二次函数配方求顶点坐标和对称轴练习
初中数学(中考)关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标、对称轴的专题问题:
关于使用配方法求二次函数的分析式和顶点坐标、对称轴的专题问题:1.(2013•安徽模拟)已知:二次函数y=2x2+bx+c过点(1,1)和点(2,10),求二次函数的分析式,并用配方法求二次函数图象的顶点坐标.2.(2011•普陀区一模)已知一个二次函数的图象经过A(0,1)、B(1,3)、C(﹣1,1)三点,求这个函数的分析式,并用配方法求出图象的顶点坐标.3.(2011•黄浦区一模)已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(1,1)和(﹣1,9).(1)求此函数的分析式;(2)用配方法求此函数图象的顶点坐标.4.(2010•嘉定区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5).(1)求这个二次函数的分析式;(2)用配方法求出这个二次函数的顶点坐标.5.(1999•福州)已知:二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,12)、B(2,﹣3).(1)求该二次函数的分析式;(2)用配方法把由(1)所得的分析式化为y=(x﹣h)2+k的形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)求抛物线和x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积.6.(2010•虹口区一模)已知二次函数y=x2+2x﹣3,解答下列问题:(1)用配方法将该函数分析式化为y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴,以及它的变化情况.7.(2012•闸北区一模)已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)、(2,10)、(﹣2,﹣6).(1)求这个抛物线的分析式;(2)运用配方法,把这个抛物线的分析式化为y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的顶点坐标;(3)把这个抛物线先向右平移4个单位,再向上平移6个单位,求平移后得到的抛物线和y轴交点的坐标.8.(2009•通州区二模)已知二次函数y=x2﹣3x﹣4.(1)用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴;(2)画出这个函数的大致图象,指出函数值不小于0时x的取值范围.9.(2005•静安区二模)如图,二次函数y=x2﹣(m+1)x+m(其中m>1)和x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),和y轴相交于点C.(1)求点A、B的坐标(可用m的代数式表示);(2)当△ABC的面积为6时,求这个二次函数的分析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标.10.(2011•虹口区一模)已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A(0,1)、B(﹣2,1)两点.(1)求该函数的分析式;(2)用配方法将该函数分析式化为y=a(x+m)2+k.11.(2009•黄浦区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,3).(1)求此函数的分析式;(2)用配方法(写出配方过程)将此函数化为y=a(x+m)2+k的形式,并写出其顶点坐标;(3)在线段AC上是否存在点P(不含A、C两点),使△ABP和△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2005•广州)已知二次函数y=ax2+bx+c.(1)当a=1,b=﹣2,c=1时,请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象;(2)用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标.13.(2006•遂宁)已知二次函数y=x2+4x.(1)用配方法把该函数化为y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;(2)函数图象和x轴的交点坐标.14.(2005•乌兰察布)已知抛物线y=x2﹣2x﹣3,将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出对称轴、顶点坐标及图象和x轴、y轴的交点坐标.15.(1997•上海)用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.16.(1997•安徽)通过配方,确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标.17.(2014•虹口区一模)已知二次函数y=﹣﹣x+.(1)用配方法把该二次函数的分析式化为y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.18.(2009•门头沟区二模)已知二次函数y=2x2﹣4x+5,(1)将二次函数的分析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得二次函数图象的顶点为A,请你直接写出点A的坐标;(3)若反比例函数y=的图象过点A,求反比例函数的分析式.答案:1.(2013•安徽模拟)已知:二次函数y=2x2+bx+c过点(1,1)和点(2,10),求二次函数的分析式,并用配方法求二次函数图象的顶点坐标.解:把(1,1)和(2,10)代入y=2x2+bx+c有:,解有:,∴二次函数的分析式为:y=2x2+3x﹣4,y=2x2+3x﹣4,=2(x2+x+)﹣﹣4,=2(x2+x+)﹣,=2(x+)2﹣,∴二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣).2.(2011•普陀区一模)已知一个二次函数的图象经过A(0,1)、B(1,3)、C(﹣1,1)三点,求这个函数的分析式,并用配方法求出图象的顶点坐标.解:(1)设所求的二次函数分析式为y=ax2+bx+c(a≠0).由这个函数的图象过A(0,1),可知c=1.(1分)再由这个函数的图象过点B(1,3)、C(﹣1,1),有∴(2分)∴(2分)∴这个二次函数的分析式为:y=x2+x+1.(1分)(2)y=x2+x+1.(2分)∴这个二次函数的顶点坐标为.(2分)3.(2011•黄浦区一模)已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(1,1)和(﹣1,9).(1)求此函数的分析式;(2)用配方法求此函数图象的顶点坐标.解:(1)由条件有,解有,∴分析式为y=2x2﹣4x+3;(2)y=2x2﹣4x+3,=2(x2﹣2x+1)+3﹣2,=2(x﹣1)2+1,∴顶点坐标为(1,1).4.(2010•嘉定区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5).(1)求这个二次函数的分析式;(2)用配方法求出这个二次函数的顶点坐标.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5),∴(1分)∴(3分)∴这个二次函数的分析式为:y=x2﹣6x+5.(1分)(2)y=x2﹣6x+5y=(x2﹣6x+9﹣9)+5(2分)y=(x﹣3)2﹣4.(1分)∴这个二次函数的顶点坐标为(3,﹣4).(2分)5.(1999•福州)已知:二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,12)、B(2,﹣3).(1)求该二次函数的分析式;(2)用配方法把由(1)所得的分析式化为y=(x﹣h)2+k的形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)求抛物线和x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积.解:根据题意,有(1分)解有;(3分)∴该二次函数的分析式y=x2﹣6x+5;(4分)(2)∵y=x2﹣6x+5=(x﹣3)2﹣4,(6分)∴抛物线的顶点坐标为(3,﹣4),(7分)对称轴为直线x=3;(8分)(3)由x2﹣6x+5=0,解有x1=1,x2=5;(9分)∴C、D两点坐标分别为(1,0),(5,0);(10分)S△ACD=×4×12=24.(12分)6.(2010•虹口区一模)已知二次函数y=x2+2x﹣3,解答下列问题:(1)用配方法将该函数分析式化为y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴,以及它的变化情况.解:(1)y=x2+2x+1﹣4=(x+1)2﹣4;(2)∵a=1>0,m=1,k=﹣4,∴该函数图象的开口向上;顶点坐标是(﹣1,﹣4);对称轴是直线x=﹣1;图象在直线x=﹣1左侧部分是下降的,右侧的部分是上升的.7.(2012•闸北区一模)已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)、(2,10)、(﹣2,﹣6).(1)求这个抛物线的分析式;(2)运用配方法,把这个抛物线的分析式化为y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的顶点坐标;(3)把这个抛物线先向右平移4个单位,再向上平移6个单位,求平移后得到的抛物线和y轴交点的坐标.解:(1)根据题意有:,解有∴这个抛物线的分析式是y=2x2+4x﹣6;(2)y=2x2+4x﹣6=2(x2+2x)﹣6,y=2(x2+2x+1)﹣2﹣6,∴y=2(x+1)2﹣8∴顶点坐标是(﹣1,﹣8);(3)将顶点(﹣1,﹣8)先向右平移4个单位,再向上平移6个单位,有顶点坐标为(3,﹣2),∴平移后到的抛物线的分析式是y=2(x﹣3)2﹣2,令x=0,则y=16,∴它和y轴的交点的坐标是(0,16).9.(2005•静安区二模)如图,二次函数y=x2﹣(m+1)x+m(其中m>1)和x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),和y轴相交于点C.(1)求点A、B的坐标(可用m的代数式表示);(2)当△ABC的面积为6时,求这个二次函数的分析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标.解:(1)抛物线y=x2﹣(m+1)x+m(其中m>1)中,令y=0,有:x2﹣(m+1)x+m=0,即(x﹣m)(x﹣1)=0,解有:x1=m,x2=1;∴A(1,0),B(m,0);(2)易知C(0,m);∵S△ABC=AB•OC=(m﹣1)•m=6;∴m2﹣m﹣12=0,解有m=4,m=﹣3(不合题意,舍去);∴y=x2﹣5x+4=(x﹣)2﹣;∴抛物线的顶点坐标为(,﹣).8.(2009•通州区二模)已知二次函数y=x2﹣3x﹣4.(1)用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴;(2)画出这个函数的大致图象,指出函数值不小于0时x的取值范围.解:(1)∵y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+()2﹣()2﹣4=(x﹣)2﹣;∴二次函数图象的顶点坐标是(,﹣),对称轴方程是x=.(2)∵y=x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4),图象和x轴两交点坐标为(﹣1,0),(4,0),∴函数值不小于0时,x的取值范围是x≤﹣1或x≥4.图象如图.10.(2011•虹口区一模)已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A(0,1)、B(﹣2,1)两点.(1)求该函数的分析式;(2)用配方法将该函数分析式化为y=a(x+m)2+k.解:(1)根据题意,有,解得,,∴该二次函数的分析式是y=2x2+4x+1;(2)由(1)中的二次函数的分析式知,y=2(x2+2x)+1=2(x2+2x+1)+1﹣2=2(x+1)2﹣1.11.(2009•黄浦区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,3).(1)求此函数的分析式;(2)用配方法(写出配方过程)将此函数化为y=a(x+m)2+k的形式,并写出其顶点坐标;(3)在线段AC上是否存在点P(不含A、C两点),使△ABP和△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意有:,(2分)解有:;(1分)∴此函数分析式为y=﹣x2+2x+3;(1分)(2)y=﹣x2+2x+3=﹣(x2﹣2x+1)+3+1(2分)=﹣(x﹣1)2+4;(1分)∴顶点为(1,4);(1分)(3)假设存在点P,使△ABP和△ABC相似,则/;当时,AP=AC;(不合题意,舍去)(1分)当时,;(1分)由题意易有直线AC的分析式为:y=﹣x+3,设P(x,﹣x+3),其中0<x<3,则,解有:(舍去);(1分)∴.(1分)12.(2005•广州)已知二次函数y=ax2+bx+c.(1)当a=1,b=﹣2,c=1时,请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象;(2)用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标.解:(1)当a=1,b=﹣2,c=1时,y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴该二次函数的顶点坐标为(1,0),对称轴为直线x=1,x …﹣1 0 1 2 3 …y … 4 1 0 1 4 …(2)由y=ax2+bx+c是二次函数,知a≠0y=a(x2+x)+c=a[x2+x+()2]+c﹣a×()2=a(x+)2+∴该二次函数图象的顶点坐标为.13.(2006•遂宁)已知二次函数y=x2+4x.(1)用配方法把该函数化为y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;解:(1)∵y=x2+4x=(x2+4x+4)﹣4=(x+2)2﹣4,∴对称轴为:x=﹣2,顶点坐标:(﹣2,﹣4);(2)y=0时,有x2+4x=0,x(x+4)=0,∴x1=0,x2=﹣4.∴图象和x轴的交点坐标为:(0,0)和(﹣4,0).14.(2005•乌兰察布)已知抛物线y=x2﹣2x﹣3,将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出对称轴、顶点坐标及图象和x轴、y轴的交点坐标.解:y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣1﹣3=(x﹣1)2﹣4,对称轴是x=1,顶点坐标是(1,﹣4),当x=0时,y=﹣3,∴y轴的交点坐标为(0,﹣3),当y=0时,x=3或x=﹣1即和x轴的交点坐标为(3,0),(﹣1,0).15.(1997•上海)用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.解:y=1﹣4x﹣2x2,=﹣2(x2+2x+1)+2+1,=﹣2(x+1)2+3,∴,∵a=﹣2<0,∴它的图象的开口方向向下,顶点坐标为(﹣1,3),对称轴为直线x=﹣1.16.(1997•安徽)通过配方,确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标.解:y=﹣2x2﹣5x+7=﹣2(x2+x)+7=﹣2(x+)2+,∵a=﹣2<0,∴抛物线开口向下,对称轴是直线x=﹣,顶点坐标为(﹣,).17.(2014•虹口区一模)已知二次函数y=﹣﹣x+.(1)用配方法把该二次函数的分析式化为y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.解:(1)y=﹣x2﹣x+,=﹣(x2+2x+1)++,=﹣(x+1)2+4;(2)∵a=﹣<0,∴二次函数图象的开口向下,顶点坐标为(﹣1,4),对称轴为直线x=﹣1.18.(2009•门头沟区二模)已知二次函数y=2x2﹣4x+5,(1)将二次函数的分析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得二次函数图象的顶点为A,请你直接写出点A的坐标;(3)若反比例函数y=的图象过点A,求反比例函数的分析式.解:(1)y=2x2﹣4x+5=2(x2﹣2x+)=2(x﹣1)2+3;(2)由题意有:移动后的函数变为y=2(x﹣3)2+2,∴A(3,2).(3)∵反比例函数的图象经过点A(3,2),∴m=6.∴反比例函数的分析式是.。
二次函数解答题
二次函数解答题1.已知二次函数的图象如图所示,求它的解析式.2.已知某二次函数的图象如图所示,求这个的表达式.3.求二次函数y=2x 2+7x-12的对称轴和顶点坐标.4.抛物线顶点为(2,-8),且经过(6,0),求此二次函数的解析式.5.二次函数y=-x 2+6x-5,用配方法化为顶点式.6.二次函数的图象过点(1,0),(-3,0),(0,3),求解析式.7.已知二次函数经过(1,1),(-1,4),(0,3),求这个二次函数解析式.8.利用二次函数的图象求方程x 2+2x-4=0的近似根.9.利用二次函数图象求方程x 2-4x+3=0的根.10.判断 x y = x 1+2x 是否为二次函数,并说明理由.11.利用二次函数的图象求一元方程x 2+3x=20的近似根.12.求二次函数y=2x 2在[-1,2]上的最大值和最小值.13.(2008•南汇区一模)已知二次函数的图象经过(1,0)、(2,-2)、(0,4)三点,求这个的解析式.14.根据下列条件,求出二次函数关系式.已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).15.请写一个顶点不在坐标原点的,要求该图象关于y轴对称,并求出这个图象顶点坐标.16.已知二次函数的图象经过点(0,-3),且顶点坐标为(1,-4).求这个解析式.17.已知二次函数的顶点坐标为(1,4),且其图象经过点(-2,-5),求此的解析式.18.当m= 时,y=(m+2)x m2+m是关于x的二次函数.19.二次函数的图象经过点(1,0),(0,-3),且对称轴是直线x=2.求此二次函数.20.(1997•河南)已知一个二次函数的图象经过(0,-3),(3,0),(4,5)三点,求这个二次函数的解析式.21.已知y=(m−1)x m2+2m−1是关于x的二次函数,求m的值.22.(1999•河南)已知一个二次函数的图象经过点(1,-1),(0,1),(-1,13),求这个二次函数的解析式.23.(2009•衡阳)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.24.已知二次函数的顶点坐标为(4,-2),且其图象经过点(5,1),求此二次函数的解析式.25.已知二次函数的图象顶点是(2,-1),且经过(0,1),求这个二次函数的解析式.26.若y=(m-4)x3m2−2m−3是二次函数,求m的值.27.请写出一个二次函数,此二次函数具备顶点在x轴上,且过点(0,1)两个条件,并说明你的理由.28.(2011•鄂州模拟)若二次函数y=ax2的图象经过点(-1,2),则二次函数y=ax2的解析式是29.(2012•宿迁模拟)已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式.30.用配方法求出下列二次函数y=x2-2x-3图象的顶点坐标和对称轴.31.已知二次函数图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,-6),求此二次函数解析式.32.(2006•中山)求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标.33.已知二次函数的图象的顶点坐标为(2,1)经过原点,求这个二次函数的解析式.34.已知二次函数y=x2-2x+m与坐标轴有且只有2个交点,求m的值.35.己知二次函数y=-x2+bx+c的顶点坐标为(-1,-3),求b,c的值.36.二次函数过A(-1,0),B(0,-3)两点,且对称轴是x=1,求出它二次函数的解析式.37.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,求这个二次函数的解析式.38.已知点A(1,2)和B(-2,5).试写出两个二次函数,使它们的图象都经过A、B两点.39.已知二次函数y=x 2-6x+m 的最小值为1,求m 的值.40.已知一个二次函数的图象过点(2,0)、(0,-2)和(-2,3),求这个二次函数的解析式.41.一个二次函数的图象经过点(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,求这个二次函数的关系式.42.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.43.已知二次函数y=2x 2-3x-1,写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.44.已知二次函数的图象经过点A (3,0),B (2,-3),且对称轴x=1,求这个二次函数的关系式.45.已知二次函数y=-2x 2,怎样平移这个图象,才能使它经过(0,0)和(1,6 )两点?46.已知:二次函数的顶点为A (-1,4),且过点B (2,-5),求该二次函数的解析式.47.已知二次函数图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数解析式.48.已知二次函数的图象经过(4,0),(0,-4),和(-2,3)三点,求二次函数的解析式.49.(2010•淮北模拟)已知二次函数的图象经过点(0,-4),且当x=2时,有最大值是-2,求该二次函数的关系式.50.求二次函数y =−21x 2+3x −2的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值.51.已知:二次函数的图象经过原点,对称轴是直线x=-2,最高点的纵坐标为4,求:该二次函数解析式.52.用配方法求二次函数y=-21x2-x+23的对称轴和顶点坐标.53.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,请根据图象的信息,写三个正确的结论.54.已知当x=1时,二次函数y有最大值为5,且它的图象经过点(2,3),求这个二次函数的关系式.55.二次函数的图象经过点(1,2)和(0,-1)且对称轴为x=2,求二次函数解析式.56.求二次函数y=2x2-4x-5的开口方向、顶点坐标和对称轴.57.(2010•河北区模拟)已知二次函数的图象经过点(0,5),(1,0),(2,-3).求这个二次函数的解析式.58.画出y=x2+2x-2的图象.(画不标准不给分)59.已知二次函数图象经过(0,1)(1,0)(3,0),求此二次函数的解析式.60.在平面直角坐标系中用描点法画二次函数y=x2-2x+3的图象.61.已知二次函数图象的顶点为A(3,-2),且过点P(1,0),求这个二次函数的解析式.62.二次函数y=ax2+k图象与坐标轴交于点(0,2)和(1,0),求该二次函数的关系式.63.根据下列条件,求出二次函数的关系式.已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10).64.已知二次函数,当x=2时,y 有最大值是1,且过(3,0)点,求此二次函数的解析式.65.求满足下列条件的对应的二次函数的关系式:抛物线经过(4,0),(0,-4),和(-2,3)三点.66.(2013•黄陂区模拟)已知一个二次函数的图象经过A (4,3),B (1,0),C (-1,8)三点,求这个二次函数解析式.67.(2013•安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该二次函数的解析式.68.已知二次函数y=x 2-6x+k 的图象与x 轴有两个交点,求k 的取值范围.69.二次函数y=2x 2+bx+c 的顶点坐标是(1,-2),求b 与c 的值.70.求二次函数y=x 2+2x-8图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与x 轴的交点坐标.71.若二次函数y=ax 2+2的图象经过点(-2,10),求a 的值和这个二次函数的最值.72.已知二次函数y=(m+1)x m 2−m 是,求m 的值.73.已知二次函数图象顶点(2,-3),抛物线与y 轴交于点(0,1),求这个二次函数的解析式?74.已知二次函数的图象经过点(-1,0)、(3,0),(0,-3).求这个二次函数的解析式.75.已知二次函数y =(m −2)x m 2−2+3是,求m 的值. 76.已知:二次函数y=21x 2-6x+16,利用配方法求它的对称轴及顶点坐标.77.求二次函数y=2x 2+8x+7图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.78.若二次函数y=(m 2+m )x m 2−m 是,求m 的值.79.用配方法求二次函数y=4x 2-24x+26的对称轴和顶点坐标.80.已知二次函数的对称轴是直线x=-2,且过(1,1)和(4,4)两点,求此二次函数的解析式.81.求二次函数y=21x 2-3x-4的开口方向、对称轴、顶点坐标和最小值.82.已知二次函数y=x 2+mx+m-2,说明:无论m 取何实数,抛物线总与x 轴有两个交点.83.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求二次函数的解析式.84.求二次函数y=21x 2-2x-1的开口方向、对称轴和顶点坐标.85.把二次函数y=x 2-4x+6配方成顶点式,并指出其对称轴与顶点坐标.86.已知二次函数的图象经过点(-1,0)、(3,0),其最大值为3,求此二次函数的解析式.87.已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示,求此二次函数的解析式和抛物线的顶点坐标.88.已知:如图,二次函数y=ax 2+bx-2的图象经过A 、B 两点,求出这个二次函数解析式.89.求y =−21x 2+4x −3的图象的对称轴和顶点坐标.90.已知二次函数的对称轴是x=2且过(1,4)、(5,0)两点,求二次函数的解析式.91.已知二次函数的图象经过(3,0),(2,-3)点,对称轴x=1,求这个二次函数的解析式.92.二次函数过点(0,0)、(1,-3)、(2,-8),求该二次函数表达式.93.当k 为何值时,函数y=(k-1)x k 2+k +1为二次函数?94.已知二次函数y=ax 2,当x=3时,y=-5,当x=-5时,求y 的值.95.已知二次函数y=ax 2的图象经过点P (2,5),试确定它的开口方向和a 的值.96.已知二次函数的对称轴是x=1,最小值是-2,且经过原点(0,0),求该二次函数的解析式.97.已知二次函数的顶点是(-1,2),且过点(0,23),求表达式.98.已知二次函数的顶点坐标为(-1,-3),且其图象经过点(1,5),求此二次函数的解析式.99.用配方法求二次函数y=-x 2+2x+3的对称轴和顶点坐标.100.(2014•佛山)利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2-2x-1=0的近似根(精确到0.1).。
二次函数知识点对应练习题
一、二次函数的定义1、下列函数中,是二次函数的是 .①y=x 2-4x+1; ②y=2x 2; ③y=2x 2+4x ; ④y=-3x ;⑤y=-2x -1; ⑥y=mx 2+nx+p ; ⑦y =1x ; ⑧y=-5x 。
2、已知函数y=(m -1)x m2 +1+5x -3是二次函数,求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值1.抛物线y=2x 2+4x+m 2-m 经过坐标原点,则m 的值为 。
2.抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为(1,3),则b = ,c = .3.抛物线y =x 2+3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若抛物线y =ax 2-6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5.抛物线y=x 2+2x -3的对称轴是 。
6.若二次函数y=3x 2+mx -3的对称轴是直线x =1,则m = 。
7.已知二次函数y=x 2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y 的最小值为0.8.已知二次函数y=mx 2+(m -1)x+m -1有最小值为0,则m = ______ 。
三、函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质1.抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。
2.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:(1)y=12 x 2-2x+1 ; (2)y=-3x 2+8x -2; (3)y=-14x 2+x -4 3.已知函数y=2x 2,y=2(x -4)2,和y=2(x+1)2+3。
(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
(2)分析分别通过怎样的平移。
可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x -4)2和y=2(x+1)2+3?4.试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
(1)右移2个单位;(2)左移23个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。
四、二次函数的增减性1.二次函数y=3x 2-6x+5,当x>1时,y 随x 的增大而 ;当x<1时,y 随x 的增大而 ; 当x=1时,函数有最 值是 。
二次函数顶点式练习题和答案
二次函数顶点式练习题和答案一、学习目标:1、能够熟练利用配方法、公式法求出二次函数的顶点坐标和对称轴。
2、会画二次函数的大致图像3、进一步体会数形结合思想在解题中的应用二、例题分析例1、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图,则下列结论中正确的是A.a>0B.当x>1时,y随x的增大而增大C.c<0 D.3是方程ax+bx+c=0的一个根例2、某商店经营一种水产品,成本为每千克40元,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请回答下列问题:当销售单价为每千克55元时,计算销售量和月利润.设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y 与x的函数关系式.销售单价定为多少元时,获得的利润最多?三、巩固训练1、抛物线y=2x2-6x-1的顶点坐标为_______,对称轴为________.2、如果y=xm2?m22是关于x的二次函数,则m=A.-1 B. C.-1或 D.m不存在 13.y=x2-7x-5与y 轴的交点坐标为A.- B. C. D.x图1 、下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中,正确的是5、二次函数y=ax2-bx+c的图象如图1所示,则a,b,c?与零的大小关系为a___0,b___0,c___0.6、若抛物线y=x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零,则m=_____.7.已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17,则a=______.8、二次函数y=x2+2的图象开口_______,对称轴是______,顶点坐标是___.A.开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.与x轴有两个交点 D.顶点坐标是9、如图2,用长60?米的篱笆,靠墙围成一个长方形场地,在表示场地面积时,图可以设_______为x米,也可以选择______为x米,相应地面积S的解析式为_____或______.10、使函数y=x2-3x+2的值为零的x的值为_______. 11.函数y=2-3x2的图象,开口方向是____,?对称轴是_____,?顶点坐标是_______.12.无论m为任何实数,总在抛物线y=x2+2mx+m上的点是_____13、抛物线的图象如图3所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是..A、y=x2-x-B、y=?C、y=?121x??12121x?x?1D、y=?x2?x?222图314、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图4所示,给出以下结论:①abc?0②当x?1时,函数有最大值。
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)
二次函数专题一:二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是(-2ba,244ac b a -).例 1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -,.(1)求m 、c 的值;(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过( )A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第二、三、四象限D .第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0(k<0)时,抛物线y=ax 2+k (a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向上(或向下)平移|k|个单位得到;当h>0(h<0)时,抛物线y=a (x-h )2(a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向右(或向左)平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是( ) A.y=3(x+2)2 B.y=3(x-2)2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是( ) A.开口向下,顶点坐标为(5,3) B.开口向上,顶点坐标为(5,3) C.开口向下,顶点坐标为(-5,3) D.开口向上,顶点坐标为(-5,3) 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为(-1,0),(3,0)3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息:①0c <;②0abc >;③0a b c -+>;④230a b -=;⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.(填序号)专题复习二:二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y (单位:米2)与x (单位:米)的函数关系式为 (不要求写出自变量x 的取值范围).考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0);2.若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:y=a (x-h )2+k (a ≠0);3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0). 例2 已知抛物线的图象以A (-1,4)为顶点,且过点B (2,-5),求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A (-2,0)、B (1,0),且经过点C (2,8). (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为( )A.y=2a (x-1)B.y=2a (1-x )C.y=a (1-x 2)D.y=a (1-x )22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C ,且tan ∠ACO=12,CO=BO ,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 .3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点(0,-2),且x=1时,y=3;x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算:二次函数的图象经过点(03)A -,,(23)B -,,(10)C -,. (1)求此二次函数的关系式; (2)求此二次函数图象的顶点坐标;(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少..平移 个单位,使得该图象的顶点在原点. 专题三:二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,a,b,c,为常数)的一个解x 的范围是( )x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04A.6 6.17x <<B.6.17 6.18x << C.6.18 6.19x <<D.6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、一个交点、没有交点;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是( ) A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是( )A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程20ax bx c ++=的两个根.(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集.(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围.(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.图1。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一21.二次函数的图像开口向____,对称轴是____,顶点坐标是___yax_,图像有最___点,x___时,y随x的增大而增大,x___时,y随x的增大而减小。
12222.关于,yx,y3x的图像,下列说法中不正确的是()yx3A.顶点相同B.对称轴相同C.图像形状相同D.最低点相同223.两条抛物线yx与在同一坐标系内,下列说法中不正确的是()yxA.顶点相同B.对称轴相同C.开口方向相反D.都有最小值24.在抛物线上,当y<0时,x的取值范围应为()yxA.x>0B.x<0C.x≠0D.x≥0225.对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是()xA.两条抛物线关于轴对称B.两条抛物线关于原点对称C.两条抛物线各自关于y轴对称D.两条抛物线没有公共点26.抛物线y=-bx+3的对称轴是___,顶点是___。
127.抛物线y=-(x2)-4的开口向___,顶点坐标___,对称轴___,x_2__时,y随x的增大而增大,x___时,y随x的增大而减小。
28.抛物线y2(x1)3的顶点坐标是()A.(1,3)B.(1,3)C.(1,3)D.(1,3)为()9.已知抛物线的顶点为(1,2),且通过达式(1,10),则这条抛物线的表22A.y=3(x1)-2B.y=3(x1)+222C.y=3-2D.y=-3-2(x1)(x1)210.二次函数的图像向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得新函数表达yax式为()22A.y=a+3B.y=a-3(x2)(x2)22C.y=a(x2)+3D.y=a(x2)-324411.抛物线的顶点坐标是()yxxA.(2,0)B.(2,-2)C.(2,-8)D.(-2,-8)2212.对抛物线y=2(x2)-3与y=-2(x2)+4的说法不正确的是()A.抛物线的形状相同B.抛物线的顶点相同C.抛物线对称轴相同D.抛物线的开口方向相反213.函数y=a+c与y=ax+c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的()x243243214.化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是____,图像的开口向____,顶点是____,对称轴是____。
二次函数作业设计4-5
22.1.1 二次函数【学习目标】1.知道二次函数的一般表达式;2.会利用二次函数的概念分析解题;3.列二次函数表达式解实际问题.【学习重难点】1、二次函数的概念和解析式;2、理解二次例函数的概念.【预习新知】1、一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。
其中x 是________, a 是__________,b 是___________,c 是_____________.2、观察:①y =6x 2;②y =-32 x 2+30x ;③y =200x 2+400x +200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次. 一般地,如果y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0),那么y 叫做x 的_____________. 3、下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y =1-3x 2 (2)y =3x 2+2x (3)y =x (x -5)+2 (4)y =3x 3+2x 2 (5)y =x +1x【当堂训练】1.下列函数中,是二次函数的是( )A .y =x 2-1B .y =x -1C .y =8xD .y =8x22.y =(m +1)xmm -2-3x +1是二次函数,则m 的值为_________________.3. 如图,用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园,写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数关系式: y = 。
4.一矩形的长是宽的1.6倍,则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式:S = 。
5.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC 边长为x m ,绿化带的面积为y m 2.求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.22.1.2二次函数y=ax 2的图象【学习目标】1.知道二次函数的图象是一条抛物线; 2.会画二次函数y =ax 2的图象;3.掌握二次函数y =ax 2的性质,并会灵活应用. 【预习新知】画二次函数y =x 2的图象.【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组x 、y 的对应值;②描点(表中x 、y 的数值在坐标平面中描点(x ,y );③连线(用平滑曲线).】 列表:x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =x 2……描点,并连线由图象可得二次函数y =x 2的性质:1.二次函数y =x 2的图像是一条曲线,把这条曲线叫做______________.2.二次函数y =x 2中,二次项系数a =_______,抛物线y =x 2的图象开口__________. 3.自变量x 的取值范围是____________. 4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y 值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.5.抛物线y =x 2与它的对称轴的交点( , )叫做抛物线y =x 2的_________. 因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________. 6.抛物线y =x 2有____________点(填“最高”或“最低”) 【例题分析】例1 在同一直角坐标系中,画出函数y =12 x 2,y =x 2,y =2x 2的图象.(解题过程略)归纳:抛物线y =12 x 2,y =x 2,y =2x 2的二次项系数a_______0;顶点都是__________;对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”) .例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y =-x 2,y =-12x 2, y =-2x 2的图象.(解题过程略)归纳:抛物线y =-x 2,y =-12 x 2, y =-2x 2的二次项系数a______0,顶点都是________,对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”) . 【理一理】1.二次函数y =ax 2的性质图象(草图) 开口 方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值a >0当x =____时,y 有最_______值,是______. a <0当x =____时,y 有最_______值,是______.2.抛物线y =x 2与y =-x 2关于________对称,因此,抛物线y =ax 2与y =-ax 2关于_______ 对称,开口大小_______________.3.当a >0时,a 越大,抛物线的开口越___________; 当a <0时,|a | 越大,抛物线的开口越_________; 因此,|a | 越大,抛物线的开口越________,反之,|a | 越小,抛物线的开口越________. 【课堂训练】 1.填表:开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值y =23 x 2当x =____时,y 有最_______值,是______. y =-8x 22.若二次函数y =ax 2的图象过点(1,-2),则a 的值是___________.3.二次函数y =(m -1)x 2的图象开口向下,则m____________. 4.如图, ① y =ax 2 ② y =bx 2 ③ y =cx 2 ④ y =dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小,用“>”连接. ___________________________________【目标检测】1.函数y =37 x 2的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴是________,当x =___________时,有最_________值是_________. 2.二次函数y =mx22 m 有最低点,则m =___________.3.二次函数y =(k +1)x 2的图象如图所示,则k 的取值 范围为___________.4.写出一个过点(1,2)的二次函数表达式_________________.22.1.3.1 二次函数y =ax 2+k 的图象与性质【学习目标】1.会画二次函数y =ax 2+k 的图象;2.掌握二次函数y =ax 2+k 的性质,并会应用; 3.知道二次函数y =ax 2与y =的ax 2+k 的联系. 【探索新知】在同一直角坐标系中,画出二次函数y =x 2+1,y =x 2-1的图象. 解:先列表x…-3 -2 -1 0 1 2 3 … y =x 2+1 … … y =x 2-1 ……描点并画图观察图象得:1.开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值y=x2y=x2-1y=x2+12.可以发现,把抛物线y=x2向______平移______个单位,就得到抛物线y=x2+1;把抛物线y=x2向_______平移______个单位,就得到抛物线y=x2-1.3.抛物线y=x2,y=x2-1与y=x2+1的形状_____________.【理一理知识点】1.y=ax2y=ax2+k开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值a>0时,当x=______时,y有最____值为________;a<0时,当x=______时,y有最____值为________.增减性2.抛物线y=2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.因此,把抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位,就得到抛物线_______________;把抛物线y=ax2向下平移m(m>0)个单位,就得到抛物线_______________.3.抛物线y=-3x2与y=-3x2+1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,由此可得二次函数y=ax2与y=ax2+k的形状__________________【课堂巩固训练】1.填表函数草图开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y=-3x2y=-3x2+1y=-3x2-52.将二次函数y=5x2-3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________.3.写出一个顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线y=-x2的方向相反,形状相同的抛物线解析式____________________________.4.抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________.【目标检测】1.填表函数开口方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性y=-5x2+3y=7x2-12.抛物线y=-13x2-2可由抛物线y=-13x2+3向___________平移_________个单位得到的.3.抛物线y=-x2+h的顶点坐标为(0,2),则h=_______________.4.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为_____________,与x轴的交点坐标为_________.22.1.3.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质一、阅读课本:P33—35二、学习目标:1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象;2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质,并要会灵活应用;三、探索新知:画出二次函数y=-12(x+1)2,y-12(x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性.先列表:x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y=-12(x+1)2……y=-12(x-1)2……描点并画图.1函数开口方向顶点对称轴最值增减性y=-12(x+1)2y=-12(x-1)22.请在图上把抛物线y=-12x2也画上去(草图).①抛物线y=-12(x+1)2,y=-12x2,y=-12(x-1)2的形状大小____________.②把抛物线y=-12x2向左平移_______个单位,就得到抛物线y=-12(x+1)2;把抛物线y=-12x2向右平移_______个单位,就得到抛物线y=-12(x+1)2.四、整理知识点y=ax2y=ax2+k y=a (x-h)2开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)2.对于二次函数的图象,只要|a|相等,则它们的形状_________,只是_________不同.五、课堂训练图象(草图)开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y=12x2y=-5 (x+3)2y=3 (x-3)22.抛物线y=4 (x-2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________.3.把抛物线y=3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.把抛物线y=3x2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.4.将抛物线y=-13(x-1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.5.写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线y=-2x2都相同的二次函数解析式六、目标检测1.抛物线y=2 (x+3)2的开口______________;顶点坐标为__________________;对称轴是_________;当x>-3时,y______________;当x=-3时,y有_______值是_________.2.抛物线y=m (x+n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y=-4 (x-4)2,则m=__________,n=___________.3.若将抛物线y=2x2+1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为_______________.4.若抛物线y=m (x+1)2过点(1,-4),则m=_______________.22.1.3.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质一、阅读课本:第35页—37页二、学习目标:1.会画二次函数的顶点式y=a (x-h)2+k的图象;2.掌握二次函数y=a (x-h)2+k的性质;3.会应用二次函数y=a (x-h)2+k的性质解题.三、探索新知:画出函数y=-12(x+1)2-1的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.列表:x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 …y=-12(x+1)2-1 ……由图象归纳:函数开口方向顶点对称轴最值增减性y=-12(x+1)2-12.把抛物线y=-12x2向_______平移______个单位,再向_______平移_______个单位,就得到抛物线y=-12(x+1)2-1.四、理一理知识点y=ax2y=ax2+k y=a (x-h)2y=a (x-h)2+k开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴右侧)2.抛物线y=a (x-h)2+k与y=ax2形状___________,位置________________.五、课堂练习1.2.y=6x2+3与y=6 (x-1)2+10_____________相同,而____________不同.3.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=12x2相同的解析式为()A.y=12(x-2)2+3 B.y=12(x+2)2-3C.y=12(x+2)2+3 D.y=-12(x+2)2+34.二次函数y=(x-1)2+2的最小值为__________________.5.将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为_______________________.6.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且x=1时,y=-3,求a、k的值.7.若抛物线y=a (x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________.六、目标检测1.开口方向顶点对称轴y=x2+1y=2 (x-3)2y=-(x+5)2-42.抛物线y=-3 (x+4)2+1中,当x=_______时,y有最________值是________.3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示()A B C D4.将抛物线y=2 (x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为________________________.5.一条抛物线的对称轴是x=1,且与x轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为____________________________.(任写一个)22.1.4.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质一、阅读课本:第37页—39页二、学习目标:1.配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴;2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式;3.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象.三、探索新知:1.求二次函数y=12x2-6x+21的顶点坐标与对称轴.解:将函数等号右边配方:y=12x2-6x+21y=3x2y=-x2+1 y=12(x+2)2y=-4 (x-5)2-3开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)2.画二次函数y=12x2-6x+21的图象.解:y=12x2-6x+21配成顶点式为_______________________.列表:x … 3 4 5 6 7 8 9 …y=12x2-6x+21 ……3.用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.四、理一理知识点:y=ax2y=ax2+k y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)五、课堂练习1.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.2.用两种方法求二次函数y=3x2+2x的顶点坐标.3.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=________,c=_________.4.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当___________时,y随x的增大而增大;当x=________时,y有_________值是___________.六、目标检测1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y=12x2-2-1的顶点坐标.2.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.。
二次函数练习题及解析4
专题:配方法。
分析:(1)这个函数的二次项系数是﹣3,配方法变形成y=(x+h)2+k的形式,配方的方法是把二次项,一次项先分为一组,提出二次项系数﹣3,加上一次项系数的一半,就可以变形成顶点式的形式.
(2)二次函数的一般形式中的顶点式是:y=a(x﹣h)2+k(a≠0,且a,h,k是常数),它的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k).
(2)画出这个函数的大致图象,指出函数值不小于0时x的取值范围.
21、小明在学习二次函数时,总结了如下规律:
(1)请帮助小明补全此表①y轴②(h,k)③直线x= ;
(2)根据此表判断,如何将抛物线y=﹣2x2经过适当的平移得到抛物线y=﹣2x2+4x+1.
22、通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
∵﹣2(x﹣15)2≤0,
∴当x=15时,盈利最大,最大盈利为1250元.
点评:此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用,此题找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
3、用配方法把函数y=﹣3x2﹣6x+10化成y=a(x﹣h)2+k的形式,然后指出它的图象开口方向,对称轴,顶点坐标和最值.
(5)若自变量x满足:﹣3≤x≤1,则对应的函数值中,最大值为:0.
24、已知一次函数y1=2x,二次函数y2=x2+1.
(1)根据表中给出的x的值,计算对应的函数值y1、y2,并填写在表格中:
(2)观察第(1)问表中的有关的数据,猜一猜:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系?并证明你的结论.
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一1.二次函数的图像开口向____,对称轴是____,顶点坐标是____,图像有最___点,x ___时,y 随x 的增大而增大,x ___时,y 随x 的增大而减小。
2.关于,,的图像,下列说法中不正确的是( ) A .顶点相同 B .对称轴相同 C .图像形状相同 D .最低点相同 3.两条抛物线与在同一坐标系内,下列说法中不正确的是( ) A .顶点相同 B .对称轴相同 C .开口方向相反 D .都有最小值 4.在抛物线上,当y <0时,x 的取值范围应为( ) A .x >0 B .x <0 C .x ≠0 D .x ≥0 5.对于抛物线与下列命题中错误的是( ) A .两条抛物线关于轴对称 B .两条抛物线关于原点对称 C .两条抛物线各自关于轴对称 D .两条抛物线没有公共点 6.抛物线y=-b +3的对称轴是___,顶点是___。
7.抛物线y=--4的开口向___,顶点坐标___,对称轴___,x ___时,y 随x 的增大而增大,x ___时,y 随x 的增大而减小。
8.抛物线的顶点坐标是( )A .(1,3)B .(1,3)C .(1,3)D .(1,3)9.已知抛物线的顶点为(1,2),且通过(1,10),则这条抛物线的表达式为( ) A .y=3-2 B .y=3+22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C .y=3-2D .y=-3-210.二次函数的图像向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得新函数表达式为( )A .y=a +3B .y=a -3C .y=a +3D .y=a -3 11.抛物线的顶点坐标是( )A .(2,0)B .(2,-2)C .(2,-8)D .(-2,-8)12.对抛物线y=-3与y=-+4的说法不正确的是( ) A .抛物线的形状相同 B .抛物线的顶点相同 C .抛物线对称轴相同 D .抛物线的开口方向相反13.函数y=a +c 与y=ax +c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的( )14.化为y=为a 的形式是____,图像的开口向____,顶点是____,对称轴是____。
二次函数典型例题及练习题
二次函数专题一:二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标例 1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -,.(1)求m 、c 的值;(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过( ) A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第二、三、四象限 D .第一、三、四象限考点3.二次函数的平移例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是( ) A.y=3(x+2)2 B.y=3(x-2)2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是( ) A.开口向下,顶点坐标为(5,3) B.开口向上,顶点坐标为(5,3) C.开口向下,顶点坐标为(-5,3) D.开口向上,顶点坐标为(-5,3) 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为(-1,0),(3,0)3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移 2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了 下面五条信息:①0c <;②0abc >;③0a b c -+>;④230a b -=;⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.(填序号) 5.函数Y=X 2+2X-3(-2≦X ≦2)的最大值和最小值分别是_______. 6.已知二次函数y=-x 2+bx-8的最大值为8,则b 的值为_______. 7、已知函数y=21x 2-x-12,当函数y 随x 的增大而减小时,x 的取值范围是_______ 专题二:二次函数表达式的确定考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y (单位:米2)与x (单位:米)的函数关系式为 (不要求写出自变量x 的取值范围).考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0);2.若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:y=a (x-h )2+k (a ≠0);3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0). 例2 已知抛物线的图象以A (-1,4)为顶点,且过点B (2,-5),求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A (-2,0)、B (1,0),且经过点C (2,8). (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为( )图22- 1- 012 yx13x =ABC D图1菜园墙A.y=2a (x-1)B.y=2a (1-x )C.y=a (1-x 2)D.y=a (1-x )2 专题三:二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,a,b,c,为常数)的一个解x 的范围是( )A.6 6.17x <<B.6.17 6.18x << C.6.18 6.19x <<D.6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、一个交点、没有交点;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.练习:已知抛物线y=12x 2+x-52. (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,求线段AB 的长.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是( ) A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k的取值范围是________. 2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .图2图13.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是( )A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<05. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程20ax bx c ++=的两个根. (2)写出不等式20ax bx c ++>的解集.(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围.(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 专题四 二次函数的应用例4 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元)•与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表:x (元) 15 20 30…y (件) 25 20 10…若日销售量y 是销售价x 的一次函数.(1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式;(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?•此时每日销售利润是多少元?练习:1、如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象,由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A .1<x<5-B .x>5C .x<1-且x>5D .1<x -或x>5x y33 2 2 1 14 1- 1- 2-O 图3x y3-2、教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系为21(4)312y x =--+,由此可知铅球推出的距离是 m 。
二次函数经典练习题
二次函数经典练习题二次函数已知二次函数$f(x)=x+bx+c$,且$f(1)=a$,$f(3)=b$,求$f(-1)$的值。
变式1:若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像的顶点坐标为$(2,-1)$,与$y$轴的交点坐标为$(0,11)$,则求出$a$、$b$、$c$的值。
变式2:若$f(x)=-x+(b+2)x+3$,$x\in[b,c]$的图像关于$x=1$对称,则$c=$?变式3:若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴有两个不同的交点$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$,且$x_1^2+x_2^2=\frac{26}{2}$,则该二次函数的图像由$f(x)=-3(x-1)$的图像向上平移几个单位得到?将函数$f(x)=-3x^2-6x+1$配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像。
变式1:已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$,如果$f(x_1)=f(x_2)$(其中$x_1\neq x_2$),则$f(\frac{x_1+x_2}{2})=$?变式2:函数$f(x)=x+px+q$对任意的$x$均有$f(1+x)=f(1-x)$,则$f(0)$、$f(-1)$、$f(1)$的大小关系是?变式3:已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像如右图所示,请至少写出三个与系数$a$、$b$、$c$有关的正确命题。
单调性已知函数$f(x)=x-2x^2$,$g(x)=x-2x$($x\in[2,4]$)。
1)求$f(x)$,$g(x)$的单调区间;(2)求$f(x)$,$g(x)$的最小值。
变式1:已知函数$f(x)=x+4ax+2$在区间$(-\infty,6)$内单调递减,则$a$的取值范围是?变式2:已知函数$f(x)=x-(a-1)x+5$在区间$(1,2)$上为增函数,则$f(2)$的取值范围是?变式3:已知函数$f(x)=-x+kx$在$[2,4]$上是单调函数,求实数$k$的取值范围。
中考复习函数专题21 二次函数中对称轴与对称问题(学生版)
专题21 二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法1. 公式法:二次函数c bx ax y ++=2(a≠0)的图象的顶点坐标是)44,2(2ab ac a b -- 2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x -h)2+k 的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h. 3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x 1,m),(x 2,m),则对称轴为直线x=221x x +,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标. 专项训练一、单选题1.抛物线y =2(x +1)2﹣3的对称轴是( ) A .直线x =1B .直线x =﹣1C .直线x =3D .直线x =﹣32.已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --,且该抛物线的对称轴经过点A ,则该抛物线的解析式为( )A .2123y x x =--B .2123y x x =-+C .2123yx xD .2123y x x =+3.抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-,其图象如图所示.下列结论:①0abc <;①()()2242a c b +<;①若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点,则当1211x x +>+时,12y y <;①抛物线的顶点坐标为()1,m -,则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根.其中正确结论的个数是( )A .4B .3C .2D .14.如图,以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点,则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是( ).A .23x <<B .34x <<C .45x <<D .56x <<5.已知关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称,则下列关系正确的是( ) A .4b = B .240b c -≤C .0x =的函数值一定大于3x =的函数值D .若0c <,则当2x =时,0y >6.点P (m ,n )在以y 轴为对称轴的二次函数y =x 2+ax +4的图象上.则m ﹣n 的最大值等于( ) A .154B .4C .﹣154D .﹣1747.二次函数y =ax 2﹣4ax +2(a ≠0)的图象与y 轴交于点A ,且过点B (3,6)若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ,那么tan①CBA 的值是( ) A .23B .43C .2D .348.已知二次函数y =(2﹣a )23a x -,在其图象对称轴的左侧,y 随x 的增大而减小,则a 的值为( )A B .C D .09.抛物线y=x 2﹣2x ﹣15,y=4x ﹣23,交于A 、B 点(A 在B 的左侧),动点P 从A 点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E 再到达x 轴上的某点F ,最后运动到点B .若使点P 动的总路径最短,则点P 运动的总路径的长为( )A.B .C .D .10.已知抛物线c :y=x 2+2x ﹣3,将抛物线c 平移得到抛物线c′,如果两条抛物线,关于直线x=1对称,那么下列说法正确的是( )A .将抛物线c 沿x 轴向右平移52个单位得到抛物线c′ B .将抛物线c 沿x 轴向右平移4个单位得到抛物线c′C .将抛物线c 沿x 轴向右平移72个单位得到抛物线c′ D .将抛物线c 沿x 轴向右平移6个单位得到抛物线c′二、填空题11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =﹣x 2+6x +c 的对称轴与x 轴交于点A ,在直线AB :y =kx +3上取一点B ,使点B 在第四象限,且到两坐标轴的距离和为7,设P 是抛物线的对称轴上的一点,点Q 在抛物线上,若以点A ,B ,P ,Q 为顶点的四边形为正方形,则c 的值为________.12.已知在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点.小明经探究发现:当ba的值确定时,抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定.若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ,使AOM 为直角三角形,则ba的值是____.13.如果一抛物线的对称轴为1x =,且经过点A (3,3),那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________14.已知点A 、B 在二次函数y =ax 2+bx +c 的图像上(A 在B 右侧),且关于图像的对称轴直线x =2对称,若点A 的坐标为(m ,1),则点B 的坐标为_______.(用含有m 的代数式表示) 15.已知抛物线2441y ax ax a =-+-. (1)该抛物线的对称轴是x =________.(2)该抛物线与x 轴交于点A ,点B 与y 轴交于点C ,点A 的坐标为(1,0),若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠<∠,则点P 的纵坐标n 的取值范围是________. 三、解答题16.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个公共点()30A -,且经过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求抛物线的函数解析式; (2)直线l :34y x m =+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点(B 点在C 点的左侧),与对称轴相交于点P ,且B ,C 分布在对称轴的两侧.若B 点到抛物线对称轴的距离为n ,且()23CP t BP t =⋅≤≤. ①试探求n 与t 的数量关系;①求线段BC 的最大值,以及当BC 取得最大值时对应m 的值. 17.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ,交y 轴于点C . (1)求线段BC 的长;(2)点P 为第三象限内抛物线上一点,连接BP ,过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ,连接PE ,求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,以y 轴为对称轴,将抛物线213222y x x =+-对称,对称后点P 的对应点为点P ',点M 为对称后的抛物线对称轴上一点,N 为平面内一点,是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形,若存在,直接写出点N 的坐标,若不存在,则请说明理由.18.已知一条抛物线顶点为(),2P m m -,且与x 轴交于点()2,0A m (0m >) (1)当2m =时; ①求二次函数解析式;①直线l :y kx b =+(0k >)过定点()3,4-与抛物线交于B 、C 两点(B 在C 右侧),连接BP 、CP ,若PBC S △,求直线l 的解析式;(2)若H 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点,且OH 交对称轴于点M ,点N ,M 关于点P 对称,求证:N ,A ,H 三点共线.19.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A (﹣1,0)和点B ,与y 轴交于点C (0,3).(1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)如图1,点D 与点C 关于对称轴对称,点P 在对称轴上,若①BPD =90°,求点P 的坐标; (3)点M 是抛物线上位于对称轴右侧的点,点N 在抛物线的对称轴上,当BMN 为等边三角形时,请直接写出点M 的坐标.20.如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (4,0),B (﹣2,0),C (0,﹣4)三点. (1)求抛物线解析式,并求出该抛物线对称轴及顶点坐标;(2)如图1,点M 是抛物线对称轴上的一点,求①MBC 周长的最小值;(3)如图2,P 是线段AB 上一动点(端点除外),过P 作PD //AC ,交BC 于点D ,连接CP ,求①PCD 面积的最大值,并判断当①PCD 的面积取最大值的时,以P A 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形.21.如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0,A B -两点,与y 轴交于点(0,3)C -.。
二次函数y=ax2+bx+c配方法
3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y 3x 1 2
…
29
14
5
2
5
14
29
…
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象.
学了就用,别客气
y 3x 6 x 5
2
y 2x2 12x 13
●
(1,2)
?
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系 ,左面的一条抛物线可以用 y=0.0225x² +0.9x+10 表示 , 而且左右两条抛物线关于y轴对称. y 0.0225x 2 0.9 x 10
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少? ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少? ⑶你是怎样计算的?与同伴交流.
⑴. 钢缆的最低点到桥面的距离是少?你是怎样计算 的?与同伴交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方, 求得顶点坐标,从 而获得钢缆的最低点到桥面的距离; 2 2 y 0 . 0225 x 0.9 x 10 y 0.0225x 0.9 x 10
X=1
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
(3,-5) X=3
●
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以 利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标.
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案一、单选题1.二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a (x ﹣h )2+k 的形式,下列正确的是( )A .y=(x ﹣1)2+2B .y=(x ﹣1)2+3C .y=(x ﹣2)2+2D .y=(x ﹣2)2+42.抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的对称轴和顶点坐标分别是( ).A .x=1,(1,﹣4)B .x=1(1,4)C .x=﹣1,(﹣1,4)D .x=﹣1,(﹣1,﹣4)3.把y=4x 2﹣4x+2配方成y=a (x ﹣h )2+k 的形式是( )A .y=(2x ﹣1)2+1B .y=(2x ﹣1)2+2C .y=(x ﹣ 12)2+1D .y=4(x ﹣ 12)2+24.若把抛物线y =x 2-2x +1先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的函数关系式为y =ax 2+bx +c ,则b 、c 的值为( ) A .b =2,c =-2 B .b =-8,c =14 C .b =-6,c =6D .b =-8,c =185.直角坐标平面上将二次函数y=x 2-2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( ) A .(0,0)B .(1,-1)C .(0,-1)D .(-1,-1)6.将二次函数y=x 2+4x ﹣8化为y=(x+m )2+n 的形式正确的是( )A .y=(x+2)2+8B .y=(x+2)2﹣8C .y=(x+2)2+12D .y=(x+2)2﹣127.若b<0,则二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.通过配方法将二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)化成y=a (x ﹣h )2+k 的形式,此二次函数可变形为( )A .y=a (x+ b 2a )2+ 4ac−b 24aB .y=a (x ﹣ b 2a )2+ 4ac−b 24aC .y=a (x+ b 2a )2+ b 2−4ac 4aD .y=a (x ﹣ b 2a )2+ b 2−4ac 4a9.将二次函数y=x 2﹣2x+3化为y=(x ﹣h )2+k 的形式,结果为( )A .y=(x+1)2+4B .y=(x+1)2+2C .y=(x ﹣1)2+4D .y=(x ﹣1)2+210.抛物线y=﹣ 15 x 2+ 25x ﹣1,经过配方化成y=a (x ﹣h )2+k 的形式是( )A .y =15(x +1)2−45B .y =15(x −1)2+45C .y =15(x −1)2−45D .y =15(x +1)2+4511.如图,在 ΔABC 中 ∠B =90° ,tan ∠C =34,AB=6cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.若P,Q 两点分别从A,B 两点同时出发,在运动过程中 ΔPBQ 的最大面积是( )A .18cm 2B .12cm 2C .9cm 2D .3cm 212.如图,在平面直角坐标系中抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2(x ﹣h )2+k ,则下列结论正确的是( )A .h >0,k >0B .h <0,k >0C .h <0,k <0D .h >0,k <0二、填空题13.二次函数 y =−x 2+2x +3 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点, P 为它的顶点,则S △PAB = .14.把二次函数的表达式y=x 2﹣6x+5化为y=a (x ﹣h )2+k 的形式,那么h+k= 15.将二次函数y=x 2﹣2x+4化成y=(x ﹣h )2+k 的形式,则y= . 16.若二次函数y=x 2+bx+5配方后为y=(x ﹣2)2+k ,则b+k= .17.若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=(x ﹣h )2+k 的形式,则y= . 18.已知抛物线的表达式是y =2(x +2)2−1,那么它的顶点坐标是 ;三、综合题19.如图,抛物线的顶点M 在x 轴上,抛物线与y 轴交于点N ,且OM=ON=4,矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上,C 、D 在x 轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)设点A的横坐标为t(t>4),矩形ABCD的周长为l,求l与t之间函数关系式.20.已知二次函数y= 2x2 -4x-6.(1)用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a (x-h) 2 +k的形式;并写出对称轴和顶点坐标。
《二次函数》练习题及答案
《二次函数》练习题及答案一、 选择题1,下列函数中,是二次函数的是( ) A,12-=x y B,x x y +=3 C,312++=x x y D,2==x y 2,(2012广州)将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为( ) A .y=x 2﹣1 B .y=x 2+1 C .y=(x ﹣1)2 D .y=(x+1)2 3,(2012兰州)抛物线y=-2x 2+1的对称轴是( ) A.直线12x =B. 直线12x =- C. y 轴 D. 直线x=2 4,(2012北海)已知二次函数y =x 2-4x +5的顶点坐标为( )A .(-2,-1)B .(2,1)C .(2,-1)D .(-2,1)5,(2011台湾台北,6)若下列有一图形为二次函数y =2x 2-8x +6的图形,则此图为何?( )6,(2012滨州)抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是( ) A .3 B .2 C .1 D .07, ( 2012巴中) 对于二次函数y =2(x +1)(x -3)下列说法正确的是( ) A. 图象开口向下 B. 当x >1时,y 随x 的增大而减小C. x <1时,y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x= - 1 8,(2011山东威海,7,3分)二次函数223y x x =--的图象如图所示. 当y <0时,自变量x 的取值范围是( ). A .-1<x <3B .x <-1C . x >3D .x <-1或x >39,(2012泰安)设A 1(2)y -,,B 2(1)y ,,C 3(2)y ,是抛物线2(1)y x a =-++上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系为( ) A .213y y y >> B .312y y y >> C .321y y y >> D .312y y y >> 10,(2012菏泽)已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示,那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )(第3题)c+A . B . C . D .,11,(2012泰安)二次函数2()y a x m n =++的图象如图,则一次函数y mx n =+的图象经过( )A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第二、三、四象限D .第一、三、四象限12,(2012•资阳)如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象,由图象可知 不等式ax 2+bx+c <0的解集是( ) A . ﹣1<x <5 B . x >5C . x <﹣1且x >5D . x <﹣1或x >5二、填空题1.(2011江津,18,4)将抛物线y=x 2-2x 向上平移3个单位,再向右平移4 个单位等到的抛物线是_ _ ___.2.(2012深圳)二次函数622+-=x x y 的最小值是 .3. (2011浙江舟山,15,4)如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y 随x 的增大而增大时,x 的取值范围是 . 4.(2012无锡)若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A (2,1),且经过点B (1,0), 则抛物线的函数关系式为 .5. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为____ ___.6.(2011山东日照,17,4)如图是二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的一 部分,给出下列命题 :①a+b+c=0;②b >2a ;③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1; ④a -2b +c >0.其中正确的命题是 .(只要求填写正确命题的序号) 7. (2012广安)如图,把抛物线y=21x 2平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点 A (-6,0)和原点O (0,0),它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线y=21x 2交于点Q ,则图中阴影部分的面积为________________.三、解答题1.(2011广东东莞,15,6分)已知抛物线212y x x c =++与x 轴没有交点. (1)求c 的取值范围;(2)试确定直线y =cx +1经过的象限,并说明理由.2.(2012•佳木斯)如图,抛物线y=x 2+bx+c 经过坐标原点,并与x 轴交于点A (2,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)写出顶点坐标及对称轴; (3)若抛物线上有一点B ,且S △OAB =3,求点B 的坐标. 3.(2012•嘉兴)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每 辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时,日收益为y 元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)(1)公司每日租出x 辆车时,每辆车的日租金为 _________ 元(用含x 的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?4.(2012•鸡西)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式.(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2012•江西)如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点),与y轴交于点C.(1)写出A、B两点的坐标;(2)二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形?如果存在,请求出k的值;如不存在,请说明理由;③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否会发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.答 案一,选择题.1,解:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。
二次函数配方法练习题及答案
二次函数配方法练习题及答案1、配方法的步骤,先等式两边同除___________,再将含有未知数的项移到等号左边,将__________移到等号右边,等式两边同加____________________________,使等式左边配成完全平方,即2?n的形式,再利用直接开平方法求解。
若n<0,则方程________。
2、将下列各式进行配方x2?10x?___? x2?8x?___?2x2?3x?___? x2?mx?___?2x2?6x?1?2?x2?8x?1?2?x?21x?1?2?3、当x?_____时,代数式x2?2x?3有最______值,这个值是________57x?的左边配成完全平方式,则方程两边都应加上2 52752A. B. C.D. 244、若要使方程x?25、用配方法解下列方程x?2x?2?0x?6x?8?0x?3x?1?0x?8x?124x?4x?1?0x?x?3?0222223x2?4?6x221y?y?2?03*x2?2x?n2?0*x2?2ax?b2?a2※6、试说明:对任意的实数m,关于x的方程x2?2x?1?0一定是一元二次方程。
参考答案:1、二次项系数;常数项;一次项系数一半的平方;无实数解2、25; 16;4;?13、1;小;24、D5、x11,x2?1 x1??2,x2??4x1?9311; m2;m ;?16442115;169933x1? x2?x2?2222 x1? x2?x2?3,y2??2x1?无实数根y1?x1?21,x2?1x1?a?b,x2?a?b、证明:∵m?4m?6=2?4?6=2?2∵2?0∴2?2>0∴m?4m?6≠0∴对任意的实数m,关于x的方程x2?2x?1?0一定是一元二次方程。
21.抛物线y=2x2-3x-5配方后的解析式为顶点坐标为______.当x=______时,y有最______值是______,与x轴的交点是______,与y轴的交点是______,当x______时,y随x增大而减小,当x______时,y随x增大而增大.2.抛物线y=3-2x-x2的顶点坐标是______,配方后为它与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______.3.把二次函数y=x2-4x+5配方成y=a2+k的形式,得______,这个函数的图象有最______点,这个点的坐标为______.4.已知二次函数y=x2+4x-3,配方后为当x=______时,函数y有最值______,当x______时,函数y随x的增大而增大,当x=______时,y=0.5.抛物线y=ax2+bx+c与y=3-2x2的形状完全相同,只是位置不同,则a=______.6.抛物线y=2x2如何变化得到抛物线y=22+4.请用两种方法变换。
二次函数的图像和性质基础练习题
二次函数的图像和性质基础练习题班级:_________姓名:___________得分:__________一、选择题:1、下列函数是二次函数的有2y?1?x2;y?2;y?x;y?ax2?bx?c;y?2x?1 y=22-2x2xA、1个;B、2个;C、3个;D、4个. y=2+2的对称轴是直线A.x=-1 B.x=1C.y=-1 D.y=1. 抛物线y??x?2?2?1的顶点坐标是A. B.C.D.. 函数y=-x-4x+3图象顶点坐标是A.B.C. D.2125.已知二次函数y?mx2?x?m的图象经过原点,则m的值为图A. 0或B. 0 C. D.无法确定26.函数y=2x-3x+4经过的象限是A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限7.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图5所示,有下列结论:①abc?0;②a+b+c>0③a-b+c D.4个138、已知二次函数y1??3x2、y2??x2、y3?x2,它们的图像开口由小到大的顺序是32A、y1?y2?y3B、y3?y2?y1C、y1?y3?yD、y2?y3?y112x+3x-5的形状、开口方向都相同,只有位置不同的抛物线是111y = x2+3x-5 y=-x2y =x2+3x-5 y=x222210.正比例函数y=kx的图象经过二、四象限,则抛物线y=kx2-2x+k2的大致图象是B.2个 C.3个9、与抛物线y=-11.把二次函数y?x2?2x?1配方成顶点式为A.y?B. y?2? C.y?2?1 D.y?2?2112.对于抛物线y??2?3,下列说法正确的是33) A.开口向下,顶点坐标 C.开口向下,顶点坐标 B.开口向上,顶点坐标 D.开口向上,顶点坐标2y?3 y?32?y?32?2?2y?32?215.在同一直角坐标系中,函数y?mx?m和y??mx2?2x?2的图象可能是..A.B.C.D.二、填空题:11、抛物线y?2?4可以通过将抛物线y=向平移____个单位、3再向平移个单位得到。