来越小，当 a=0 时 速度达到最大值，以后棒匀速运动。
解法一：设杆 2 的运动速度为 v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，
产生感应电动势 Bl(v0 v)
①
I
感应电流
R1 R2
②
杆 2 做匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力， BlI m2g ③
以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率 P m2gv ④
解得
（1）由 b 向 a 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出 ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图； （2）在加速下滑过程中，当 ab 杆的速度大小为 v 时，求此时 ab 杆中的电流及其加速度的大小； （3）求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度的最大值。 【解析】（1）重力 mg，竖直向下；支持力 N，垂直斜面向上；安培力 F，沿斜面向上，如图所示；
I E Blv cos
R 2R
①
由右手定则可知金属杆中电流方向是从 N 到 M，此时金属杆除受重力 mg、支持力 N 外，还受到磁场
F BIL B2L2 v cos
力，即：
2R
②
金属杆受力示意图如图所示，金属杆沿斜面方向的合外力为：
F合
mg sin
F cos
mg sin
B2 L2 v 2R
I E Blv （2）当 ab 杆速度为 v 时，感应电动势 E Blv ，此时电路中电流 R R 。
F BIL B2L2 v
ab 杆受到安培力
R，
根据牛顿运动定律，有
ma mg sin B2L2 v R
a g sin B2L2 v mR
（3）当
B2 L2 v R
mg sin
时，ab
（1）金属杆 MN 运动的最大速度 v m 的大小， 1
（2）金属杆 MN 达到最大速度的 3 时的加速度 a 的大小。
Fra Baidu bibliotek
【 解 析 】 金 属 杆 MN 由 静 止 释 放 后 ， 沿 导 轨 加 速 下 滑 时 ， 切 割 磁 感 线 产 生 感 应 电 动 势 为 E BLv cos ，由 MN 与电阻 R 组成的闭合电路中感应电流为：
规律方法总结：1、双金属棒在导轨上滑动时，要特别注意两棒的运动方向，从而确定两“电源”的
电动势方向，据闭合电路欧姆定律计算电路中的电流强度，从而求出要求的其它问题。
2、和单棒在导轨上滑动一样，要认真进行受力情况和运动情况的动态分析，以及功、能的综合分析。
杆达到最大速度
vm
vm
mgR sin B2 L2
变式 1、 【针对训练 1】如图甲所示，CD、EF 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为 l，导轨
平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为 B， 在导轨的 C、E 端连接一个阻值为 R 的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒 ab，质量为 m，从静止开始沿 导轨下滑，求 ab 棒的最大速度。（要求画出 ab 棒的受力图，已知 ab 与导轨间的动摩擦因数μ，导轨和金 属棒的电阻都不计）
也将做加速运动，但此时 b 的加速度大于 a 的加速度，因此 a 与 b 的速度差将增大，据法拉第电磁感应定
律，感应电流将增大，b 的加速度减小，但只要 b 的加速度仍大于 a 的加速度，a、b 的速度差就会继续增
大，所以当 a 与 b 的加速度相等时，速度差最大，回路中产生相应的感应电流也最大，设此时导线 a 与 b
1. 动态分析：求解电磁感应中的力学问题时，要抓好受力 分析和运动情况的动态分析，导体在拉力作用下运动，切割磁感线产生感应电动势→感应电流→通电
导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化，周而复始地循环，当循环结束时，加速度等于零，
导体达到稳定运动状态。此时 a=0，而速度 v 通过加速达到最大值，做匀速直线运动；或通过减速达到稳
BLv↑→电流 I↓→安培力 F=BIL↓→加 速度 a↓，当安培力 F=0 时，a=0，v 最 大。
速度 v↑→感应电动势 E=BLv↑→电流 I E
R ↑→安培力 F=BIL↑→加速度 a↓， 当安培力 F mg sin 时，a=0，v 最大。
变加速运动
变加速运动
匀速运动 v m
E BL
vm 匀速运动
cos 2
1 3
vm
mg sin
1 3
mg sin
2 3
mg sin
，
而
F合 ma 有
：
a 2 g sin 3
3
2mgR tan 【答案】① B2L2 cos
2 g sin ②3
规律方法总结：对于滑棒类问题的动态分析问题，抓住受力情况，进行运动过程的动态分析是关键，
既要注意感应电流的方向及安培力大小、方向的判断，又要善于运用牛顿运动定律与电磁学中有关力的知
电磁感应动力学问题归纳
重、难点解析：
（一）电磁感应中的动力学问题
电磁感应和力学问题的综合，其联系桥梁是磁场对感应电流的安培力，因为感应电流与导体运动的加
速度有相互制约的关系，这类问题中的导体一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋于一
个稳定状态，故解这类问题时正确进行动态分析确定最终状态是解题的关键。
mgR sin B2 L2
4. 解决此类问题的基本步骤： （1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）求出感应电动势的大小和方向 （2）依据全电路欧姆定律，求出回路中的电流强度. （3）分析导体的受力情况（包含安培力，可利用左手定则确定所受安培力的方向）. （4）依据牛顿第二定律列出动力学方程或平衡方程，以及运动学方程，联立求解。
E Bl(v 2 v1 ) I E /(2R) 令 F 表示磁场对每根杆的安培力的大小，则 F BIl .
4
令 a1 和 a2 分别表示 ab 杆、cd 杆和物体 M 加速度的大小，T 表示绳中张力的大小. 由牛顿定律可知 F ma1 Mg T Ma 2 T F ma 2 由以上各式解得 a1 B2l2 (v 2 v1 ) /(2Rm) a 2 [2MgR B2l2 (v 2 v1 )] /[2(M m)R]
变式 4、
【针对训练 4】（15 分）如图，在水平面上有两条平行导电导轨 MN、PQ,导轨间距离为 l ，匀强磁场
垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为 B，两根金属杆 1、2 摆在导轨上，与导轨垂 直，它们的质量和电阻分别为 m1、m2 和 R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为 ，已 知：杆 1 被外力拖动，以恒定的速度 v0 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆 2 也以恒定速度沿导轨运动，导 轨的电阻可忽略，求此时杆 2 克服摩擦力做功的功率。
【解析】重物 M 下落使杆 cd 做切割磁感线运动，产生感应电动势，同时在 abdc 回路中形成感应电流， 则 ab 杆受安培力作用而向右做切割磁感线运动，ab 杆也产生感应电动势. 用 E 和 I 分别表示 adbc 回路的 感应电动势和感应电流的大小. 根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可知
当平衡时有： mg sin mg cos B2l2 v m / R 0 ∴ v m mg(sin cos )R / B2l2 .
变式 2、 【针对训练 2】如图所示，两根平滑的平行金属导轨与水平面成θ角放置。导轨间距为 L，导轨上端
接有阻值为 R 的电阻，导轨电阻不计，整个电阻处在竖直向上，磁感应强度为 B 的匀强磁场中，把一根质 量为 m、电阻也为 R 的金属圆杆 MN，垂直于两根导轨放在导轨上，从静止 开始释放，求：
P
m2g[v0
m2g B2l2
(R1
R2 )]
⑤
解法二：以 F 表示拖动杆 1 的外力，以 I 表示由杆 1、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，
对杆 1 有 F m1g BIl 0 ①
对杆 2 有 BIl m2g 0 外力 F 的功率 PF Fv0
② ③
以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率，则有 P PF I2 (R1 R 2 ) m1gv0 ④
由以上各式得
P
m 2g[v0
m 2g B2l2
(R1
R 2 )]
⑤
5
变式 5、 【针对训练 5】如图所示，两根完全相同的“V”字形导轨 OPQ 与 KMN 倒放在绝缘水平面上，两导
轨都在竖直平面内且正对平行放置，其间距为 L，电阻不计，两条导轨足够长，所形成的两个斜面与水平 面的夹角都是 . 两个金属棒 ab 和 ab 的质量都是 m，电阻都是 R，与导轨垂直放置且接触良好. 空间有 分别垂直于两个斜面的匀强磁场，磁感应强度均为 B.
分 析
运动 形式 最终 状态
棒 ab 长为 L，质量 m，电阻 R，导轨光 棒 ab 长 L，质量 m，电阻 R；导轨光滑， 电阻不计
滑，电阻不计
F BLE S 闭合，棒 ab 受安培力 R ，此时
棒 ab 释放后下滑，此时 a g sin ，棒 ab
a BLE mR ，棒 ab 速度 v↑→感应电动势
识综合运用。
问题 2、双棒类运动模型问题分析： 例：如图所示，质量都为 m 的导线 a 和 b 静止放在光滑的无限长水平导轨上，两导轨间宽度为 L，整
个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感强度为 B，现对导线 b 施以水平向右的恒力 F，求回路中 的最大电流.
【剖析】开始时导线 b 做加速运动，回路中很快产生感应电流，根据右手定则与左手定则得出导线 a
如果两条导轨皆光滑，让 ab 固定不动，将 ab 释放，则 ab 达到的最大速度是多少？
【解析】ab 运动后切割磁感线，产生感应电流，而后受到安培力，当受力平衡时，加速度为 0，速度
达到最大。
则： mg sin F安 ，又 F安 BIL
I E感 / 2R
E感 BLvm
vm 联立上式解得
2mgR sin B2 L2
定值，做匀速直线运动.
2. 两种状态的处理：当导体处于平衡态——静止状态或匀速直线运动状态时，处理的途径是：根据合外
力等于零分析。当导体处于非平衡态——变速运动时，处理的途径是：根据牛顿第二定律进行动态分析，
或者结合动量的观点分析. 3. 常见的力学模型分析：
类型
“电—动—电”型
“动—电—动”型
示 意 图
的共同加速度为 a 共 ，回路中电流强度为 Im ，
对导线 a 有 F安 ma 共 对导线 a 与 b 系统有 F 2ma 共
又 F安 BIm L
可解得 I m
F 2BL
变式 3、 【针对训练 3】如图所示，两条平行的长直金属细导轨 KL、PQ 固定于同一水平面内，它们之间的距
离为 l，电阻可忽略不计；ab 和 cd 是两个质量皆为 m 的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨接触良好， 并可沿导轨无摩擦的滑动，两杆的电阻皆为 R. 杆 cd 的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻质定滑轮悬挂一 质量为 M 的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆 cd 之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行. 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为 B. 现两杆 与悬挂物都从静止开始运动，当 ab 杆和 cd 杆的速度分别达到 v1 和 v2 时，两杆加速度大小各为多少？
cos 2
根据牛顿第二定律有：
mg sin B2L2 v cos2 ma
2R
③
由③式可知，当 a=0 时，金属杆上滑的速度达最大值，由③式解得：
vm
2mgR tan B2L2 cos
v （2）将
1 3 vm
2mgR tan 3B2L2 cos
代入③得：
F合
mg sin
B2 L2 2R