高中数学 1章整合 精品同步导学 新人教A版选修2-1

• (3)原命题：a⊥b⇒a·b＝0，为真命题． • 逆命题：a·b＝0⇒a⊥b，为真命题． • 否命题：a，b不垂直⇒a·b≠0也为真命题．
• 有关充分条件和必要条件的判断是高中数学的一个重点， 因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切 ，是历年命题者考虑的重要题型． • 1．判断充分条件和必要条件的方法有： • (1)定义法；(2)等价法；(3)集合的包含关系，要注意传递性 的应用．
• (2)令A＝{x|－2<x<6}，B＝{x||x－2|≤3}＝{x|－1≤x≤5}， • ∵B A，∴p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． • (3)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}， • B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}． • ∵A＝B，∴p⇔q，即p是q的充要条件．
s的充分条件，那么：
• (1)s是q的什么条件？
• (2)r是q的什么条件？
• (3)p是q的什么条件？
• 解析： p、q、r、s的关系如图所示，由图可知：
• (1)因为q⇒s，s⇒r⇒q， • 所以q⇔s，所以s是q的充要条件． • (2)因为r⇒q，q⇒s⇒r， • 所以r⇔q，所以r是q的充要条件． • (3)因为q⇒s⇒r⇒p， • 所以p是q的必要条件．
• 特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在 限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则， 这一特称命题为假．
• 写出下列命题的否定，并判断其真假： • (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； • (2)p：有的素数是偶数； • (3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； • (4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
• 2．充分条件和必要条件的判定结果有四种，判定的方法也 很多，针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断， 要注意四个方面．
• (1)要注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性 • 从命题的角度判定条件的充要性，应先把题目写成命题的 形式，并对条件和结论进行简化，然后按充分条件和必要条 件的定义直接判定，由于充分条件和必要条件是相对的，因 此在判定时一定要分清哪是条件？哪是结论？指明条件是结 论的哪种条件？否则会混淆二者的关系，造成错误．
• 已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q 的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解析： 解不等式 x2－8x－20＞0， 得 p：A＝{x|x＞10 或 x＜－2}； 解不等式 x2－2x＋1－a2＞0， 得 q：B＝{x|x＞1＋a 或 x＜1－a，a＞0}． 依题意 p⇒q 但 q⇒/ p，说明 A B.
• 解析： (1)¬p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除 ．¬p为真命题． • (2)¬p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数， 故¬p为假命题． • (3)¬p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.¬p为真命题． • (4)¬p：∃x0，y0∈R，x＋y＋2x0－4y0＋5≠0.¬p为真命题．
• 说出下列命题中，p是q的什么条件： • (1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x<2； • (2)p：－2<x<6，q：|x－2|≤3； • (3)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4. • 解析： (1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，集 合B＝{x|x<2}，显然A B， • 所以p⇒q，但q⇒/ p，即p是q的充分不必要条件．
• 判断下列命题ຫໍສະໝຸດ Baidu真假． • (1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题． • (2)“若0<x<5，则|x－2|<3”的否命题与逆否命题． • (3)a，b为非零向量，“如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和 否命题．
解析： (1)“若 x∈A∪B，则 x∈B”是假命题， 故其逆否命题为假命题， 逆命题“若 x∈B，则 x∈A∪B”，为真命题． (2)∵0<x<5，∴－2<x－2<3， ∴0≤|x－2|＜3. 原命题为真，故其逆否命题为真命题． 否命题：若 x≤0 或 x≥5，则|x－2|≥3.否命题为假． 例如当 x＝－12时，|－12－2|＝52<3.
• 命题的考查以基本概念为主，并且以命题为工具考查其他 知识，题型以选择题和填空题为主，全称量词和存在量词是 新课标新增内容，因此在今后高考中一定会有所体现，逻辑 联结词在高考中一般不单独命题，充要条件的考查是高考的 热点，主要以各章的知识点为载体来考查充分、必要条件．
• 原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是 不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命 题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假． • 一般来说，命题p⇒q的四种形式之间有如下关系： • (1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)． • 因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题． • (2)互逆或互否的两个命题是不等价的．
• 1．命题及其关系 • (1)了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种 命题的相互关系． • (2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． • 2．简单的逻辑联结词 • 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． • 3．全称量词与存在量词 • (1)理解全称量词与存在量词的意义． • (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
a＞0
a＞0
于是有1＋a≤10 或1＋a＜10 ，
1－a＞－2 1－a≥－2
解得 0＜a≤3，
所以正实数 a 的取值范围是 0＜a≤3.
• 全称命题与特称命题真假的判定及含一个量词的命题的否 定是高考的另一个重点，多以客观题为主．
• 全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对 限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法 加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即 可．
• (2)明确充分、必要、充要条件不一定都是唯一的． • (3)要注意转换命题判定，培养思维的灵活性 • 由于原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假，因此 ，对于那些带有否定性的命题，可先转换为它的等价命题， 再进行判定，这种正难则反的等价转化思想，应认真领会．
•
已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是