2021高一数学下册期中考试 附答案
江苏省镇江市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
江苏省镇江市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，且，那么实数的值是（ ）A.B. C. -2 D. 22. 若，则实数（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知，，则的值为（ ）A. -2B. C. 2D.4. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（）A. 2B.C. D.6. 在中，点在线段上，且，若，则（）()2,1a=- ()1,b m =a b ⊥ m 1212-231aii i+=++a =tan 3α=-tan 1β=()tan αβ-12-12a b 2a = 1b = 2a b +=a b 30︒60︒120︒150︒ABC △A B C a b c 30B =︒a =3c =sin sin a bA B+=+12ABC △P AB 4BA BP = 22cos sin CP CA CB θθ=⋅+⋅ cos2θ=A. B.C. D.7. 今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即则（ ）A.B.C.D.8.▲表示一个整数，该整数使得等式成立，这个整数▲为（）A. -1B. 1C. 2D. 3二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 在复平面内，对应的点在第四象限 B. C. 复数和满足方程 D. 12-1214-14C D AB AC BD AB AB ==cos DEC ∠=4cos 40+=︒▲3z i =+z z =z z 26100x x -+=2106z i=+10. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 如果为锐角，为虚数单位，，，则D. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，为边的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若的周长为C.D. 若是中点，三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则实数__________.14. 已知复数对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下（为虚a b c//a b a b a b ⋅=⋅ //a b //b c //a ca cbc ⋅=⋅ a b= a b a b +=-a b⊥ ABC △A B C a b c A B >a b>AB AC BA BC bc ac⋅⋅<A i 1cos sin z A iB =+2cos sin z B i A =+12z z <sin sin a b A B->-ABC △A B C a b c a =1sin sin 4B C =1tan tan 3B C =D AC 60A =︒ABC △4+BD M BD 34AM CM ⋅=a b 35OA a b =+ 47OB a b =+ OC a mb =+A B C m =z z i数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________.15. 已知正六边形的边长为1，当点满足__________时，.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则__________；的值为__________.四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.4z z +=-z z -=7z z ⋅=2zz=z =ABCDEF M 32BF BM ⋅= ABCD 50cm 10cm EFGH tan HAB ∠=AG DF ⋅αβ4sin 5α=()tan 2αβ+=-tan β()cos αβ-18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①为虚数单位），②的面积为，③，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，__________.（1）求；（2）在（1）的结论下，若点为线段的一点且，求长.19. 若是边长为2的正三角形.请在内画一条线段，端点，都在的边上，并将正分成面积相等的两部分.（1）请给出线段的一种画法，并证明；（2）如果此时线段是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）.20. 如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，为的中点.b ci +=i ABC △6AB AC ⋅=-ABC △A B C a b c 2b c -=1cos 4A =-a D BC 3BD DC =AD ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △EF EF ABC E F AB AC AE xAB =AF y AC =(),0,1x y ∈N BC（1）若，求；（2）设为线段的中点，若，求的最小值.21. 已知，，函数.（1）求函数的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数，恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由.22. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，设.13y =BF AN ⋅ M EF 1x y +=MN0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x R ∈()()222()cos cos sin f x x x x αα=++-+()f x αx ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭αO A B C AB AC BC ==AOB θ∠=（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长并求出此时的最大值.参考答案一、单项选择题1-5：DCCBC 6-8：AAB二、多项选择题9. ABC 10. BD 11. ABC 12. BCD三、填空题13. 114.15. 为直线上任一点均可16.；0四、解答题：17. 解：（1）因为，为锐角，则，，，则，，而.（2）由，得：，则.3πθ=OACB θOC 2-M AD139αβcos 0α>sin 0β>cos 0β>3cos 5α==sin 4tan cos 3ααα==[]tan()tan tan tan ()21tan()tan αβαβαβααβα+-=+-==++sin tan 2cos βββ==22sin cos 1ββ+=sin β=cos β=34cos()cos cos sin sin 55αβαβαβ-=+=+=18. 解：（1）方案一：选择条件①由，解得，则，则.方案二：选择条件②∵，∴，又∵，∴，由，解得，∴，则.方案三：选择条件③∵，；∴，由，解得，∴，则.（2）在中，由余弦定理得：，因为，，则.在中，由余弦定理得：，22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =1cos 4A =-sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =cos 6b A AB AC c =-⋅= 1cos 4A =-24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =ABC △22211cos 216a cb B ac +-==8a =3BD DC =6BD =ABD △2222cos 19AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=则.19. 解：（1）当与重合，是中点时，线段将正分成面积相等的两部分.证明：易证，所以和的面积相等，此时线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（2）线段的两端点都在的边上，不妨设点在线段上，点在线段上.设，，∴，由（1）知，由得.在中，由余弦定理得：，（当且仅当“”时取等号），故，综上，当点在线段上，点在线段上，且时，线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（3）如：①在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）20. 解：【法一（基底法）】AD =E A F BC EF ABC △ABF ACF ≅△△ABF △ACF △EF ABC △EF ABC △E AB F AC AE m =AF n =1sin 602AEF S mn =︒=△ABC S =△12AEF ABC S S =△△2mn =AEF △222222cos 60EF AE AF AE AF m n mn mn =+-⋅︒=+-≥m n ==min EF =E AB F AC AE AF AB AC ==EF ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △（1）当时，，，.（2），，则，则.当时，的最小值为【法二（坐标法）】以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，（1）由，得，则，，.（2）∵，，13n =13BF AF AB AC AB =-=-1()2AN AB AC =+111223BF AN AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22111236AB AB AC AC=--⋅+18=-11()()22AM AE AF x AB y AC =+=+ 1()2AN AB AC =+ 1112222x y x x MN AN AM AB AC AB AC ---=-=+=+MN AN AM =-= =12x y ==MN BC x y ()0,0N ()3,0B -(A ()3,0C 13AF AC =(1,F (0,AN =- (4,BF =18AN BF ⋅=- AE xAB = AF y AC =∴，，为线段的中点，则，则当时，的最小值为21. 解：（法一）（1）定义域是，，∴函数是偶函数.（2）∵，∴，移项得：，展开得：，对于任意实数上式恒成立，只有.∵，∴.（法二）.（1）定义域是，(3)(3)E x x --=-(3)(3)F y y -=M EF 3(2M x y ⎛-+ ⎝MN == 12x y ==MN x R ∈222()cos ()cos ()sin ()f x x x x αα-=-++--+-222cos ()cos ()sin ()x x x f x αα=-+++=()f x ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭222222cos ()cos ()sin sin ()sin ()cos x x x x x x αααα++-+=-+++cos(22)cos(22)cos 20x x x αα-++-=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=1cos(22)1cos(22)1cos 2()222x x xf x αα+++--=++3cos 2(2cos 21)2x α+-=x R ∈∵，∴该函数在定义域内是偶函数.（2）由恒成立得：，化简可得：对于任意实数上式恒成立，则，∵，∴.22. 解：（1）在中，由余弦定理得：，于是四边形的面积为（2）当时在中，由余弦定理得，∴在中，由正弦定理得，即3cos(2)(2cos 21)3cos 2(2cos 21)()()22x x f x f x αα+--+--===()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3cos 2(2cos 21)3cos 2(2cos 21)222x x παα⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭=3cos 2(2cos 21)2x α--=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=OAB △2222cos 14212cos 33AB OA OB OA OB πθ=+-⋅=+-⨯⨯=OACB 21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ=+=⋅+△△1122=⨯⨯=0θπ<<OAB △2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-AB =AC =OAB △sin sin AB OBOAB θ=∠sin sin OB OAB AB θ∠==又，所以为锐角，∴，∴，在中，由余弦定理得：.则当时，的最大值为3.当时，由余弦定理得：，此时，，当时，，此时，，综上，当时，的最大值为3.OB OA <OAB ∠cos OAB ∠==cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=OAC △2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭23πθ=OC 0θ=22222cos 11211cos 33OC OB BC OB BC πθ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=3OC =<θπ=1233CO CA CB =+CO == 3OC =<23πθ=OC。
六安第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
故选：A.
6．C
【分析】连接 EF，FG，EG，根据异面直线所成角的意义，在 EFG 中分情况计算作答.
【详解】连接 EF，FG，EG，如图，
依题意， EF / / AC, FG / /BD ，且 EF 1 AC 1, FG 1 BD 1，
2
2
因 AC 与 BD 所成的角为 60°，则 EFG 60 或 EFG 120 ，
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幕式的时长（单位： min ）情况，样本数据按照40,50 ，50, 60 ，…，90,100 进行
分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a 的值并估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为
代表）和中位数；
(2)已知样本中有
2 3
的男生观看开幕式时长小于
球的表面积公式可求得结果.
【详解】 AB AC 3 ， BAC 120 ，ABC 30 ，
3 2r （ r 是 ABC 的外接圆半径），解得： r 3 ； sin 30
2
R2
3 2
R
r2 3 R2 3 ，解得： R2 12 ， 4
球 O 的表面积 S 4 R2 48 .
安徽省六安第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 是关于 x 的方程 ax2 bx 2 0a,b R 的一个根，则 a b （ ）
A．0
则这 20 位市民幸福感指数的方差为（ ）
A．1.75
B．1.85
C．1.95
D．2.05
2021-2022学年上海市格致中学高一下学期数学期中考试试卷含详解
上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．2.已知θ是=_______．3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC =__________．8.已知AB AC ⊥，1AB t = ，AC t =,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．11.设a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅= ，则a b ⋅ 的值为_______.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-=，则15||A A 的最小值为______．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅> ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知25cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．18.已知向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a =，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2=DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x23π-π31x 2x 10π3x ωϕ+0π2π32π2πsin()x ωϕ+0101-0()f x 032y 0（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x ∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．【答案】6-【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量(3,1)a =-与(,2)b x =共线，所以()3210x ⨯--=，故6x =-．故答案为：6-.2.已知θ=_______．【答案】cos θ【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.cos θ==，且θ是第四象限角，则cos 0θ>，即cos cos θθ=cos θ=故答案为:cos θ3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【答案】3π【分析】先结合212S r α=求出r ，再由l r α=求解即可【详解】由2162S r r α=⇒==，则6183l r ππα==⨯=故答案为：3π【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】先由向量的线性运算求得(3,4)a b -=-，再由模的坐标表示求得5a b -= ，从而求得所求.【详解】因为(1,2),(2,2)a b =-=-，所以(3,4)a b -=-，故5a b -== ，则a b - 的单位向量的坐标为34,55a b a b ⎛⎫- ⎪⎝-=⎭-．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭.5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.【答案】5【分析】由辅助角公式得2sin x x +的最小值为，由此可求得a 值．【详解】2sin 4)4y x x x ϕ=++=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．故答案为：5．【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键．设()sin cos f x a x b x =+，则())f x x ϕ=+，其中tan b aϕ=，ϕ角终边过点(,)a b ．由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质．6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞-【分析】先由三角函数的值域得到[]2cos 2,2y x =∈-，再由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解得到212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，解之即可.【详解】因为[]2cos 2,2y x =∈-，所以由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解可得212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，因为指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且102xy ⎛⎫=> ⎪⎝⎭恒成立，所以由111222a->=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1a <-，由212a⎛⎫⎪⎝<-⎭可知a ∈∅，综上：1a <-，则(),1a ∞∈--.故答案为：(),1-∞-.7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【答案】1【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-=====考点：正余弦定理解三角形8.已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t = ,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于________.【答案】13【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅ 为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t,4AB AC AP AB AC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭ ()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.【答案】4972【分析】将等式化简可得1sin sin 4αβ=,2cos cos 3αβ-=,可得()11cos 12αβ+=,进而利用二倍角公式求解即可【详解】由题,()111222log log sin sin l g s 2o in sin ααββ+==,即211sin sin 24αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()cos cos 1279βα=,则3cos cos 233αβ-=,即2cos cos 3αβ-=,则()2111cos cos cos sin sin 3412αβαβαβ+=-=--=-,所以()()()221149cos 22cos 22cos 1211272αβαβαβ⎛⎫+=+=+-=⨯--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭故答案为4972【点睛】本题考查对数、指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．【答案】2【详解】试题分析：根据“左加右减”原则，向左平移3πω个单位，可知()2sin 2sin 33g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，y ＝g(x)在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，可知周期44T π≥，所以1244ππω⋅≥，即2ω≤，ω的最大值为2．考点：三角函数的性质与图像的平移．11.设a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为_______.【答案】132-【分析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=可设a b k ⋅= ，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅，建立θ方程关系求解即可.【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，设a b k ⋅= ，则,2b c k a c k ⋅=⋅= ，a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b 的夹角为θ，则,b c的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=，22cos 2cos 10θθ--=，解得13cos 2θ=，或13cos 2θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==.故答案为：132-．【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-= ，则15||A A的最小值为______．【答案】263【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出15||A A，再用基本不等式求解出最值即可.【详解】由题意设12||A A x = ，则23||1A A x = ，3445||3,||35A A x A A x== ，设1(0,0)A ，如图，因为求15||A A的最小值，则2(,0)A x ，31(,)A x x ，41(2,)A x x -，52(2,)3A x x--，所以215224||9843A A x x =+≥ ，当且仅当22449x x =，即13x =时取等号，所以15||A A 的最小值为263．故答案为：263.【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到212254||94x A A x=+，再利用基本不等式即可求出最值.二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，存在正数λ，使得λ= m n ，所以m ，n同向，所以||||cos ,0m n m n m n ⋅=⋅⋅> ，即充分性是成立的，反之，当非零向量,a b 夹角为锐角时，满足0m n ⋅>，而λ= m n 不成立，即必要性不成立，所以“存在正数λ，使得λ= m n ”是“0m n ⋅>”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了以共线向量和向量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【分析】求解出对称中心为ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对k 赋值则可判断.【详解】令ππ3,Z 42k x k -=∈，解得ππ,Z 612k x k =+∈，所以函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的对称中心是ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令2k =-,得函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：C.15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】依题意可得，7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈，从而可求得ω，结合平移后的函数图象可确定ω的取值范围，继而可得ω的值，最后得函数的解析式．【详解】解： 函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，为ππsin sin 66y x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴由图象得：7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈①，解得：82,Z 3k k ω=+∈，又有图可知，最小正周期2πT ω=满足12π7π21232π7π412ωω⎧⋅<⎪⎪⎨⎪⋅>⎪⎩，即121877ω<<②结合①②得：2ω=∴平移后的图象所对应的函数的解析式为：πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：C ．16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【详解】试题分析：解：若M 是线段AB 的中点，则12λ=,从而1120λμ=⇒=这是不可能的，所以选项A 不正确.若,M N 同时在线段BA 延长线上，则有1,1λμ<-<-，与112λμ+=矛盾，所以选项B 不正确.若,M N 同时在线段AB 上，则有01,01λμ<<<<，所以112λμ+>与112λμ+=矛盾，所以选项C 不正确.若,M N 同时在线段AB 的延长线上，则有1,1λμ>>，所以1102λμ<+<与112λμ+=矛盾，所以选项D 正确.故选：D考点：数乘向量的概念与性质.三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．【答案】（1）2725（2）π4【分析】（1）利用22sin cos 1ββ+=将所求式子转化为齐次分式，从而利用sin tan cos βββ=即可得解；（2）先由cos()5αβ+=及π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得5sin()5αβ+=，从而得到1tan()2αβ+=，再利用正切的和差公式求得1tan 3α=，进而得解.【小问1详解】因为1tan 7β=，所以222222cos 2sin sin cos cos 2sin sin cos sin cos ββββββββββ-+-+=+2212tan tan 27tan 125βββ-+==+．【小问2详解】因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0παβ<+<，又因为25cos()5αβ+=，所以π02αβ<+<，sin()5αβ+==，所以1tan()2αβ+=，又1tan 7β=，所以由tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，解得1tan 3α=，所以11tan()tan 23tan(2)tan[()]111tan()tan 16αβααβαβααβα++++=++===-+-，又π02αβ<+<，π02α<<，故02παβ<+<，所以π24αβ+=．18.已知向量()cos ,1m x =-r ，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a=，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．【答案】（1）()f x 的最小正周期πT =.()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.（2）32或34.【分析】（1）先求出()πsin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出最小正周期和单调区间；（2）先求出角A ，再利用正弦定理求出角C ，即可求出B ，进而求出ABC 的面积．【小问1详解】因为向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r，所以()()f x m n m=+⋅r r r()3cos ,cos ,12x x x ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭23cos cos2x x x =++1cos 2222x x =++πsin 226x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.令π26t x =+，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为sin y t =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.【小问2详解】由题意及（1）中的单调性，可得：π6A =.在ABC 中，1a =，c =sin sin a c A C =得：13πsin sin 6C =，解得：3sin 2C =.所以π3C =或2π3C =.当π3C =时，π2B =,所以ABC 的面积11sin 11222ABC S ac B ==创;当2π3C =时，π6B =,所以ABC 的面积111sin 12224ABC S ac B ==⨯= .故ABC 的面积为32或34.19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2= DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．【答案】（1）3146PE DA DC=+ （2）334；1324λ=+t 【分析】（1）结合图形，先证得四边形ABCF 是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到PE关于λ的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到2PE关于λ的二次表达式，从而可求得||PE 的最小值及相应的λ值.【小问1详解】过C 作//CF AB 交AD 于F ，如图，因为2=DA CB ，所以//DA BC ，2DA BC =，则四边形ABCF 是平行四边形，故22DA BC AF ==，即F 是AD 的中点，所以111111222242===-=-BE BA CF DF DC DA DC ，当13λ=时，23=PC DC ，所以211131324246=++=++-=+PE PC CB BE DC DA DA DC DA DC ．.【小问2详解】因为DP DC λ=，所以(1)λ=- PC DC ，所以111(1)242PE PC CB BE DC DA DC λ=++=-++- 1324DC DA λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2cos60DC DA t t ⋅=︒= ，22= DC t ，24=DA ，所以22221931132724222416PE t t t λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以当1324t λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1324λ=+t 时，2PE 取得最小值2716．所以PE的最小值为4，此时1324λ=+t ．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．【答案】（1）14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）62,22⎫-+⎪⎪⎭；（3）2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.【分析】（1）利用“五点法”列方程求出1x 、2y 的值，进而求出解析式；（2）先利用图像变换求出()g x x =，列不等式组即可求出实数m 的取值范围；（3）令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况，[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-，分类讨论：①1211t t -<<<，②[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-和[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-，③21t =，④11t =-,分别求解.【小问1详解】由“五点法”及表格数据分析可得：A =所以2y =由2π03ππ32ωϕωϕ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得：12π3ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由11ππ23x +=，解得：14π3x =.综上所述：14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，得到ππ)2332x x y =-+=，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，所以()g x x =.当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2t g x x ==∈⎣.因为|()|2g x m -<在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以||2t m -<在62t ∈⎣上恒成立，所以||2m t -<在62t ∈⎣上恒成立，所以22t m t -<<+在62t ∈⎣上恒成立，6222m -<<+.即实数m的取值范围为2,22⎫+⎪⎪⎭.【小问3详解】由（2）可知：2()3sin sin 1F x x a x =+-，()F x 周期为2πT =.当(]0,2πx ∈时,令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况：因为2120a ∆=+>，所以方程2310t at +-=在R 上必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<.因为()F x 在(0,2019π)有奇数个零点,所以[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.①若1211t t -<<<，则方程12sin ,sin t x t x ==在(]0,2π共有4个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191440362-⨯=个根或201914240382-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去；②若[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在在(]0,2π共有2个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191220182-⨯=个根或201912220202-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.同理：[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-也不符合题意，舍去.所以11t =-或21t =③若21t =,则2a =-,方程2310t at +-=的根121,13t t =-=.方程1sin ,1sin 3x x -==在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x -=无解，1sin x =有一个不同的根,,所以()0F x =在(0,2019π)在201913130282-⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.④若11t =-,则2a =,此时2310t at +-=的根为211,13t t ==-.方程1sin ,1sin 3x x =-=在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x =有两个不同的根,1sin x -=无解,所以()0F x =在(0,2019π)在201913230292-⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭个根，符合题意.综上所述：2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.。
上海复旦附中2021-2022高一下学期期中数学试题及答案
复旦大学附属中学2021学年第二学期高一数学线上教学阶段性评估（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量,a b ，则2()(2)a b a b +-+=___________．2.已知i 为虚数单位，则复数2i +的虚部是___________．3.已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan x =__________．4.函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格减区间为___________．5.已知||2,||1,1a b a b ==⋅=，则|2|a b +=__________．6.将函数()y f x =图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数1()y f x =的图象，再将1()y f x =的图象向上平移1个单位后得到函数sin y x =的图象，则()y f x =的函数表达式是y =________．7.设平行四边形ABCD 中，BCD △的重心为H ，AH AB AD λμ=+，则3λμ=____________．8.已知i 为虚数单位，||1z =，则Re[(3)(3)]i z i z +-++=_______．9.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．10.设锐角ABC 的外心为O ，且，1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B ++= ，则tan cot A A +=__________．二、选择题（每题5分，共20分）11.①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD = ，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.312.在ABC 中，下列说法中错误的是（）．A.sin 0A > B.cos cos 0A B +>C.sin sin sin A B C +> D.cos 2cos 2cos 21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形13.设函数()tan33y f x x x π==+-，则()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为（）．A.36πB.39πC.72πD.75π14.有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误三、解答题（共60分）15.已知向量()2(2,1),2,2a b m m m ==--++ ，（1）若0a b ⋅=，求实数m 的值；（2）若,a b可以构成平面上的一个基底，求实数m 的取值范围．17.设m 是实数，关于x 的方程22(2)310x m x m m -++++=有两根12,x x ，（1）若12x x =，求m 的取值范围；（2）若122x x -=，求m 的取值范围．19.在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A 为4π的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A 的三角形工件ABC ．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品ABC ，其中3sin cos 4B B =，求sin ,sin B C 的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A 的角平分线上打了一个点D ，且1AD =，并要求小宋加工的工件ABC 的BC 边经过点D ，则①用角B 表示工件ABC 的面积S ；②求S 的最小值，以及取得最小值时角B 的大小．21.已知函数(),y f x x D =∈．若存在0a >使得()()g x f x ax =+是严格增函数，那么称()f x 为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①210y x =--②3y x =-（无需写出理由）；（2）求证：()cos y g x x ==是“缓降函数”；（3）已知0m ≥，求证：1()sin,(,)y h x x m x==∈+∞是“缓降函数”的充要条件是0m >．复旦大学附属中学2021学年第二学期高一数学线上教学阶段性评估（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量,a b ，则2()(2)a b a b +-+=___________．【1题答案】【答案】a【解析】【分析】根据向量的运算法则，即可求解.【详解】根据向量的运算法则，可得2()(2)222a b a b a b a b a +-+=+--=.故答案为：a.2.已知i 为虚数单位，则复数2i +的虚部是___________．【2题答案】【答案】1【解析】【分析】根据虚部的定义得到答案.【详解】复数2i +的虚部是1，故答案为：13.已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan x =__________．【3题答案】【答案】13【解析】【详解】∵πtan tanπtan 14tan 2π41tan 1tan tan 4x x x x x ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅，∴可得1tan 3x =，故答案为13．4.函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格减区间为___________．【4题答案】【答案】32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据余弦函数的性质计算可得.【详解】 余弦函数的减区间为：[2k π，2]()k k Z ππ+∈∴函数3cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间满足[2,2]()4x k k k Z ππππ+∈+∈即224k x k ππππ≤+≤+，k Z∈解得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈即函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，k Z∈故答案为：32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，k Z ∈5.已知||2,||1,1a b a b ==⋅= ，则|2|a b +=__________．【5题答案】【解析】【分析】由|2|a b +=，结合数量积的运算律即可得出答案.【详解】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=，则|2|a b +=..6.将函数()y f x =图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数1()y f x =的图象，再将1()y f x =的图象向上平移1个单位后得到函数sin y x =的图象，则()y f x =的函数表达式是y =________．【6题答案】【答案】sin 21x -【解析】【分析】根据三角函数图象的变换规律，即可得到答案.【详解】由题意可知将函数sin y x =的图象向下平移1个单位后得到函数sin 1y x =-的图象，再将sin 1y x =-的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 21y x =-的图象，即()sin 21f x x =-，故答案为：sin 21x -7.设平行四边形ABCD 中，BCD △的重心为H ，AH AB AD λμ=+，则3λμ=____________．【7题答案】【答案】49【解析】【分析】根据向量的加法运算以及三角形重心定理，表示出向量2()3AH AB AD =+,结合条件得到,λμ的值，求得答案.【详解】设平行四边形ABCD 中对角线交点为O ,则1111223263AH AO AC OC AC C A OH A C=+==++= 2()3AB AD =+,又AH AB AD λμ=+ ，故22,33λμ==，故3224()39λμ==，故答案为：498.已知i 为虚数单位，||1z =，则Re[(3)(3)]i z i z +-++=_______．【8题答案】【答案】9【解析】【分析】设出i z a b =+，化简得到()()()3i 3=26i i 9z z a b +++-+-，从而求出实部.【详解】设i z a b =+，则221a b +=，()()3i 31i z a b +-=-+-，()()33i i 1z a b =+-+++，则()()()()()()33i 3i 131i i z z a b a b =+-+-+++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()221026i=926i a b a b a b =--+-+-，所以Re[(3)(3)]9i z i z +-++=故答案为：99.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．【9题答案】【答案】23【解析】【分析】由1(0)2f =，求得126k πϕπ=+或1152,6k k Z πϕπ=+∈，根据063f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到函数()f x 关于(,0)4π对称，结合sin()04ωπϕ+=，所以22,4k k Z ωπϕπ+=∈，结合0>ω，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数()sin()f x x ωϕ=+，因为1(0)sin 2f ϕ==，可得126k πϕπ=+或1152,6k k Z πϕπ=+∈，因为063f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使得ω取得最小值，且1()2634πππ+=，所以函数()f x 关于(,0)4π对称，可得sin()04ωπϕ+=，所以22,4k k Z ωπϕπ+=∈，若112,6k k Z πϕπ=+∈时，可得12246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈，所以211(2)46k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，所以2124(2)3k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，因为0>ω，当2121k k -=时，可得min 210433ω=-+=；若1152,6k k Z πϕπ=+∈时，可得125246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈，所以215(2)46k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，所以21104(2)3k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，因为0>ω，当2121k k -=时，可得min 102433ω=-+=.故答案为：23.10.设锐角ABC 的外心为O ，且，1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B++= ，则tan cot A A +=__________．【10题答案】【答案】8【解析】【分析】设外接圆的半径为R ；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到12sin cos 4A A =，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解；【详解】解：因为点O 为ABC 外接圆的圆心，设外接圆的半径为R ；所以1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B⋅+⋅+⋅= ，整理得1cos cos ()()04cos sin sin B C OA OB OA OC OA A C B⋅+⋅-+⋅-= ，所以2221cos cos ()()04cos sin sin B C OA OB OA OA OC OA OA A C B⋅+⋅⋅-+⋅⋅-= ，故2221cos cos (cos 21)(cos 21)04cos sin sin B C R R C R B A C B ⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，则1cos cos (cos 21)(cos 21)04cos sin sin B CC B A C B +⋅-+⋅-=，所以12sin cos 2sin cos 2sin()2sin 4cos C B B C B C A A=+=+=，所以12sin cos 4A A =，即222sin cos 1sin cos 4A A A A =+所以22tan 11tan 4A A =+，所以2114tan tan A A=+，则1tan 8tan A A +=，即tan cot 8A A +=．故答案为：8二、选择题（每题5分，共20分）11.①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD = ，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.3【11题答案】【答案】B【解析】【分析】由由向量的定义可判断①；当0b = ，②不成立；AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行或在一条直线上，可判断③.【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当0b =，满足//a b 且//b c，但,a c不一定平行，所以②不正确；若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行或在一条直线上，所以③不正确.故选：B.12.在ABC 中，下列说法中错误的是（）．A.sin 0A > B.cos cos 0A B +>C.sin sin sin A B C +> D.cos 2cos 2cos 21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形【12题答案】【答案】D 【解析】【分析】对于A ，在三角形ABC 中，0A π<<，所以sin 0A >，可判断A ；对于B ，根据内角和余弦定理得单调性判断即可；对于C ，根据正弦定理和三角形中的两边之和大于第三边可判断；对于D ，化简cos 2cos 2cos 21A B C +-<为2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，即可判断.【详解】对于A ，在三角形ABC 中，0A π<<，所以sin 0A >，故A 正确；对于B ，A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，所以()cos cos cos A B B π>-=-即cos cos 0A B +>，故B 正确；对于C ，在三角形ABC 中，a b c +>，由正弦定理得：2sin 2sin 2R A R B RsinC +>，所以sin sin sin A B C +>，故C 正确；对于D ，cos 2cos 2cos 21A B C +-<得：()22212sin 12sin 12sin 1A B C -+---<，则222sin sin sin 0A B C --+<，则2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，三角形不一定是锐角三角形，所以D 错误.故选：D.13.设函数()tan33y f x x x π==+-，则()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为（）．A.36πB.39πC.72πD.75π【13题答案】【答案】D 【解析】【分析】将函数()tan33y f x x x π==+-的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案.【详解】令()tan 330y f x x x π==+-=，则tan 33x x π=-，故()f x 在[,7]ππ-上所有零点问题，即为函数tan 3,3y x y x π==-的图象的交点问题；作出函数tan 3y x =在[,3]ππ-上的大致图象，如图示：由于tan 3y x =的最小正周期3T π=,故在517[,66ππ-上正好有tan 3y x =的11个周期，每个周期内图象和直线3y x π=-都有一个交点，故在[,3)ππ-上共有11112+=个交点，由于点(3,0)π为tan 3,3y x y x π==-的对称中心，故在(3,7]ππ上，tan 3,3y x y x π==-图象的交点也有12个，且[,3)ππ-和(3,7]ππ上的交点两两关于(3,0)π对称，因此tan 3,3y x y x π==-图象所有交点的横坐标之和为126375πππ⨯+=，即()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为75π，故选：D14.有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误【14题答案】【答案】B【解析】【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.【详解】若()y f x =是周期函数，设周期为T ，则()()f x T f x +=，则(())(())f f x T f f x +=也是周期函数，故①正确；若(())y f f x =是周期函数，设周期为T ，则(())(())f f x T f f x +=，()()f x T f x +=不一定成立，故②错误.故选：B.三、解答题（共60分）15.已知向量()2(2,1),2,2a b m m m ==--++ ，（1）若0a b ⋅=，求实数m 的值；（2）若,a b 可以构成平面上的一个基底，求实数m 的取值范围．【15题答案】【答案】（1）1m =或2（2）2m ≠且32m ≠-【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解；（2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解.【小问1详解】22420m m m --++=得到1m =或2【小问2详解】由已知得,a b 不平行，得到22224m m m -≠-++，所以2m ≠且32m ≠-.17.设m 是实数，关于x 的方程22(2)310x m x m m -++++=有两根12,x x ，（1）若12x x =，求m 的取值范围；（2）若122x x -=，求m 的取值范围．【17题答案】【答案】（1）8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）{,23-2,-44}33---+．【解析】【分析】(1)由题可知，0∆≤，解不等式即可得m 的范围；(2)分方程有两个实根和两个虚根分别求出m 的取值即可﹒当方程有两个不等实根时，根据韦达定理和122x x -=即可求解；当方程有两个虚根时，设两个虚根为1i x a b =+，2x a bi =-，根据韦达定理求出关于a 、b 、m 的方程组，再结合122x x -=求出2b 的值即可求出m 的值．【小问1详解】∵12x x =，∴方程有两个相等实根或一对共轭虚根，∴∆≤0，即()22(2)431m m m +-++≤0，即m (3m ＋8)≥0，解得8,[0,)3m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】若方程有两个不等实根，由(1)可知∆＞0解得m 8,03⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()()22212121224424314x x x x x x m m m -=⇒+-=⇒+-++=，即23840m m ++=，解得23m =-或2-均满足∆＞0；若方程有两个虚根，则∆＜0，()8,0,3m ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，设两个虚根为1i 0x a b a b R b =+∈≠，，，，则2i x a b =-，根据韦达定理得，122222m x x a m a ++==+⇒=，2221231x x a b m m =+=++(*)由21222i 2221x x b b b -=⇒=⇒=⇒=，将21b =、22m a +=代入(*)得，2221312m m m +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简得23840m m +-=，解得43m -±=均满足∆＜0，综上，m 取值的集合为{,23-2,-44,}33---+．19.在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A 为4π的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A 的三角形工件ABC ．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品ABC，其中sin cos 4B B =，求sin ,sin B C 的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A 的角平分线上打了一个点D ，且1AD =，并要求小宋加工的工件ABC 的BC 边经过点D ，则①用角B 表示工件ABC 的面积S ；②求S 的最小值，以及取得最小值时角B 的大小．【19题答案】【答案】（1）1sin 2B =或32，62sin 4C =（2）①2sin 284sin sin 4B S B B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；②38B π=时，S1-【解析】【分析】（1）由题意，得到3sin 22B =，求得6B π=或3π和512C π=或712π，即可求解；（2）①利用正弦定理，求得sin sin 88,sin sin 4B B c b B B πππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合面积公式，即可求解；②利用二倍角公式和积化和差公式，得到21214cos cos 244S B ππ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⋅+⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：因为3sin cos 4B B =，可得3sin 22B =，又因为(0,)B π∈，可得23B π=或223B π=，所以6B π=或3π，由4A π=，可得512C π=或712π，所以1sin 2B =或3sin 2B =，75232162sin sin(sin(sin(12124622224C ππππ===+=⨯+⨯=．【小问2详解】解：①在ABD △和ACD △中使用正弦定理，可得sin sin 88,sin sin 4B B c b B B πππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭于是2sin 128sin 24sin sin 4B S bc A B B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭．②利用二倍角公式和积化和差公式可得：21cos 212242144cos cos 2cos cos 24444B S B B πππππ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭=⋅=⋅+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可得30,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 242B π⎡⎫⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭，当cos 214B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即38B π=时，S取到最小值1-．21.已知函数(),y f x x D =∈．若存在0a >使得()()g x f x ax =+是严格增函数，那么称()f x 为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①210y x =--②3y x =-（无需写出理由）；（2）求证：()cos y g x x ==是“缓降函数”；（3）已知0m ≥，求证：1()sin,(,)y h x x m x ==∈+∞是“缓降函数”的充要条件是0m >．【21题答案】【答案】（1）①是；②不是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接判断得解；（2）取211,a x x ≥>，利用“缓降函数”定义证明；（3）先证明充分性，再利用反证法证明必要性得证.【小问1详解】解：①是；②不是.【小问2详解】证明：当,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，我们显然有sin 2x x π≥>，所以再结合所给事实可得：当,()0x ∈+∞时，sin x x <．令()cos g x x ax =+，再取211,a x x ≥>，于是()()()212121cos cos g x g x x x a x x -=-+-()()212121212sin sin (1)022x x x x a x x a x x +-=-+->--≥这说明cos y x =是“缓降函数”．【小问3详解】证明；令1()sin g x ax x=+充分性：已知0m >，取2121,x x m a m >>>则()()()()21212121212111111111sin sin 2cos sin 22g x g x a x x a x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()212112*********a x x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>-⋅-+-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是1sin ,(,)y ax x m x =+∈+∞是严格增函数，所以1sin ,(,)y x m x=∈+∞是缓降函数．必要性：用反证法，当0m =时，若存在0a >使()()g x f x ax =+是严格增函数，令[]1k a =+，这里[]a 代表不大于a 的最大整数取1211222x x k k πππ=<=+．此时()()21211111111224222g x g x ax ax a a k k k k ππππ⎛⎫ ⎪-=--=⋅--=⋅- ⎪⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭我们知道101,011422a k k π<<<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，这说明()()210g x g x -<与严格增函数矛盾．此即说明1sin,(0,)y x x=∈+∞不是缓降函数．证毕．。
2021年高一(下)期中数学试卷含解析
2021年高一（下）期中数学试卷含解析一、选择题1．（5分）（xx春•济南校级期中）角﹣1120°是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：把角写成k×360°+α，0°≤α＜360°，k∈z 的形式，根据α的终边位置，做出判断．解答：解：∵﹣1120°=﹣4×360°+320°，故﹣1120°与320°终边相同，故角﹣1120°在第四象限．故选：D．点评：本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角、象限界角的定义，属于基础题．2．（5分）（xx春•济南校级期中）要从已编号（1到50）的50名学生中随机抽取5名学生参加问卷调查，用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解答：解：样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．3．（5分）（xx春•衡水校级期中）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanA的值及A为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值即可．解答：解：∵在△ABC中，tanA=﹣，∴cosA=﹣=﹣．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）（xx•长春模拟）如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（）A．161cm B．162cm C．163cm D．164cm考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图可知10位学生身高数据，将它们一一从小到大排列，即可求出中位数．解答：解：由茎叶图可知10位学生身高数据：155，155，157，158，161，163，163，165，171，172．中间两个数的平均数是162．∴这10位同学身高的中位数是162cm．故选B．点评：本题考查读茎叶图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5．（5分）（xx•山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x n﹣）2]即可求得．解答：解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+3）=92；方差为（22×2+12×2+22）=2.8，故选B．点评：本题考查平均数与方差的求法，属基础题．6．（5分）（xx秋•常德校级期末）已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，则b的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D． 5考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义建立方程关系即可．解答：解：∵角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，∴cosα==﹣，则b＞0，平方得，即b2=9，解得b=3或b=﹣3（舍），故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义的应用，注意求出的b为正值．7．（5分）（xx春•济南校级期中）tan10°tan20°+=（）A．﹣1 B．C． 1 D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：把题中的tan10°+tan20°换成tan30°（1﹣tan10°tan20°），化简可得所给式子的值．解答：解：tan10°tan20°+=tan10°tan20°+•tan30°（1﹣tan10°tan20°）=tan10°tan20°+1﹣tan10°tan20°=1，故选：C．点评：本题主要考查两家和的正切公式的应用，属于基础题．8．（5分）（xx春•济南校级期中）某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．则不低于60分的人数是（）A．800 B．900 C．950 D．990考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出不人数．解答：解：由频率分布直方图得，低于60分的频率=0.005×20=0.1，低于60分人数=0.1×1000=100．则不低于60分的人数是：900．故选：B．点评：本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量．9．（5分）（xx•陆丰市校级模拟）从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（）A．0.62 B．0.38 C．0.7 D．0.68考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题．分析：本题是一个频率分布问题，根据所给的，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，写出质量在[4.8，4.85）g范围内的概率，用1去减已知的概率，得到结果．解答：解：设一个羽毛球的质量为ξg，则根据概率之和是1可以得到P（ξ＜4.8）+P（4.8≤ξ＜4.85）+P（ξ≥4.85）=1．∴P（4.8≤ξ＜4.85）=1﹣0.3﹣0.32=0.38．故选B．点评：本题是一个频率分布问题，主要应用在一个分布列中，所有的概率之和是1，这是经常出现的一个统计问题，常以选择和填空形式出现．10．（5分）（xx春•济南校级期中）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可得解．解答：解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了诱导公式和两角和的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11．（5分）（xx春•济南校级期中）如图所示的程序框图，若输出结果是990，则判断框内应填入的条件是（）A．i≥10 B．i＜10 C．i≥9 D．i＜9考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=11，S=1满足条件，S=11，i=10满足条件，S=110，i=9满足条件，S=990，i=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为990．故判断框内应填入的条件是i≥9．故选：C．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序运行的结果判断退出循环的条件是解决本题的关键，属于基础题．12．（5分）（xx•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．13．（5分）（xx•武汉模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．14．（5分）（xx春•济南校级期中）设，则sinβ的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据α、β的取值范围，利用同角三角函数的基本关系算出且cosα=，再进行配方sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的正弦公式加以计算，可得答案．解答：解：∵，∴α﹣β∈（﹣，0），又∵，∴．根据α∈（0，）且sinα=，可得cosα==．因此，sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×﹣×（﹣）=．故选：C点评：本题给出角α、β满足的条件，求sinβ的值．着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式等知识，属于中档题．15．（5分）（xx•江西）已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=1考点：二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题；压轴题．分析：由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案解答：解：f（x）=sin2（x+）==又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5），∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5故C选项正确故选C点评：本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要二、填空题16．（5分）（xx•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2．考点：扇形面积公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．解答：解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．点评：本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．17．（5分）（xx春•济南校级期中）已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为36．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：设样本容量为n，则，解得n=36，故答案为：36．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．18．（5分）（2011•江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．解答：解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=故答案为：点评：本题考查几何概型问题，属基础知识的考查．19．（5分）（xx秋•正定县校级期末）已知tanθ=2，则=﹣2．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanθ=2，∴原式====﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．20．（5分）（xx春•济南校级期中）已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可得cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣），结合已知可得．解答：解：∵sin（α﹣）=，∴cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故答案为：．点评：本题考查诱导公式，涉及整体角的思想，属基础题．三、解答题21．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=cos2﹣sincos﹣，若f（α）=，求sin2α的值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用倍角公式化简已知可得f（x）=（cosx﹣sinx），可得cosα﹣sinα=，两边平方利用倍角公式即可得解．解答：解：∵f（x）=cos2﹣sincos﹣==（cosx﹣sinx），∴f（α）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴解得：sin2α=．点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式，余弦函数公式的应用，属于基础题．22．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=Acos（+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）设α，β∈[0，]，f（4α+π）=﹣，f（4β﹣π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用条件求得A的值．（2）由条件根据f（4α+π）=﹣，求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值；由f（4β﹣π）=，求得cosβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值；从而求得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=Acos（+），x∈R，由f（）=Acos=A=，可得A=2．（2）由于α，β∈[0，]，f（4α+π）=2cos（+）=2cos（α+）=﹣2sinα=﹣，∴sinα=，∴cosα==．又f（4β﹣π）=2cos（+）=2cosβ=，∴cosβ=，∴sinβ==．∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．23．（13分）（xx春•济南校级期中）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，A1，A2，…A16（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率解答：解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6；（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==．点评：本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．24．（13分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域；（2）若角α是第四象限角，且cosα=，求f（α）．考点：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由函数的解析式可得sin（x+）≠0，可得x+≠kπ，k∈z，由此求得x的范围，可得函数的定义域．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α和cos2α的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=，显然，sin（x+）≠0，∴x+≠kπ，k∈z，求得x≠kπ﹣，k∈z，故函数的定义域为[x|x≠kπ﹣，k∈z }．（2）∵角α是第四象限角，且cosα=，∴sinα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，则f（α）=====﹣．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，属于基础题．F 34677 8775 蝵22260 56F4 围26109 65FD 旽mHRc^23430 5B86 宆39589 9AA5 骥30212 7604 瘄。
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
高一下学期期中数学试卷-(解析版)
高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。
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高一数学下册期中考试
高 一 数 学 Ⅰ卷
一、单项选择题（请把选项代号填入Ⅱ卷相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．，每题5分。
本题满分75分） 1．0
sin 210=( ) A ．
21 B ．2
1- C ．23 D ．23
-
2.已知AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，若→
-AB =→
a 、=→-AC →
b ，则→
-AM 等于( )
A.)(21→
→-b a B.)(21→
→--b a
C.)(21→→+b a
D.)(2
1→→+-b a 3.函数)4
3sin(π
-
=x y 图象的一个对称中心是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-
0,12π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,127π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,127π D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛0,1211π 4.如果点)cos ,(tan θθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限 5．给出命题
（1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.
（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是( )
A.（1）
B.（2）
C.（1）和（3）
D.（1）和（4） 6.在四边形ABCD 中，如果0AB BC = ，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是( )
A. 直角梯形
B.菱形
C.正方形
D. 矩形
7.设02x π≤≤,sin cos x x =-, 则( )
A. 0x π≤≤
B.
74
4x π
π≤≤
C.544x ππ≤≤
D.322
x ππ≤≤ 8.若角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线430(0)x y x +=>，则
2sin cos (cos tan )αααα++的值是（ ）
A.
15 B. 25
C. 85
D. 9
5 9.在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是( )
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形 10．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=-
⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π
6
个单位 B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移
π
3
个单位 D ．向左平移
π
6
个单位 11．已知向量(1)(1)n n ==-，，
，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a ( )
A ．1
B
C ．2
D ．4
12．设A （a,1）, B(2,b), C(4,5)为坐标平面上的3个点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）
A ．5a —4b=3
B ．4a —5b=3
C ．5a +4b=14
D ．4a +5b=14
13．函数6cos 6sin 42-+=x x y )3
23(ππ≤≤-x 的值域是（ ）
A ．[]0,6-
B ．]4
1,
0[ C ．]41
,12[-
D ．]4
1
,6[-
14.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数，又是周期函数. 若()f x 的最小正周期π且当
[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3
f π
=（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．2
-
D ．
2
15．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥
⎦⎤⎢⎣⎡1514543021。
已知πβα=+，2π
βα=
-，则=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin ( ) A ．00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
二、填空题(本题共有5小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分20分.)
16．已知扇形的圆心角为0
120，半径为3，则扇形的面积是 ； 17.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，
且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+＝ ；
18.1tan 、2tan 、3tan 的大小顺序是 ；(用“<”联结). 19.已知函数()2cos f x x ω= (0ω>)在区间[,]34
ππ
-上的最小值是2-，
则ω的最小值是_______； 20．若()sin()sin()44
f x a x b x π
π
=+
+-（0ab ≠）是偶函数，则有序实数对（,a b ）可以是 ．（写出你认为正确的一组数即可）
三、解答题（本题共6小题，其中21至25题为必做题，共55分；26题为附加题，共10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 21．（本小题10分） 已知函数()sin(),(0,
0,,)2
f x A x A x R π
ωϕωϕ=+>><
∈的
图象的一部分如下图所示.(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）写出此函数的初相、对称轴。
y x
22. （本小题10分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(01)B ，，(0)C c ，． (Ⅰ)若5c =，求sin A ∠的值； （Ⅱ）若A ∠是锐角，求c 的取值范围．
23．（本小题10分）已知sin )(0,)2
πααβαβ=-=∈且、 (Ⅰ)求α2tan 的值;（Ⅱ）求β.
24.（本小题12分）设a 、b
是两个不共线的非零向量（t ∈R ）
(Ⅰ)若|a |=|b |=2且a 与b 夹角为120°，那么t 为何值时，|a
－t b |的值最小？
（Ⅱ）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a
，t b ，14
（a +b ）三向量的终点在一直
线上？
25．（
本
小
题
13
分
）
已
知
O
为
坐
标
原
点
，
2(2sin ,),(1,cos 1)OA a x a OB x x ==-+， ()f x OA OB b =+（0a ≠）
(Ⅰ) 求()y f x =的单调递减区间；
（Ⅱ）若()
f x 的定义域为[0,
2
π
]，值域为[2，5],求,a b 的值。
26．附加题(要求实验班必作，平行班选作) （本题满分10分）如果cos24sin 430m m θθ+--<对任意的θ总成立，求常数m 的取值范围。
泉州一中2008—2009学年度第二学期期中试卷
二、填空题(本题共有4小题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分20分.)
16. 17. 18．
19. 20.
三、解答题（本题共6小题，其中21至25题为必做题，共55分；26题为附加题，共10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）
21．(本小题10分)
22．(本小题10分)
23．(本小题10分) 24．(本小题12分)
25．(本小题13分)
26．(本小题10分)（附加题）
泉州一中2008—2009学年度第二学期期中试卷参考答案
二、填空题 16.3π 17.5
7
18．Tan2<tan3<tan1 19.3 20.(1,-1) 等 三、解答题
21．(本小题10分)
解：（Ⅰ）所求函数解析式()sin(
)44
f x x π
π
=+
（Ⅱ）初相为
84
π
分 对称轴为41x k k z =+∈
22．(本小题10分) ∴si n ∠A
（Ⅱ）∴c 的取值范围是7c <且1c ≠-；
23．(本小题10分) 解：（Ⅰ）
4
tan 23α=
（Ⅱ） 4
π
β=
24．(本小题12分)
（Ⅰ）∴t=-2
1时，|a
－t b
|
（Ⅱ）t=13
时，a
、t b 、31(a +b )终点在一直线上
25．(本小题13分)
解：
()
2sin(2)26
f x a a b
π
=--⨯+++
（Ⅰ）当0a >时
∴所求()f x 的单减区间为,36k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ …分
当0a <时 所求()f x 的单减区间为2,86
3k k k z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
分
（Ⅱ） 12a b =⎧⎨
=⎩ 和 1
5a b =-⎧⎨=⎩
26．(本小题10分)（附加题） m 的取值范围是),21(∞+-。