高考复习课件：函数的奇偶性与周期性
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图像与原 若奇函数f(x)在原点有 0 点的关系 意义，则f(0)=__
2.周期性 (1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) 对定义域内的任意x都成立. ②____________ (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个___________ 最小的正数 就叫做它的最小正周期． ___________ (3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图像的对称中 心是( ) （B）(-1,0) （C）(0,1) （D）(0,-1)
（A）(1,0)
【解析】选B.函数y=f(x)的图像关于点(0,0)对称，函数
y=f(x+1)的图像可由y=f(x)的图像向左平移1个单位得到，故
函数y=f(x+1)的图像的对称中心为（-1，0）.
【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定
义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断 f(-x)与f(x) 的关系，分段函数应分情况判断. 【规范解答】(1)由
1 x ≥0,得-1＜x≤1, 1 x
因此函数的定义域为(-1，1］，不关于原点对称，故f(x)为非 奇非偶函数.
1 x 2＞0, （2）由 得-1＜x＜0或0＜x＜1. x 2 2, ≨函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).
考向 1 函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列各函数的奇偶性.
1 f x x 1
1 x . 1 x lg(1 x 2 ) (2) f x . x2 2
2 x x, x＜0, (3)f x 2 x x, x＞0.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原
点.(
)
)
（2）函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(
（3）若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对 称.( )
（4）若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点（b,0) 中心对称.( )
（5）对于函数y=f(x),x∈(0,+∞),若2是f(x)的一个周期，则 -2也是f(x)的一个周期.( )
【解析】（1）错误.当奇函数的定义域不含0时，则图像不过 原点. （2）错误.函数f（x)的定义域不关于原点对称. （3）正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称，则函数y=f(x)关 于直线x=a对称. （4）正确.函数y=f(x+b)关于点（0，0）中心对称，则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. (5)错误.若-2是函数f(x)的周期，则f(1)=f(1-2)=f(-1)不合 题意. 答案：（1）〓 （2）〓 （3）√ （4）√ (5)〓
【变式训练】（1）若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域
均为R，则(
)
（A）f(x)与g(x)均为偶函数
（B）f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
（C）f(x)与g(x)均为奇函数
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值 为( ) （B ）0 （C ）1 （D ）2
（A）-1
【解析】选B.≧f(x+4)=f(x), ≨f(x)是以4为周期的周期函数，≨f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ≨f(8)=f(0)=0,故选B.
第三节 函数的奇偶性与周期性
1.奇函数、偶函数的定义与性质 奇函数 定 图像法 偶函数
原点 对称 图像关于_____
f(-x)=-f(x)
y轴 对称 图像关于____
f(-x)=f(x)
义 符号表示 定义域 性 质 单调性
原点 对称 关于_____ 在关于原点对称的两个区间上 相同 的单调性 有_____ 相反 的单调性 有_____
2.函数 f x 1 x 的图像关于( ) x (A)y轴对称 (B)直线y=-x对称 (C)坐标原点对称 (D)直线y=x对称
【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦)， 且 f x 1 x ( 1 x) f x , x x ≨函数f(x)是奇函数.
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0)上是减
少的，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是( （A）a≤2 （C）a≥-2 （B）a≤-2或a≥2 （D）-2≤a≤2 )
【解析】选B.由题意知函数y=f(x)在(0,+≦)上是增加的，且 f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),≨|a|≥2，解 得a≥2或a≤-2.
此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,≨ f x
2
lg 1 x 2 x
2
.
lg［1 x ］ lg 1 x 又≧ f x x x ≨函数f(x)为奇函数.
f x ,
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-≦，0)∪(0,+≦)，关于原点对称， ≧当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0， 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ≨函数f(x)为奇函数.
【拓展提升】判断函数奇偶性的方法 (1)符号定义法：
（2）图像法：
(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇 偶性 奇函数与 奇函数 奇函数与偶 函数 偶函数与 偶函数
和 差
积 商
奇函数 奇函数
偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数 偶函数
偶函数 偶函数
【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才 成立的.
图像与原 若奇函数f(x)在原点有 0 点的关系 意义，则f(0)=__
2.周期性 (1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) 对定义域内的任意x都成立. ②____________ (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个___________ 最小的正数 就叫做它的最小正周期． ___________ (3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图像的对称中 心是( ) （B）(-1,0) （C）(0,1) （D）(0,-1)
（A）(1,0)
【解析】选B.函数y=f(x)的图像关于点(0,0)对称，函数
y=f(x+1)的图像可由y=f(x)的图像向左平移1个单位得到，故
函数y=f(x+1)的图像的对称中心为（-1，0）.
【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定
义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断 f(-x)与f(x) 的关系，分段函数应分情况判断. 【规范解答】(1)由
1 x ≥0,得-1＜x≤1, 1 x
因此函数的定义域为(-1，1］，不关于原点对称，故f(x)为非 奇非偶函数.
1 x 2＞0, （2）由 得-1＜x＜0或0＜x＜1. x 2 2, ≨函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).
考向 1 函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列各函数的奇偶性.
1 f x x 1
1 x . 1 x lg(1 x 2 ) (2) f x . x2 2
2 x x, x＜0, (3)f x 2 x x, x＞0.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原
点.(
)
)
（2）函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(
（3）若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对 称.( )
（4）若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点（b,0) 中心对称.( )
（5）对于函数y=f(x),x∈(0,+∞),若2是f(x)的一个周期，则 -2也是f(x)的一个周期.( )
【解析】（1）错误.当奇函数的定义域不含0时，则图像不过 原点. （2）错误.函数f（x)的定义域不关于原点对称. （3）正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称，则函数y=f(x)关 于直线x=a对称. （4）正确.函数y=f(x+b)关于点（0，0）中心对称，则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. (5)错误.若-2是函数f(x)的周期，则f(1)=f(1-2)=f(-1)不合 题意. 答案：（1）〓 （2）〓 （3）√ （4）√ (5)〓
【变式训练】（1）若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域
均为R，则(
)
（A）f(x)与g(x)均为偶函数
（B）f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
（C）f(x)与g(x)均为奇函数
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值 为( ) （B ）0 （C ）1 （D ）2
（A）-1
【解析】选B.≧f(x+4)=f(x), ≨f(x)是以4为周期的周期函数，≨f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ≨f(8)=f(0)=0,故选B.
第三节 函数的奇偶性与周期性
1.奇函数、偶函数的定义与性质 奇函数 定 图像法 偶函数
原点 对称 图像关于_____
f(-x)=-f(x)
y轴 对称 图像关于____
f(-x)=f(x)
义 符号表示 定义域 性 质 单调性
原点 对称 关于_____ 在关于原点对称的两个区间上 相同 的单调性 有_____ 相反 的单调性 有_____
2.函数 f x 1 x 的图像关于( ) x (A)y轴对称 (B)直线y=-x对称 (C)坐标原点对称 (D)直线y=x对称
【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦)， 且 f x 1 x ( 1 x) f x , x x ≨函数f(x)是奇函数.
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0)上是减
少的，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是( （A）a≤2 （C）a≥-2 （B）a≤-2或a≥2 （D）-2≤a≤2 )
【解析】选B.由题意知函数y=f(x)在(0,+≦)上是增加的，且 f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),≨|a|≥2，解 得a≥2或a≤-2.
此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,≨ f x
2
lg 1 x 2 x
2
.
lg［1 x ］ lg 1 x 又≧ f x x x ≨函数f(x)为奇函数.
f x ,
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-≦，0)∪(0,+≦)，关于原点对称， ≧当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0， 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ≨函数f(x)为奇函数.
【拓展提升】判断函数奇偶性的方法 (1)符号定义法：
（2）图像法：
(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇 偶性 奇函数与 奇函数 奇函数与偶 函数 偶函数与 偶函数
和 差
积 商
奇函数 奇函数
偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数 偶函数
偶函数 偶函数
【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才 成立的.