初一数学代数式知识

初一数学基础知识讲义

第二讲:代数式的化简求值问题

一、知识链接

1. “代数式”就是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容,就是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。

注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1.若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关,

求()[]

m m m m +---45222的值、 分析:多项式的值与x 无关,即含x 的项系数均为零

因为()

()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4

将m=4代人,()[]

44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m 利用“整体思想”求代数式的值

例2.x=-2时,代数式635-++cx bx ax 的值为8,求当x=2时,代数式635-++cx bx ax 的值。 分析: 因为8635=-++cx bx ax

当x=-2时,8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ,

所以14682223

5-=--=++c b a

当x=2时,635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a 例3.当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932

-+x x 的值、

分析:观察两个代数式的系数

由7532=++x x 得232=+x x ,利用方程同解原理,得6932=+x x

整体代人,42932=-+x x

代数式的求值问题就是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就就是其中之一。

例4. 已知012=-+a a ,求2007223++a a 的值、

20082007120072007

2007

2222323=+=+

+=+++=++a a a a a a a 2008200712007

2007

22007

2)1(200722007

222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 分析:解法一(整体代人):由012=-+a a 得 023=-+a a a

所以: 解法二(降次):方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。 由012=-+a a ,得a a -=12, 所以: 解法三(降次、消元):12=+a a (消元、

、减项) 2008

2007

12007

2007

)(20072007222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a

例5.(实际应用)A 与B 两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A 公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B 公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑,选择哪家公司有利？

分析:分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入(元)

第一年:A 公司 10000; B 公司 5000+5050=10050

第二年:A 公司 10200; B 公司 5100+5150=10250

第n 年:A 公司 10000+200(n-1);

B 公司:[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)

由上可以瞧出B 公司的年收入永远比A 公司多50元,如不细心考察很可能选错。 例6.三个数a 、b 、c 的积为负数,与为正数,且bc

bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=, 则 12

3+++cx bx ax 的值就是_______ 。

解:因为abc<0,所以a 、b 、c 中只有一个就是负数,或三个都就是负数

又因为a+b+c>0,所以a 、b 、c 中只有一个就是负数。

不妨设a<0,b>0,c>0

则ab<0,ac<0,bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。

同理,当b<0,c<0时,x=0。 另:观察代数式 bc

bc ac ac ab ab c c b b a a +++++,交换a 、b 、c 的位置,我们发现代数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a 、b 、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料,瞧瞧轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题:

例7.如图,平面内有公共端点的六条射线OA ,OB,OC,OD,OE,OF ,从射线OA

开始按逆时针方向

依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,….

(1)“17”在射线 ____上,

“2008”在射线___________上.

(2)若n 为正整数,则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的

代数式表示为__________________________.

分析:OA 上排列的数为:1,7,13,19,…

观察得出,这列数的后一项总比前一项多6,

归纳得到,这列数可以表示为6n-5

因为17=3×6-1,所以17在射线OE 上。

因为2008=334×6+4=335×6-2,所以2008在射线OD 上

例8. 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

第一行 1 3 5 7

第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23

第四行 31 29 27 25

L L L

根据上面规律,2007应在

A.125行,3列 B 、 125行,2列 C 、 251行,2列 D 、 251行,5列

分析:观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找

第三列数: 3,11,19,27,L 规律为8n-5

因为2007=250×8+7=251×8-1

所以,2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律就是奇数行,数就是从第二列开始从小到大排列, 所以2007应该在第251行第5列

例9.(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n 的“F ”运算:①当n 为奇数时,结果为3n ＋5;②当n

为偶数时,结果为k n 2(其中k 就是使k n

2为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n ＝26,则:

若n ＝449,则第449次“F 运算”的结果就是__________. 分析:问题的难点与解题关键就是真正理解“F ”的第二种运算,即当n 为偶数时,结果为k n

2(其

中k 就是使k n

2 为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运算才能结束。

449奇数,经过“F ①”变为1352;1352就是偶数,经过“F ②”变为169,

169就是奇数,经过“F ①”变为512,512就是偶数,经过“F ②”变为1,

1就是奇数,经过“F ①”变为8,8就是偶数,经过“F ②”变为1,

我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现1、8的交替循环。

再瞧运算的次数就是449,奇数次。因为第四次运算后都就是奇数次运算得到8,偶数次运算得到1,

所以,结果就是8。

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩

26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …