圆的一般方程 平行层2222

圆的一般方程 导学案

一、学习目标

(1) 知识目标：通过本节的学习，掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为标准方程，

从而求出圆心坐标和圆的半径。

（2）能力目标：培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例题的分析讲解，提高学生分析

问题的能力。

（3）情感目标：培养学生主动探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而

培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

二、学习重点、难点：

重点：圆的一般方程的探求过程及其特点。

难点：根据具体的条件，选用圆的一般方程解决有关的实际问题。

三、学习方法：

自主探究 合作交流

四、学习思路：根据圆标准方程展开的特点进行研究。

五、知识链接:圆的标准方程的形式特点，配方法的运用。 六、预习学情分析：

知识点

自学已解决的问题

共性问题

个别问题

七、学习过程

（一）、课前准备

预习教材 P121 ~ P123 ，找出疑惑之处

1．已知圆的圆心为(,)C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为 ，若圆心在坐标原点上，则圆的方程就是 .

2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.

(二)、新课导学 ※ 学习探究

问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图

形？

问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？

新知：方程220x y Dx Ey F ++++= 表示的轨迹：

（1）当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E -

-为圆心，22142

D E F +-为半径的圆 （2）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，即只表示一个点(,)22

D E

--

（3）22

40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

小结：方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如2

2

0x y Dx Ey F ++++=的方程称 为圆的一般方程。

思考：

1．圆的一般方程的特点？

2．圆的标准方程与一般方程的区别？

※ 典型例题

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴2

2

4441290x y x y +-++=；

⑵2

2

44412110x y x y +-++=；

例 2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上2

2

(1)4x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

※ 动手试试

练 1. 求过三点(0,0),(1,1)(3,2)A B C 的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标.

练 2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.

(三)、总结提升 ※ 学习小结

1．方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.

2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用， 要求熟练掌握.

3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.

八、学习评价 学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 自我检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若方程2

2

0x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）. A ．2m ≤ B. 2m < C ．12m < D ．12

m ≤

2. 圆2

2410x y x +--=的圆心和半径分别为 （ ）.

A ．(2,0),5

B ．(0,2)-, 5

C ．(0,2), 5

D ．(2,2) ,5

3. 动圆2

2

2

(42)24410x y m x my m m +-+-+++= 的圆心轨迹是（ ）. A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y --=

4. 过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在 x 轴上的圆的方程是 .

5. 圆2

2450x y x +--=的点到直线34200x y -+=的距离的最大值为 .

九、课后作业

1. 设直线2310x y ++=和圆2

2

230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.

2. 求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.

十、学习反思