例斯托克斯公式举例
斯托克斯公式公式
斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。
这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。
斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。
注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。
例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。
一、斯托克斯(stokes)公式
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y
第七节：斯托克斯公式
（3）若 是 xoy 面上的平面区域 D， 则
z 0, cos cos 0, cos 1
0 Pdx Qdy x P 0 y Q 1 Q P dS ( ) dxdy z y D x R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R cos Pdx Qdy Rdz x P cos y Q cos dS z R
Pdx Qdy Rdz
该等式称为斯托克斯公式
R Q P R ( )dydz ( )dzdx ( Q P )dxdy z z x x y y
（1）在公式中， 的侧向与 的方向要符合右手规则 （2）为帮助记忆，引入如下行列式记号
P 由格林公式 P[ x , y , f ( x , y )]dx (0 )dxdy y D xy C
C
( Py Pz z y )dxdy
D xy
P ( x , y , z )dx ( Py Pz z y )dxdy
D xy
在 xoy 面上的投影区域记为 Dxy
相应地， 在 xoy 面上的投影为 C C 的方向为逆时针方向。
x
0 C
y
Dxy
（1） 取上侧。 首先，可以证明 P ( x , y , z )dx P[ x , y , f ( x , y )]dx 因为若 ( x , y ) C , ( x , y , z ) 是 上对应的点， 则必有 P ( x , y , z ) P[ x , y , f ( x , y )] 且对于 上的一个小弧段 ds 它在 xoy 面上的投影记为 ds 则 ds C , ds 和 ds 在 x 轴上的投影 完全一样，都为 d x 所以上面等式两边的被积表达 式相等。
10-7斯托克斯公式与旋度
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2：
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相 加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
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n
右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明： 情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
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一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1： 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与 的侧符 合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
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说明： 同平面曲线一样，当曲线积分
9_8斯托克斯公式
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
斯托克斯公式例题
斯托克斯公式例题斯托克斯公式是一种用于解决带约束的最优化问题的算法。
它通过迭代求解来寻找最优解。
下面是一个使用斯托克斯公式的例题：有一个公司要生产两种产品 A 和 B，它有 $X$ 小时的生产时间和 $Y$ 元的生产成本。
每小时生产 A 产品能赚到 $p_A$ 元的利润，每小时生产 B 产品能赚到 $p_B$ 元的利润。
同时，生产 A 产品需要消耗 $c_A$ 小时的生产时间，生产 B 产品需要消耗$c_B$ 小时的生产时间。
问公司应该生产多少 A 产品和 B 产品，才能使得利润最大。
解题步骤：建立数学模型：设 A 产品的生产数量为 $x$，B 产品的生产数量为 $y$，则有：最大利润 = $p_A \times x + p_B \times y$生产时间约束：$c_A \times x + c_B \times y \le X$生产成本约束：$p_A \times x + p_B \times y \le Y$使用斯托克斯公式求解：令 $\lambda$ 为时间约束的松弛变量，$\mu$ 为成本约束的松弛变量。
则有：$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x} (p_A \times x + p_B \times y + \lambda \times c_A \times x + \mu \times p_A \times x) = 0\ \frac{\partial}{\partial y} (p_A$\begin{cases} p_A + \lambda \times c_A + \mu \times p_A = 0\ p_B + \lambda \times c_B + \mu \times p_B = 0\ c_A \times x + c_B \times y - X \le 0\ p_A \times x + p_B \times y - Y \le 0 \end{cases}$解得 $\lambda = \frac{p_B - p_A}{c_A \times p_B - c_B \times p_A}$，$\mu =\frac{Y - p_A \times x - p_B \times y}{p_A \times x + p_B \times y}$。
12-7 斯托克斯(stokes)公式
y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
E-mail: xuxin@
例 2 计算曲线积分
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
E-mail: xuxin@
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
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因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y