奥数几何三角形五大模型带解析1

三角形五大模型

【专题知识点概述】

本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

重点模型重温

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线

平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的

23×14=1

6

三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）

①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4

②②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

①S1︰S3=a2︰b2

②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;

③S的对应份数为（a+b）2

模型四：相似三角形性质

如何判断相似

(1)相似的基本概念：

两个三角形对应边城比例，对应角相等。

(2)判断相似的方法：

①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；

②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。

h

h H c

b a C

B A

a

c b H

C B

A

①

a b c h

A B C H

=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2

模型五：燕尾定理

S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；

【重点难点解析】

1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形

2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”

【竞赛考点挖掘】

1. 三角形面积等高成比

2. “鸟头定理”

3. “蝴蝶定理”

【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※）

如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.

【例2】（难度等级 ※）

如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．

【例3】（难度等级 ※）

如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？

【例4】（难度等级 ※※※）

如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。

F

A

B

C

D

E

【例5】（难度等级※※）

如右图

，

，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？

【例6】（难度等级※）

如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

【例7】（难度等级※）

如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中

点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．

【例8】（难度等级※※）

D

E C B

A

如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，EF 和BC 平行， ECH 的面积是7平方厘米，求EG 的长。

【例10】（难度等级 ※※）

如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?

【例11】（难度等级 ※※）

如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?

【例12】（难度等级 ※※※）

A

B

C

D

E

F

如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。

【例13】（难度等级※※※）

如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

【例14】（难度等级※※※）

如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？

【例15】（难度等级※）

某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部

分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△

COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，

求人工湖的面积是多少平方千米？