2019最新导数应用1化学
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Q Q0 (d b) / 2(e a) 时 利 润 最 大, 最 大 值 为
L(Q0 ) L(a b) / 2(e a)
(d b)2 / 4(e a) c
第26页
嘉兴学院
20 August 2019
第四章 中值定理与导数应用
第27页
例 3 假设某种商品的需求量Q 是单价P (单位:元)的函数：
第9页
定理1(必要条件) 设函数 f ( x)在x0 处可导,且在 x0处取得极值,那么 f '( x0 ) 0.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
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按此定义，函数的极值点一定是区间的内点。 从而区间的端点不可能成为函数的极值点。
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第四章 中值定理与导数应用
极值和极值点
y
y f (x)
第8页
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
嘉兴学院
o
x0
x
பைடு நூலகம்20 August 2019
第四章 中值定理与导数应用
例6 证明arctan x ln(1 x2 ) ln 2.
4
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第四章 中值定理与导数应用
第6页
1。单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
2。函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数 符号来判别一个区间上的单调性
(2)若 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )时，
f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
0
(3)若 x
U
(
x
，
0
)
时,
f '( x) 的符号保持不变,则
f ( x)在x0 处没有极值.
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（1）如果在(a,b)内f (x) 0，那么函数y f (x)
在[a, b] 上单调增加；
(2) 如果在(a,b)内 f (x) 0，那么函数y f (x)
在[a, b] 上单调减少.
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第四章 中值定理与导数应用
第4页
例1 讨论函数 y x3的单调性.
第四章 中值定理与导数应用
求极值的步骤:
第11页
(1) 求出导数 f (x);
(2) 求出f (x)的全部驻点与不可导点 ；
(3) 考察 f (x)的符号在每个驻点或不可 导点的左、右邻近的情形, 判断极值点;
(4) 求出各极值点的函数值 ，就得函数 f (x) 的全部极值 .
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3。定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立.
4。导数等于零的点和不可导点，可能是单调区 间的分界点．
5。区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性
6。利用函数的单调性可以确定某些方程实根的 个数和证明不等式.
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第四章 中值定理与导数应用
第7页
二、函数的极值及其求法
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
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第四章 中值定理与导数应用
第18页
2
1
例5 求函数 y x 3 (x2 1)3 在[ 2, 2]
Q 12000 80 P ； 商 品 的 总 成 本C 是 需 求 量 的 函 数 ：
C 25000 50 Q ，每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利润
最大的商品价格和最大利润.
解 L (12000 80P)(P 2) (25000 50Q) 80P 2 16160P 649000
四、经济应用问题举例
第22页
1.最大利润问题
在 经 济 学 中 ， 总 收 入 和总 成 本 都 可 以 表
示 为 产 量Q的 函 数 ， 分 别 记 为R(Q )和C (Q )，
则总利润L(Q)可表示为L(Q) R(Q) C(Q)
为 使 总 利 润 最 大 ， 须 令其 一 阶 导 数 等 于
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第四章 中值定理与导数应用
第21页
例7 横截面为矩形的梁，它的强度 与矩形的宽及高的平方的乘积成正比。 现在要把直径为d的圆木锯成截面为矩 形的梁．若要使梁有最大的强度，问 矩形的高和宽之比应是多少?
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第四章 中值定理与导数应用
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第四章 中值定理与导数应用
解 (1)销售额R(P) PQ P( a C ) Pb
零，即dL(Q) dR(Q) C(Q) 0
dQ
dQ
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第四章 中值定理与导数应用
第23页
dR(Q) dC(Q) dQ dQ
dR(Q) 表示边际收益，dC(Q) 表示边际成本
dQ
dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d
2
R(Q)
dQ 2
C
(Q
第四章 中值定理与导数应用
第1页
4.4 导数的应用（1）
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第四章 中值定理与导数应用
一、函数的单调性
y
B
y
y f (x)
A y f (x)
A
B
第2页
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
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第四章 中值定理与导数应用
第14页
例2 求函数y sin3 x cos3 x在区间
[0,2 ]上的极值.
例3 求函数 f (x) 1 (x2 1)3的极值.
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第四章 中值定理与导数应用
第15页
2
例4 求出函数 f (x) 3(x 2)3 1的极值.
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第四章 中值定理与导数应用
第25页
例 2 设某厂的成本函数为C (Q) aQ 2 bQ C ，需求函数 为Q (d P) / e ，其中C(Q) 为成本，Q 为需求量产量，P 为
价格，a,b,c,d,e 均为正常数，且 d>b，求利润最大时的产 量及最大利润.
定义 设函数f (x)在点x0的某邻域U (x0 )内有定
0
义,如果对于去心邻域U (x0 )任一x,有 f (x) f (x0 ) (或f (x) f (x0 )),
那么就称f (x0 )是函数f (x)的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
产多少台，才能使利润最大？
解：设利润为L( X ),则 L( X ) R( X ) C( X ) 5X 0.01X 2 200
L( X ) 5 0.02X 令L( X ) 0，解得X 250(台)，由于
L( X ) 0.02 0
所以L(250) 425(万元)为极大值，也就是最大值.
第28页
2. 最大收益问题
例 4 某商品的需求函数为Q Q(P) 75 P 2 ，
问 P 为多少时，总收益最大？
解： R(P) QP (75 P 2 )P R(P) 75 3P 2
令R(P) 0,得P 5(唯一驻点)
R(P) 30 0,故P 5时收益最大. P5
第四章 中值定理与导数应用
第12页
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
解：由Q (d p) / e,得P d eQ,故得收益函数
R(Q) Q P Q(d eQ)
利润函数为
L(Q) R(Q) C(Q) (d b)Q (e a)Q2 C
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第四章 中值定理与导数应用
L(Q) (d b) 2(e a)Q 由L(Q) 0， 得唯一驻点Q0 (d b) / 2(e a) 又L 2(e a) 0,故
)
0,
(
R(Q
)
C
(Q
)
0)
即d
2
( R(Q )) dQ 2
d
2
C (Q
dQ 2
)
,
(
R(Q)
C
(Q))
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第四章 中值定理与导数应用
第24页
例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C( X ) 5X 200(万 元)，得到的收入为R( X ) 10X 0.01X 2(万元)，问每批生
例2 讨论函数y 3 x2的单调性.
例3 讨论函数f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调性.
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第四章 中值定理与导数应用
第5页
例4 证明当x 1时，不等式
2 x 3 1 成立. x
例5 证明对任意x(x 0),有不等式 ex 1 x.
上的最大值与最小值.
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第四章 中值定理与导数应用
第19页
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数 值即为所求的最（或最小）值．
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第四章 中值定理与导数应用
第20页
例6 铁路线上AB段的距离为100km．工厂 C距A处为20km，AC垂直于AB．为了运输 需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一 条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路 上每公里货运的运费之比为3：5．为了使货 物从供应站月运到工厂C的运费最省，问D 点应选在何处?
第四章 中值定理与导数应用
第10页
定理2(第一充分条件) 设函数f (x)在x0处连
0
续，且在x0的某去心邻域U (x0， )内可导.
(1)若 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )时,
f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
f ( x)
0
0
极
极
f (x)
大
小
值
值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
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第四章 中值定理与导数应用
第13页
定理3(第二充分条件) 设函数 f ( x)在x0 处具有二 阶导数,且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那么 (1) 当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
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第四章 中值定理与导数应用
第16页
三、最大值最小值问题
只要函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，它在[a,b]上 必有最大值和最小值。
y
y
y
oa
bx o a
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bx o a
bx
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第四章 中值定理与导数应用
第17页
步骤:
1.求驻点和不可导点;
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第四章 中值定理与导数应用
第29页
例 5 设某商品的单价为 P 时，售出的商品数量 Q 可表示为
Q a C ，其中 a,b,c 均为正数，且 a>bc. Pb
（1）求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2）要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
L(P) 160P 16160 令L(P) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0,故当P 101元时，
L( P )有 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 L(101) 167080(元)
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第四章 中值定理与导数应用
L(Q0 ) L(a b) / 2(e a)
(d b)2 / 4(e a) c
第26页
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第四章 中值定理与导数应用
第27页
例 3 假设某种商品的需求量Q 是单价P (单位:元)的函数：
第9页
定理1(必要条件) 设函数 f ( x)在x0 处可导,且在 x0处取得极值,那么 f '( x0 ) 0.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
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按此定义，函数的极值点一定是区间的内点。 从而区间的端点不可能成为函数的极值点。
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极值和极值点
y
y f (x)
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a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
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o
x0
x
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第四章 中值定理与导数应用
例6 证明arctan x ln(1 x2 ) ln 2.
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1。单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
2。函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数 符号来判别一个区间上的单调性
(2)若 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )时，
f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
0
(3)若 x
U
(
x
，
0
)
时,
f '( x) 的符号保持不变,则
f ( x)在x0 处没有极值.
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（1）如果在(a,b)内f (x) 0，那么函数y f (x)
在[a, b] 上单调增加；
(2) 如果在(a,b)内 f (x) 0，那么函数y f (x)
在[a, b] 上单调减少.
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例1 讨论函数 y x3的单调性.
第四章 中值定理与导数应用
求极值的步骤:
第11页
(1) 求出导数 f (x);
(2) 求出f (x)的全部驻点与不可导点 ；
(3) 考察 f (x)的符号在每个驻点或不可 导点的左、右邻近的情形, 判断极值点;
(4) 求出各极值点的函数值 ，就得函数 f (x) 的全部极值 .
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3。定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立.
4。导数等于零的点和不可导点，可能是单调区 间的分界点．
5。区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性
6。利用函数的单调性可以确定某些方程实根的 个数和证明不等式.
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二、函数的极值及其求法
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
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第四章 中值定理与导数应用
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2
1
例5 求函数 y x 3 (x2 1)3 在[ 2, 2]
Q 12000 80 P ； 商 品 的 总 成 本C 是 需 求 量 的 函 数 ：
C 25000 50 Q ，每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利润
最大的商品价格和最大利润.
解 L (12000 80P)(P 2) (25000 50Q) 80P 2 16160P 649000
四、经济应用问题举例
第22页
1.最大利润问题
在 经 济 学 中 ， 总 收 入 和总 成 本 都 可 以 表
示 为 产 量Q的 函 数 ， 分 别 记 为R(Q )和C (Q )，
则总利润L(Q)可表示为L(Q) R(Q) C(Q)
为 使 总 利 润 最 大 ， 须 令其 一 阶 导 数 等 于
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例7 横截面为矩形的梁，它的强度 与矩形的宽及高的平方的乘积成正比。 现在要把直径为d的圆木锯成截面为矩 形的梁．若要使梁有最大的强度，问 矩形的高和宽之比应是多少?
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解 (1)销售额R(P) PQ P( a C ) Pb
零，即dL(Q) dR(Q) C(Q) 0
dQ
dQ
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dR(Q) dC(Q) dQ dQ
dR(Q) 表示边际收益，dC(Q) 表示边际成本
dQ
dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d
2
R(Q)
dQ 2
C
(Q
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4.4 导数的应用（1）
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一、函数的单调性
y
B
y
y f (x)
A y f (x)
A
B
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oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
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例2 求函数y sin3 x cos3 x在区间
[0,2 ]上的极值.
例3 求函数 f (x) 1 (x2 1)3的极值.
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例4 求出函数 f (x) 3(x 2)3 1的极值.
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例 2 设某厂的成本函数为C (Q) aQ 2 bQ C ，需求函数 为Q (d P) / e ，其中C(Q) 为成本，Q 为需求量产量，P 为
价格，a,b,c,d,e 均为正常数，且 d>b，求利润最大时的产 量及最大利润.
定义 设函数f (x)在点x0的某邻域U (x0 )内有定
0
义,如果对于去心邻域U (x0 )任一x,有 f (x) f (x0 ) (或f (x) f (x0 )),
那么就称f (x0 )是函数f (x)的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
产多少台，才能使利润最大？
解：设利润为L( X ),则 L( X ) R( X ) C( X ) 5X 0.01X 2 200
L( X ) 5 0.02X 令L( X ) 0，解得X 250(台)，由于
L( X ) 0.02 0
所以L(250) 425(万元)为极大值，也就是最大值.
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2. 最大收益问题
例 4 某商品的需求函数为Q Q(P) 75 P 2 ，
问 P 为多少时，总收益最大？
解： R(P) QP (75 P 2 )P R(P) 75 3P 2
令R(P) 0,得P 5(唯一驻点)
R(P) 30 0,故P 5时收益最大. P5
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第12页
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
解：由Q (d p) / e,得P d eQ,故得收益函数
R(Q) Q P Q(d eQ)
利润函数为
L(Q) R(Q) C(Q) (d b)Q (e a)Q2 C
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L(Q) (d b) 2(e a)Q 由L(Q) 0， 得唯一驻点Q0 (d b) / 2(e a) 又L 2(e a) 0,故
)
0,
(
R(Q
)
C
(Q
)
0)
即d
2
( R(Q )) dQ 2
d
2
C (Q
dQ 2
)
,
(
R(Q)
C
(Q))
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例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C( X ) 5X 200(万 元)，得到的收入为R( X ) 10X 0.01X 2(万元)，问每批生
例2 讨论函数y 3 x2的单调性.
例3 讨论函数f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调性.
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例4 证明当x 1时，不等式
2 x 3 1 成立. x
例5 证明对任意x(x 0),有不等式 ex 1 x.
上的最大值与最小值.
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实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数 值即为所求的最（或最小）值．
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例6 铁路线上AB段的距离为100km．工厂 C距A处为20km，AC垂直于AB．为了运输 需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一 条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路 上每公里货运的运费之比为3：5．为了使货 物从供应站月运到工厂C的运费最省，问D 点应选在何处?
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定理2(第一充分条件) 设函数f (x)在x0处连
0
续，且在x0的某去心邻域U (x0， )内可导.
(1)若 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )时,
f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
f ( x)
0
0
极
极
f (x)
大
小
值
值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
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定理3(第二充分条件) 设函数 f ( x)在x0 处具有二 阶导数,且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那么 (1) 当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
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三、最大值最小值问题
只要函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，它在[a,b]上 必有最大值和最小值。
y
y
y
oa
bx o a
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bx
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步骤:
1.求驻点和不可导点;
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例 5 设某商品的单价为 P 时，售出的商品数量 Q 可表示为
Q a C ，其中 a,b,c 均为正数，且 a>bc. Pb
（1）求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2）要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
L(P) 160P 16160 令L(P) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0,故当P 101元时，
L( P )有 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 L(101) 167080(元)
嘉兴学院
20 August 2019
第四章 中值定理与导数应用