如何理解分式方程和分式方程的根

如何理解分式方程和分式方程的根学习分式方程和求解分式方程的根时，容易产生一些模糊的认识，要真正弄懂学好，应注意以下几点：1. 分式方程是分母含未知数的有理方程。

这告诉我们：①分式方程是形式上的定义。

如方程与是不同的两个方程，前12=x x 1=x 者为分式方程，后者为整式方程。

②分式方程强调分母是含未知数而不是含有字母，这与分式定义中分母规定不一定。

如关于的方程，它不是分式方程，而是整式方程。

x 221m x m -=+③分式方程是有理方程。

如方程不是分式方程。

1=x x2. 解分式方程时，去分母的方法不一定要乘最简公分母，但乘以最简公分母意义在于它不仅能使去分母具有可行性，同时演算简洁，有时还可减少增根个数。

如：解方程，若方程两边乘以，解112212=++++x x x x )12)(1(2+++x x x 得，而为增根；若方程两边乘以，解得为原方程的1±=x 1-=x 122++x x 1=x 根。

3. 分式方程与它变形之后的整式方程的关系表现在：一方面，分式方程的根是从整式方程中求出来的，它一定是整式方程的根。

但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的条件是要使分母不为零。

另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不过其中排除分母不为零这一因素。

如关于的方程的解为负数，求的范围。

分式方程变形x 111=++x k k 后得整式方程为，若整式方程解为负时，则。

但分式方程解为负数k x =0<k 时，不仅且即且。

0<k 01≠+x 0<k 1-≠k 4. 解分式方程时常常出现增根，我们要全面认识它。

①分式方程增根产生的原因是在分式方程左右两边乘的最简公分母为了零。

如分式方程一定不会产生增根，因为最简公分母。

21152=+x 0)1(22≠+x ②使最简公分母为零的未知数的值均可能是增根，且增根也只可能在这些值中。

如分式方程，与均有可能为它的增根，x x x x x x 12122+=+-+0=x 1-=x 解后知增根为。

1-=x ③分式方程的增根不是它的根，但它是变形后的整式方程的根。

如解分式方程若产生增根，则为何值？由上②知均可xx x x m x x 11122+=++-+m 10-==x x ，以为增根，增根又是变形后整式方程的根，故或。

1122+=--m x x 2-=m 1=m几何第二章《相交线、平行线》复习指导本章的主要内容是两条直线的两种位置关系——相交和平行。

重点是垂线的概念和平行线的性质和判定。

由于本章是几何推理论证的入门阶段，所以这一章的内容是很重要的基础知识。

同学们一定要认真学习，打好基础，为帮助同学们复习好本章内容，笔者谈以下几点：一、从整体上把握本章的知识结构本章分三大节，第一大节介绍相交线，研究两条相交直线有公共顶点的四个角的关系；第二大节介绍平行线的概念、平行公理及其推论，研究平行线的判定及性质；第三大节介绍命题、定理、证明。

其知识网络是：二、熟练判断有关的角由两条相交的直线引出了对顶角、邻补角；由一条直线分别与两条直线相交引出了同位角、内错角、同旁内角。

对这些角要求同学们能准确地进行判断。

1. 对顶角。

两条直线相交所成的四个角中，有一个公共点而没有公共边的两个角叫对顶角。

如图1中的∠1与∠3，∠2与∠4就是对顶角。

特点是：对顶角是相互的，互为对顶角的两个角有公共顶点，两边互为反向延长线。

对顶角有一个重要性质，即：对顶角相等。

2. 邻补角。

两条直线相交所成的四个角中，不仅有一个公共顶点，而且还有一条公共边的两个角叫作邻补角。

如图1中∠1与∠2，∠2与∠3就是邻补角。

邻补角的和是一个平角。

因此，邻补角可以看成是由一条直线被经过它上面的一点的一条射线分成的两个角。

邻补角是有特殊关系的两个互补的角。

3. 同位角，一条直线与两条直线相交，便松成了“三线八角”，如图2所示。

在图2中的∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的上方，并且都在直线EF同侧，像这样位置相同的一对角叫作同位角。

同样∠4与∠8、∠2与∠6、∠3与∠7也是同位角。

4. 内错角。

图2中的∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF的两侧，像这样的一对角叫作内错角。

同样∠4与∠6也是内错角。

5. 同旁内角。

图2中的∠3与∠6，这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别都在直线EF的同侧，像这样的一对角叫作同旁内角。

同样∠4与∠5也是同旁内角。

在识别同位角、内错角和同旁内角时，要按下面的口诀来识别：“一看三线，二找截线，三再根据位置来分辨”。

所谓“看三线”：因为这三种角是由两条直线被第三条直线所截而成的，所以，一对同位角（或内错角、或同旁内角）的四条边应分别在这三直线上。

否则，就一定不是这三种角。

所谓“找截线”：既然一对角的四条边分别在三条直线上，因此必定各有一条边共线，即在同一条直线上，这条直线就是截线。

“再以位置来分辨”：同位角一定在截线的“同旁”，被截两直线的“同侧”；内错角一定在被截两直线的“内部”，交“错”于截线的两旁；同旁内角一定在截线的“同旁”，被截两直线的“内部”。

三、牢固掌握垂线的定义和性质。

1. 垂线。

当两条直线相交所成的四个角之中有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，这两条直线互为垂线，它们的交点叫作垂足。

2. 垂线有两条性质，它们是：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

对于性质（1）同学们应认识到：①已知直线是给出的；②要画一条直线，使画的这条直线垂直于已知直线；③要画的这条直线于已知直线的直线必须要过一个点，不论这个点是在直线上还是在直线外；④这样的直线能画出一条而且只能画出一条。

性质（2）可以简单地说成：垂线段最短。

3. 点到直线的距离。

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

这个定义是在垂线的性质（2）的基础上给出的。

借助于性质（2）很容易理解这一定义。

四、正确使用平行线的性质和判定所谓“平行线的判定”是除直接利用定义外，根据其它一些条件，确定两条直线平行的方法。

课本上首先介绍了一个判定公理：同位角相等，两直线平行。

在此基础上又导出了另外两个判定方法。

判定方法1：内错角相等，两直线平行。

判定方法2：同旁内角互补，两直线平行。

这几种判定方法的实质是从角之间的数量关系（相等或互补）来得出两直线平行这一位置关系的。

所谓“平行线的性质”是在已知两直线平行这一前提下，能得到的一系列结论，与判定相对应，这些性质（结论）也有三个：性质公理：两直线平行，同位角相等。

性质1：两直线平行，内错角相等。

性质2：两直线平行，同旁内角互补。

这三个性质的实质是从直线平行的位置关系来得到角之间的数量关系（相等或互补）的。

从以上分析可见：平行线的判定和性质是相反的两类问题：从角的数量关系（相等或互补）得到两直线平行——是判定；由两直线平行得到角的数量关系（相等或互补）——是性质。

平行线的“判定”与“性质”的因果关系恰好相反，它们是互逆的。

“判定”的“因”恰好是对应的“性质”的“果”，而“判定”的“果”又恰好是对应的“性质”的“因”。

可以简单的概括为“要证明平行用判定，已知平行用性质”。

五、能区分命题的题设和结论、判断命题的真假、了解证明的一般步骤。

1. 命题。

每个命题都是由题设和结论两部分组成的。

题设就是命题的条件，结论就是命题中判断的结果，怎样区分命题的题设和结论，是命题学习的重点。

在学习中，要结合图形，认真分析，不断总结，体会。

这样就能达到明确区分命题的题设和结论的目的。

在一般情况下，命题的条件是用“若”、“如果”或“已知”等字样表示。

命题的结论相应的用“则”、“那么”或“求证”等字样表示。

2. 命题有真假之分。

如果题设成立，那么结论就一定成立的命题是真命题，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，即结论不成立，这样的命题就是假命题。

要说明一个命题是真命题，必须经过严格的推理论证，而要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设，但不满足命题结论的例子就可以了，即举一个反例就可以判定一个命题是假命题。

3. 证明一个几何命题的步骤是：（1）根据题意，画出图形；（2）根据题设、结论，根据图形，写出已知、求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

例如，证明“对顶角相等”的推理过程如下：在图3中，∵∠1与∠3互补，∠2与∠3互补（邻补角的定义），∴∠1=∠2（同角的补角相等）。

六、通过本章的学习应掌握以下几种重要的数学思想方法1. 定义的作用我们知道，定义具有双重性的功能。

数学概念的定义一方面反映了这个概念的本质属性，另一方面又具有判断的作用。

例如，垂线定义一方面告诉了我们两直线垂直的条件：如果四个角中有一个是直角，则两直线就垂直；同时，又向我们提供了一个判定两直线垂直的方法：四个角中只要有一个角是直角，这两条直线就一定相互垂直。

2. 性质定理和判定定理具有互逆性性质定理和判定定理是具有相反性的两个问题，它们的这种“相反性”反映了命题之间的互逆关系，其中平行线的性质定理与判定定理就是典型的代表。

如，两条直线被第三条直线所截，（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。

与这三个判定定理相对应的三个性质定理分别是：如果两条直线平行被第三条直线所截，则（1）同位角相等；（2）内错角相等；（3）同旁内角互补。

3. 归纳推理的思想归纳推理是由特殊到一般的推理。

垂线的性质“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”就是利用归纳推理的方法得到的。

如图4，点P是直线L外的一点，PO⊥L，垂足为O，过点P画直线PA、PB、PC、……，交L于点A、B、C、……，用圆规比较垂线段PO与线段PA、PB、PC，……。

故可得垂线的上述性质。

4. 逻辑推理逻辑推理即演绎推理，它是由一般到特殊的推理。

其思维方向与归纳推理的思维方向恰好相反。

几何命题的证明，都是通过逻辑推理的方法进行的。

证明的每一步都是有根据的，这些根据，可以是已知条件，也可以是已学过的定义、公理和定理。

这种证明命题的方法就是逻辑推理。

5. 判定假命题方法要判断一个命题是假命题，只要构造一个反例，说明命题不成立即可。

例如，要证明命题“相等的角是对顶角”是个假命题时，可构造反例如下：如图5，射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC，显然∠AOC与∠BOC不是对顶角，因此，命题“相等的角是对顶角”是一个假命题。