2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)

[悟一法]
在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利
用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那 么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
[通一类]
1.如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 DC 中点，直线 BE 交⊙O 于点 F，若⊙O 的半 径为 2，求 BF 的长．
解：∵⊙O 的半径为 2， ∴CD＝2，∴DE＝CE＝1，BE＝ 5. 由相交弦定理得 DE· CE＝BE· EF. 5 6 ∴EF＝ .∴BF＝ 5. 5 5
4 答案： 3
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2 2
1 14 4－ ＝ ， 2 2
AB BE 又△ABE∽△FAB，所以 ＝ ， FA AB AB2 4 4 14 即 BE＝ ＝ ＝ . FA 7 14 2
[研一题]
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，
PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上
一点，且DE2＝EF· EC.
2
又∵∠PBC＝∠DBP， ∴△BPC∽△BDP，∠BPC＝∠D. 又∵∠E＝∠D，∴∠BPC＝∠E，EF∥PA.
本课时考点是高考的重点内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，且是多个定理综合应用.2012年 天津高考将相交弦切割线定理与相似三角形的性质相 结合综合考查解决的问题的能力，是高考模拟命题的
[通一类] 3.已知：从圆外一点P，作切线PA.A为 切点，从PA的中点B作割线BCD，交
圆于C、D，连接PC、PD，分别交圆
于E、F. 求证：EF∥PA.
证明：∵PBA 是圆的切线，BCD 是圆的割线． ∴BA2＝BC· BD. 又∵B 为 PA 中点，∴PB＝BA. PB BC 即 PB ＝BC· BD， ＝ . BD PB
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P. ∴∠P＝∠EDF.
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA. ∴DE∶PE＝EF∶EA. 即EF· EP＝DE· EA. ∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE· EA＝CE· EB.
∴CE· EB＝EF· EP.
(3)解：∵DE2＝EF· EC，DE＝6，EF＝4， ∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6. ∵CE· EB＝EF· EP， ∴9×6＝4×EP. 27 解得：EP＝ . 2 15 45 ∴PB＝PE－BE＝ ，PC＝PE＋EC＝ . 2 2 由切割线定理得：PA2＝PB· PC， 15 45 ∴PA2＝ × . 2 2 15 ∴PA＝ 3. 2
[研一题] [例2] 如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
直线BMN交AD的延长线于点C，BM
＝MN＝NC，AB＝2，求BC的长度和 ⊙O的半径． 分析：本题考查割线定理，切割 线定理以及勾股定理的综合应用，解答本题需利用切割线
定理求BC，利用割线定理求⊙O的半径．
解：∵AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线 BMN 是 ⊙O 的割线， ∴∠BAC＝90° ，AB2＝BM· BN. ∵BM＝MN＝NC，AB＝2，∴2BM2＝4. ∴BM＝ 2，∴BC＝3BM＝3 2. ∴AB2＋AC2＝BC2,4＋AC2＝18，AC＝ 14. ∵CN· CM＝CD· CA， 2 ∴ 2· 2＝CD· 14，∴CD＝ 14. 2 7 1 5 ∴⊙O 的半径为 (CA－CD)＝ 14. 2 14
[小问题·大思维] 1．切割线定理与割线定理之间有什么关系？ 提示：切割线定理是割线定理的一种特殊情况． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆 心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？
提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的
中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．
[研一题]
[例 1] 如图，AB、CD 是半径为 a
[读教材·填要点] 1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 ． 2．割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积 相等 ．
3．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的 比wenku.baidu.com中项 ． 4．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等 ，圆 心和这一点的连线 平分 两条切线的夹角．
一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 天津高考)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行 线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F， 3 AF＝3，FB＝1，EF＝ ，则线段 CD 的长为________． 2
[命题立意]
[悟一法]
相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理 是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是 因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆
周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得
到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆 有关的相似三角形问题． 因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到 相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线 和割线要想到切割线定理．
的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 2 P，PD＝ a，∠OAP＝30° ，求 CP 的长． 3
分析：本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定
理的综合应用．解决本题需要先在Rt△OAP中，求得 AP的长，然后利用相交弦定理求解．
解：∵P 为 AB 的中点， ∴由垂径定理得 OP⊥AB. 3 在 Rt△OAP 中，BP＝AP＝acos30° ＝ a. 2 由相交弦定理，得 BP· AP＝CP· DP， 3 2 2 9 即( a) ＝CP·a，解之得 CP＝ a. 2 3 8
[悟一法] 相交弦定理、割线定理和切割线定理涉及与圆有 关的比例线段问题，利用相交弦定理和割线定理能做
到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．
[通一类] 2.如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O 经过点A，与BC相切于B，与AC相交
于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.
解：连接 BO 并延长交圆于点 E，连接 AE，过点 A 作 AF ⊥BC，垂足为点 F，则 F 为 BC 的中点， 由切割线定理得 CB2＝CD· CA＝1×2， 2 所以 BC＝ 2，BF＝ ， 2 AF＝ AC －FC ＝
本题主要考查相交弦、切割线定理的
应用，以及相似三角形的判定与性质．
解析：由相交弦定理可得 CF· FE＝AF· FB，得 CF＝2.又因 为 CF∥DB，所以
2
CF AF 8 ＝ ，得 DB＝ ，且 AD＝4CD，由切割 DB AB 3
2
4 线定理得 DB ＝DC· DA＝4CD ，得 CD＝ . 3
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE· EB＝EF· EP； (3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长． 分析：本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似 三角形的判定与性质与切线长定理的综合应用．解答本题
需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．
解：(1)证明：∵DE2＝EF· EC， ∴DE∶CE＝EF∶ED. ∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.