专题-物理-L28-万有引力计算天体质量和密度问题

解析：设该星球表面重力加速度为g，物体水平抛出后经时间t落地，则h＝gt2 ① s＝v0t 该星球质量M：g＝ 由①②③式得M＝. ② ③
1 2 GM R2 2 2hv2 0R Gs2
（2）若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，则由
Mm 4 2 4 G 2 mr 2 和M R 3 , r T 3 3 r 3 得 . 2 3 GT R
引力，得
mg＝G ， .
解得地球质量为M地＝
由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根 据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G ，则M＝ ，另一种方法是根据天体的 圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程： G ＝m r＝m ＝mω 2r来求得质量M＝ ＝ ＝
解析： 利用公式M＝ ，计算出天体质量，再利用ρ ＝ 计算天体的密度．
其中r为天体运动的轨道半径，R为中心天体的半径， 只有贴近中心天体表面运行时才有r＝R.设卫星的质量为m， 天体的质量为M，卫星在天体表面运行时，G 得M ＝ 根据数学知识星球的体积V＝4/3 πR3. 所以天体的密度ρ ＝M/V ＝ ＝m R，
2．太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力 充当向心力，即G ＝mω 2r，而ω ＝ . ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道
半径，得到太阳质量M＝
3．其他行星质量的计算
利用绕行星运转的卫星，测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．
1.天文学家根据观察研究得出：银河系中心可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”6×109km的星球以 2.0×106 m/s速度绕它旋转．已知万有引力常量G＝6.67 ×10－11N·m2/kg2，求该“黑洞”的质量．
2．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6h，在行星的赤道处用弹 簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%.已知引力常量G＝6.7×10－11N· m2/kg2， 求此行星的平均密度．
一、天体质量的估算（以地球质量的计算为例） 1.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，
二、天体密度的估算 1.密度公式

M 4 3 R 3
， 只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度.
2.计算天体密度的两种常用方法
（1）由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度.
用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．
二、天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度． 由mg＝ 得ρ ＝ . 和M＝ρ · πR3，
其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的密度． 设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程： G ＝m r，M＝ρ · πR3， ＝ ＝ .
得ρ ＝
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R， 则天体密度为：ρ ＝
3π 2 . GT
例题1 已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面 重力加速度大致相等，试估算海王星的质量．(已知地球质量M地＝6.0×1024 kg)
解析： 设海王星质量M海，半径为R海，地球质量M地，半径R地，对海王星而言，处于海王星表面的 物体受到海王星作用的重力就是海王星与物体之间的万有引力． 即mg海＝G 可得 g海＝
物理专题
万有引力计算天体质量和密度
一、天体质量计算的几种方法 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动 力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的 万有引力提供向心力．
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地
G
＝m月
.
解得地球的质量为M地＝rv2/G.
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运 动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G ＝m月·v· G ＝m月.
以上两式消去r，解得
M地＝v3T/(2πG)．
(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的
同理地球表面的重力加速度g地＝
因g海≈g地，所以G ＝G
M海＝16M地＝9.6×1025 kg.
例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠 近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．
解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．
若卫星距天体表面高为h处运行，则有
本课小结
动力学分析
计算方法
典型例题
下节课 再见
一、计算天体的质量 1．地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引
2 gR GMm 力，即mg＝ ，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量． 2 ，则M＝ G R
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解析：设在赤道和两极处重力的读数分别为F1和F2，在赤道上，物体受万有引力和拉力F1作用绕行星 做圆周运动，由牛顿第二定律得G－F1＝mR
在两极上，物体平衡，有G＝F2 又F2－F1＝10%F2得M＝
Mm R2 4π2 T2 Mm R2 40π2R3 GT2
解析： 设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，由万有引力定律得 F＝mg＝ ①
飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 ＝m R ②
联立以上两式得
例题3 假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表 面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G，则该天体的平均密度是多少？ 若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则该天体 的密度又是多少？
特别提醒
要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.
M＝ 根据数学知识星球的体积V＝πR3. 所以天体的密度ρ＝＝＝. 若卫星距天体表面高为h处运行，则有 G＝m(R＋h)
4π2R3 2 4 GT0· πR3 3 M V 4π2R3 2 GT0 3π GT2 0 4 3 4π2 T2 Mm R＋h2
Mm 4 3 由mg G 2 和M R ， R 3 3g 得 . 4 GR
巩固练习1：宇航员在某星球表面，将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出，测出小球落地点 与抛出点间的水平位移为s，若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量多大？
巩固练习2：地球绕太阳公转的轨道半径为1.49 ×1011m，公转的周期是3.16×107s，太阳的质量是多 少？
球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力， 即 ＝m月 r2，可求得地球质量M地＝ .
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力 等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得