高中物理 第09章 电磁感应 (单双棒问题)典型例题(含答案)【经典】

第九章 电磁感应
知识点七：单杆问题（与电阻结合）(水平单杆、斜面单杆（先电后力再能量））
1、发电式
（1）电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v 时，电动势E ＝Blv
（2）安培力特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大
（3）加速度特点：加速度随速度增大而减小
（4）运动特点：加速度减小的加速运动
（5）最终状态：匀速直线运动
（6）两个极值
①v=0时,有最大加速度：
②a=0时,有最大速度：
（7）能量关系 （8）动量关系 （9）变形：摩擦力；改变电路；改变磁场方向；改变轨道
解题步骤：解决此类问题首先要建立“动→电→动”的思维顺序，可概括总结为：
(1)找”电源”，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势的大小和方向；
(2)画出等效电路图，求解回路中的电流的大小及方向；
(3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的动态过程，最后确定导体棒的最终运动情况；
(4)列出牛顿第二定律或平衡方程求解．
2、阻尼式
（1）电路特点：导体棒相当于电源。

（2）安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。

（3）加速度特点：加速度随速度减小而减小 （4）运动特点：加速度减小的减速运动
（5）最终状态：静止 （6）能量关系：动能转化为焦耳热 （7）动量关系
（8）变形：有摩擦力；磁场不与导轨垂直等
1．(多选)如图所示，MN 和PQ 是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．有一垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，宽度为L ，ab 是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始，将开关S 断开，让ab 由静止开始自由下落，过段时间后，再将
S 闭合，若从S 闭合开始计时，则金属杆ab 的速度v 随时间t 变化的图象可能是( )．
答案 ACD F
N M m F mg
a m μ-=22-+=()()m F mg R r v B l μ212E m
Fs Q mgS mv μ=++0
m Ft BLq mgt mv μ--=-22()
B F B l v a m m R r ==+22B B l v F BIl R r ==+20102mv Q
-=00BIl t mv -⋅∆=-0mv q Bl =Bl s q n R r R r φ∆⋅∆==++
2、（单选）如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37 °，宽度为0.5 m ，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN 垂直于导轨放置，质量为0.2 kg ，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T ．将导体棒MN 由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体
棒MN 的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g 取10 m/s 2，
sin 37°＝0.6)( )．答案 B
A ．2.5 m/s 1 W
B ．5 m/s 1 W
C ．7.5 m/s 9 W
D ．15 m/s 9 W
3．(多选)如图所示，水平固定放置的足够长的U 形金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放着金属棒ab ，开始时ab 棒以水平初速度v 0向右运动，最后静止在导轨上，就导轨光滑和
导轨粗糙的两种情况相比较，这个过程( )．答案 AC
A ．安培力对ab 棒所做的功不相等
B ．电流所做的功相等
C ．产生的总内能相等
D ．通过ab 棒的电荷量相等
4．(单选)如图，足够长的U 型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN 与PQ 平行且间距为L ，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab 棒接入电路的电阻为R ，当流过ab 棒某一横截面的电量为q 时，棒的速度大小为v ，则金属棒ab 在这一过程中( )．答案 B
A ．运动的平均速度大小为12v
B ．下滑的位移大小为qR BL
C ．产生的焦耳热为qBLv
D ．受到的最大安培力大小为B 2L 2v R sin θ
5．(多选)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R ，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B .将质量为m 的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加
速度为g .下列选项正确的是( )．答案 AC
A ．P ＝2mgv sin θ
B ．P ＝3mgv sin θ
C ．当导体棒速度达到v 2时加速度大小为g 2sin θ
D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功
6、（单选）如图所示，两光滑平行导轨水平放置在匀强磁场中，磁场垂直导轨所在平面，金属棒ab 可沿导轨自由滑动，导轨一端连接一个定值电阻R ，金属棒和导轨电阻不计．现将金属棒
沿导轨由静止向右拉，若保持拉力F 恒定，经时间t 1后速度为v ，加速度为a 1，最终
以速度2v 做匀速运动；若保持拉力的功率P 恒定，棒由静止经时间t 2后速度为v ，加
速度为a 2，最终也以速度2v 做匀速运动，则( )．答案 B
A ．t 2＝t 1
B ．t 1>t 2
C ．a 2＝2a 1
D ．a 2＝5a 1
7． (多选)如图所示，足够长的光滑导轨倾斜放置，其下端连接一个定值电阻R ，匀强磁场垂直于导轨所在平面，将ab 棒在导轨上无初速度释放，当ab 棒下滑到稳定状态时，速度为v ，电
阻R 上消耗的功率为P .导轨和导体棒电阻不计．下列判断正确的是( )．
A ．导体棒的a 端比b 端电势低 答案 BD
B ．ab 棒在达到稳定状态前做加速度减小的加速运动
C ．若磁感应强度增大为原来的2倍，其他条件不变，则ab 棒下滑到稳定状态时速度将变为原来的12
D ．若换成一根质量为原来2倍的导体棒，其他条件不变，则ab 棒下滑到稳定状态时的功率将变为原来的4倍
8．(单选)如图所示，足够长的光滑金属导轨MN 、PQ 平行放置，且都倾斜着与水平面成夹角θ.在导轨的最上端M 、P 之间接有电阻R ，不计其他电阻．导体棒ab 从导轨的最底端冲上导轨，当没有磁场时，ab 上升的最大高度为H ；若存在垂直导轨平面的匀强磁场时，ab 上升的最大高度为h .在两次运动过程中ab 都与导轨保持垂直，且初速度都相等．关于上述情景，下列说法正确的是( )．
A ．两次上升的最大高度相比较为H <h
B ．有磁场时导体棒所受合力的功等于无磁场时合力的功
C ．有磁场时，电阻R 产生的焦耳热为12mv 20
D ．有磁场时，ab 上升过程的最小加速度大于g sin θ 答案 B
9．如图所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l ，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m 、电阻为r 的金属杆ab 垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d 处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B .对杆施加一个大小为F 、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v ，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假
定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求
(1)导轨对杆ab 的阻力大小f ；
(2)杆ab 中通过的电流及其方向；
(3)导轨左端所接电阻的阻值R .
答案 (1)F －mv 22d (2)mv 22Bld a →b (3)2B 2l 2d mv －r
（1）杆进入磁场前做匀加速运动，有
① ② 解得导轨对杆的阻力③ （2）杆进入磁场后做匀速运动，有④ 杆ab 所受的安培力
⑤ 解得杆ab 中通过的电流
⑥ 杆中的电流方向自a 流向b⑦ （3）杆产生的感应电动势
⑧ 杆中的感应电流⑨
解得导轨左端所接电阻阻值⑩ 10．如图甲所示．一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l ＝0.20 m ，电阻R ＝1.0 Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，
整个装置处于磁感应强度B ＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道
面向下．现在一外力F 沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力
F 与时间t 的关系如图乙所示．求杆的质量m 和加速度a .
答案 0.1 kg 10 m/s 2
解:导体杆在轨道上做匀加速直线运动,用表示其速度,t 表示时间,则有:①
杆切割磁力线,将产生感应电动势:② 在杆、轨道和电阻的闭合回路中产生电流③
杆受到的安培力的④ 根据牛顿第二定律,有
⑤ 联立以上各式,得⑥ 由图线上取两点代入⑥式,可计算得出:,
答:杆的质量为,其加速度为
.
11、如图所示，质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.3 Ω，长度l＝0.4 m的导体棒ab横放在U型金属框架上．框架质量m2＝0.2 kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.相距0.4 m的MM′、NN′相互平行，电阻不计且足够长．电阻R2＝0.1 Ω的MN垂直于MM′.整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.5 T．垂直于ab施加F＝2 N的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地
运动，始终与MM′、NN′保持良好接触．当ab运动到某处时，框架开始运动．设
框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.
(1)求框架开始运动时ab速度v的大小；
(2)从ab开始运动到框架开始运动的过程中，MN上产生的热量Q＝0.1 J，求该过程ab位移x的大小．
答案(1)6 m/s(2)1.1 m
（1）ab对框架的压力① 框架受水平面的支持力②
依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力③
ab中的感应电动势④ MN中电流⑤
MN受到的安培力⑥ 框架开始运动时⑦ 由上述各式代入数据解得⑧（2）闭合回路中产生的总热量⑨ 由能量守恒定律，得⑩
代入数据解得⑪
12、如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5 T．质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得其在下滑过程中的最大速度为v m.改变电阻箱的阻值R，得到v m与R的关系如图乙所示．已知轨道间距为L＝2 m，重力加速度g取10 m/s2，轨道足够长且电阻不计．
(1)当R＝0时，求杆ab匀速下滑过程中产生的感应电动势
E的大小及杆中电流的方向；
(2)求杆ab的质量m和阻值r；
(3)当R＝4 Ω时，求回路瞬时电功率每增加1 W的过程中合
外力对杆做的功W.
答案(1)2 V b→a(2)0.2 kg 2 Ω(3)0.6 J
解:(1)由图可以知道,当时,杆最终以匀速运动,产生电动势
由右手定则判断得知,杆中电流方向从(2)设最大速度为v,杆切割磁感线产生的感应电动势
由闭合电路的欧姆定律:杆达到最大速度时满足计算得出:
由图象可以知道:斜率为,纵截距为, 得到:
计算得出:,(3)根据题意:,得,则
由动能定理得联立得代入计算得出
13．如图甲所示，MN 、PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，两轨道间距为L ＝1 m ．质量为m 的金属杆ab 垂直放置在轨道上，其阻值忽略不计．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B ＝0.5 T ．P 、M 间接有阻值为R 1的定值电阻，Q 、N 间接电阻箱R .现从静止释放ab ，
改变电阻箱的阻值R ，测得最大速度为v m ，得到1v m 与1R 的关系如图乙所示．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g 取10 m/s 2.求： (1)金属杆的质量m 和定值电阻的阻值R 1； (2)当电阻箱R 取4 Ω时，且金属杆ab 运动的加速度为12g sin θ时，
此时金属杆ab 运动的速度；
(3)当电阻箱R 取4 Ω时，且金属杆ab 运动的速度为v m 2时，定值
电阻R 1消耗的电功率．
解析 (1)总电阻为R 总＝R 1R /(R 1＋R )，电路的总电流I ＝BLv /R 总 当达到最大速度时金属棒受力平衡，有mg sin θ＝BIL ＝B 2L 2v m R 1
R (R 1＋R )，1v m ＝B 2L 2mgR sin θ＋B 2L 2mgR 1
sin θ，根据图象代入数据，可以得到金属杆的质量m ＝0.1 kg ，R 1＝1 Ω. (2)金属杆ab 运动的加速度为12g sin θ时，I ′＝BLv ′/R 总 根据牛顿第二定律得mg sin θ－BI ′L ＝ma
即mg sin θ－B 2L 2v ′R 1
R (R 1＋R )＝12mg sin θ，代入数据，得到v ′＝0.8 m/s. (3)当电阻箱R 取4 Ω时，根据图象得到v m ＝1.6 m/s ，则v ＝v m 2＝0.8 m/s ，P ＝E 2R 1＝B 2L 2v 2R 1
＝0.16 W.
14．如图所示，竖直平面内有无限长，不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L ＝0.5 m ，上方连接一个阻值R ＝1 Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度B ＝2 T 的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r ＝0.5 Ω.将金属杆1固定在磁场的上边缘(仍在此磁场内)，金属杆2从磁场边界上方h 0＝0.8 m 处由静止释放，进入磁场后恰做匀速运动．(g 取10 m/s 2)
(1)求金属杆的质量m 为多大？
(2)若金属杆2从磁场边界上方h 1＝0.2 m 处由静止释放，进入磁场经过一段时间后开
始做匀速运动．在此过程中整个回路产生了1.4 J 的电热，则此过程中流过电阻R 的
电荷量q 为多少？
解析 (1)金属杆2进入磁场前做自由落体运动，则v m ＝2gh 0＝4 m/s
金属杆2进入磁场后受两个力而处于平衡状态，即mg ＝BIL ，且E ＝BLv m ，I ＝E 2r ＋R
解得m ＝B 2L 2v m 2r ＋R g ＝22×0.52×42×0.5＋1×10
kg ＝0.2 kg. (2)金属杆2从下落到再次匀速运动的过程中，设金属杆2在磁场内下降h 2，由能量守恒定律得 mg (h 1＋h 2)＝12mv 2m ＋Q 解得h 2＝12mv 2m ＋Q mg －h 1＝0.2×42＋2×1.42×0.2×10 m －0.2 m ＝1.3 m 金属杆2进
入磁场到匀速运动的过程中，感应电动势和感应电流的平均值分别为E ＝BLh 2t 2
，I ＝E 2r ＋R 故流过电阻R 的电荷量q ＝It 2 联立解得q ＝BLh 22r ＋R ＝2×0.5×1.32×0.5＋1
C ＝0.65 C.
15．如图12(a)所示，间距为l 、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B ；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B t 的大小随时间t 变化的规律如图(b)所示．t ＝0时刻在轨道上端的金属棒ab 从如图所示位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属棒cd 在位于区域Ⅰ内的导轨上由静止释放．在ab 棒运动到区域Ⅱ的下边界EF 处之前，cd 棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．已知cd
棒的质量为m 、电阻为R ，ab 棒的质量、阻值均未知，区
域Ⅱ沿斜面的长度为2l ，在t ＝t x 时刻(t x 未知)ab 棒恰进入区
域Ⅱ，重力加速度为g .求：
(1)通过cd 棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向；
(2)当ab 棒在区域Ⅱ内运动时cd 棒消耗的电功率；
(3)ab 棒开始下滑的位置离EF 的距离；
(4)ab 棒从开始下滑至EF 的过程中回路中产生的热量．
解析 (1)由楞次定律知通过cd 棒的电流方向为d →c 区域Ⅰ内磁场方向为垂直于纸面向上．
(2)对cd 棒：F 安＝BIl ＝mg sin θ，所以通过cd 棒的电流大小I ＝mg sin θBl 当ab 棒在区域Ⅱ内运动时cd 棒消耗的电功率 P ＝I 2R ＝m 2g 2R sin 2θB 2l 2
. (3)ab 棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动，加速度a ＝g sin θ cd 棒始终静止不动，ab 棒在到达区域Ⅱ前、后回路中产生的感应电动势不变，则ab 棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动，可得ΔΦΔt ＝Blv t ，即B ·2l ·l t x ＝Blg sin θt x ，所以t x ＝2l g sin θ ab 棒在区域Ⅱ中做
匀速直线运动的速度v t ＝2gl sin θ 则ab 棒开始下滑的位置离EF 的距离h ＝12at 2x ＋2l ＝3l . (4)ab 棒在区域Ⅱ中运动的时间t 2＝2l v t
＝2l
g sin θ ab 棒从开始下滑至EF 的总时间t ＝t x ＋t 2＝22l
g sin θ，E ＝Blv t ＝Bl 2gl sin θ ab 棒从开始下滑至EF 的过程中闭合回路产生的热量Q ＝EIt ＝4mgl sin θ.
16．如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN 、M ´N ´位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m ．轨道的MM ´端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN ´端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP 、N ´P ´平滑连接，两半圆轨道的半径均为R 0=0.50m ．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64 T 的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m ，且其右边界与NN ´重合．现有一质量m =0.20kg 、电阻r =0.10Ω的导体杆ab 静止在距磁场的左边界s=2.0m 处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N 的作用下ab 杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F ，结果导体杆ab 恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP ´．已知导体杆ab 在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab 与直轨道之间
的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g =10m/s 2，求：
⑴导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；
⑵导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R 上的电荷量；
⑶导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．
解:(1)设导体杆在F 的作用下运动至磁场的左边界时的速度为,根据动能定理则有:导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为:
此时通过导体杆上的电流大小为:(或 根据右手定则可以知道,电流方向为由b 向a (2)设导体杆在磁场中运动的时间为t,产生的感应电动势的平均值为,则有: 通过电阻R 的感应电流的平均值为:通过电阻R 的电荷量为:
(或 (3)设导体杆离开磁场时的速度大小为,运动到圆轨道最高点的速度为,因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高
点,根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有:对于导体杆从运动至的过程,根据机械能守恒定律有:
计算得出:导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为:此过程中电路中产生的焦耳热为:
知识点八：单杆问题（与电容器结合）
电容有外力充电式
（1）电路特点：导体为发电边；电容器被充电。

（2）三个基本关系
导体棒受到的安培力为：
导体棒加速度可表示为： 回路中的电流可表示为：
（3）四个重要结论： ①导体棒做初速度为零匀加速运动： ②回路中的电流恒定： ③导体棒受安培力恒定： ④导体棒克服安培力做的功等于电容器储存的电能：（试用动能定理证明） （4）变形：导轨有摩擦；电路变化；恒力的提供方式；
1． （多选）如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP ′、QQ ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M 、N 相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab 水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab ，则 ( ) 答案 BC
A ．金属棒ab 最终可能匀速下滑
B ．金属棒ab 一直加速下滑
C ．金属棒ab 下滑过程中M 板电势高于N 板电势
D ．带电微粒不可能先向N 板运动后向M 板运动
2．如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 从离地面高为h 的位置由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 求金属棒落地时的速度为多大？
【解析】ab 在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增为v ，a =v / t
产生感应电动势 E=Bl v
电容器带电量 Q=CE=CBl v ，感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a
产生安培力F=BIl =CB2 l 2a ，由牛顿运动定律 mg -F=ma
ma= mg - CB 2 l 2a ，a= mg / (m+C B 2 l 2)
∴ab 做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B 2 l 2)
落地速度为
B F BIl =B F F a m -=Q
C E CBl v I CBla t t t ∆∆∆====∆∆∆122W C Blv =克B （
）mg B F mg B h
22F a m CB l =+22CBlF I m CB l =+2222
B CB l F F m CB l =+2
222l CB m mgh ah v +==
3．如图所示，质量为M 的导体棒ab ，垂直放在相距为l 的平行光滑金属导轨上．导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d 的平行金属板．R 和R x 分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．
(1)调节R x ＝R ，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的
电流I 及棒的速率v .
(2)改变R x ，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m 、带电量为＋
q 的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x .
答案 (1)Mg sin θBl 2MgR sin θB 2l 2 (2)mldB Mq sin θ
解析 (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示．
导体棒所受安培力F 安＝BIl ① 导体棒匀速下滑，所以F 安＝Mgsin θ ②
联立①②式，解得I ＝Mgsin θBl ③ 导体棒切割磁感线产生感应电动势E ＝Blv ④
由闭合电路欧姆定律得I ＝E R ＋Rx
，且Rx ＝R ，所以I ＝E 2R ⑤ 联立③④⑤式，解得v ＝2MgRsin θB2l2 (2)由题意知，其等效电路图如图所示．由图知，平行金属板两板间的电压等于Rx 两端的电压． 设两金属板间的电压为U ，因为导体棒匀速下滑时的电流仍
为I ，所以由欧姆定律知U ＝IRx ⑥ 要使带电的微粒匀速通过，则mg ＝q U d ⑦
联立③⑥⑦式，解得Rx ＝mBld Mqsin θ
. 4、如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L 。

导轨上端接有一平行板电容器，电容为C 。

导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面。

在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。

已知
金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g 。

忽略所有电阻。

让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求:
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系
答案：（1）设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为 E=BLv ①
平行板电容器两极板的电压为U ，U=E ②
设此时电容器极板上储存的电荷为Q ，按定义有 ③ 联立①②③式解得 ④
（2）设金属棒下滑的速度大小为v 时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i ，金属棒受到磁场的安培力为F ，方向沿导轨向上，大小为F="BLi" ⑤ 设在t ～t+
时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有 ⑥
也是平行板电容器两极板在t ～t+时间间隔内增加的电荷量由④式可得 ⑦ 式中为金属棒速度的变化量按加速度的定义有
⑧ 分析导体棒的受力：受重力mg ，支持力N ，滑动摩擦力f ，沿斜面向上的安培力F 。

N=mgcos ⑨ ⑩(11) 联立⑤至(11)式得(12) 由(12)式及题设可知,金属棒做初速为零的匀加速直线运动,t 时刻金属棒下滑的速度大小为v
(13)
知识点九：单杆问题（与电源结合）
3、电动式
（1）电路特点：有外加电源，导体为电动边，运动后产生反电动势（等效于电机）。

（2）安培力特点：安培力为动力，并随速度增大而减小。

（3）加速度特点：加速度随速度增大而减小
（4）运动特点：加速度减小的加速运动
（5）最终状态：匀速运动
（6）两个极值：①最大加速度：v=0时,E 反=0,电流、加速度最大
②速度最大：稳定时，电流最小，速度最大，
，
（7）稳定后的能量转化规律
（8）动量关系： （9）能量关系： （10）变形：无（有）摩擦力；倾斜导轨；有初速；磁场方向变化
1．在方向水平的、磁感应强度为0.5 T 的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道cd 、e f ，其宽度为1 m ，其下端与电动势为12 V 、内电阻为1 Ω的电源相接，质量为0.1 kg 的金属棒MN 的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻不计，g =10 m ／s 2，从S 闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中 （ ） 答案：CD
A ．电源所做的功等于金属棒重力势能的增加
B ．电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热
C ．匀速运动时速度为20 m ／s
D ．匀速运动时电路中的电流强度大小是2 A
2、如图所示，水平放置的足够长平行导轨MN 、PQ 的间距为L =0.1m ，电源的电动势E ＝10V ，内阻r =0.1Ω，金属杆EF 的质量为m =1kg ，其有效电阻为R =0.4Ω，其与导轨间的动摩擦因素为μ＝0.1，整个装置处于竖
直向上的匀强磁场中，磁感应强度B ＝1T ，现在闭合开关，求：（1）闭合开关瞬间，金属杆的加速度；（2）金属杆所能达到的最大速度；（3）当其速度为v =20m/s
时杆的加速度为多大？（忽略其它一切电阻，g =10m/s 2）
【答案】（1）1m/s 2； （2）50m/s ； （3）0.6m/s 2
(1)根据闭合电路欧姆定律 , 有： I =Er +R =100.1+0.4=20A 安培力： FA =BIL =1×20×0.1=2N
根据牛顿第二定律 , 有： a =FA −μmgm =2−0.1×1×101=1m /s 2
(2)当达到最大速度时，做匀速直线运动，根据平衡条件，有：BI ′L −μmg =0
解得： I ′=μmgBL =0.1×1×101×0.1=10A ，根据闭合电路欧姆定律，有：I ′=E −BLvmr +R 解得：vm =50m /s
(3)当其速度为 v =20m /s 时 , 反向的感应电动势： E 感=BLv ′=0.1×1×20=2V 电流： I =E −E 感r +R =10−20.1+0.4A =16A 故根据牛顿第二定律，有： ma =BIL 解得： a =BIL −μmgm =1×16×0.1−0.1×1×101m /s 2=0.6m /s 2
0m BLq mgt mv μ-=-212E m
qE Q mgS mv μ=++
M P N
Q E B
3、如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L ，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器R)、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关S 相连．整个空间充满了垂直于导
轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B 。

一质量为m ，电阻不计的金属
棒ab 横跨在导轨上．已知电源电动势为E ，内阻为r ，电容器的电容为C ，定值电
阻的阻值为R 0，不计导轨的电阻．
(1)当S 接1时，金属棒ab 在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值R
多大？
(2)当S 接2后，金属棒ab 从静止开始下落，下落距离s 时达到稳定速度，则此稳定
速度的大小为多大？下落s 的过程中所需的时间为多少？
(3)先把开关S 接通2，待ab 达到稳定速度后，再将开关S 接到3．试通过推导，说明ab 棒此后的运动性质如何？
解析：(1)
,E BIL mg I R r ==+，得EBL R r mg =- (2) 220B L v mg R =，得022mgR v B L =，由动量定理得mgt BILt mv -=，其中0BLs It q R == 得44222200222200mR B L s m gR B L s t mgR B L mgR B L +=+=（3）S 接3后的充电电流为q C U v I CBL CBLa t t t ∆∆∆====∆∆∆，mg BIL ma -=，得22mg a m CB L =+=常量。

所以ab 棒做"匀加速直线运动"，电流是恒定的．
4、如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0=l m ，处在同一水平面中，磁感应强度B =0.8T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =0.1kg 、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势E =1.5V 、内电阻r =0.2Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析：
（1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大？随后ab 的加速度、速
度如何变化？
（2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？
试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．
解析（1）在S 刚闭合的瞬间，导线ab 速度为零，没有电磁感应现象，由a 到b 的电流
A r R E I 5.10=+=，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度2000/6s m m L BI m F a === ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向
右运动的速度为υ时，感应电动势Blv E ='，根据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中与电池
电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，r R E E I +-='
）将减小（小于I 0=1.5A ），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也
减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势'E 与电池电动势E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-=，所以
1.50.80.5m E Bl υ==⨯m/s=3.75m/s ．（2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势5.75.08.0'⨯⨯==Blv E V=3V 由于'E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：
2.08.05.13''+-=+-=r R E E I A=1.5A 直导线ab 中的电流由b 到a ，根据左手定则，磁场对ab 有水平向左的安培力作用，大小为5.15.08.0''⨯⨯==BlI F N=0.6N 所
以要使ab 以恒定速度5.7=v m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力6.0=F N 作用于ab ．上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：①作用于ab 的恒力（F ）的功率：5.76.0⨯==Fv P W=4.5W ②电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：)2.08.0(5.1)(22'+⨯=+=r R I P W=2.25W ③逆时针方向的电流'I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸
收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：'' 1.5 1.5P I E ==⨯W=2.25W
由上看出，'''P P P +=，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．。