含参数的线性规划问题求解
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述： 例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2） 式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。
只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。
以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。
具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。
只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。
由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。
本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。
线性规划问题的求解
线性规划问题的求解线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化目标函数。
线性规划的应用非常广泛，包括生产计划、投资组合、运输问题、资源分配等。
在实际问题中，线性规划可以帮助我们做出最佳决策，达到最优化的效果。
线性规划的一般形式可以表示为：Max (or Min) C^T * XSubject to:A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧向量。
线性规划的求解方法有很多种，常用的方法有单纯形法、内点法、分支定界法等。
这些方法通过迭代计算寻找目标函数最大（或最小）值的最优解。
在这些方法中，单纯形法是最为常用且效果较好的方法之一。
单纯形法的基本思想是通过不断交替改变基本变量和非基本变量的值来接近最优解。
初始时，选择一个基本可行解。
然后，通过计算单位增大量（reduced cost）判断是否已经到达最优解。
如果还有正的单位增大量，就选择它对应的非基本变量作为进入变量。
接着，通过计算比率（ratio）决定离开变量。
重复这个过程直到达到最优解。
单纯形法虽然是一种有效的求解线性规划的方法，但当问题规模较大时，计算复杂度会非常高。
因此，针对大规模问题，研究者们不断提出改进的算法，如内点法。
内点法基于KKT条件，通过在可行域的内部搜索来找到最优解。
相较于单纯形法，内点法在求解大规模问题时更加高效。
除了单纯形法和内点法，分支定界法也是一种常用的求解线性规划问题的方法。
分支定界法是基于问题的整数性质进行求解的。
当某些决策变量必须是整数时，分支定界法能找到最优解。
该方法通过将问题划分为不同的子问题，并逐步排除不满足约束条件的解来逼近最优解。
线性规划问题的求解不仅仅限于上述方法，还有其他的求解算法。
根据具体问题的特点，选择合适的求解方法可以提高求解的效率和精度。
总之，线性规划是一种重要的数学优化方法，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划问题的Lingo求解
Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
02
调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
02
比较不同方案
03
验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
03
求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。
线性规划的建模技巧和求解
线性规划的建模技巧和求解线性规划是一种数学优化方法，用于确定一个或多个线性方程的最佳解。
它在许多领域有广泛应用，如生产、物流、金融等。
下面将介绍线性规划的建模技巧和求解方法。
一、线性规划的建模技巧：1. 确定决策变量：首先要确定需要决策的变量，这些变量决定了模型的目标函数和约束条件。
变量可以表示限制条件或可供选择的决策。
2. 确定目标函数：目标函数是需要优化的目标，可以是最大化或最小化。
一般情况下，目标函数是由决策变量的线性组合构成的。
3. 确定约束条件：约束条件是限制决策变量的条件，包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以是资源的限制、技术要求等。
4. 确定约束集：约束集是所有约束条件的集合，它定义了可行解的范围。
在确定约束集时，需要将每个约束条件转化为决策变量的线性等式或不等式。
5. 确定可行域：可行域是约束集在决策变量空间中的几何图形。
可行域是一个多面体或多面体的集合，其中每个面都由一个或多个约束条件定义。
6. 确定边界条件：边界条件是可行域的边界，在边界上的解是目标函数的极值点。
通过分析边界条件，可以确定是否存在最优解以及在哪个边界上可以找到最优解。
二、线性规划的求解方法：1. 图形法：图形法适用于二维情况，可以将可行域和目标函数的等值线绘制在一个坐标系中，通过观察交点找到最优解。
但是，图形法只适用于简单的问题，对于复杂问题无法使用。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过迭代的方式从可行域的某个顶点开始，逐步向更优解迭代，直到找到最优解。
单纯形法的思想是寻找一个可以改进目标函数值的方向，并且每次改进保证不会违反约束条件。
3. 对偶理论：线性规划问题的对偶问题可以通过原问题的约束条件和目标函数得到。
通过对偶问题的求解，可以得到原问题的最优解、最优解的相应目标值以及松弛变量的价值。
4. 整数规划：如果决策变量是整数变量，那么线性规划问题称为整数规划问题。
整数规划问题的求解通常比线性规划问题要困难得多，因为整数变量会引入离散性。
线性规划问题的图解法
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
线性规划问题的解
规划问题有无界解。
二、单纯形法的矩阵描述
在线性规划问题的标准型：
Max z CT X
s.t.
AX X
b 0
中，不妨设 B ( p1, p2 , , pm ) 是一个可行基，则系数矩阵Ａ可分块为
（Ｂ，Ｎ）。对应于Ｂ的基变量
基：A中任何一组m个线性无关的列向量构 成的子矩阵,称为该问题的一个基（basis）,
与中的这些列向量对应的变量称为基变量 （basic variable）
基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足 （1-13）的解，称为基对应的基本解（basic solution）。
基本可行解：满足（1-14）的基本解 称为基本可行解（basic feasible solution）；基本可行解所对应的基称 为可行基（feasible basis）。
为，X B (x1, x2 , , xm )T 为 X N (xm1, xm2 , , xn )T
，非基变量 ，Ｎ
＝ ( pm1, pm2 , , pn )
。并令C T
(C
T B
,
C
T N
)
，其
中 B 为基变量X B的系数列向量，N 为
非基变量的系数列向量。于是原问题可化
为
Max
0
x
0 l
a lj
由（1-22）式得
（1-22）
xi0
aij
0 0
(i l) (i l)
（1-23）
故 X (1) 是一个可行解
3、最优性检验和解的判别
将基本可行解 X (0) 和 X (1) 分别代入目标函数得
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。
在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据所求目标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。
例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题例1：求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：例2：若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，求目标函数z ＝x －2y 的最大值[解析] 先作出可行域如图．作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．当移至A(1，－1)时，z max＝1－2×(－1)＝3，1.在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是( C)A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(0,2) [解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t －2，t )在直线x －2y ＋4＝0的下方⇔3t －2－2t ＋4>0，∴t >－2.[点评] 可用B 值判断法来求解，若B>0，令d ＝B (Ax 0＋By 0＋C )，则d >0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方；d <0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y的最大值为( C )A ．－2B ．4C ．6D ．8 [解析]3.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥1，则z ＝2x －y 的最大值为( C )A．－1 B．0 C．3 D．4[解析]作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0当平移到经过点A(2,1)时，z max＝3.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z＝3x －y 的最大值为( D )A ．－4 B ．0 C.43D ．4[解析]该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A (1,3)，B (1，53)，C (2,2)，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y只在点(1,1)处取最小值，则有( D ) A ．a >1 B ．a >－1 C ．a <1D ．a <－1[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1，故a <－1，故选D.6．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( C )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a>－3，∴a >13.★7.若2x ＋4y <4，则点(x ，y )必在( D )A ．直线x ＋y －2＝0的左下方B ．直线x ＋y －2＝0的右上方C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [解析] ∵2x ＋4y ≥22x ＋2y ，由条件2x ＋4y <4知， 22x ＋2y <4，∴x ＋2y <2，即x ＋2y －2<0，故选D. ★8．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( D )A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为(B)A ．25 B.13 C ．3 D. 5[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.10.若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( B )A ．－1 B ．1 C.32D ．2[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．★11.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为(A) A.256 B.83 C.113D ．4[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( D )A ．(0,1) B ．(1,2) C ．[2,4] D ．[2，＋∞)[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.★13．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( B ) A. 2 B.32 C.322D ．2[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，的图形如图．解得：A (0,1) D (0，－1) B (－1，－2) C (12，－12)S △ABC ＝12×|AD |×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B.★14．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为(A) A. 3 B.32C. 2 D ．4[解析]由题可知，当x＝0时，z＝kx＋y＝y，因此要使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y轴上的截距最大．由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan120°＝－3，k＝3，选A.★15．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为(B )A ．95 B ．91C ．88D ．75 [解析]由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x ≤15，有16个；y ＝1时，0≤x ≤13；y ＝2时，0≤x ≤12； y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．16．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为___6_____．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×2a×a ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x ＋y 的最大值为6.★17.若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝__－33.[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.18．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x＋y 的最大值为_11_____[解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.19．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b(万吨)c(百万元)A 50%1 322(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为___15_____(百万元)．[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y .作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元★21.北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，通过调查，得到这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润刘多少？正解：设空调、洗衣机的月供应量分别为x 、y ，总利润是p ，那么满足条件： .9600,942223023960)2(3)23(31:8226386)22()3()2()23(2220:)2()5(30230:)1()4(86)3(0,0)2(110105)1(3002030元的最大值是时即当此时当且仅当解之得得由得由p y x y x y x p y x y x p n m n m n m yx y n m x n m y x n y x m p y x y x yx p y x y x y x ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+≤≤∴+++=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+∴+=++++++=≤+≤≤+≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=≥≥≤+≤+10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N，作出可行域如图，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.(理)(2012·辽宁文，9)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 [答案] D[解析] 本题考查线性规划的知识．作出可行域如图所示：令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z . 要使z 取得最大值，需直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距最大，移动l 0：y ＝－23x 当l 0过点C (5,15)时，z 取最大值z max ＝55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z ＝2x ＋3y 与z ＝2x －3y 最优解是不同的．13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t ，B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t ，B 原料3t ，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得A (3,4)．∵－3<－53<－23， ∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z＝( ) A．4650元B．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C [解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤7，y ∈N 利润z ＝450x ＋350y ，可行域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝19，x ＋y ＝12，得A (7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A (7,5)时z 取最大值，∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.．(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．2．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a ＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.4．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10] C ．[2,9] D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，x －y ＋8＝0，得A (1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，2x ＋y －14＝0，得B (3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a ≤9.5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a的值为________．[答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B [解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元， 则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y .约束条件可化简为： ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B (207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
线性规划问题的计算机求解
• 在对偶价格栏中，约束条件3的对偶价格为1万元，也就是 说如果把加工时数从600小时增加到601小时，则总成本将 得到改进，由800万减少到799万。也可知约束条件1的对偶 条件为-4万元，也就是说如果把购进原料A的下限从125t增 加到126t，那么总成本将加大，由800万增加到804万。当 然如果减少对原料A的下限，那么总成本将得到改进。
管理运筹学
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
1.软件使用演示：（演示例1） 第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学 2.0”，弹出主窗口。
例1. 目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。
– 松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。如果为零，则 表示与之相对应的资源已经全部用上。
– 对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的 最优值。
– 目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量 系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。
两参数线性规划问题的解法
两参数线性规划问题是一类常见的数学规划问题，通常表示为:有两个变量x和y，求解以下线性规划问题:max z = ax + bys.t.c1x + d1y ≤b1c2x + d2y ≤b2...cnx + dny ≤bnx, y ≥0其中，a、b、c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
两参数线性规划问题的解法通常采用解析法和数值法两种方法。
解析法:解析法是指用数学方法直接求解最优解的方法。
常用的解析法有单纯形法、图解法等。
单纯形法是一种常用的解析法，它通过构造单纯形来求解线性规划问题。
图解法是一种简单易懂的解析法，它通过绘制线性规划模型的图象来求解问题。
数值法:数值法是指通过计算机程序或其他数学工具来近似求解线性规划问题的方法。
常用的数值法有随机化算法、贪心算法、遗传算法等。
随机化算法是指利用随机数来求解线性规划问题的方法。
常用的随机化算法有随机化单纯形法、随机化贪心算法等。
贪心算法是一种解决线性规划问题的有效算法，它的基本思想是每一步都选择最优的解决方案。
遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，它通过模拟自然界中物种进化的过程来求解线性规划问题。
总的来说，两参数线性规划问题可以采用解析法和数值法两种方法来求解。
在选择求解方法时，应根据实际情况和需求的精度来决定使用哪种方法。
如果需要精确求解最优解，可以使用解析法，如果只需要大致估算最优解，则可以使用数值法。
此外，在求解两参数线性规划问题时，还需要注意以下几点:确定目标函数: 目标函数是线性规划问题的核心，通常表示为max z = ax + by或min z = ax + by，其中z是目标函数值，a和b是系数。
确定约束条件: 约束条件是线性规划问题的基本要求，表示为c1x + d1y ≤b1、c2x + d2y ≤b2、...、cnx + dny ≤bn，其中c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。
每一个工序的加工时间和利润都不相同。
现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。
请根据以下要求进行线性规划求解。
二、问题分析1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为x2小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为y2小时。
3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。
4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。
5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。
6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。
三、目标函数和约束条件1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。
2. 约束条件：a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。
b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。
c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。
e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
四、线性规划模型最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2，满足约束条件：x1 + y1 ≤ 100，x2 + y2 ≤ 80，a1 + a2 ≤ 200，b1 + b2 ≤ 150，x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
五、求解过程1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。
2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。
3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。
MATLAB求解线性规划(含整数规划和01规划)问题
MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。
如：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。
但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。
最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。
但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。
一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。
我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。
为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。
我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。
求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。
打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。
线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)
之老阳三干创作创作时间：课题 线性规划的罕见题型及其解法谜底线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖新颖．归纳起来罕见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的罕见基础类题型．【母题一】已知变量x ,y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7,23]B ．[8,23]C ．[7,8]D ．[7,25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．【解析】画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3暗示的平面区域如图中阴影部份所示,由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3,平移直线y ＝－23x 知在点B处目标函数取到最小值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1所以B (2,1),z min ＝2×2＋3×1＝7,在点A 处目标函数取到最年夜值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－12x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝5所以A (4,5),z max＝2×4＋3×5＝23．【谜底】A【母题二】变量x ,y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1(1)设z ＝y2x －1,求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2,求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13,求z 的取值范围．(x ,y )在不等式组暗示的平面区域内,y2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎪⎫x －12暗示点(x ,y )和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率；x 2＋y 2暗示点(x ,y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2暗示点(x ,y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1作出(x ,y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率,观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29．(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min＝|OC|＝2,d max＝|OB|＝29．∴2≤z≤29．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到(－3,2)的距离中,d min＝1－(－3)＝4,d max＝－3－52＋2－22＝8∴16≤z≤64．1．求目标函数的最值的一般步伐为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义．2．罕见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by．求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．(2)距离型：形一：如z＝,z＝,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2,z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z＝yx,z＝ay－bcx－d,z＝ycx－d,z＝ay－bx,此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义． 角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最年夜值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部份所示,由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ,作出直线y ＝2x ,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A (5,2)时,对应的z 值最年夜．故z max ＝2×5－2＝8．【谜底】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0则目标函数z ＝x ＋6y 的最年夜值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ,当目标函数经过点(0,3)时,z 取得最年夜值18．【谜底】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ,y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域,则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图,曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部份,令z ＝2x －y ,则y ＝2x －z ,作直线y ＝2x ,在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ,当经过点(－2,2)时,z 取得最小值,此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【谜底】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0所暗示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组暗示的平面区域如图中阴影所示, 显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小,由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0,解得A (3,－1),故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2y≤2x ≤2y 则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部份所示, 目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ,y )与(1,－1)所在直线的斜率加上2的取值范围,由图形知,A 点坐标为(2,1),则点(1,－1)与(2,1)所在直线的斜率为22＋2,点(0,0)与(1,－1)所在直线的斜率为－1,所以z 的取值范围为(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)．【谜底】(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,2]D ．[2,4] 【解析】如图所示,不等式组暗示的平面区域是△ABC 的内部(含鸿沟),x 2＋y 2暗示的是此区域内的点(x ,y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离,其值为1；最远的距离为AO ,其值为2,故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【谜底】B7．(2013·高考北京卷)设D为不等式组⎩⎨⎧x ≥02x －y ≤0x ＋y －3≤0所暗示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域,如图中阴影部份所示,则根据图形可知,点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小,d ＝|2×1－0|22＋1＝255,故最小距离为255．【谜底】2558．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x所暗示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ,|AB |的最小值即是( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x －2y ＋3≥0y≥x ,所暗示的平面区域如图所示,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2,则|AB |的最小值为4．【谜底】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所暗示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部份,则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组暗示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫043．因此只有直线过AB 中点时,直线y＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252时,52＝k 2＋43,所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4,则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0的可行域．当k ＞0时,如图①所示,此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域,显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时,z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时,z ＝y －x 取得最小值－2,均不符合题意．当－1＜k ＜0时,如图②所示,此时可行域为点A (2,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0,C (0,2)所围成的三角形区域,当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0时,有最小值,即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【谜底】D11．(2014·高考安徽卷)x ,y满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最年夜值的最优解不惟一,则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部份所示,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B ＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最年夜值的最优解不惟一,只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ,解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0：y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2．【谜底】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4.下,当3≤s ≤5时,目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是( ) A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－s y ＝2s －4,则交点为B (4－s,2s －4),y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0),与y 轴的交点为C ′(0,4),x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0,s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件暗示的平面区域,即可行域,如图(1)(2)中阴影部份所示．(1) (2)当3≤s ＜4时,可行域是四边形OABC 及其内部,此时,7≤z max ＜8；当4≤s ≤5时,可行域是△OAC ′及其内部,此时,z max ＝8．综上所述,可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是[7,8]．【谜底】D13．(2015·通化一模)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x 3a ＋y 4a≤1若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32,则a 的值为________． 【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1,而y ＋1x ＋1暗示过点(x ,y )与(－1,－1)连线的斜率,易知a ＞0, ∴可作出可行域,由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14,即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14⇒a ＝1． 【谜底】1角度四：线性规划的实际应用14．A ,B 两种规格的产物需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才华成为制品．已知A 产物需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时；B 产物需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时．在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时．A 产物每件利润300元,B 产物每件利润400元,则这两台机器在一个工作日内缔造的最年夜利润是________元．【解析】 设生产A 产物x 件,B 产物y 件,则x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤11x ＋3y ≤9x ∈N y ∈N 生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域,如图中阴影部份(包括鸿沟)内的整点,显然z ＝300x ＋400y 在点A处取得最年夜值,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11x ＋3y ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝2则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最年夜利润是 1 700元．【谜底】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超越10小时．若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 暗示每天的利润w (元)；(2)怎样分配生产任务才华使每天的利润最年夜,最年夜利润是几多？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ,所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600100－x －y ≥0x ≥0y ≥0x y ∈N .整理得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＋3y ≤200x ＋y ≤100x ≥0y ≥0x y ∈N. 目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示： 初始直线l 0：2x ＋3y ＝0,平移初始直线经过点A 时,w 有最年夜值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200x ＋y ＝100得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50y ＝50.最优解为A (50,50),所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最年夜,最年夜利润为550元．一、选择题1．已知点(－3,－1)和点(4,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧,则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞,－7)∪(24,＋∞) D．(－∞,－24)∪(7,＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0,解得－7＜a ＜24．【谜底】B2．(2015·临沂检测)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3 【解析】作出不等式组⎩⎨⎧ x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3暗示的可行域(如图所示的△ABC 的鸿沟及内部)． 平移直线z ＝x －y ,易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时,目标函数z ＝x －y 取得最小值,即z min ＝－3．【谜底】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋|y|≤1x≥0则z ＝OA →·OP →的最年夜值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域,z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处z max ＝2．【谜底】D4．已知实数x ,y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0x<2x ＋y －1≥0则z ＝2x －2y －1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤535B ．[0,5] C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫535D ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535 【解析】画出不等式组所暗示的区域,如图阴影部份所示,作直线l ：2x －2y －1＝0,平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1,即z 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535．【谜底】D5．如果点(1,b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间,则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0,即⎝⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0,∴78＜b ＜2,∴b 应取的整数为1． 【谜底】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的极点A (1,1),B (1,3),极点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3,2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)【解析】如图,根据题意得C (1＋3,2)．作直线－x ＋y ＝0,并向左上或右下平移,过点B (1,3)和C (1＋3,2)时,z ＝－x ＋y 取范围的鸿沟值,即－(1＋3)＋2<z <－1＋3,∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3,2)．【谜底】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中,P 为不等式组⎩⎨⎧ y≤1x ＋y －2≥0x －y －1≤0所暗示的平面区域上一动点,则直线OP 斜率的最年夜值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1 【解析】作出可行域如图所示,当点P位于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2y ＝1的交点(1,1)时,(k OP )max ＝1．【谜底】D8．在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A ＝{(x ,y )|x ＋y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ＝{(x ＋y ,x －y )|(x ,y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎨⎧ x ＋y≤1x≥0y≥0所暗示的可行域如图所示,设a ＝x ＋y ,b ＝x －y ,则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1],b ＝x －y ∈[－1,1],又a ＋b ＝2x ∈[0,2],a －b ＝2y ∈[0,2],∴点坐标(x ＋y ,x －y ),即点(a ,b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a≤1－1≤b≤10≤a＋b≤20≤a－b≤2作出该不等式组所暗示的可行域如图所示,由图示可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S ＝12×2×1＝1．【谜底】B9．设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2≤0x －y≥0x≥0y≥0若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0,b ＞0)的最年夜值为4,则ab 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4,＋∞) D．(4,＋∞) 【解析】作出不等式组暗示的区域如图阴影部份所示,由图可知,z ＝ax ＋by (a >0,b >0)过点A (1,1)时取最年夜值,∴a ＋b ＝4,ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4,∵a ＞0,b ＞0,∴ab ∈(0,4]． 【谜底】B10．设动点P (x ,y )在区域Ω：⎩⎨⎧ x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部份为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最年夜值为( )A ．π B．2πC ．3π D．4π 【解析】作出不等式组所暗示的可行域如图中阴影部份所示, 则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最年夜值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π． 【谜底】D11．(2015·西南三校联考)变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧ y ≥－1x －y ≥23x ＋y ≤14若使z ＝ax ＋y 取得最年夜值的最优解有无穷多个,则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所暗示的平面区域,如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最年夜值的最优解有无穷多个,即－a ＝1或－a ＝－3,∴a ＝－1或a ＝3．【谜底】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥a x －y ≤－1且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝a x －y ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12代入x ＋ay ＝7中,解得a ＝3或－5,当a ＝－5时,z ＝x ＋ay 的最年夜值是7；当a ＝3时,z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域,然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时,作出不等式组暗示的可行域,如图(1)(阴影部份)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝－5得交点A (－3,－2),则目标函数z ＝x －5y过A 点时取得最年夜值．z max ＝－3－5×(－2)＝7,不满足题意,排除A,C 选项．当a ＝3时,作出不等式组暗示的可行域,如图(2)(阴影部份)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝3得交点B (1,2),则目标函数z ＝x ＋3y 过B点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7,满足题意．【谜底】B13．若a ≥0,b ≥0,且当⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1时,恒有ax ＋by ≤1,则由点P (a ,b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立,则当x ＝0时,by ≤1恒成立,可得y ≤1b(b ≠0)恒成立,所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ,b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形,面积为1．【谜底】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ,y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0x ＋m<0y －m>0暗示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－23D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－53【解析】当m ≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不成能存在点P (x 0,y 0)满足x 0－2y 0＝2,因此m ＜0．如图所示的阴影部份为不等式组暗示的平面区域．要使可行域内包括y ＝12x －1上的点,只需可行域鸿沟点(－m ,m )在直线y ＝12x －1的下方即可,即m ＜－12m －1,解得m ＜－23．【谜底】C15．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0暗示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3,＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点,所以1＜a ≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最年夜值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及鸿沟．∵圆C 与x 轴相切,∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时,a max ＝6．∴a 2＋b 2的最年夜值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中,若不等式组⎩⎨⎧y ≥0y ≤x y ≤kx －1－1暗示一个三角形区域,则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(1,＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1,－1),画出不等式组暗示的可行域示意图,如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时,暗示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞,－1),即实数k 的取值范围是(－∞,－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形,不服行时,由题意可得k ＞1时,也可形成三角形,综上可知k ＜－1或k ＞1．【谜底】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0|x|－y －1≤0则z ＝2x ＋y 的最年夜值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示,目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最年夜值,最年夜值为8．【谜底】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时,z ＝x －3y 的最年夜值为8,则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示,目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3,当直线过点C 时,z 取到最年夜值, 又C (m ,m ),所以8＝m －3m ,解得m ＝－4． 【谜底】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点,A ,B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0x ＋y －3≤0x －1≥0则tan ∠AOB 的最年夜值即是( )A ．94B ．47C ．34D ．12【解析】如图阴影部份为不等式组暗示的平面区域,观察图形可知当A 为(1,2),B 为(2,1)时,tan ∠AOB 取得最年夜值,此时由于tan α＝k BO ＝12,tan β＝k AO ＝2,故tan ∠AOB ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0暗示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组暗示的平面区域如图中阴影部份所示,可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【谜底】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域,如图,作直线x ＋y ＝0,向右上平移,过点B 时,x ＋y 取得最小值,过点A 时取得最年夜值．由B (1,0),A (2,1)得(x ＋y )min ＝1,(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【谜底】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1x ＋y －4≤0x －3y ＋4≤0则目标函数z ＝3x －y 的最年夜值为____．【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部份所示, ∵z ＝3x －y ,∴y ＝3x －z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最年夜值,即z max ＝3×2－2＝4．【谜底】424．已知实数x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0y≥－1则w ＝x 2＋y 2－4x－4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部份所示,由图可知,点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2＋2－1|2＝322,所以w min ＝92．【谜底】9225．在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所暗示的区域上一动点,则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部份为可行域,数形结合可知,原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值,∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【谜底】226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产物,已知生产每吨甲产物要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产物要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产物可获得利润5万元,销售每吨乙产物可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超越13吨,煤不超越18吨,则该企业可获得的最年夜利润是______万元．【解析】设生产甲产物x 吨,生产乙产物y 吨,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥03x ＋y≤132x ＋3y≤18利润z ＝5x ＋3y ,作出可行域如图中阴影部份所示,求出可行域鸿沟上各端点的坐标,经验证知当x ＝3,y ＝4,即生产甲产物3吨,乙产物4吨时可获得最年夜利润27万元．【谜底】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超越50亩,投入资金不超越54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表：)最年夜,则黄瓜的种植面积应为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤≤54x ≥0y ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤504x ＋3y ≤180x ≥0y ≥0.画出可行域,如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0,向上平移至过点A 时,z 取得最年夜值,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝504x ＋3y ＝180解得A (30,20)．【谜底】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎨⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2暗示的平面区域,则当a 从－2连续变动到1时,动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部份区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示,所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【谜底】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1时,1≤ax ＋y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示,设目标函数z ＝ax ＋y ,即y ＝－ax ＋z ,要使1≤z ≤4恒成立,则a >0,数形结合知,满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤41≤a ≤4即可,解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【谜底】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ,y )在正六边形的阴影部份(含鸿沟)内运动,如图,正六边形的边长为2,若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,结合图形分析可知,直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°,于是有－k ＝tan 120°＝－3,所以k ＝3．【谜底】331．设m ＞1,在约束条件⎩⎨⎧y ≥xy ≤mxx ＋y ≤1下,目标函数z ＝x ＋my 的最年夜值小于2,则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ,由于m >1,所以－1<－1m <0,不等式组暗示的平面区域如图中的阴影部份所示,根据目标函数的几何意义,只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最年夜时,目标函数取得最年夜值．显然在点A 处取得最年夜值,由y ＝mx ,x ＋y ＝1,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋m m 1＋m ,所以目标函数的最年夜值z max ＝11＋m ＋m21＋m <2,所以m 2－2m －1<0,解得1－2<m <1＋2,故m 的取值范围是(1,1＋2)．【谜底】(1,1＋2)32．已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2,－1],则目标函数的最年夜值的取值范围是________． 【解析】不等式组暗示的可行域如图中阴影部份(包括鸿沟)所示,目标函数可变形为y ＝x －z ,当z 最小时,直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最年夜．当z 的最小值为－1,即直线为y ＝x ＋1时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1可得此时点A 的坐标为(2,3),此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2,即直线为y ＝x ＋2时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2y ＝2x －1可得此时点A 的坐标是(3,5),此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最年夜值在点B (m －1,1)处取得,即z max＝m －1－1＝m －2,故目标函数的最年夜值的取值范围是[3,6]．【谜底】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧ x ＋4y ≥4x ＋y ≤4x ≥0.令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z ,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最年夜值或最小值的点},则T 中的点共确定________条分歧的直线．【解析】线性区域为图中阴影部份,取得最小值时点为(0,1),最年夜值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),点(0,1)与(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线,共有5条 ,又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)都在直线x ＋y ＝4上,故T 中的点共确定6条分歧的直线．【谜底】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ．若x ,y 满足不等式|x |＋|y |≤1,则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ,∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0,即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1暗示的区域为图中阴影部份,∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0,－1)时,z min ＝－3,当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时,z min ＝3．∴z ∈[－3,3]．【谜底】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ,y )使目标函数z ＝x ＋my取得最小值,则m ＝________．【解析】作出线性约束条件暗示的平面区域,如图中阴影部份所示．若m ＝0,则z ＝x ,目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个,不符合题意．若m ≠0,则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m的动直线y ＝－1m x ＋z m, 若m ＜0,则－1m＞0,由数形结合知,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不成能有无穷多个；若m ＞0,则－1m＜0,数形结合可知,当动直线与直线AB 重合时,有无穷多个点(x ,y )在线段AB 上,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值,即－1m＝－1,则m ＝1． 综上可知,m ＝1．【谜底】1。
线性规划问题
线性规划问题线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
早在20世纪40年代，线性规划就被广泛应用于军事、经济、运输等领域。
随着计算机技术的发展，线性规划在实际问题中的应用变得更加广泛。
线性规划问题由目标函数、约束条件以及决策变量组成。
目标函数是我们要最小化或最大化的数值量，约束条件是问题的限制条件，决策变量是我们需要确定的变量。
线性规划的数学模型可以表示为：最小化（或最大化）：C^T * X约束条件为：AX ≤ B, X ≥ 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧常数向量。
线性规划问题的求解方法主要有单纯形法和内点法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动基变量和非基变量来寻找最优解。
内点法则通过寻找内点来逼近最优解，相比于单纯形法，内点法在高维问题上更有优势。
线性规划问题的应用非常广泛。
例如，在生产计划中，我们需要考虑资源的有限性和生产过程中的约束条件，通过线性规划可以优化生产计划，使生产成本最低。
在供应链管理中，线性规划可用于优化货物的选择和运输方式，最大化利润。
在金融领域，线性规划可用于投资组合分配的优化，以达到风险最小化或收益最大化。
线性规划的应用也面临一些挑战。
首先，线性规划问题的求解可能非常耗时，特别是在高维情况下。
其次，线性规划的模型只适用于线性问题，无法处理非线性的问题。
最后，线性规划问题的结果可能依赖于输入参数的准确性，如果参数不准确，可能导致结果的偏差。
为了克服这些挑战，研究人员一直在不断改进线性规划算法。
一些改进包括使用启发式算法来加速求解过程，使用混合整数线性规划来处理离散决策变量，以及引入鲁棒线性规划来处理参数不确定性。
总之，线性规划是一种强大的数学工具，可以用于解决各种实际问题。
虽然线性规划问题存在一些挑战，但通过不断改进算法和方法，我们可以提高线性规划的求解效率和准确性，使其在实际应用中发挥更大的作用。
1.2线性规划求解方法法
止。
运筹学课件
线性规划
例 2.3.1 求解问题
算 例
min z x 2 2 x 3 x1 2 x 2 x 3 2 x 3x x 1 2 3 4 s.t. x2 x3 x5 2 x j 0; j 1,2,...,5
运筹学课件
注释
单纯形法的基本思路： 从可行域中某
一个顶点(即基本可行解)开始，判断此 顶点是否是最优解，如不是,则再找另一 个使得其目标函数值更优的顶点，称之 为迭代，再判断此点是否是最优解。直
单 纯 形 法
到找到一个顶点(基本可行解)为其最优
解，就是使得其目标函数值最优的解， 或者能判断出线性规划问题无最优解为
D {x Ax b, x 0}
是凸集
定理：任意多个凸集的交还是凸集
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运筹学课件
线性规划
问 题
1．可行域顶点的个数是否有限？ 2．最优解是否一定在可行域顶点上达到？ 3．如何找到顶点？ 4．如何从一个顶点转移到另一个顶点
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运筹学课定理 问题
基本 可行 解与 基本 定理
基本假设 凸集
可行域的凸性
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运筹学课件
考虑线性规划的标准形式
线性规划
min c x
基 本 假 设
Ax b s.t. x 0
其中 x, c R n , b R m , A R mn ，并且假定可行域
D {x R n Ax b, x 0} 不空，系数矩阵 A 是行
说 明
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灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后， 研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化时， 对最优解产生的影响。
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3. 若x,y满足
x y 1 x y 1 2 x y 2
且 z ax 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值 ， 则a 的取值范围是
A.(－1，2) C.(－4，0]
D
B.(－2，4) D.(－4，2)
几何概型：
1、 点A为圆周上一定点，在圆周上等 可能的取一点B与点A连接，所得弦长超 过半径的根号2的概率为是多少？ 2、在等腰直角三角形ABC中，在斜边 AB上任取一点M，使得AM<AC的概率 （改成在 三角形ABC的内部取一点M做 射线AM,使得AM<AC的概率为？）
含有参数的线性规 划问题求解
1.已知
，
满足约束条件，
若
1 A. 4
的最小值为1 ，则
1 B. 2 C.1
B
D.2
6.若实数
x, y 满足不等式组 ,
目标函数 t x 2 y 的最大值为2，则 实数 a 的值是(D ) A.-2 B.0 C.1 D.2
x 2 0 , y -1 0, x 2 y a 0,
2. 已知变量 x, y 满足约束条件 ，
x 2 y 3 0 x 3y 3 0 y 1 0 若目标函数 z y ax 仅在点(3, 0)处取到最 大值，则实数 a 的取值范围为
B
A.(3,5)
1 B.( , ) 2
C.( 1, 2)
1 D.( ,1) 3
表示的平面区域是一个三角形，则a 的 取值范围是 C
4 D.0 a 1或a 3
4 A.a 3 B.0 a 1 4 C.1 a 3
y x 7.设 m 1，在约束条件 y mx x y 1 下，目标函数 z x my 的最 大值小于2，则 m的取值范围 为( A )
3、公共汽车等候的时间5分钟一班，准 时到达车站，一人在该车站等车时间少于 3分钟的概率是多少？
4.若直线y=2x上存在点（x,y）满足约束条件
x y 3 0, x 2 y 3 0 xm
则实数m的最大值为 A.-1 B.1
B
3 C. 2
D.2
x y0 5.若不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
A.(1,1 2)
B.(1 2, )
C.(1,3)
D.(3, )