五年级上册奥数第六讲 能被30以下质数整除的数的特征 _通用版(例题含答案)
01.被30以下质数整除的数
01.被30以下质数整除的数小学五年级奥数题――数的整除问题（一）小学五年级奥数题――数的整除问题（二）1一、1到200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？二、两位小数□.□1，每个数位上的数字都不同，其中能被24除尽的共有多少个？三、两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1，2，3??,16这十六个数中，有好数多少对？四、把一个能被6整除的两位数的十位和个位上的数字互换，得到的一个新的两位数仍然还能被6整除，这样的两位数共有（）个，按照从大到小的顺序排列，中间一个是（）。
五、在724左边添上一个数字a，右边添上一个数字b,组成一个五位数，如果这个五位数是12的倍数，那么a×b的最大值是多少？2六、用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。
在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有（）个。
七、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数，将这两个四位数相加，甲的答数是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888。
其中有一个同学的结果是正确的，那么做对的同学是（）。
八、一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，已知这两个4位数的和是以下5个数中的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869。
这两个4位数的和是（）。
九、六位数3ABABAB是6的倍数，这样的六位数共有多少个？十、一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是多少？1.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除. 2.证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.3.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
第六讲 能被30以下质数整除的数的特征
1、你能很快地判断3456789能不能被9整除吗？ 2、既然不能整除，那么它除以9所得的余数是 多少？ 3、3456781能被17整除吗？
新课教学 课前准备1
多位数的表示方法
（1）字母上方横线法
N= FEDCBA
如六位数N= y=
34567xy
能被75整除，则x=
(2)数位表示法
能被23、29整除的数的特征
利用关键性式子23×435=10005 29×345=10005尝试推导公式 N≡ DCBA －5× GFE (mod 23)；(mod 29) 将末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5 倍的差（大减小）能不能被23、29整除。
本课小结
再看乘积的十位数字是1， 可以想到323的个位3乘以 乘数的十位所得的末尾数 字是5， 因此，乘数的十位是5 最后看乘数的百位数字， 只能是3。 相加后可知，在□□中应 填写5、3。 3 2 3 × 3 5 7 2 2 6 1 1 6 1 5 9 6 9 1 1 5 3 1 1
.9、将2008加上一个数，使和能被23和19整除， 加的数要尽可能小，那么所加的数是多少？ 分析与解：与第7题类似， 2008与这个数的和是23×19＝437的倍数， 437×5＝2185 2185－2008＝177 答：所加的整数是177。
公式的推导思路与方法
关键1、是把所给的多位数拆成两部分： 除数的倍数 其余的部分 关键2、怎样拆 要寻求与10、100、1000、10000接近的数
能被17整除的数的特征的推导
关键性式子 17×6=102 17×59=1003 N= FEDCBA = FED×1000+ CBA = FED× (1003－3)+ CBA = FED ×1003 － FED×3+ CBA = FED×17×59+ CBA － FED ×3 因为 FED×17×59是17和59 的公倍数，所以， 能否整除只要看 － ×3能否被17或 CBA FED 59整除就行了
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五年级奥数讲义：能被30以下质数整除的数的特征
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。五年级奥数讲义：能被30以下质数整除的数的特征习题
第六讲 能被30以下质数整除的数的特征
842
第一步 － 586 第二步 － 30
30842
812
812÷13=62……6
公式的推导思路与方法
关键1、是把所给的多位数拆成两部分： 除数的倍数 其余的部分
关键2、怎样拆 要寻求与10、100、1000、10000接近的数
能被17整除的数的特征的推导
关键性式子 17×6=102 17×59=1003
∴七位数3456789不能被9整除，除以9所得 的余数是6.
公式N≡…a4+a3+a2+a1+a0（mod9） 是怎样得来的？
利用加上或减去除数的倍数时，结果的余数不变， 结合乘法分配律可以推导出这个公式：
如N=35647=3×10000+5×1000+6×100+4×10+7 =3×（9999+1）+5×（999+1）+6×（99+1）+4×
方法回顾，
关键是把所给的多位数拆成两部分：
除数页体会下面的公式
一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数 字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11 整除即
N≡ (a0+a2+a4+…) －(a1+a3+a5+…) (mod11)
当N≡ 0时，整除；当N≡ 不等于0是结果就是 余数
多少？ 3、3456781能被17整除吗？
新课教学 课前准备1
多位数的表示方法
（1）字母上方横线法
N= FEDCBA
如六位数N= 34567xy 能被75整除，则x=
y=
(2)数位表示法
（2）100=10×10=102 100=10×10×10=103 1000=10×10×10×10=104 … … … … 如
第六讲__能被30以下质数整除的数的特征 学生
第六讲 能被30以下质数整除的数的特征大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除。
因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征。
在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的特征。
为了叙述起见，我们把讨论的数N 记为： N=3210a a a a ⋅⋅⋅ = …＋a 3×103＋a 2×102＋a 1×10＋a 0，有时也表示为N=DCBA ⋅⋅⋅。
对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
一、整除的特征：1.能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8（偶数）。
2.能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。
3.能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除。
4.能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5.能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6.能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）是11的倍数。
7.能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与莫三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（11或13）整除。
二、整除特征的推导1 被7、11、13整除的数的特征有一关键性式子：7×11×13=1001。
如有一个数有六位，记为N=FEDCBA，那么N=FED×1000＋CBA=FED×1001－FED＋CBA=FED×（7×11×13）＋CBA－FED所以N能被7、11、13整除，相当于CBA－FED或FED－CBA（以大减小）能被7、11、13整除。
总结为公式：①N=GFEDCBA⋅⋅⋅≡CBA－GFED⋅⋅⋅（mod 7）(mod 11)(mod 13)总结：判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
五年级上册奥数第六讲 能被30以下质数整除的数的特征 _通用版(例题含解析)
五年级上册奥数第六讲能被30以下质数整除的数的特征_通用版（例题含解析）课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
大伙儿明白，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也确实是一个数的个位数能被2整除，那么那个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“那个数能被2整除”的特点.在这一讲中，我们通过寻求关于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特点。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
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第六讲能被30以下质数整除的数的特征课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。
大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。
为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
有时也表示为我们已学过同余，用mod2表示除以2取余数.有公式：①N≡a0（mod2）②N≡a1a0（mod4）③N≡a2a1a0（mod8）④N≡a3a2a1a0（mod16）这几个公式表明一个数被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。
此外，被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除.我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下.如（mod9），如果，N=a3a2a1a0=a3×1000+a2×100+a1×10+a0＝a3×（999＋1）＋a2×（99+1）＋a1×（9+1）+a0＝（a3+a2+a1+a0）+（a3×999+a2×99+a1×9），那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有N≡a3＋a2+a1+a0（mod9）对于mod3，理由相仿，从而有公式：⑤N≡（…＋a3＋a2＋a1＋a0）（mod9），N≡（…+a3＋a2＋a1＋a0）（mod3）。
对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
先看一例.N=31428576，改写N为如下形式：N=6＋7（11-1）＋5（99＋1）＋8（1001-1）＋2（9999＋1）＋4（100001-1）+1（999999+1）+3（10000001-1）=6-7+5-8+2-4+1-3+7×11+5×99＋8×1001+2×9999+4×100001+1×999999＋3×10000001。
由于下面这两行里，11、99、1001、9999、100001、999999、10000001都是11的倍数，所以N=6-7＋5-8＋2-4＋1-3（mod11）。
小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N的表达式最后一行中“借用”11的适当倍数（这样，最后一行仍都是11的倍数），把它加到“小减大”的算式中，这样就得到：N≡11＋6-7＋5-8＋2-4＋1-3≡3（mod11）。
现在总结成一般性公式（推理理由与例题相仿）.则N≡（a0-a1+a2-a3＋a4-a5＋a6-a7+…）（mod11）或者：⑥N≡（（a0+a2+a4+…）-（a1+a3+a5+…））（mod11）（当不够减时，可添加11的适当倍数）。
因此，一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7×11×13=1001。
所以N能被7、11、13整除，相当于能被7、11、13整除.总结为公式：（mod11）；（mod13）当倍数）。
表述为：判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。
由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。
此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用减法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。
如N＝987654321.判定N能否被13整除？而654=50×13+4，所以原数不能被13整除.如直接计算，很费力：987654321=75973409×13＋4。
下面研究可否被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001＝7×11×13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法.对于质数17，我们有下面一些等式：17×6＝102，17×59=1003，17×588=9996，17×5882=99994，我们不妨从17×59=1003出发。
因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。
例：N=31428576，判定N能否被17整除。
而429=25×17+4，所以N不能被17整除。
例：N＝2661027能否被17整除？又935=55×17。
所以N可被17整除。
下面来推导被19整除的简易判别法。
寻找关键性式子：19×52=988，19×53=1007.因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。
例：N＝123456789可否被19整除？又603＝31×19+14，所以N不能被19整除。
例：N=6111426可否被19整除？又57=3×19，所以N可被19整除：321654×19=6111426。
下面来推导被23、29整除的简易判别法。
寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，现有23×435＝10005，29×345=10005，由此启发得到一个末四位隔开的方法：因此，判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。
例：N＝6938801能否被23或29整除？又5336＝23×232＝23×29×8，所以很快判出N可被23及29整除。
最后，如还想寻找以上数的更简明判别法，或被31以上质数整除的判别法，都是可以去探索的.把这一节得到的公式简列于下：（可在上述这些同余式的右端加上相应质数的适当倍数）.后两式没有证明，不难从999=37×27，992＝31×32启发出“隔位加”的判别法。
习题六1.公式1003=17×59曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式②也是判定被59整除的简便公式。
2.说明公式③也是判定被53整除的简便公式。
3.61是质数，并且10004=61×164，你能利用这一等式导出判定被61整除的简便公式吗？4.67是质数，1005=67×15，请证明：（可在右端加上67的适当倍数）。
5.994＝71×14，71是质数，请导出判定被71整除的公式。
6.N=31428576可否被37整除？。