平面几何与立体几何的类比

平面几何与立体几何的类比

一．目标定位

“强调本质，注意适度形式化”是高中数学课程改革的一个基本理念 .虽然形式化是数学的基本特征之一，学会形式化表达是数学教学的一项基本要求，但更重要的是对数学本质的认识，是生动活泼的数学思维活动 .高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质，除了要讲逻辑推理，更要讲道理（合情推理） .为此，高中数学课程中的立体几何初步，其内容设计将合情推理与演绎推理有机地结合在一起，体现了直观几何与论证几何的结合，避免了以往课程中以论证几何为主线展开几何内容的形式化的问题，让学生在自主探索的过程中，理解有关数学概念、结论，体会数学思想方法 .

根据《数学课程标准》的要求，本节课的目标要求定位如下：

1、通过比较、分析平面几何与立体几何的相似性，进行类比推理，构造新的概念、创建新命题、拓展新结论和寻找解题途径 .

2、了解类比在科学上的运用 .通过研究过程，培养学生“主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流”的能力，发展学生的合情推理能力 .

3、通过创设和谐、协作的教学氛围，让学生体验成功，增强自信，增强运用类比推理的自觉性，并在探究与体验活动中感受几何学中的结构美和对称美 .

二．多向对比（无）

三．案例聚焦

本节内容为教材（立体几何初步）中的一个阅读材料，编排这个阅读材料是为了扩展学生的知识，提高学生的兴趣 .通过该阅读材料，可使学生体会类比这种合情推理在猜测和发现结论、探索和提供思路方面的作用 .在本专题的教学中，教师还可以根据实际情况对一部分有兴趣的同学作进一步的指导和要求，让这部分同学查找、阅读有关资料，了解类比在科学研究中的作用、意义和重要性 .由于本专题蕴涵着丰富的数学思想方法，故本专题内容除了是知识上的拓展，更应看成是方法上的拓展 .类比思想应受到足够的重视，因为它能激发学生的兴趣，培养学生进行探索、发现的意识和能力 .因此，要充分利用和挖掘教材中的有关内容，创造机会学习和运用类比的方法 .但也要让学生思考类比方法在拓展和推广方面的可靠性和正确性，辨证地理解创新和严谨的关系 .事实上，合情推理与演绎推理的有机结合，有助于学生对数学基本知识的理解，有助于学生对数学思想方法的认识，只有这样，才能真正提高学生的数学思维能力 .

本节课的教学重点是类比的对象间的结构特征（类的界定、比的内容）、规则和方式以及运用类比推理思想解决有关问题，而教学难点则是类比中命题变化的内容、规则、特点及命题不变的结构、关系、属性，另外，类比中的新元素、新关系、新图形的构建、定义和约定也是难点所在 .在教学的过程中，应使学生逐步学会观察分析数学对象、数学问题间的联系和区别，寻找数学结构中的“改变”与“不变”、“个性”与“共性” .加强学生对数学内容框架的宏观认识 .

四．教学示例（苏教版）

（一）提出问题，引导思考：平面几何与立体几何的关系？

1、由平面几何与立体几何的相似性引发的思考，是否可以类比 .

平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在两者之间进行类比是研究他们性质的一种非常有效的方法 .

2、 什么是类比？

类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似，推出它们在其他方面的相同或相似点的一种推理方法 .波利亚指出：类比就是一种相似 .类比思维的认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系------相似形 .

举例：为什么人的老年称为生命的黄昏？

3、 类比在科学研究中的作用、意义和重要性 .

由于类比推理所得结论的真实性并不可靠，因此它不能作为严格的数学推理方法 .尽管如此，我们丝毫不能由此忽视类比法 .为什么呢？因为它是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉 .还是波利亚说的好：如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的 .但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢 .让我们欣赏一段名人名言（Kepler ）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 .”

（二） 研究课题：立体几何与平面几何的类比

1、 如何进行类比

为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系： 平 面 空间

点 点或直线

直线 直线或平面 平面图形 平面图形或立体图形

例如：线段长 面积 面积 体积

平面角 二面角

三角形 四面体（三棱锥）

多边形 多面体

2、 类比构造命题

例1、（1）在平面几何中，若两个角的边对应平行或垂直，则这两个角相等或互补 .那么推广到空间，又有怎么样的一个命题，并判断该命题是否成立 .

（2）在平面几何中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积 .试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题，并加以证明 .

点评：在进行类比时要了解一些平面几何研究对象与立体几何研究对象常用的类比关系，如直线类比平面，三角形类比四面体，长度类比面积，面积类比体积等等 .但要注意的是这些类比关系又不是唯一的 .

例2、（2004年高考广东卷） 在图1所示的三角形PAB 中，有面积关系：

，则推广到空间，在图2所示的三棱锥P-ABC 中，有体积关系：

.

从元素的度量关系入手 从元素的结构特征入手 从元素的相对关系入手

3、类比拓展结论

例3、对勾股定理的拓展引申 .

勾股定理：在直角边长为a,b，斜边长为c的直角三角形中，有 .

类比Ⅰ：长、宽、高分别为a、b、c，对角线长为l的长方体中，有

.

类比Ⅱ：设三棱锥的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则

4、类比推理论证

由立体几何问题，用类比的方法构造辅助的平面几何问题，通过这个问题的解决，类比猜想立体几何问题的解决方法 .

例4、求证：正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值 .

第一步类比构造一个辅助平面几何问题“求证:正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”.

第二步通过分割的方法,利用面积的关系解决平面几何问题(图3).

图3 图4

第三步类比猜想,所给立体几何问题是否也可以通过分割的方法,利用体积的关系来证明(图4)?

这个猜想是正确的(证明留给学生课外完成).

（三）学生自主探索，尝试体验类比

平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：

“长方形的每一边恰好与另一边平行，而与其余的边垂直”；

“长方体的每一面恰好与另一面平行，而与其余的面垂直”.

问题1：请你用类比法写出更多相似的命题 .

问题2：请你先写出平面几何中的一个结论，然后用类比法拓展推广到空间的情形，并加以证明 .

问题3：你会运用类比推理论证来解题吗？不妨举例一试！

学生分组研究，由各小组推选学生展示有关研究成果 .

（四）归纳总结有关内容

1、类比的方式：类比构造命题；类比拓展结论；类比推理论证 .