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闭合电路 Ohm 定律
一般地：
I
=
∑ (±εi ∑ Ri
)
¾ ±εi 的正负号：任意选择一回路走向，则电源方向 （由负极指向正极）与选择回路走向一致时取 “＋”，相反时取“－”。
¾ 电流的方向： I > 0 ，与选择的回路走向一致； I < 0 ，与回路走向相反。
本章总结
电流强度，电流密度
I
=
∫∫
r j
S
nv dS
θvv+
v+ dt
1
¾ 电流密度为矢量, 导体中某点电流密度的方向 沿该点正电荷运动的速度方向:
¾ 电流密度反映了电流在载流导体内的分布:
r J
=
r J
(rv)
=
r J (x,
y,
z)
Ø 电流连续性方程
孤立系统中，总电荷量保持不变。在有电荷流动的导体 内做任一闭合曲面S，dt时间内通过S向外净流出的电荷 量应等于同一段时间内S内电荷量的减少
§5-1 电流强度与电流密度 §5-2 稳恒电流和稳恒电场 §5-3 欧姆定律及其微分形式 §5-4 电动势 含源电路欧姆定律
静电场是静止电荷激发的场。电荷在静电场力的作用下，会 运动。如：金属导体中的自由电子，电解液中的正负离子。这种
带电粒子有规则的定向运动，在宏观上表现为电流。
电荷的规则流动形成电流场，可以用类似于电场线的曲线电 流线来描述电流场的分布。
I1 S I2
I4 I5
I3
Kirchoff 第一定律：在稳恒电流的电路中，当电流回合在一 点（节点）时，流入节点的电流等于流出节点的电流。
Ø 稳恒电场（或恒定电场）
稳恒电场——不随时间变化的电荷分布所产生的电场。
稳恒电流条件下的电场就是稳恒电场。稳恒电场本身也是不 随时间改变的——场分布不变。
稳恒电场具有与静电场相同的性质，即满足 Gauss 定理和静
节点电流定律
Uab= ∑ (± Ii Ri )+ ∑ (mε i )
∑ Ii = 0
作业 4 ,9
5
电量和数密度
( ) dq
v dS
= =
dqqndSvv⊥+
= qn (v
⋅
v dS dt
+ dt =
cos vj ⋅ d
θ dS v S dt
)
vj = q nvv+
vj = qn vv
vv ——载流子定向运动的漂移速度。
对于导体，载流子是自由电子：vj = −en vve
v dS
vv+
dS ⊥ dS ⊥
稳恒电场：
电荷静止，不激发磁场 电荷运动-激发磁场（恒定磁场）
静电平衡Er导＝体0内部场强
维持静电场不需要能量的转换
导Er体s ≠内0部，恒Er定s →电J场r
伴随能量的转换
2
Ø Ohm 定律
Ohm 定律：通过一段导体或电阻元件的、沿电流流向的电
势降落值与电流强度大小成正比。
IS
U ∝ I U = RI
⋅
r dS
dI
=rj
⋅
r dS
rj = qnvr
稳恒电流的条件
∫∫
r j
⋅
d
r S
=
0
S
稳恒电场的高斯定理与环路定理
∫∫
S
rr Es ⋅dS
=
1 ε0
∑
(S )
qi
∫
r Es
⋅drr
=
0
L
欧姆定律 电动势
U = IR
R=ρ⋅L S
∫ ε =
+
Ek ⋅dl
−
回路电压定律
rj
=
σ
r E
∑(±IiRi )+∑(mεi )= 0
j = σE ，有
E
=
ρj
=
r
U
ln (b
a)
功率密度为
p=
1 ρ
E2
=
1 ρ
⎜⎜⎝⎛
r
U
ln (b
a ) ⎟⎟⎠⎞2
P = ∫∫ pdV V
=
b
∫a
1 ρ
⎜⎜⎝⎛
r
U
ln (b
a )⎟⎟⎠⎞2 2πrldr
=
2πlU
ρ ln(b
2
a
)
=
U
2
R
1.电源及电源电动势
若要在导体中形成恒定电流，必须在其中维持稳 恒不变的电场，也就是在导体两端维持恒定的电 势差，产生和维持这个电势差的装置称为电源。
受 慢到 ，金 使属 得点 运阵 动或 方溶 向液 与分 电子 场（ 力离 方子 向） 趋的 于阻 相碍 同， ，定 即向vj 漂// E移v 。运于动是非有常缓
vj = σ Ev Ohm 定律的微分形式
【例】在稳恒电路中两柱状金属导体相接。 分析交界面两侧电流密度和电场的分布。
J1
J2
σ1
σ2
σ1 >σ2
对于金属和大多数材料，α > 0 ；也存在 α < 0 的材料。
当温度接近于绝对温度零度时，ρ → 0，称为超导现象 。
Ø Ohm 定律的微分形式
U = RI
稳恒电场 的场强
ΔU = RΔI = 1 Δl ΔI σ ΔS
EΔl = 1 Δl jΔS σ ΔS
v
ΔS
E
Δl
⇒ j = σE
vj 是正电荷运动方向。由于载流子在金属或电解液中的运动
S
J1
E1
+
E2J2
σ1
+ σ2
σ 1 > σ 2 E1 < E2
恒定电流： − J1S + J2S = 0, J1 = J2
电场分布： σ1E1 =σ 2E2 , σ1 >σ 2, E1 < E2
电场在界面不连续，界面上有电荷积累。
Ø 焦耳热及其功率
实验表明：当电流通过金属导体和
v E
电阻元件时，会发出热量，即焦耳热。
相应的功率密度为 p = σE 2
P = ∫∫∫ pdV
V
dA = dqU = IUdt ⇒ P = dA dt = IU = I 2R
ΔP = (ΔI )2 R = ( jΔS )2 Δl = (σE )2 ΔlΔS = σE 2 (ΔlΔS ) = pΔV
σΔS
σ
3
[例] 长度为 l 的同轴电缆，内芯半径和外筒内径分别为 a 和 b ，中间充 满电阻率为 ρ 的均匀介质。（1）求内芯和外筒间的漏电阻 R；（2）如果两极 间电势差为 U，求介质内的电流密度 j 和功率密度 p 的分布。
ε=A q
A为非静电力做的功
借用场的概念,可以把非静电力的作用看作非静电场 的作用.用Ene表示非静电场,则它对电荷q的作用为:
rr Fne = qEne
1.电源及电源电动势
在电源内，非静电力将正电荷q由负极移到正极所做
的功为:
∫ ∫ + r r + r r
A = − Fne ⋅ dl = − qEne ⋅ dl
金属导体中的电流场分布例子
Ø 电流强度(简称电流)——单位时间内通过任意截面的电荷。
Ø 电流密度 vj ：
vj = dq
vj
//
dS qvv
⊥
dt
I = dq dt
I1 I2
S1
(vv+
)
1
S
2
(vv+
) 2
I1 = I2 = I (vvS+ 1)1<>S(2vv+ )2
单位时间内垂直通过单位截面的电量 正电荷定向运动的方向
子受焦电耳场热力的定微向观运机动制（<：vv金> //属−Ev内）自。由自电由电子与形成点阵结构的 正离子碰撞加剧，将定向运动（自由电子的热运动始终存在）的 动能传递给正离子，使每个正离子在各自平衡位置附近的振动加 剧，宏观上表现为电场能量转化为导体的内能。
可以证明，焦耳热的功率为 P = I 2 R
Ø 电流强度与电流密度的关系：
I
=
∫∫
vj
⋅
v dS
S
证明：dq dI
v dS
=
= dq
dq
v dS
dS ⊥
dt
= =
vj dS v j dS ⊥
⊥ dt = vj
⋅
v dS
v dS
vv+
dS ⊥
S
dS ⊥
=
v dS
cos θ
I
=
∫∫
vj
⋅
v dS
S
dI
=
vj
⋅
v dS
Ø 电流密度的微观定义
载流子的
∫∫ vj
⋅
v dS
+
dqS内
=
0
S
dt
qS内
S
上式是电荷守恒定律的数学表示，又称电流连续性方 程
Ø 稳恒电流（或恒定电流）
稳恒电流——导体内各处电流密度都不随时间变化的电流。
稳恒电流的重要性质（稳恒的必要条件）：
∫∫
vj
⋅
v dS
=
0
S
I1
I2
− I1 + I2 = 0
即 ∑ Ii = 0 i
S − I1 + I2 − I3 − I4 + I5 = 0
电动势
∫ ε =
A= q
+r r − Ene ⋅ dl
用场的观点表示电动势