初三第一次模拟考试(数学)试卷
2024年中考数学第一次模拟试卷(南京卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试(南京卷)数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列运算正确的是()A ．235a b ab +=B ．623a a a ÷=C ．()326a a =D ．()222141a a +=+【答案】C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式计算即可．【详解】解：A ．2a 与3b 不是同类项，不可以合并，故错误；B ．624a a a ÷=，故原计算错误；C ．()326a a =，原计算正确；D ．()2221441a a a +=++，故原计算错误；故选：C ．2．下列各式中计算正确的是（）A 2(3)3-=-B 93=±C 33(3)3-=±D 3273=【答案】D【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可．【详解】解：A 2(3)33-=≠-，故该选项不符合题意；B 933=≠±，故该选项不符合题意；C 33(3)33-=-≠±，故该选项不符合题意；D 3273=，故该选项符合题意；故选：D ．3．若关于x 的一元一次不等式(2)2m x m -≥-的解为1x ≤，则m 的取值范围是（）A ．2m <B ．2m ≤C ．m>2D ．2m ≥【答案】A【分析】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质可知，两边同时除以2m -，不等式的符号发生改变，可知20m -<，求解即可．【详解】解： 关于x 的一元一次不等式(2)2m x m -≥-的解为1x ≤，20m ∴-<，2m <∴．故选：A ．4．若()11,x y ，()22,x y 这两个不同点在y 关于x 的一次函数()11y a x =+-图象上，当（）时，()()12120x x y y --<．A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >-【答案】C【分析】根据一次函数的性质知，当0k <时，判断出y 随x 的增大而减小．此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关键．【详解】解：∵()11,x y ，()22,x y 是一次函数()11y a x =+-图象上的两个不同点，且()()12120x x y y --<，∴12x x -与12y y -是异号，∴该函数y 随x 的增大而减小，∴10a +<，解得1a <-．故选：C ．5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（）A ．减少32米B ．增加32米C ．减少53米D ．增加53米【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点O 为光源，AB 表示小明的手，CD 表示小狗手影，则AB CD ，过点O 作OE AB ⊥，延长OE 交CD 于F ，则OF CD ⊥，∵AB CD ，∴AOB COD ∽，则AB OECD OF=，∵1EF =米，2OE =米，则3OF =米，∴23AB OE D OF C ==，设2AB k =，3CD k=∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，即2AB k =，6C D k ''=，1EF '=米，AO B C O D ''''△∽△∴13AB O E C D O F ''==''''，则2O F O E O E EF '''''''-==，∴12O E ''=米，∴光源与小明的距离变化为：13222OE O E ''-=-=米，6．如图，在ABC 中，,36AB AC B =∠=︒．分别以点,A C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE 分别交,AC BC 于点,F G ．以G 为圆心，GC 长为半径画弧，交BC 于点H ，连结,AG AH ．则下列说法错误的是（）A ．AG CG =B ．2B HAB ∠=∠C ．352CG AC -=D ．51AGB AGC S S +=△△【答案】C【分析】根据基本作图得到DE 垂直平分AC ，GH GC =，再根据线段垂直平分线的性质得到AF CF =，GF AC ⊥，GC GA =，于是可对A 选项进行判断；通过证明FG 为∆ACH 的中位线得到FG AH ∥，所以AH AC ⊥，则可计算出18HAB ∠=︒，则2B HAB ∠=∠，于是可对B 选项进行判断；通过证明CAG CBA ∆∆∽，利用相似比得到2CA CG CB =⋅，然后利用AB GB AC ==，设BC x =，AB GB AC a ＝＝＝，得2()a x a x =-，解之得512x -=，再计算出512CG AC -=512BG CG +=C 、D 选项进行判断．【详解】由作法得DE 垂直平分AC ，GH GC =，AF CF ∴=，GF AC ⊥，GC GA =，所以A 选项正确，不符合题意；CG GH = ，CF AF =，FG ∴为∆ACH 的中位线，FG AH ∴∥，AH AC ∴⊥，90CAH ∴∠=︒，AB AC = ，36C B ∴∠=∠=︒，180108BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒ ，10818HAB CAH ∴∠=︒-∠=︒，2B HAB ∴∠=∠，所以B 选项正确，不符合题意；∴36C GAC ∠=∠=︒，∴72BGA C GAC ∠=∠+∠=︒，∴18072BAG B BGA ∠=︒-∠-∠=︒，∴=BG BA ，∴AB GB AC ＝＝．GCA ACB ∠=∠ ，CAG B ∠=∠，CAG CBA ∴∆∆∽，::CG CA CA CB ∴=，2CA CG CB ∴=⋅，设BC x =，AB GB AC a ＝＝＝，得2()a x a x =-，解之得152x a =（负舍），∴152BC +=∴155122CG BC BG a +-=-=-=，51512CGACa--==故C 选项不正确，符合题意；512512BGCGa =-，∴512AGB AGC S BG S CG +==△△所以D 选项正确，不符合题意．故选：C ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．分式3121x x +-有意义，则x 的取值范围是．【答案】12x ≠【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．【详解】解：∵分式3121x x +-有意义，∴210x -≠，解得：12x ≠，故答案为：12x ≠．8．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超300000000000次，将数据300000000000用科学记数法表示为．【答案】11310⨯【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数即可求解，解题的关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：11300000000000310=⨯，故答案为：11310⨯．9．因式分解：22218x y -=．【答案】()()233x y x y +-【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【详解】解：22218x y -()2229x y =-()()233x y x y =+-，故答案为：()()233x y x y +-．10．已知2220x x --=，代数式()212019x -+=．【答案】2022【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握()2222a ab b a b ±+=±，把2220x x --=变形为：()213x -=，再代入代数式，即可．【详解】∵2220x x --=，∴222x x -=，∴2213x x -+=，∴()213x -=，∴()212019320192022x -+=+=．故答案为：2022．11．如图，在ABCD Y 中，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，CE 平分BCD ∠，交AD 于点E ，6AB =，9BC =，则EF 长为.【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出AF AB =是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等可得AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==；根据两直线平行，内错角相等可得AFB FBC ∠=∠；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得ABF FBC ∠=∠；推得ABF AFB ∠=∠，根据等角对等边可得6AF AB ==，6DE DC ==，即可列出等式，求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==，∵AD BC ∥，∴AFB FBC ∠=∠，∵BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，则ABF AFB ∠=∠，∴6AF AB ==，同理可证：6DE DC ==，∵2EF AF DE AD =+-=，即669EF +-=，解得：3EF =；故答案为：3．12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 都在反比例函数()0ky x x=>的图象上，延长AB 交y 轴于点C ，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，连接BD ．若2AB BC =，BCD △的面积是2，则k 的值为．【答案】4【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，过点B 作BE AD ⊥于E ，设k k A a B b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，先求出23AB AC =，证明ABE ACD ∽△△，得到23AE AB AD AC ==，即23a b a -=，由此可得3a b =；由BCD △的面积是2，2AB BC =，得到24ABD BCD S S ==△△，求出23k k kBE b a b=-=，则123423ABD k S AD BE b b=⋅=⨯⋅=△，即可得到4k =．【详解】解：如图所示，过点B 作BE AD ⊥于E ，设k k A a B b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，∵2AB BC =，∴23AB AC =，∵AD y ⊥，BE AD ⊥，∴BE CD ，∴ABE ACD ∽△△，∴23AE AB AD AC ==，即23a b a -=，∴3a b =；∵BCD △的面积是2，2AB BC =，∴24ABD BCD S S ==△△，∵233k k k k kBE b a b b b=-=-=，∴123423ABD k S AD BE b b=⋅=⨯⋅=△，∴4k =，故答案为：4．13．如图，四边形ABCO 是正方形，顶点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，若正方形ABCO 2，且边OC 与y 轴的负半轴的夹角为15︒，则a 的值是．【答案】3【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接OB ，过B 作BD y ⊥轴于D ，则45BOC ∠=︒，可得30BOD ∠=︒，再由直角三角形的性质可得,OD BD 的长，进而得到点(1,3B --，即可求解．【详解】解：如图，连接OB ，过B 作BD y ⊥轴于D ，则90BDO ∠=︒，由题意得：45BOC ∠=︒，∵15COD ∠=︒，∴451530BOD ∠=︒-︒=︒，∵正方形OABC 2∴222OB OA AB =+=，∴在Rt OBD △中，∴112BD OB ==，∴22213OD =-=∴点(1,3B -，代入()20y ax a =<中，得：3a =-∴故答案为：314．如图，在ABC 中，9043ACB AC BC ∠=︒==，，，将ABC 绕点B 旋转到DBE 的位置，其中点D 与点A 对应，点E 与点C 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么CBE ∠的正切值是．【答案】913【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作FG BD ⊥于点G ，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得1EF =，10BF =，解得95FG =，再利用由旋转的性质求得CBE FBG ∠=∠，据此求解即可．【详解】解：作FG BD ⊥于点G ，∵9043ACB AC BC ∠=︒==，，，∴22345AB =+=，由旋转的性质得，3BE =，5BD =，90BED ∠=︒，由题意得11433 4.522S EF =⨯⨯-⨯⨯=阴影，解得1EF =，∴2210BF BE EF =+=，∵14.52BFD S S BD FG ==⨯⨯=阴影△，解得95FG =，∴22135BG BF FG =-=，由旋转的性质得，CBA EBD ∠=∠，则CBE FBG ∠=∠，∴CBE ∠的正切值995tan 13135FG FBG BG =∠===，故答案为：913．15．如图，在平面直角坐标系中，Q 与y 轴相切于点A ，与x 轴交于点B 、C ，连接BQ 并延长交Q 于点D ，交y 轴于点E ，连接DA 并延长交x 轴于点F ，已知点D 的坐标为()1,6，则点B 的坐标为．【答案】()9,0【分析】作DG OE ⊥于点G ，连接QA ，BA ，利用切线性质推出QA OB ∥，推出DAQ DFB ∽得出AQ 为DFB △的中位线，进而推出()AAS AFO ADG ≌，得到FO DG =，AO AG =，根据D 的坐标得到1FO =，3AO =，利用圆周角定理的推论，推出AFO BAO ∽，得到AO FO BO AO=，即可求出B 坐标．【详解】解：如图，作DG OE ⊥于点G ，连接QA ，BA，Q 与y 轴相切于点A ，QA OE ∴⊥，BO OE ⊥ ，QA OB ∴∥，DAQ DFB ∴ ∽，DQ AQ DB FB∴=，12DQ BQ BD == ，12AQ FB ∴=即12AQ FB =，AQ ∴为DFB △的中位线，DA FA ∴=，FAO DAG ∠=∠ ，90AOF AGD ∠=∠=︒，()AAS AFO ADG ∴ ≌，FO DG ∴=，AO AG =，点D 的坐标为()1,6，1DG ∴=，6OG =，1FO ∴=，3AO =，BD Q 是直径，90FAB ∴∠=︒，FAO BAO ABO BAO ∠+∠=∠+∠ ，AOF ABO ∴∠=∠，90AOF AOB ∠=∠=︒ ，AFO BAO ∴ ∽，AO FO BO AO∴=，313BO ∴=，9BO ∴=，B ∴的坐标为()9,0，故答案为：()9,0．16．如图，把Rt OAB 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为()04，，点B 的坐标为()30，，点P 是Rt OAB 内切圆的圆心．将Rt OAB 沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，…，依此规律，第2023次滚动后，Rt OAB 内切圆的圆心2023P 的坐标是．【答案】()80931，【分析】作PD OA ⊥交OA 于D ，PF OB ⊥交OB 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，连接AP 、OP 、PB ，由A 、B 的坐标得出4OA =，3OB =，由勾股定理可得5AB =，再由内切圆的性质可得PD PE PF ==，设PD PE PF r ===，根据三角形的面积计算出1r =，从而得到()11P ，，根据旋转可得出2P 的坐标为：()35411++-，，即()111，，设1P 的横坐标为x ，根据切线长定理可得：331x -=-，即可得到2P 的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据202336741÷=⋯，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作PD OA ⊥交OA 于D ，PF OB ⊥交OB 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，连接AP 、OP 、PB ，，点A 的坐标为()04，，点B 的坐标为()30，，3OB ∴=，4OA =，2222435AB OA OB ∴+=+=，点P 是Rt OAB 内切圆的圆心，PD OA ⊥，PF OB ⊥，PE AB ⊥，PD PE PF ∴==，设PD PE PF r ===，1134622AOB S OA OB =⋅=⨯⨯= ，111222AOB APB AOP OPB S S S S AB PE OA PD OB PF =++=⋅+⋅+⋅ ，1115436222r r r ∴⨯+⨯+⨯=，解得：1r =，()11P ∴，，将Rt OAB 沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，∴由图可得2P 的坐标为：()35411++-，，即()111，，设1P 的横坐标为x ，根据切线长定理可得：331x -=-，解得：5x =，()151P ∴，，∴3P 的坐标为()35411+++，，即()131，，∴每滚动3次为一个循环，202336741÷=⋯ ，∴第2023次滚动后Rt OAB 内切圆的圆心2023P 的横坐标是：()67434558093⨯+++=，即2023P 的横坐标是8093，()202380931P ∴，，故答案为：()80931，．三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）已知210a a +-=，求代数式321121a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值．【详解】解：321121a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭()()()211111a a a a a a a -+=-+⨯--21a a =+，∵210a a +-=，∴21a a +=，∴原式111==．18．（7分）已知实数x ，y 满足43617x y x y -=⎧⎨+=⎩，求x y +的值．【详解】解：43617x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①6⨯+②得：24661817x y x y -++=+，解得75x =，将75x =代入①式，解得135y =，713455x y ∴+=+=．19．（8分）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【详解】（1）解答：解：(1）设第二批每个挂件进价是每个x 元，根据题意得33004000251.1x x=-解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，也符合题意，∴40x =，答：第二批每个挂件进价是每个40元；（2）设每个挂件售价定为m 元，每周可获得利润W 元，∵每周最多能卖90个，∴604010901m -+⨯≤，解得55m ≥，根据题意得()()260404010105214401m W m m -⎛⎫=-+⨯=--+ ⎪⎝⎭，∵100->，∴当52m ≥时，y 随x 的增大而减小，∵55m ≥，∴当55m =时，W 取最大，此时210555214401350W =-⨯-+=（）．∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．20．（8分）北京时间2023年10月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感．(1)小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）(2)小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率．【详解】（1）解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件，故答案为：不可能；（2）解：由题意可得，树状图如图所示，总共有16种情况，他们恰好选到同一本书的有4种，∴41164P ==．21．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书先去实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A ．民俗文化，B ．节日文化，C ．古曲诗词，D ．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能一个社团．学校随机对部分学生选择社团的情况进了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次随机调查的学生有名，在扇形统计图中“A ”部分圆心角的度数为；(2)通过计算补全条形统计图；(3)若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D ”社团的人数．【详解】（1）本次调查的总人数2440%60÷=（名），扇形统计图中，C 所对应的扇形的圆心角度数是63603660⨯=︒︒，故答案为：60，36︒；（2）606241812---=（人）；补全条形统计图如答案图所示．（3）18180054060⨯=（名）．答：全校1800名学生中，参加“D ”活动小组的学生约有540名．22．（8分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．(1)求证：ABE DFA △∽△；(2)若64AB BC ==，，求DF 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC BAD ∠=∠=︒，∵DF AE ⊥，∴90AFD EBA =︒=∠∠，∴90BAE FAD FAD FDA +=︒=+∠∠∠∠，∴BAE FDA ∠=∠，∴ABE DFA △∽△；（2）解：∵四边形四边形ABCD 是矩形，4BC =，∴4AD BC ==，∵E 是BC 的中点，∴122BE BC ==，∵6AB =，∴22210AE AB BE =+=∵ABE DFA △∽△，∴AB AE DF AD =，即62104DF =∴6105DF =23．（8分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为4米，与墙面AD 的夹角75.5BAD ∠=︒，靠墙端A 离地高AD 为3米，当太阳光线BC 与地面DE 的夹角为45︒时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin 75.50.97cos 75.50.25tan 75.5 3.87︒≈︒≈︒≈，，）【详解】解：如图所示，过点B 作BG AD ⊥于点G ，BF CE ⊥于点F ，则四边形DGBF 是矩形，∴BF DG BG DF ==，，在Rt ABG △中，75.5904m BAD AGB AB ∠=︒=︒=，∠，，∴cos 4cos75.5 1.0m AG AB BAG =⋅∠=⨯︒≈，sin 4sin 75.5 3.9m BG AB BAG =⋅=⨯︒≈∠，∴ 2.0m BF DG AD AG ==-=，在Rt BCF 中， 2.0 2.0m tan tan 45BF CF BCF ===︒∠，∴ 3.9 2.0 1.9m CD DF CF BG CF =-=-=-=，∴阴影CD 的长为1.9m ．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，点E 是OB 的中点，过E 作弦CD AB ⊥，连接AC ，AD ．(1)求证：ACD 是等边三角形；(2)若点F 是 AC 的中点，连接AF ，过点C 作CG AF ⊥，垂足为G ，若O 的半径为2，求线段CG 的长．【详解】（1）证明：如图，连接OC 、BC ,∵AB 是O 的直径，CD AB ⊥，∴AC AD = ,∴AC AD =,∵点E 是OB 的中点，CD AB ⊥，∴CD 是OB 的中垂线，∴OC BC =，∵OC OB =,∴OC OB BC ==，∴OBC 是等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴60ADC ABC ∠=∠=︒，∴ACD 是等边三角形；（2）解：如图，连接DF ，∵O 的半径为2，点E 是OB 的中点，∴3AE =，∵ACD 是等边三角形，CD AB ⊥，∴1122CE CD AC ==，在Rt ACE 中，3AE =，由勾股定理得：222AC CE AE -=，即22192AC AC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则23AC =∵点F 是AC 的中点，∴AF CF =，∴1302ADF CDF ADC ∠=∠=∠=︒，∴30CAG CDF ∠=∠=︒，∵CG AG ⊥，∴90G ∠=︒，∴132CG AC ==.25．（8分）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程()m s 与时间()s t 的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为()20s kt k =≠；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程()m s 与时间()s t 的函数表达式为()()2700s k t h k =-+≠．(1)求出启航阶段()m s 关于()s t 的函数表达式（写出自变量的取值范围），(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s ．①当90s t =时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，85.20s t ≤视为达标，请说明该龙舟队能否达标；(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s 将速度从5m/s 提高到5.25m/s ，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s ）．【详解】（1）把(20,50)A 代入2s kt =得50400k =，解得18k =，∴启航阶段总路程s 关于时间t 的函数表达式为21(020)8s t t =<≤；（2）①设5s t b =+，把(20,50)代入，得50520b =⨯+，解得50b =-，550s t ∴=-．当90t =时，45050400s =-=．∴当90t =时，龙舟划行的总路程为400m ．②500125375-=，把375s =代入550s t =-，得85t =．8585.20< ，∴该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知18k =，把(90,400)代入21(70)8s t h =-+，得350h =．∴函数表达式为21(70)3508s t =-+，把91t =代入21(70)3508s t =-+，解得405.125s =．(500405.125) 5.2518.07∴-÷≈，90118.07109.07∴++=．答：该龙舟队完成训练所需时间为109.07s ．26．（9分）如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，8AC =，4sin 5B =，点D 是斜边AB 的中点，点E 是边AC 的中点，连接CD ，点P 为线段CD 上一点，作点C 关于直线EP 对称点F ，连接EF PF 、，设DP 长为()0x x >．(1)AB 的长为．(2)求PF 长度（用含x 的代数式表示）．(3)当点F 落在直线CD 上时，求x 的值．(4)当直线PF 与ABC 的边BC 或AC 垂直时，直接写出x 的值．【详解】（1）解：∵在ABC 中，90BCA ∠=︒，8AC =，4sin 5B =，∴8104sin 5ACAB B ===，故答案为：10；（2）解：∵点D 是斜边AB 的中点，∴152CD AB ==，∵DP x =，∴5CP CD DP x =-=-，∴由轴对称的性质可得5PF CP x==-（3）解：如图，当点F 落在直线CD上时，∵点E 是边AC 的中点，∴142CE AC ==，∵D 为AB 的中点，∴12CD AD AB ==，∴A ECP ∠=∠，∴4cos cos 5ACA ECP AB ∠=∠==，由轴对称的性质可得CPE FPE =∠∠，∵180CPE FPE +=︒∠∠，∴90CPE FPE ==︒∠∠，∴在Rt CPE △中，4cos 5CPECP CE ∠==，∴5445x-=，解得95x =；（4）解：当PF AC ⊥时，延长FP 交CA 于点G，在Rt ABC △中，226BC AB AC =-=，∴3sin 5BCA AB ==，由轴对称的性质可得F PCE A PC PF ∠=∠=∠=，，4EC EF ==，∴43cos cos cos sin sin 55F PCG A PCG A ∠=∠=∠=∠=∠=，，∴35PGPC =，∴()33555PG PC x ==-∴()855FG PF PG x =+=-，∵在Rt EFG △中，3cos 5FGF EF ∠==，∴()854545x -=，解得3x =；当PF BC ⊥时，延长FP 交BC 于点M ，则MF AC ∥，∴CEN F ACD A MPC ∠=∠==∠=∠∠，∴sin sin MPC A ∠=∠，∴Rt MPC △中，3sin 5MC MPC CP ==∠∴()33555MC PC x ==-∵在Rt CEN △中，44cos 5CE CE CEN NE =∠==，∴5EN =，∴223CN EN CE =-=，∴365495MN CM CN x NF =+=-=+=，，在Rt MNF △中，3sin 5MN F NF ∠==，∴363595x -=，解得1x =．综上所述，x 的值为1或3．27．（9分）如图，直线32y x =与双曲线()0k y k x=≠交于A ，B 两点，点A 的坐标为(),3m -，点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC 并延长交x 轴于点D ，且2BC CD =．(1)求k 的值并直接写出点B 的坐标；(2)点G 是y 轴上的动点，连接GB ，GC ，求GB GC +的最小值；(3)点P 是直线AB 上一个动点，是否存在点P ，使得OBC △与PBD △相似，若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）将(),3A m -代入直线32y x =中，得332m -=，解得：2m =-，()2,3A ∴--，6(3)2k \--´==，∴反比例函数解析式为6y x =，由326y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=-⎩或23x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为()2,3；（2）如图，作BE x ⊥轴于点E ，CF x ⊥轴于点F ，则BE CF ∥，BE CF ∥，DCF DBE \ ∽，DCCF DFDB BE DE \==，2BC CD = ，13DCCFDFDB BE DE \===，∴3BE CF =，()2,3B ，3BE ∴=，1CF ∴=，∵点C 在反比例函数6y x =图象上，()6,1C ∴，作点B 关于y 轴的对称点B '，连接B C '交y 轴于点G ，则B C '即为BG GC +的最小值，()2,3B ¢-，()6,1C ，()()222631217B C ¢\=--+-=BG GC ∴+的最小值为217（3）根据点P 是直线AB ：32y x =的上一个动点，则设点3,2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵()6,1C ，()2,3B ，∴37OC =13OB =25CB =在（2）中有：13DCCFDFDB BE DE ===，∴3DE DF =，即2EF DE DF DF =-=，()2,3B ，()6,1C ，∴2OE =，6OF =，∴4EF OF OE =-=，∴2DF =，即8OD OF DF =+=，∴()8,0D ，当OBC PBD ∽时，如图，∴BOC BPD ∠=∠，∴OC PD ∥，∴2BOBCOP CD ==，∵13OB =∴132OP =，∵3,2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合图象有0x <，∴2231322OP x x x 骣琪=+=-琪桫，131322==1x -，此时点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当OBC DBP ∽时，如图，∴BOBCBD BP =，∵()8,0D ，()2,3B ，∴35BD =132535BP =，∴3013BP =，∵3,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,3B ，∴()222323213x x 骣骣琪琪-+-=琪琪桫桫，解得：18613x =，23413x =-，当8613x =时，点P 在点B 右侧，此时DBP 是钝角三角形，不可能与OBC △相似，故舍去；当23413x =-时，点3451,132P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；综上：满足条件的点P 的坐标为：3451,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭或者31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。
2024年中考数学第一次模拟试卷(无锡卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（无锡卷）数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：140分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列各组数中，互为相反数的组是()A ．2023-和2023-B ．2023和12023C ．2023-和2023D ．2023-和12023【答案】A【解析】解：A ．20232023-=和2023-互为相反数，故A 选项符合题意；B ．2023和12023互为倒数，故B 选项不符合题意；C ．20232023-=和2023不互为相反数，故C 选项不符合题意；D ．2023-和12023不互为相反数，故D 选项不符合题意；故选：A ．2．已知114A a =-+，下列结论正确的是（）A ．当5a =-时，A 的值是0B ．当4a >-时，A 的最小值为1C ．若A 的值等于1，则4a =-D ．若A 的值等于2，则5a =-【答案】D【解析】解：当5a =-时，1111254A =-=+=-+，A 选项错误；当4a >-时，40a +>，104a >+，104a -<+，1114a -<+，即A 的最小值小于1，B 选项错误；当1A =时，1114a =-+，解得4a =-，此时分式无意义，故不合题意，C 选项错误；当2A =时，1214a =-+，解得5a =-，D 选项正确，故选：D ．3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，1122,2∠=︒∠的度数为（）A ．32︒B ．58︒C ．68︒D ．78︒【答案】B【解析】解：如图，根据题意得：a b ，c d ∥，∴13180∠+∠=︒，32∠=∠，∵1122∠=︒，∴258∠=︒．故选：B ．4．下列计算错误的是（）A ．()21x x x x -=-B ．325x x x ×=C ．()236x x =D ．()2224a a -=-【答案】D【解析】解：A 中()21x x x x -=-，正确，故不符合要求；B 中325x x x ×=，正确，故不符合要求；C 中()236x x =，正确，故不符合要求；D()2222444a a a a -=-+≠-，错误，故符合要求；故选：D ．5．若点()()()112233A x y B x y C x y ，、，、，是反比例函数11y x=-图象上的点，且1230x x x <<<，则123y y y 、、的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．231y y y <<D ．312y y y <<【答案】D【解析】解：根据题意画出函数图象得，可知，312y y y <<．故选：D ．6．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（）A ．36048060x x =+B ．36048060x x =-C ．36048060x x =-D ．36048060x x=+【答案】B【解析】解：根据题意，得36048060x x=-．故选：B ．7．将抛物线()215y x =-+通过平移后，得到抛物线的解析式为223y x x =++，则平移的方向和距离是（）A ．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D【解析】解：抛物线()215y x =-+的顶点坐标为15（，），抛物线()222312y x x x =++=++的顶点坐标为()12-，，而点()15，向左平移2个，再向下平移3个单位可得到()12-，，所以抛物线()215y x =-+向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x 2+2x+3．故选：D ．8．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG ，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点.H 若AE =228AB =，时，则线段BH 的长为（）A 16105B 14105C ．5210+D ．610+【答案】A【解析】解：连结GE 交AD 于点N ，连结DE ，如图，正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒，AF ∴与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，2AE = 22AN GN ∴==，826DN ∴=-=，在Rt DNG 中，DG =22DN GN +2=10；由题意可得：ABE 相当于逆时针旋转90°得到AGD ，2DG BE ∴==10，DEG S = 12GE ND ⋅=12DG HE ⋅，HE ∴=10=6105BH BE HE ∴=+=6101021055+=故选：A ．9．如图，AB 是O 的一条弦，点C 是O 上一动点，且ACB θ∠=，点E ，F 分别是,AC BC 的中点，直线EF 与O 交于G ，H 两点，若O 的半径是r ，则GE FH +的最大值是（）A ．()2sin r θ-B ．()2sin r θ+C ．()2cos r θ-D ．()2cos r θ+【答案】A【解析】解：作直径AP ，连接BP ，90ABP ∴∠=︒，,2P C PA r θ∠=∠== ，sin sin AB P APθ∴∠==，2sin AB r θ∴=⋅，∵E ，F 分别是,AC BC 的中点，EF ∴是ABC 的中位线，1sin 2EF AB r θ∴==⋅，GE FH GH EF +=- ，∴当GH 长最大时，GE FH +有最大值，∴当GH 是圆直径时，GH 最大．∴GE FH +最大值是()2sin 2sin r r r θθ-=-．故选：A ．10．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以AE 为边向上作正方形AEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边AE 上取点M 使AM AD =，作MN AG ∥交CD 于点L ，交FG 于点N ，记AE a =，EM b =，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了()()22a b a b a b +-=-．现以BM 为直径作半圆O ，恰好经过点H ，交CD 另一点于P ，记HPB △的面积为1S ，DLF △的面积为2S ，若1b =，则12S S -的值为()A ．12B ．22C ．1D 2【答案】A【解析】解：依题意得：四边形AEFG AMLD ，均为为正方形，四边形AMNG MEFN MEHL MBCL EBCH ，，，，均为矩形，∵AE a EM b ==，，点E 为AB 的中点，∴EB AE CH a ===，AD AM DL EH BC a b =====-，DG LN HF ME HL b =====，ML EH BC ==，∴()211•22S DL HF a b b ==-，连接MH ，∵HC ME ∥，∴ MHBP =，∴MH BP =，在Rt MHL △和Rt BPC △中，ML BC MH BP=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL MHL BPC ≌△△，∴HL PC b ==，∴HP CH PC a b =-=-，∴()211122S HP BC a b =⨯=-，∵MB 为直径，∴90MHB ∠=︒，即90MHE BHE ∠+∠=︒，∵90MEH HEB ∠=∠=︒，∴90HME MHE ∠+∠=︒，∴HME BHE ∠=∠，∴HME BHE ∽，∴EH EB EM EH =：：，∴2EH BE EM =⨯，即：()2a b ab -=，∴()211122S a b ab =-=，∴()212111222S S ab a b b b -=--=，∵1b =，∴1212S S -=．故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．化学元素钉()Ru 是除铁()Fe 、钻()Co 和镍()NIi 以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钉()Ru 的原子半径约0.000 000 000 189m ．将0.000 000 000 189用科学记数法表示为．【答案】101.8910-⨯【解析】解：100.000 000 000 189 1.8910-=⨯，故答案为：101.8910-⨯12．若2a +与3b -互为相反数，则22a b =．2【解析】解：∵2a +与3b -互为相反数，∴230a b ++-=，即1a b +=，∴)2222a b a b =+=213．不等式组32122x x x x ≥-⎧⎪⎨+≥⎪⎩的解集是．【答案】113x -≤≤【解析】解：32122x x x x ≥-⎧⎪⎨+≥⎪⎩①②解不等式①得：1x ≥-解不等式②得：13x ≤，∴不等式组的解集为：113x -≤≤，故答案为：113x -≤≤．14．写出一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式：．【答案】2y x=（答案不唯一）【解析】解：设反比例函数解析式为k y x=，依题意，2k =∴一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式是：2y x=，故答案为：2y x=（答案不唯一）．15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是．【答案】3π根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【解析】解：如图：∵ABC 是正三角形，∴60BAC ∠=︒，∴ BC的长为：603180ππ⨯=，∴“莱洛三角形”的周长=33ππ⨯=．故答案为：3π．16．如图，已知平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接AE DE 、，若AD DE =，AE DC =，4BE =，tan 3B ∠=，则EC 的长为．【答案】6【解析】解：作,AF BE DG AE ⊥⊥，如图所示：∵,AE DC AB DC==∴,AB AE B AEB =∠=∠∵AD BC ∥∴AEB DAE ∠=∠∴B AEB DAE ∠=∠=∠∵4BE =∴2BF EF ==∵tan 3AFB BF∠==∴226,210AF AB AE AF BF ===+=∵AD DE =,DG AE ⊥∴10AG EG ==∵tan tan tan 3DAE AEB B ∠=∠=∠=∴22310,10DG AD DG AG ==+=∴10BC AD ==∵4BE =∴6EC BC BE =-=故答案为：617．我国魏晋时期的数学家刘徽(263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14π≈．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，⋯，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66P R =，计算632P πR ≈=；圆内接正十二边形的周长1224sin15P R =︒，计算12 3.102PπR≈=；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率π≈．（参考数据：sin150.258︒≈，sin 7.50.130)︒≈【答案】3.12【解析】解：圆内接正二十四边形的周长2448sin 7.5P R =⋅⋅︒，则48sin 7.5480.130 3.1222R R π⋅︒⨯≈≈≈，故答案为3.1218．如图，点A 是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．【答案】y=﹣8x ．【解析】解：如图，连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y=8x 的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA=OB ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC=OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE ，∵在△COD 和△OAE 中，CDO OEA DCO EOA CO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△OAE （AAS ），设A 点坐标为（a ，8a ），则OD=AE=8a ，CD=OE=a ，∴C 点坐标为（﹣8a，a ），∵﹣8a a ∙=﹣8，∴点C 在反比例函数y=﹣8x图象上．故答案为：y=﹣8x ．三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：()103127123π2-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）用配方法解方程：24210x x --=．【解析】（1）解：原式()23211=--+23211=+-+52=（2）解：24210x x --=2421x x -=244214x x -+=+()2225x -=25x ∴-=±17x ∴=，23x =-20．计算：(1)()()22a b b a b -+-；(2)21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭【解析】（1）解：()()22a b b a b -+-22222a ab b ab b =-++-2a =；（2）解：21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭()21212(2)x x x x ++=⨯++12x +=21．如图，在ABC 中，过A 点作AD BC ∥，交ABC ∠的平分线于点D ，点E 在BC 上，DE AB ∥．(1)求证：四边形ABED 是菱形；(2)当6BC =，4AB =时，求DF 的长．【解析】（1）证明：∵AD BC ∥，DE AB ∥，∴四边形ABED 是平行四边形，∵AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AD AB =，∴四边形ABED 是菱形；（2）解：∵四边形ABED 是菱形，4AB =，∴4DE BE AD AB ====，AD BC ∥，∴ADF CEF ∠=∠，∵AFD CFE ∠=∠，∴CEF ADF ∽△△，∴ADDFCE EF =，∵6BC =，∴2CE BC BE =-=，∴42DF EF=，∴2DF EF =，∴23DF DE =，∴83DF =．22．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同，(1)若将三类卡片各10张，共30张，正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张．请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率．【解析】（1）解；∵一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同，∴从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是101303=，故答案为：13．（2）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种，∴恰好摸到相同卡片的概率为3193=．23．某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①将样本数据分成5组：5060,6070,7080,8090,90100x x x x x ≤<≤<≤<≤<≤<，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；②在8090x ≤<这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)抽取的40名学生成绩的中位数是____________；(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多少人？【解析】（1）解：在7080x ≤<这组的人数为：404612108----=（人），补全频数分布直方图如下：（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，∵数据处于较小的三组中有46818++=（个）数据，∴中位数应是8090x ≤<这一组第2，3个数据的平均数，∴中位数为：8183822+=（分），故答案为：82分；（3）∵样本中优秀的百分比为：1210100%55%40+⨯=，∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%500275⨯=（人），答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．24．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．(1)经过点A 、B 、D 三点作O ；(2)O 是否经过点C ？请说明理由．【解析】（1）解：如图所示，O 即为所求；（2）O 经过点C ，理由如下：连接OC ，∵90BCD ∠=︒，点O 为BD 的中点，∴12CO BC OD OB ===，∴点C 在O 上．25．最佳视点如图1，设墙壁上的展品最高处点P 距底面a 米，最低处的点Q 距底面b 米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF 上求使视角最大的点．如图2，当过P Q E ，，三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角PEQ ∠最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，…任务一：请按照小明的思路，说明在点E 时视角最大；任务二：若3 1.8a b ==，，观察者的眼睛距地面的距离为1.5米，最大视角为30︒，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到0.013 1.73≈)．【解析】任务一：过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，∵PFQ ∠是QFE ' 的外角，∴PFQ PE Q '∠>∠，又∵PFQ ∠与PEQ ∠都是弧PQ 所对的圆周角，∴PFQ PEQ ∠=∠，∴PEQ PE Q '∠>∠，∴在点E 时视角最大．任务二：∵30PEQ ∠=︒，∴60POQ ∠=︒，又∵OP OQ =，∴OPQ △是等边三角形，OP OQ PQ ==．如图2，连接OE ，∵HE 是O 的切线，∴90OEH ∠=︒，∵90PHE ∠=︒，∴180OEH PHE ∠+∠=︒，∴//PQ OE ，又∵PQ OP OE ==，∴四边形PQOE 是平行四边形，∴30OPE PEQ ∠=∠=︒，∴603030EPH OPQ OPE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．由题意得，3 1.5 1.5PH =-=(米)，在Rt PHE △中，3•tan 1.50.873HE PH EPH =∠=⨯(米)．答：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想．26．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB 、CD 之间悬挂一条近似抛物线2435y ax x =-+的彩带，如图2所示，已知墙AB 与CD 等高，且AB 、CD 之间的水平距离BD 为8米．(1)如图2，两墙AB ，CD 的高度是米，抛物线的顶点坐标为；(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M 处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M 到墙AB 距离为3米，使抛物线1F 的最低点距墙AB 的距离为2米，离地面2米，求点M 到地面的距离；(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M 到地面的距离提升为3米，通过适当调整M 的位置，使抛物线2F 对应的二次函数的二次项系数始终为15，若设点M 距墙AB 的距离为m 米，抛物线2F 的最低点到地面的距离为n 米，探究n 与m 的关系式，当924n ≤≤时，求m 的取值范围．【解析】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为4x =，则45422b x a a==-=-，解得：0.1a =；∴抛物线的表达式为0.10.83y x x =-+，则点(0,3)A ，即3AB CD ==（米)，当4x =时，0.10.83 1.4y x x =-+=，即顶点坐标为(4,1.4)，故答案为：3，(4,1.4)；（2）解：设抛物线的表达式为2(2)2y a x ='-+，将点A 的坐标代入上式得23(02)2a ='-+，解得14a '=，∴抛物线的表达式为21(2)24y x =-+，当3x =时，21(2)2 2.254y x =-+=（米)，∴点M 到地面的距离为2.25米；（3）解：由题意知，点M 、C 纵坐标均为4，则右侧抛物线关于M 、C 对称，∴抛物线的顶点的横坐标为11(8)422m m +=+，则抛物线的表达式为211(4)52y x m n =--+，将点C 的坐标代入上式得2113(84)52m n =--+，整理得21412055n m m =-+-；当2n =时，即214122055m m =-+-，解得85m =-；当9n 4=时，同理可得86m =故m 的取值范围为：8685m ≤≤27．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．(1)如图1，将ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 落在BC 边上的D 处，再将纸片分别沿EF ，HG 折叠，使点B 和点C 都与点D 重合，得到双层四边形EFGH ，则双层四边形EFGH 为______形．(2)ABCD Y 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形EFGH 为矩形，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图3，四边形ABCD 纸片满足AD BC ∥，AD BC <，AB BC ⊥，8AB =，10CD =．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时BC 的长．【解析】（1）双层四边形EFGH 为矩形，理由如下：由折叠的性质可得AEH HED ∠=∠，BEF DEF ∠=∠，180AEH HED BEF DEF ∠+∠+∠+∠=︒ ，90HED DEF ∴∠+∠=︒，90HEF ∴∠=︒，同理可得90EHG EFD ∠=∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形，故答案为：矩；（2） 四边形EFGH 为矩形，90FEH ∴∠=︒，EH FG =，EH FG ∥，222251213FH EF EH ∴=+=+=，EHM GFN ∠=∠，又ABCD 为平行四边形，A C ∴∠=∠，AD BC =，由折叠得A EMH ∠=∠，C GNF ∠=∠，EMH GNF ∴∠=∠，在EHM 与GFN 中，EH FGEHM GFN EMH GNF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)EHM GFN ∴ ≌，MH NF ∴=，由折叠得AH MH =，CF FN =，AH CF ∴=，又AD BC = ，DH BF FM ∴==，又AD AH DH =+ ，HF MH MF =+，13AD HF ∴==．（3）有以下三种基本折法：折法1中，如图所示：由折叠的性质得：AD BG =，142AE BE AB ===，152CF DF CD ===，GM CM =，90FMC ∠=︒， 四边形EFMB 是叠合正方形，4BM FM ∴==，2225163GM CM CF FM ∴=-=-=，1AD BG BM GM ∴==-=，7BC BM CM =+=；折法2中，如图所示：由折叠的性质得：四边形EMHG 的面积12=梯形ABCD 的面积，142AE BE AB ===，DG NG =，NH CH =，BM FM =，MN MC =，125GH CD ∴==， 四边形EMHG 是叠合正方形，5EM GH ∴==，正方形EMHG 的面积2525==，90B ∠=︒ ，2225163FM BM EM BE ∴=-=-=，设AD x =，则3MN FM FN x =+=+，梯形ABCD 的面积1()82252AD BC =+⨯=⨯，252AD BC ∴+=，252BC x ∴=-，2532MC BC BM x ∴=-=--，MN MC = ，25332x x ∴+=--，解得：134x =，134AD ∴=，251337244BC =-=．折法3中，如图所示，作GM BC ⊥于M ，则E ，G 分别为AB ，CD 的中点，则4AH AE BE BF ====，152CG CD ==，正方形的边长42EF GF ==4GM FM ==，2225163CM CG GM --=，11BC BF FM CM ∴=++=．综上所述：7BC =或11或374．28．如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且1OA =，4OB OC ==．(1)求抛物线的解析式；(2)若连接AC 、BC ．动点D 从点A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位长度向点B 做匀速运动；同时，动点E 从点B 出发，在线段BC 2个单位长度向点C 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE ，设运动时间为t 秒．在D 、E 运动的过程中，当t 为何值时，四边形ADEC 的面积最小，最小值为多少？(3)点M 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点N 在x 轴上，是否存在以点M 为直角顶点的等腰直角三角形CMN ？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：∵4OB OC ==，1OA =，则()0,4C ，()4,0B ，()0,1A -∴抛物线解析式为2(1)(4)34y x x x x =-+-=-++；（2）解：∵4OB OC ==，∴OBC △是等腰直角三角形，由点的运动可知：2BE t =，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ，∴22tBE BF t t ==，又∵()0,1A -，则5AB =，∴ADEC ABC BDES S S =- 1145(5)22t t=⨯⨯-⨯-⨯21555(228t =-+，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，∴224442AC =+=5AB =，∴04t ≤≤，当52t =时，四边形ADEC 的面积最小，即为558；（3）解：存在，(15,15)M +或(222,222)M -，当点M 在CN 的右侧时，如图所示，过点M 作y 轴的平行线PQ ，交x 轴于点Q ，过点C 作CP PQ ⊥，∵CMN 是以M 为直角为直角顶点的等腰直角三角形，∴CM MN =，90CMN ∠=︒，∴90PCM PMC NMQ ∠=︒-∠=∠，又90CPM MQN ∠=∠=︒∴CPM MQN ≌，∴CP MQ =，设2(,34)M m m m -++，∴234m m m -++=，解得：51m =或15m =∴(15,15)M ；当点M 在CN 的右侧时，同理可得234m m m -++=-，解得：222m =-22m =（舍去）∴(222,222)M -，综上所述，(15,15)M 或(22,22)M -．。
【九年级】中考数学第一次模拟考试题(附答案)
【九年级】中考数学第一次模拟考试题（附答案）卷ⅰ（，共24分）一、（本大题共12个小题；每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上）1．的绝对值就是()a．4b．c．d．2．以下运算中恰当的就是（）a．b．c．d．3．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．若∠1=20°，那么∠3的度数是（）a．25°b．30°c．60°d．65°4．不等式3x+1≥2x的解集在数轴上表示为（）5．未知四边形中，，如果嵌入一个条件，即可面世该四边形就是正方形，那么这个条件可以就是（）a．b．c．d．6．例如图，未知⊙o的直径ab⊥弦cd于点e．以下结论一定恰当的就是（）a．ae＝oeb．ce＝dec．oe＝12ced．∠aoc＝60°7．某人沿着存有一定坡度的坡面跑了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米，则他水平行进的距离为（）米．a．5 b．6 c．8 d．108．种饮料比种饮料单价太少1元，小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花掉了13元，如果设种饮料单价为元/瓶，那么下面所列方程恰当的就是（）a．b．c．d．9．如图，是一种古代计时器――“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用表示时间，表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内与的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（）abcd10．如图所示，半圆ab平移到半圆cd的位置时所扫过的面积为（）a.3b.3＋c.6d.6+11．未知抛物线的开口向上,顶点座标为（2，-3）,那么该抛物线有（）a.最小值-3b.最大值-3c.最小值2d.最大值212．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（，n），规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（）a．（3，2）b．（3，-2）c．（-3，2）d．（-3，-2）卷ii（非选择题，共96分）请把答案写在答题纸上二、题（本大题共6个小题；每小题3分后，共18分后）13．计算：=；14．例如图，若a就是实数a在数轴上对应的点，则关于a，-a，1的大小关系是．15．学校精心安排三辆车，非政府九年级学生团员回去敬老院看望老人，其中小王与小菲都可以从这三辆车中自由选择一辆乘坐，则小王与小菲同车的概率为__________．16．如果，那么代数式的值是。
初三模拟试卷一数学
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，是负数的是（）A. -2B. 0C. 2D. -0.52. 若a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a - b > 0B. a + b > 0C. a - b < 0D. a + b < 03. 已知函数y = 2x - 1，当x = 3时，y的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 下列各式中，能被3整除的是（）A. 24B. 25C. 26D. 275. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （-2，3）D. （2，-3）6. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 三角形D. 梯形7. 若一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则这个三角形的面积是（）A. 24cm²B. 28cm²C. 32cm²D. 36cm²8. 下列各式中，表示圆的周长的式子是（）A. S = πr²B. C = πdC. A = πr²D. V = πr³9. 若a² + b² = 100，a - b = 6，则ab的值为（）A. 14B. 16C. 18D. 2010. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x + 1B. y = 2xC. y = x²D. y = k/x（k≠0）二、填空题（每题4分，共40分）11. 若a = -3，则a² - 2a + 1的值为__________。
12. 已知x + y = 5，xy = 6，则x² + y²的值为__________。
13. 在直角坐标系中，点A（2，3）到原点O的距离是__________。
14. 一个长方体的长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm，则它的体积是__________cm³。
2024-2025学年初中九年级数学上册第一次月考模拟卷含答案解析
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b23．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：35．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．729．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于．15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；a与2a2不能合并，故B错误，不符合题意；（﹣3ab）2•2ab2＝18a3b4，故C错误，不符合题意；6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2，故D正确，符合题意；故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝．故选：B．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，故选：D．5．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分【解答】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故本选项命题不一定是真命题，符合题意；B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意；D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意；故选：A．6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．故选：D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间【解答】解：∵25＜31＜36，∴5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故选：A．8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．72【解答】解：观察图形发现第一个图形有8个正方形，第二个图形有8+7＝15个正方形，第三个图形有8+7×2＝22个正方形，…第n个图形有8+7（n﹣1）＝7n+1个正方形，当n＝9时，7n+1＝7×9+1＝64个正方形．故选：C．9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90°，∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，∵∠DTE＝∠FTA，∴∠1＝∠2，在△DME和△FNE中，，∴△DME≌△FNE（AAS），∴EM＝EN，∴矩形AMEN为正方形，∴AE平分∠DAN，∴∠EAD＝45°，∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，∴∠1＝∠2＝45°﹣α，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．故选：D．10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①﹣d“闪减操作”后的式子|a+b﹣c|﹣|﹣e|，﹣c﹣d“闪减操作”后的式子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差，得（|a+b﹣c|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e）＝|a+b﹣c|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e|＝|a+b﹣c|﹣|a+b|，结果不含与e相关的项，∴①正确；②若每种操作只闪退一项，则分三种情况：+b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a+c+d+e，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a﹣c﹣d﹣e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a+c+d+e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a﹣c﹣d﹣e，﹣c“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣d﹣e|，当a+b≥0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b+d+e，当a+b≥0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b﹣d﹣e，当a+b≤0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝﹣a﹣b+d+e，当a+b≤0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|﹣a﹣b﹣d﹣e，﹣d“闪减操作”后的结果|a+b﹣c|﹣|﹣e|，当a+b﹣d≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c+e，当a+b﹣d≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c﹣e，当a+b﹣d≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c+e，当a+b﹣d≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c﹣e，共有12种不同的结果，∴②错误；③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点b与0和﹣2的距离之和，∴当距离取最小值0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2，同理|﹣c+1|+|﹣c+4|＝|1﹣c|+|4﹣c|，在数轴上表示点c与1和4的距离之和，∴当距离取最小值4﹣1＝3时，c的最小值为1，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|＝|1﹣d|+|﹣6﹣d|，在数轴上表示点d与1和﹣6的距离之和，∴当距离取最小值1﹣（﹣6）＝7时，d的最小值为﹣6，∴当|+b|+|+b+2|，|﹣c+1|+|﹣c+4|，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|都取最小值时，（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝2×3×7＝42，∴③正确，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是30° ．【解答】解：∵∠A是锐角，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为142° ．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，∴∠ADP＝∠1＝38°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠BPD+∠ADP＝180°，∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°．故答案为：142°．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于5．【解答】解：根据题意得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，所以3a2+2b2﹣3a﹣2b＝3a2﹣3a+2b2﹣2b＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）＝3+2＝5．故填515．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝8．【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵BA⊥OB于点B，∴∠ABD＝90°．∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，），∴OD＝1，B′D＝，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，∴A（4，2），∴k＝4×2＝8．故答案为：8．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为8．【解答】解：，解得：，∵不等式组有且只有2个整数解，∴，解得2＜a≤5.5，解分式方程得y＝2a﹣5，∵y的值解为正数，∵2a﹣5＞0，且2a﹣5≠3，∵a＞2.5且a≠4，∴满足条件的整数a的值有3和5，∴3+5＝8．故答案为：8．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质可得AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，，∴，∴CF＝BC﹣BF＝4，在Rt△ABF，由勾股定理得，∴，∵∠BAF+∠BF A＝90°＝∠BF A+∠CFE，∴∠BAF＝∠CFE，∴在Rt△EFC中，，∴，故答案为：3．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝5；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是2222．【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1．M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b．＝，＝，＝10（a﹣c）+b﹣d＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1，＝11（a﹣c）﹣1，∵F（M）能被6整除，∴a﹣c＝5．∵c≥1，∴a≥6．当a＝6时，c＝1．∵a﹣c＝b﹣d+1，∴d＝b﹣4．∴，∵G（M）为完全平方数，∴b＝3．∴d＝﹣1（舍去）．同理，当a＝7时，c＝2，M＝7420；当a＝8时，c＝3，M＝8531；当a＝9时，c＝4，M＝9642；∴满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差＝9642﹣7420＝2222．故答案为：5；2222．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．【解答】解：（1）9（x+y）2﹣25（x﹣y）2＝（3x+3y+5x﹣5y）（3x+3y﹣5x+5y）＝﹣4（4x﹣y）（x﹣4y）；（2）＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，移项得x2﹣2x＝2，配方得x2﹣2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，开方得，解得；；（2），去分母，得m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，经检验，m＝1是原方程的根．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．【解答】（1）解：如图所示．.（2）证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．故答案为：DF＝CF；∠AFD＝∠MFC；；等于两底边之和的一半．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝14，经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×14＝21（元）．答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；（2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）．根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340，整理得：m2+13m﹣30＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y1＝＝4x，当3＜x≤5时，y1＝﹣×6×（2x﹣6）﹣＝﹣4x+24，∴y1＝；（2）函数y1，y2的图象如图：函数y1的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随x的增大而减小；（3）由两个函数图像可知，当y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤2.1或x＝5．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，∵EH∥DG∥AB，∴GK⊥FN，∴四边形MNKC是矩形，∴NK＝CM，∵△ABC的面积＝AB•CM＝AC•BC，∴90CM＝72×54，∴CM＝43.2（cm），∴NK＝CM＝43.2（cm），∵EH∥DG，∴∠FGK＝∠EHG＝60°，∴sin∠FGK＝sin60°＝＝，∵FG＝80cm，∴FK＝40≈69.28（cm），∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．【解答】解：（1）根据题意可知点A（m，﹣3）在直线和双曲线的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），代入双曲线得：k＝（﹣2）×（﹣3）＝6，由图象可知点B与点A关于原点对称，∴B（2，3）；（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单位记为B''，连接B''C，则BE∥CF，B'B''＝1，∴△DCF∽△DBE，∴，∵BC＝2CD，B（2，3），B'（﹣2，3），B''（﹣2，2），∴，BE＝3，∴CF＝1，即点C的纵坐标为1，∵点C在反比例函数的图象上，∴C（6，1），B''C＝，∴MB+MN+NC的最小值即为B'B''+B''C＝1+；（3）当∠ODP＝∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由（2）可知：B（2，3），C（6，1），∴解得，∴，当y＝0时，，解得x＝8，∴D（8，0），∵DP∥AB，直线AB的解析式为，∴设直线DE的解析式为，把D（8，0）代入得：12+m＝0，∴m＝﹣12，∴，由P是直线DE与反比例函数的交点可得：，解得，此时点P在第三象限，符合题意，当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，可得直线DP的解析式为：，再解方程组得，此时点P在第一象限，两个都符合题意，∴点P的横坐标为：．．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∴AD＝2AE＝4，∴AB＝2AD＝8，BD＝AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，过E作EF⊥BC于F，如图1，∴EF＝BE＝3，BF＝BE＝3，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴CF＝2BD﹣BF＝8﹣3＝5，∴CE＝＝2，（2）证明：∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠BAC＝120°，又∵∠GAH＝120°，∴∠F AB＝∠CAH，∵AH＝AG，∴∠AHG＝30°＝∠ABC，∴∠ABF＝∠AHC，∴△ABF∽△AHC，∴＝，∵PH∥FG，∴△CHP∽△CGF，∴＝，又∵△ABC∽△AGH，∴＝，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝＝+1＝+1＝，∴CP＝FB；（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NE＝BN，连接BE，如图3：∵∠BAN﹣∠CBN＝30°，∴∠BAN＝∠CBN+30°，∴∠BNE＝∠BAN+∠ABN＝∠CBN+∠ABN+30°＝60°，∵NE＝BN，∴△BEN是等边三角形，∴∠E＝60°，∵∠ANB＝180°﹣∠BNE＝120°＝∠BAC，∴△ABN∽△FBA，∴＝＝，∠BAE＝∠AFB，∴△ANF∽△BEA，∴＝＝，∴FN＝＝＝，∴BF＝FN+BN＝，∴AB2＝BN•BF＝5+，过F作FG⊥BC于F，过N作NH⊥BC于H，∵∠ACB＝30°，∴FG＝FC＝（AB﹣AF）＝AB，CG＝AB，∴BG＝BC﹣CG＝AB﹣AB＝AB，∵NH∥CF，∴＝＝＝，∴NH＝AB，BH＝AB，∴CH＝BC﹣BH＝AB，∴CN2＝CH2+NH2＝9，∴CN＝3．。
2023年广东省深圳市南山区九年级下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案解析)
2023年广东省深圳市南山区九年级下学期第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2023-的相反数是（）A ．2023B ．2023-C ．12023D ．12023-2．下列图形不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．疫情以后，为了保证大家的健康，学校对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.5，36.3，36.7，36.3．这组数据的中位数是（）A ．36.3B ．36.5C ．36.7D ．36.84．今年1月，深圳召开全市高质量发展大会，同时举行首批266个重大项目开工活动，预计本年度计划投资约535.6亿元，以高质量投资助力高质量发展．535.6亿用科学计数法表示（）A ．25.35610⨯B ．85.35610⨯C ．95.35610⨯D ．105.35610⨯5．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（）A ．三角形B ．正方形C ．六边形D ．七边形6．下列运算正确的是（）A ．2a a a -=B ．236a a a ⋅=C ．236()a a =D ．933a a a ÷=7．一副三角形板如图放置，DE BC ∥，90C DBE ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30A ∠=︒，则ABD ∠的度数为（）A ．5B ．15C ．20D ．258．如图，已知150AOB ∠=︒．现按如下步骤作图：①以O 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA OB ，于C ，D ；②分别以C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接EO 交 CD于F ；③以E 为圆心，OD 长为半径画弧，交OE 于点G ；④以G 为圆心，DF 长为半径画弧，交前弧于点H ；⑤作射线EH 交OA 于点I ．若测得6OI =，则点E 到OB 的距离为（）AB ．3C ．D ．9．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2124x x x+=-+的根的情况是（）A ．有三个实数根B ．有两个实数根C ．有一个实数根D ．无实数根10．如图，在边长为4正方形ABCD 中，点E 在以B 为圆心的弧AC 上，射线DE 交AB 于F ，连接CE ，若CE DF ⊥，则DE =（）A ．2B C D二、填空题11．按照下图所示的操作步骤，若输入x 的值为－2，则输出的值为____________．12．一个二次二项式分解后其中的一个因式为3x -，请写出一个满足条件的二次二项式______．13．如图，AC 经过⊙O 的圆心O ，AB 与⊙O 相切于点B ，若∠A ＝50°，则∠C ＝_____度．14．如图，直角坐标系原点为Rt ABC △斜边的中点，90ACB ∠=︒，A 点坐标为()5,0-，且1tan 3A =，反比例函数()0k y k x=≠经过点C ，则k 的值为______．15．如图，等边三角形ABC 边长为2，点D 在BC 边上，且BD CD ＜，点E 在AB 边上且AE BD =，连接AD ，CE 交于点F ，在线段FC 上截取FG FA =，连接BG ，则线段BG 的最小值是______．三、解答题16．解不等式组21141x x -<⎧⎨-≥⎩，并把解集在数轴上表示出来．17．（1）直接写出结果计算：()()12x x +-=．（2）利用（1）中的结论化简322322121x x x x x x x x ----÷++．18．为调查某校关于国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h ”的落实情况，某部门就“每天在校体育活动时间”随机调查了该校部分学生，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．每天在校体育活动时间扇形统计图：每天在校体育活动时间频数分布表：组别每天在校体育活动时间t /h 人数At ＜0．5h 20B0．5h ≤t ＜1h 40C1h ≤t ＜1．5h a D t ≥1．5h 20请根据以上图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生共有_________人，a ＝__________，C 组所在扇形的圆心角的大小是___________；(2)若该校约有1500名学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数．19．“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A 型护眼灯的数量和用4200元购进B 型护眼灯的数量相同，其中每台A 型护眼灯比B 型护眼灯便宜9元．(1)求该商场购进每台A 型和B 型护眼灯的成本价．(2)该商场经过调查发现，A 型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A 型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？20．(1)如图1，纸片ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，沿AE 剪下ABE ，将它平移至DCE ' 的位置，拼成四边形AEE D '，则四边形AEE D '的形状为．（从以下选项中选取）A ．正方形B ．菱形C ．矩形(2)如图2，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '上取一点F ，使8EF ＝，剪下AEF △，将它平移至DE F ''△的位置，拼成四边形AFF D '．①求证：四边形AFF D '是菱形；②连接DF ，求sin ADF ∠的值．21．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．图1备用图(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，D 是BC 上方抛物线上一点，连接AD 交线段BC 于点E ，若2AE DE =，求点D 的坐标；(3)抛物线上是否存在点P 使得PAB ABC ∠=∠，如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．22．在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点（与点A ，C 不重合），连接BE ．(1)将射线BE 绕点B 顺时针旋转45︒，交直线AC 于点F ．①依题意补全图1；②小深通过观察、实验，发现线段AE FC EF ，，存在以下数量关系：AE FC 与的平方和等于EF 的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF 绕点B 逆时针旋转90︒，得到线段BM ，要证AE FC EF ，，的关系，只需证AE AM EM ，，的关系．想法2：将ABE 沿BE 翻折，得到NBE ，要证AE FC EF ，，的关系，只需证EN FN EF ，，的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE FC EF ，，的数量关系并证明；（一种方法即可）(2)如图2，若将直线BE 绕点B 顺时针旋转135︒，交直线AC 于点F ．若正方形边长为2，:2:3AE EC =，求AF 的长．参考答案：1．A【分析】根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，直接得出答案．【详解】根据相反数定义，2023-的相反数是2023，故选：A ．【点睛】本题考查相反数定义，熟记符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2．A【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项符合题意；B 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．3．B【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．【详解】将这组数据从小到大重新排列为36.3，36.3，36.3，36.5，36.5，36.7，36.8∴这组数据的中位数为36.5，故选：B ．【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．4．D【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数．【详解】解：535.6亿10=53560000000 5.35610=⨯．故选：D ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．5．D【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案；【详解】解：∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，故选D ．【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线．6．C【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方计算，再进行判断即可．【详解】解：A.2a 与a 不是同类项不能合并，该选项不符合题意；B.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C.236()a a =，故该选项正确，符合题意；D.936a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．B【分析】根据90C DBE ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30A ∠=︒可得45EDB ∠=︒，60ABC ∠=︒，结合DE BC ∥，即可得到45EDB DBC ∠=∠=︒，即可得到答案；【详解】解：∵90C DBE ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30A ∠=︒，∴45EDB ∠=︒，60ABC ∠=︒，∵DE BC ∥，∴45EDB DBC ∠=∠=︒，∴604515ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据直角三角板得到相应的角度．8．B【分析】如图所示，过点I 作IM OB ⊥交BO 的延长线于点M ，根据作图得出IEO EOB ∠=∠，则IE OB ∥，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出132IM IO ==，根据平行线间的距离处处相等，即可求解．【详解】根据作图可知OE 为AOB ∠的角平分线，IEO EOB ∠=∠，∴IE OB∥如图所示，过点I 作IM OB ⊥交BO 的延长线于点M ，∵150AOB ∠=︒，∴30IOM ∠=︒，∵6OI =，∴132IM IO ==，∵IE OB∥∴点E 到OB 的距离为3故选：B ．【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明IE OB ∥是解题的关键．9．A 【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数1y x=与242y x x =-+-的交点情况，画出函数图象草图即可求解．【详解】解：依题意，函数1y x =与242y x x =-+-的函数图象如图所示，根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，故选:A ．【点睛】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键．10．C【分析】设射线DF 交B 于点G ，连接BG ，证明DCE G ∠=∠，勾股定理得出GD ，进而根据sin sin DCE G ∠=∠，列出方程，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，设射线DF 交B 于点G ，连接BG ，∵CE DF ⊥，∴GC 是B 的直径，∴28BC BC ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90CD BC DCG ==∠=︒，∴90DCE GDC G ∠=︒-∠=∠，GD =∴sin sin ED CD DCE G CD GD∠===，∴25CD ED GD ===，故选：C ．【点睛】本题考查了直角所对的弦是直角，正弦的定义，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．11．7【分析】该程序计算是先平方，再乘以3，再减去5．将x 输入即可求解．【详解】解：输入x =-2，x 2=（-2）2=4，4×3=12，12-5=7．故答案为：712．23x x -（答案不唯一）【分析】根据因式分解的结果，乘以一个单项式即可求解．【详解】解：∵()233x x x x -=-，∴出一个满足条件的二次二项式可以是：23x x -（答案不唯一）.故答案为：23x x -（答案不唯一）.【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系，掌握因式分解是解题的关键．13．20【分析】首先连接OB ，由AB 与⊙O 相切于点B ，根据切线的性质，即可得OB ⊥AB ，又由∠A ＝50°，即可求得∠AOB 的度数，然后由圆周角定理，求得∠C 的度数．【详解】解：连接OB ，如图：∵AB 与⊙O 相切于点B∴OB ⊥AB∴∠OBA ＝90°∵∠A ＝50°∴∠AOB ＝90°﹣∠A ＝40°∴11402022C AOB ∠=∠=⨯︒=︒．故答案是：20【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．12【分析】作CD AB ⊥于点D ．由1tan 3A =可设BC x =，3AC x =，根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值，利用面积法求出CD 的值，再利用勾股定理求出BD 的值，得到点C 的坐标，然后可求出k 的值．【详解】如图，作CD AB ⊥于点D ．∵()5,0A -，O 为Rt ABC △斜边AB 的中点，∴()5,0B ，∴5OB =，10AB =．∵1tan 3A ==BC AC，∴可设BC x =，3AC x =，由勾股定理得()222310x x +=，x ∴=（负值舍去），BC ∴=AC =1122AC BC AB CD ⋅=⋅，10CD ，3CD ∴=，BD ∴=1=，514OD ∴=-=，(4C ∴，3)．反比例函数(0)k y k x=≠经过点C ，4312k ∴=⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C 的坐标是解答本题的关键．15．2-##2-+【分析】先根据等边三角形的性质证明ABD CAE ≅ ，得出60AFE ∠=︒，进而得到150AGC ∠=︒，从而得到点G 在以AC 为弦、所对圆周角为150︒的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到BG OG OB +≥（当且仅当,,B G O 三点共线时取=），得出BG 的最小值即为BO OG -，再求出,BO GO 即得答案．【详解】解：∵等边三角形ABC ，∴,60=∠=∠=︒AB AC ABC BAC ，又∵AE BD =，∴ABD CAE ≅ ，∴BAD ACE ∠=∠，∴60AFE FAC ACE FAC FAE BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，连接AG ，如图，∵FG FA =，∴30FAG FGA ∠=∠=︒，∴150AGC ∠=︒，∴点G 在以AC 为弦、所对圆周角为150︒的一段弧上运动，设这段弧所在的圆心为O ，连接,,,AO CO BO GO ，如图，则BG OG OB +≥（当且仅当,,B G O 三点共线时取=），∴BG 的最小值即为BO OG -，设,BO AC 交于点H ，∵150AGC ∠=︒，∴()218015060AOC ∠=⨯︒-︒=︒，∵AO CO =，∴ACO △是等边三角形，∴2AO CO AC AB BC =====，∴四边形ABCO 是菱形，∴11,1,,3022AC BO AH AC BH OH ABH ABC ⊥===∠=∠=︒，∴BH ==，∴BO =∴BG 的最小值为2；故答案为；2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G 取最小值的位置是解题的关键．16．1x <，数轴见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．【详解】解：21141x x -<⎧⎨-≥⎩①②解不等式①得：1x <解不等式②得：3x ≤在数轴上表示不等式的解集为：∴不等式组的解集为：1x <【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．17．（1）22x x --；（2）1【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据分式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：（1）()()12x x +-22x x =--；（2）322322121x x x x x x x x ----÷++()()()23221121x x x x x x x x --=⨯++-+2111x x x -=+++11x x +=+1=．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，分式的混合运算，掌握整式与分式的运算法则是解题的关键．18．(1)：200，120，216︒．(2)1050人【分析】（1）由A 组人数除以A 组所占的百分比可得总人数，再利用总人数减去A ，B ，D 组的人数可求解a 的值，再利用360︒乘以C 组所占的百分比即可得到C 组所在扇形的圆心角；（2）由1500乘以样本中达到国家规定体育活动时间的学生人数的百分比即可．【详解】（1）解：由A 组人数为20人，占比10%,所以此次调查的总人数为：2010%=200÷（人），所以200204020120a =---=（人），C 组所在扇形的圆心角的大小是120360216200按=．故答案为：200，120，216︒．（2）解：1202015001050200+´=（人），所以该校约有1500名学生，估计达到国家规定体育活动时间的学生人数约为1050人．【点睛】本题考查的是频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体，熟练从频数分布表与扇形统计图中获取相关联的信息是解本题的关键．19．(1)该商场购进每台A 型护眼灯的成本价为26元，购进每台B 型护眼灯的成本价为35元(2)20元【分析】（1）设该商场购进每台A 型护眼灯的成本价为x 元，则购进每台B 型护眼灯的成本价为()9x +元，根据“用3120元和4200元购进A 型和B 型护眼灯的数量相同”建立方程，解方程即可得；（2）设每台A 型护眼灯升价a 元时，销售利润为w 元，则每台A 型护眼灯的售价为()36a +元，每天可以售出A 型护眼灯()1002a -台，根据“利润=（售价-成本价）⨯销售数量”建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：设该商场购进每台A 型护眼灯的成本价为x 元，则购进每台B 型护眼灯的成本价为()9x +元，由题意得：312042009x x =+，解得26x =，经检验，26x =是所列分式方程的解，则926935x +=+=，答：该商场购进每台A 型护眼灯的成本价为26元，购进每台B 型护眼灯的成本价为35元．（2）解：设每台A 型护眼灯升价a 元时，销售利润为w 元，则每台A 型护眼灯的售价为()36a +元，每天可以售出A 型护眼灯()1002a -台，由题意得：()()()2362610022201800w a a a =+--=--+，010020a a ≥⎧⎨->⎩ ，050a ∴≤<，由二次函数的性质可知，在050a ≤<内，当20a =时，w 取得最大值，最大值为1800，答：每台A 型护眼灯升价20元时，销售利润最大．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握二次函数的性质是解题关键．20．(1)C(2)；【分析】（1）根据ABCD Y 可得AD EC ∥，结合AE BC ⊥可得，90EAD AEC AEB ∠===︒，再根据ABE 平移得到DCE ' ，可得90CE D '∠=︒，即可得到答案；（2）①根据平移可得AF DF '=，AF DF ' ，即可得到四边形AFF D '是平行四边形，根据60106AE =÷=，结合8EF ＝根据勾股定理可得AF ，即可得到证明；②根据10AD ＝，8EF ＝即可得到1082FE '=-=，结合6AE =即可得到DF ，根据AD EF 可得FE D ADF '∠=∠，即可得到答案；【详解】（1）解：∵ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，∴60106AE =÷=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD EC ∥，∵AE BC ⊥，∴90EAD AEC AEB ∠===︒，∵ABE 平移得到DCE ' ，∴90CE D '∠=︒，∴四边形AEE D '的形状为矩形，故选C ；（2）①证明：∵AEF △平移得到DE F ''△，∴AF DF '=，AF DF ' ，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵60106AE =÷=，8EF ＝，∴10AF ，∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；②∵10AD ＝，8EF ＝，∴1082FE '=-=，∵6AE =，∴DF ==∵AD EF ，∴FE D ADF '∠=∠，∴sin =sinDE ADF FE D DF ''∠∠=．【点睛】本题考查平移的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角函数，平行四边形的性质，解题的关键是根据平移及平行四边形的性质得到相应的条件．21．(1)223y x x =-++(2)点D 的坐标为()1,4或()2,3(3)存在，点P 的坐标为()2,3或()4,5-【分析】（1）运用待定系数法，将()1,0A -，()3,0B 代入2y x bx c =-++，即可求得抛物线的解析式；（2）先求出直线BC 的解析式，设()2,23D t t t -++，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，易得EFA DGA ∽，根据相似三角形的性质用含t 的式子表示点E 的坐标，再由点E 也在直线BC 上，得到关于t 的方程，解方程即可；（3）分情况讨论：①当点P 是抛物线上与点C 对称的点时，②当PA BC ∥时，分别求得点P 的坐标．【详解】（1）解：把()1,0A -，()3,0B 代入2y x bx c =-++，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）解： 抛物线与y 轴交于点C ，()0,3C ∴，设直线BC 的解析式为y kx a =+，把()3,0B ，()0,3C 代入y kx a =+，得303k a a +=⎧⎨=⎩，解得13k a =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，设()2,23D t t t -++，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G，EAF DAG ∠=∠ ，90EFA DGA ∠=∠=︒，EFA DGA ∴ ∽，2AE DE = ，23AF EF AE AG DG AD ∴===，即1213E D x x +=+，23E D y y =，∴()2211133E D t x x -=+-=，()2223233E D t t y y -++==，又 点E 在直线3y x =-+上，∴()222321333t t t -++-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得1t =或2t =，当1t =时，212134D y =-+⨯+=，即点D 的坐标为()1,4，当2t =时，222233D y =-+⨯+=，即点D 的坐标为()2,3；（3）解：存在点P 使得PAB ABC ∠=∠，如图，①当点P 是抛物线上与点C 对称的点时，则有PAB ABC ∠=∠， 点C ()0,3关于对称轴()2121x =-=⨯-的对称点坐标为()2,3，()12,3P ∴；②当PA BC ∥时，则有PAB ABC ∠=∠，直线BC 的解析式3y x =-+，∴直线AP 的解析式一次项系数为1-，设直线AP 的解析式为y x m =-+，把()1,0A -代入x m -+，得10m +=，解得1m =-，∴直线AP 的解析式为=1y x --，联立2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得1145x y =⎧⎨=-⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩（舍去），()24,5P ∴-，综上，存在点P 使得PAB ABC ∠=∠，点P 的坐标为()2,3或()4,5-．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点，互相平行的两直线的关系，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．22．(1)①见解析；②222AE FC EF +=，证明见解析(2)2AF =【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②想法1：过B 作MB BF ⊥，使BM BF =，连接AM EM 、，由正方形的性质得出90ABC ∠=︒，1245∠=∠=°，AB BC =，证明()SAS MBE FBE ≌，得出EM EF =，证出45∠=∠，证明()SAS AMB CFB ≌，得出,6245AM FC =∠=∠=︒，证出6190MAE ∠=∠+∠=︒，在Rt MAE △中，由勾股定理即可222AF EC EF +=；想法2，证明NBF CBF ≌，在在Rt ENF △中，由勾股定理即可222EN FN EF +=，进而即可得出结论；（2）过B 作MB BE ⊥，使BM BE =，连接ME MF AM 、、，由SAS 证得：MBF EBF ∆≅∆，得出MF EF =，再由SAS 证得：AMB CBE ≌，得出AM EC =，45BAM BCE ∠=∠=︒，证出90MAE BAM BAC ∠=∠+∠=︒，得出90MAF ∠=︒，在Rt MAF 中，由勾股定理即可得得出222AF EC EF +=，根据题意得出,AE EC ，代入结论，解方程即可求解．【详解】（1）解：①补全图形，如图1所示：②222AE FC EF +=；理由如下：想法1：过B 作MB BF ⊥，使BM BF =，连接AM EM 、，如图2所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴90,1245,ABC AB BC ∠=︒∠=∠=︒=，∵345∠=︒，∴345MBE ∠=∠=︒，在MBE △和FBE 中，43BM BF BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MBE FBE ≌，∴EM EF =，∵490,590ABF ABF ∠=︒-∠∠=︒-∠，∴45∠=∠，在AMB 和CFB 中45BM BF AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AMB CFB ≌，∴,6245AM FC =∠=∠=︒，∴6190MAE ∠=∠+∠=︒，在Rt MAE △中，222AE AM EM +=，∴222AE FC EF +=；想法2，如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，将ABE 沿BE 翻折，得到NBE ，∴90,1245,ABC AB BC BN ∠=︒∠=∠=︒==，ABE NBE ∠=∠，445∠=︒∵45EBF ∠=︒，∴45EBN NBF ∠+∠=︒∴45ABE FBC Ð+Ð=°∴FBC NBF∠=∠在NBF 和CBF V 中，BN BC FBC NBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴NBF CBF ≌，∴3445∠=∠=︒，∴2390∠+∠=︒，在Rt ENF △中，222EN FN EF +=，∴222AE FC EF +=；（2）解：如图所示，过B 作MB BE ⊥，使BM BE =，连接ME MF AM 、、，∵直线BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线AC 于点F ，∴18013545FBE ∠=︒-︒=︒，∴904545MBF ∠=︒-︒=︒，∴FBE MBF ∠=∠，在MBF V 和EBF △中，BM BE MBF FBE BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MBF EBF ≌，∴MF EF =，∵90MBA ABE ∠=︒-∠，90EBC ABE ∠=︒-∠，∴MBA EBC ∠=∠，在AMB 和CBE △中，BM BE MBA EBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AMB CBE ≌，∴,45AM EC BAM BCE =∠=∠=︒，∴90MAE BAM BAC ∠=∠+∠=︒，∴90MAF ∠=︒，在Rt MAF 中，222AF AM MF +=，∴222AF EC EF +=．∵正方形边长为2，∴AC =∵:2:3AE EC =，设3EC x =，则2AE x=∴5AE EC x +==解得：5x =∴,55AE EC ==设AF a =，则EF AF AE a =+=，∵222AF EC EF +=．∴22255a a ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：a=AF=．∴2【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．。
2024届上海市金山区初三一模数学试卷(含答案)
2024届上海市金山区初三一模数学试卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）（2024．1）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把抛物线22y x =向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是（▲）（A ）221y x =-；（B ）221y x =+；（C ）()221y x =-；（D ）()221y x =+．2．已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果AE ∶ED =1∶2，那么DF ∶FB 为（▲）（A ）1∶2；（B ）1∶3；（C ）2∶3；（D ）2∶5．3．在直角坐标平面的第一象限内有一点A （a ，b ），如果射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（▲）（A ）b=a ·tan α；（B ）b=a ·cot α；（C ）b=a ·sin α；（D ）b=a ·cos α．4．抛物线2y ax bx c =++的图像如图所示，下列判断中不正确的是（▲）（A ）a <0；（B ）b <0；（C ）c >0；（D ）a +b +c <0．5．将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是（▲）（A ）2∶1；（B1；（C ）3∶1；（D∶1．6．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC 就是一个格点三角形，现从△ABC 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC 相似的有（▲）（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果053a b b =≠（），那么a b b-=▲．8．化简：2(3)6a b b -+-=▲．9．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的周长比为▲．10．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），AB =2，那么线段AP 的长是▲．yxO 1（第4题图）ABC（第6题图）11．抛物线2233y x =-的顶点坐标是▲．12．如果点A （2，a ）、B （3，b ）在二次函数23y x x =-的图像上，那么a ▲b （填“>”“<”或“=”）．13．如果α是直角三角形的一个锐角，sin α=45，那么tan α=▲．14．如图，已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，△ADE 、△EFC 的面积分别为1、4，四边形BFED 的面积为▲．15．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度i =1∶2，那么相邻两树间的坡面距离为▲米．16．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A 处向北偏东60°的方向行驶8海里到B 处，再从B 处向南偏东45°方向行驶到发点A 正东方向上的C 处，此时这艘船距离出发点A 处▲海里．17.把矩形ABCD 绕点C 按顺时针旋转90°得到矩形A ´B ´CD ´，其中点A 的对应点A ´在BD 的延长线上，如果AB=1，那么BC=▲．18．在△ABC 中，AC=6，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分，且△APQ 和△ABC 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．20．（本题满分10分）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点A ）所在的铅垂线为y 轴，相应的地面水平线为x 轴，1米为单位长度建立直角坐标系xOy，喷出的抛物线形水柱在最高处（点P ）距离y 轴1米，水柱落地处（点B ）距离y 轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度．1y xO2B4P1A A BC DEF（第14题图）（第15题图）（第16题图）21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）已知：如图，AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，四边形BEGD 是平行四边形．（1）求证DE ∥AC ；（2）设BA a = ，BC b = ，用向量a 、b表示DE =22．（本题满分10分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为4米，与墙面AD 的夹角∠BAD=75.5°，靠墙端A 离地高AD 为3米，当太阳光线BC 与地面DE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAC =∠BDC ．（1）求证：△AOD ∽△BOC ；（2）过点A 作AE ∥CD ，AE 交BD 与点E ，求证：AB AD AE BC ⋅=⋅．ABCDOABC DE24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过点A (-1，0)、B (3，0)、C （0，-3）.(1)求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；(2)点D 在抛物线对称轴上，∠PAD=90°，求点D 的坐标；（3）抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB=QM ，QO 的延长线交原抛物线为E ，QO=OE ，求新抛物线的表达式.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠CAD=∠ABC ，DC ⊥AC ，AD 与边BC 相交于点P .（1）求证：212AB AD BC =⋅；（2）如果sin ∠ABC=45，求BP ∶PC 的值；（3）如果△BCD 是直角三角形，求∠ABC 的正切值.O11yxABCDP参考答案一、选择题（本大题6 小题，每小题4 分，满分24 分）1.D ；2.C ；3.A ；4.D ；5.B ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．23；8．2a - ；9．2∶3；101-；11．（0，-3）；12．<；13．43；14．4；15．16.4；17．152；18．62623≠≤≤AB AB 且．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=22121⎛⎫- ⎪⎝⎭，-----------------------------------------------------------（8分）=0.----------------------------------------------------------------------------------------（2分）20．解：设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠-------------------------------------（1分）由题意得，抛物线经过A （0，2）、B （4，0），顶点P 的横坐标为1，∴2164012c a b c ba ⎛=++= -=⎝-----------------------------------------------------------------------------（3分）解得：11,,242a b c =-==，.-------------------------------------------------------------（2分）∴抛物线的解析式是211242y x x =-++，顶点P 坐标为（1，2.25）.---------（2分）∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度是2.25米.-----------------------------------（2分）21.（1）证明：∵AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，∴AG=2GM ，---------------------（1分）∵四边形BEGD 是平行四边形，∴DG ∥BE ，EG ∥BD ，∴13BD MG BA MA ==，23BE AG BM MA ==-------------------------------------------------------（2分）∵BM=MC ，∴13BE BC =--------------------------------------------------------------------------（1分）∴BE BDBC BA=--------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴DE ∥AC ------------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）1133DE b a =------------------------------------------------------------------------------------（4分）22.解：作BM ⊥ED ，BN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，-----------------------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°，∴AN=AB ·cos ∠BAD =4×0.25=1，-----------------------------------------------------------（2分）BN=AB ·sin ∠BAD =4×0.97=3.88，--------------------------------------------------------（2分）∴ND=2，-------------------------------------------------------------------------------------------（1分）在四边形BMDN 中，∠BMD=∠MDA=∠DNB=90°，∴在四边形BMDN 是矩形，∴BM=ND =2，BN=MD=3.88，---------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°，∠BCM =45°，∴BM=MC=2，------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴CD=MD -MC=1.88≈1.9（米）.-------------------------------------------------------------（1分）答：阴影CD 的长是1.9米.-------------------------------------------------------------------（1分）23.证明：（1）∵∠BAC =∠BDC ，∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，-----------（2分）∴AO DO BO CO=，-----------------------------------------------------------------------------------（1分）∵∠AOD =∠BOC ，------------------------------------------------------------------------------（1分）∴△AOD ∽△BOC .------------------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵△AOB ∽△DOC ，∠BAO =∠CDO ，∵AE ∥CD ，∴∠AED =∠CDO ，-------------------------------------------------------------（1分）∴∠AED =∠BAC ，--------------------------------------------------------------------------------（1分）∵△AOD ∽△BOC ，∴∠ADE =∠BCA ，-----------------------------------------------------（1分）∴△AED ∽△BAC ，------------------------------------------------------------------------------（1分）∴AE AD BA BC=，∴AB AD AE BC ⋅=⋅．--------------------------------------------------------（2分）24.解：（1）由题意得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩,解得：a =1，b =1，c =4，∴抛物线的表达式为223y x x =--.-------------------------（2分）∵()222314y x x x =--=--，∴顶点P 的坐标是（1，-4）.----------------------（2分）（2）抛物线的对称轴为直线1=x ，--------------------------------------------------------------（1分）设点D 的坐标为（1，m ），∵∠PAD=90°，∴222PA AD PD +=，∴222+=，-----------（1分）解得，1m =，点D 的坐标为（1，1）-----------------------------------------------------（2分）（3）由题意，点M 坐标是（1，0），作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，∵QB=QM ，∴MH=HB ，∴点H 的坐标为（2，0），点Q 的横坐标为2，---------（1分）设点Q 的坐标是（2，t ），∵QO=OE ，∴点Q 和点E 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为（-2，-t ），--------（1分）∴()()22223t --⨯--=-，解得5t =-，点Q 的坐标是（2，-5），-------------------（1分）∴新抛物线的表达式是()225y x =--，即241y x x =--.-------------------------------（1分）25.（1）证明：∵∠CAD=∠ACB ，∠ACP=∠BCA ，∴△ACP ∽△BCA ，∴AC CP BC AC =，∴2AC CP BC =⋅.----------------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵∠CAD=∠ABC ，∴∠CAD=∠ACB ，∴P A=PC ，--------------------------------------（1分）∵DC ⊥AC ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∠ACB+∠PCD=90°，∴∠ADC=∠PCD ，∴PD=PC ，∴12AP PD PC AD ===，-------------------------------（1分）∴212AB AD BC =⋅-------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）作AH ⊥BC ，垂足为点H ，在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，sin ∠ABC 45AH AB ==，设AH=4k ，AB=5k ，则BH=3k .---------------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴BH=HC=3k ，∴BC=6k ，∵2AB CP BC =⋅，∴256CP k =，-------------------------------------------------------------（1分）∴116BP k =，∴BP ∶PC=1125.-----------------------------------------------------------------（2分）（3）显然∠BCD ≠90°，如果∠CBD =90°，∵∠AHB =90°，∴AH ∥BD ，∴PH AP BP PD=，∵AP=PD ，∴PH=BP ，设PH=BP=m ，∴BH=CH=2m ，CP=3m ，BC=4m ，----------------------------------------------------------（1分）∵2AB CP BC =⋅，∴AB =，-----------------------------------------------------------（1分）在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，∴AH =，∴tan ∠ABC AHBH==，即∠ABC .-------------------------------------（1分）如果∠CDB =90°，∵∠ACD =90°，∴AC ∥BD ，∴BP PD CP AP=，∵AP=PD ，∴BP=PC ，-------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴四边形ABDC 是正方形，----------------------------------------------------（1分）∴∠ABC=45°，∠ABC 的正切值为1.---------------------------------------------------------（1分）综上所述，如果△BCD 是直角三角形，∠ABC 或1.。
2024年浙江省宁波市镇海区九年级中考一模数学试题(解析版)
镇海区2024年初三模拟考试试卷数学 学科考生须知：1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟．2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上．3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效．试题卷Ⅰ一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 在实数，中，最小的数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，即可求解．【详解】解：∴最小，故选：D ．2. 据统计，2024年春节期间，国内旅游出行474000000人次，其中数474000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数474000000用科学记数法表示为．故选：C ．3. 下列计算正确的是（ ）102-102-201-<<<2-74.7410⨯747.410⨯84.7410⨯90.47410⨯10n a ⨯1||10a ≤<n n a n 84.7410⨯A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算．利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，平方差公式逐项判断即可．【详解】解：与不是同类项，无法合并，则选项A 不符合题意；，则选项B 不符合题意；，则选项C 符合题意；，则选项D 不符合题意；故选：C ．4. 一城市准备选购一千株高度大约为2m 的某种风景树来进行街道绿化， 有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）． 采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：树苗平均高度（单位：m ）标准差甲苗圃1.8 0.2乙苗圃1.8 0.6丙苗圃2.0 0.6丁苗圃2.0 0.2请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ）A. 甲苗圃的树苗B. 乙苗圃的树苗;C. 丙苗圃的树苗D. 丁苗圃的树苗【答案】D【解析】【分析】根据标准差和方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的高度，进而确32a a a-=326a a a ⋅=()236a a =()()2212121a a a +-=-3a 2a 3256a a a a ⋅=≠()236a a =()()2221214121a a a a +-=-≠-定选购哪家的树苗.【详解】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适；又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗．故选D ．【点睛】考查了标准差，标准差也均称方差，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好.5. 若点是第二象限的点，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，解不等式方程组，掌握第二象限内点的坐标特征是解题关键．根据第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，列不等式组求解即可．【详解】解：点是第二象限的点，，解得：，故选：A ．6. 如图是一架人字梯，已知米，AC 与地面BC 的夹角为，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】A【解析】(),2G a a -a<02a <02a <<a<02a > (),2G a a -020a a <⎧∴⎨->⎩a<02AB AC ==α4cos α4sin α4tan α4cos α【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．【详解】过点A 作，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∴，故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．7. 一次数学课上，老师让大家在一张长12cm ，宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形；甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形见方案一，乙同学沿矩形的对角线AC 折出，的方法得到菱形见方案二，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（ ）．A. 甲B. 乙C. 甲乙相等D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】方案一中，通过图可知四个小直角三角形全等，用矩形面积减去4个小直角三角形的面积，即可得菱形面积；方案二中，两个小直角三角形全等，设菱形边长为x ，在直角三角形中利用勾股定理可求x ，再利用底高可求菱形面积然后比较两者面积大小．12BD DC BC ==AD BC ⊥AB AC =AD BC ⊥BD DC =DC co ACα=cos 2cos DC AC αα=⋅=24cos BC DC α==(EFGH )CAE DAC ∠=∠ACF ACB ∠=∠(AECF )⨯.【详解】解：方案一中，、F 、G 、H 都是矩形ABCD 的中点，≌≌≌，，，，；方案二中，设，则，，，，≌，在中，，，，由勾股定理得，解得，，，，，，故甲乙．E HAE ∴ HDG △△FCG FBE 11111111551222222222HAE S AE AH AB AD =⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 4HAE ABCD EFGH S S S =- 矩形菱形1512542=⨯-⨯30=BE x =12CE AE x ==-AF EC = AB CD =AE CF =ABE ∴ CDF Rt ABE 5AB =BE x =12AE x =-222(12)5x x -=+11924x =111195955222448ABE S BE AB =⋅=⨯⨯= 2ABE ABCD EFGH S S S =- 矩形菱形595125248=⨯-⨯6025≈-3530=><故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理以及矩形的性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．8. 甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲速度为x 米/秒，乙的速度为y 米/秒，则可列出的方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，确定等量关系即甲行驶路程等于乙的两次行驶路程的和，列出方程即可，本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键．【详解】根据题意，得，故选B ．9. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，且，则．其中正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线为，故，再结合抛物线与轴交于负半轴，可得，进而可以判断①；又，从而可以判断②；又当时，，又，故，进而可以判断的551046x y y x =+⎧⎨=⎩551046x y x y=+⎧⎨=⎩510546x y x y+=⎧⎨=⎩551046y x y x=+⎧⎨=⎩551046x y x y =+⎧⎨=⎩2(0)y ax bx c a =++≠0abc >40b a +=0b c +>()11,x y ()22,x y 1204x x <<<12y y <a<022b x a=-=40b a =->y 0c <4b a =-1x =0y a b c =++>a<00b c a +>->③；由抛物线的对称轴是直线，从而当时与当时函数值相等，进而可得当，则，故可以判断④．【详解】解：由题意，抛物线开口向下，．又抛物线为．．抛物线与轴交于负半轴，．，故①正确．又，，故②正确．由题意，当时，．又，，故③正确．抛物线的对称轴是直线，当时与当时函数值相等．当，则，故④错误．综上，正确的有：①②③．故选：C ．10. 如图，点E 、F 分别是正方形的边、上的点，将正方形沿折叠，使得点B 的对应点恰好落在边上，则的周长等于（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】.2x =0x =4x =1204x x <<<12y y > <0a ∴22b x a=-=40b a ∴=-> y 0c ∴<0abc ∴>4b a =-40b a ∴+=1x =0y a b c =++>a<00b c a ∴+>-> 2x =∴0x =4x =∴1204x x <<<12y y >ABCD AD BC ABCD EF B 'CD DGB '△2AB ABBF+【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，如图，作，连接，，可证，，根据全等三角形的性质可得，，等量代换即可求解．【详解】解：如图，作，连接，，∵四边形是正方形，∴，由折叠可得，∴，∵ ∴，∴，∴，在和中，∴∴，，在和中，BH A B ''⊥BG BB 'BB C BB H ''≌ BHG BAG ≌ HB CB ''=GH AG =BH A B ''⊥BG BB 'ABCD 90ABC C A ∠=∠=∠=︒BF B F '=90FB A ABC ''∠=∠=︒23∠∠=BHG ∠=90FB A ''∠=︒BH FB ∥24∠∠=3=4∠∠BCB 'V BHB ' 9034BHB C BB BB ∠=∠=︒⎧⎪∠==''∠⎨'⎪⎩()AAS BB C BB H ''≌ BC BH =HB CB ''=Rt BAG Rt BHG BG BG BH AB=⎧⎨=⎩∴，∴，∴，故选：A ．试题卷Ⅱ二、填空题（每小题4分，共24分）11. 若分式的值为0，则x 的值是______．【答案】2【解析】【分析】根据分式的值为0，即分母不为0，分子为0得到x-2=0，且x+3≠0，求出x 即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴x-2=0，且x+3≠0，∴x=2．故答案为:2.【点睛】本题考查了分式的值为0的条件：分式的值为0，要满足分母不为0，分子为0．也考查了解方程和不等式．12. 分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键．【详解】解：，，故答案为：．13. 在平行四边形中，，的平分线交边于点E ，则的长为______．()HL BHG BAG ≌ GH AG =2DGB C DG GH B H B D AD CD AD '''=+++=+= 23x x -+23x x -+24mx m -=()()22m x x +-m ()2244mx m m x -=-()()22m x x =+-()()22m x x +-ABCD 58AB BC ==，B ∠BE AD DE【答案】3【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，从而求得结果．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵的平分线交于点E ，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：3．14. 一个圆锥的高为4，母线长为6，则这个圆锥的侧面积是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算．先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．【详解】解：这个圆锥的底面圆的半径，所以这个圆锥的侧面积．故答案为：．15. 有三面镜子如图放置，其中镜子和相交所成的角，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则镜子和相交所成的角AD BC ∥AEB CBE ∠=∠ABE CBE ∠=∠AEB ABE ∠=∠AE AB =ABCD AD BC ∥AEB CBE ∠=∠B ∠BE AD ABE CBE ∠=∠AEB ABE ∠=∠AE AB =58AB BC ==，853DE AD AE BC AB =-=-=-===1262π=⨯⨯=AB BC 110ABC ∠=︒EF ,,AB BC CD EF AEF α∠=BC CD______．（结果用含的代数式表示）【答案】【解析】【分析】本题考查了入射角和反射角、平行线以及三角形内角和等知识，解题的关键在于正确画出辅助线【详解】根据入射光线画出反射光线，交于点，同理根据入射光线画出反射光线，交于点，根据入射光线画出反射光线，过点作的平行线，使得．入射角等于反射角入射角等于反射角根据入射角等于反射角，可知：的BCD ∠=α90α︒+FE EG BC G EG GH CD H GH HK G EF GP EF HK BEG AEF α∴∠=∠=1802GEF α∴∠=︒-110ABC ∠=︒18011070BGE αα∴∠=︒-︒-=︒- 70HGC BGE α∴∠=∠=︒-()180270402EGH αα∴∠=︒-⨯︒-=︒+GP EF HK180,180GEF EGP PGH GHK ∴∠+∠=︒∠+∠=︒402EGP PGH EGH α∠+∠=∠=︒+ 360GEF EGH GHK ∴∠+∠+∠=︒()()3601802402140GHK αα∴∠=︒-︒--︒+=︒()1180140202GHC KHD ∠=∠=︒-︒=︒18090BCD CGH GHC α∴∠=︒-∠-∠=︒+故答案为：．16. 如图，已知矩形，过点A 作交的延长线于点E ，若，则______．【解析】【分析】利用矩形的性质，证明，，，变形计算，结合勾股定理，解方程，正切函数解答即可．【详解】∵矩形，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，90α︒+ABCD AE AC ⊥CB AED ACB ∠=∠2tan BAE ∠=1-ADF CEF △∽△ADE FEC ∽BAE BCA △△∽ABCD ,,90,AD BC AB CD ABC BCD AD BC ==∠=∠=︒ ADF CEF △∽△ADE CEF ∠=∠AED ACB ∠=∠ADE FEC ∽AD DF EC EF=EF EC AD ED =AD ED EF EC EF-=ED EC EF AD EC =+ ()·ED EC EC AD AD EC ED=+22ED AD AD EC =+根据勾股定理，得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得，解得(舍去)，∵∴，．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，正切函数，直角三角形的性质，解方程，熟练掌握三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程是解题的关键．三、解答题（第17－19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17. 计算：（1）222ED CD EC =+222CD EC AD AD EC +=+ ()()222·AB EB BC BC BC EB BC ++=++222222AB EB EB BC BC BC EB BC BC +++=++ 2220AB EB EB BC BC ++-= AE AC ⊥90BAE AEB BCA ∠︒-∠=∠=90ABE CBA ∠∠=︒=BAE BCA △△∽AB BE BC AB=2AB BE BC = 2220EB EB BC BC +-= (1EB BC ==-±1,1EB EB BC BC=-=tan BE BAE AB ∠=2222tan 1BE BE BE BAE AB BE BC BC ∠====- 102212024(3)33-+-⨯--（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1） （2），2【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的化简求值，对于（1），根据，，，，再根据有理数运算法则计算；对于（2），先根据整式的乘法法则及公式化简，再代入求值即可．【小问1详解】；【小问2详解】原式．当时，原式．18. 某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分10分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m （单位：分）分成四类：类，类，类，类，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的人数为______，并补全条形统计图：(1)(1)(2)x x x x +-++12x =5312x +020241=2(93)-=2139-=1133-=02212024(3)33-+-⨯--111993=+⨯-213=+53=2212x x x=-++12x =+12x =11222=+⨯=A (10)m =B (79)m ≤≤C (46)m ≤≤D (3)m ≤（2）扇形统计图中A 类所对的圆心角是______°，测试成绩的中位数落在______类；（3）若该校九年级男生有500名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A 类或B 类的共有多少名？【答案】（1）50人，图见解析（2）72，B （3）估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类或类的约有320名．【解析】【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数；通过统计图之间的联系求出样本容量是解题的关键．（1）由统计图之间的联系求出样本容量，进一步求出组人数，补齐图形；（2）由组的占比求出对应圆心角；根据中位数定义，可知第25，26个数在组，故中位数在组；（3）由样本占比估计总本的人数．【小问1详解】解：本次抽样调查的人数为（人），组人数为（人），补全的条形统计图如图；故答案为：50人；【小问2详解】解：类所对的圆心角是；样本量为50，可知数据从大到小排列，第25，26个数在组，故中位数在类；故答案为：72，；小问3详解】解：类或类的共有（名），答：估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类或类的共有320名．19. 如图，直线与双曲线相交于点．【A B C A B B 1020%50÷=C 501022315---=A 36020%72︒⨯=︒B B B A B 500(20%44%)320⨯+=A B y kx b =+(0)m y x x=>()()2,6,1A n B（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；（2）直接写出关于x 的不等式的解集；（3）求的面积．【答案】（1）直线：，双曲线： （2）（3）8【解析】【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键．（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式；（2）根据图象得出不等式的解集即可；（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值．【小问1详解】把代入，得：，∴反比例函数的解析式为；把代入，得：，∴，(0)m kx b x x +>>ABO 142y x =-+6(0)y x x =>26x <<()6,1B ()2,3A A B (0)m kx b x x+>>C D A B AE y ⊥E BF x ⊥F 2,1AE BF ==48OC OD ==，AOC S BOD S COD S △AOB S ()6,1B m y x=6m =6y x=()2,A n 6y x =3n =()2,3A把、代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为；故答案为：；．【小问2详解】由图象可知当时，，∴不等式的解集是，【小问3详解】设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，∵、，∴，∵一次函数的解析式为，当时，，当当时，，解得，，∴点C 的坐标是，点D 的坐标是∴．∴，，()2,3A ()6,1B y kx b =+2361k b k b +=⎧⎨+=⎩124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩142y x =-+5y x =-+4y x =26x <<(0)m kx b x x+>>(0)m kx b x x+>>26x <<C D A B AE y ⊥E BF x ⊥F ()2,3A ()6,1B 2,1AE BF ==142y x =-+0x =4y =0y =1042x =-+8x =()0,4()8,048OC OD ==，114,422AOC BOD S OC AE S OD BF =⋅==⋅= 1162COD S OC OD =⋅=△∴．20. 如图，已知和均是等边三角形，F 点在上，延长交于点D ，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当点D 在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）当点D 在中点时，四边形是矩形，见解析【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键．（1）由和均是等边三角形，可得，则，进而可证四边形是平行四边形；（2）由，点D 在中点，可得，则，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形．【小问1详解】证明：∵和均是等边三角形，∴，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：当点D 在中点时，四边形是矩形，理由如下；∵，点D 在中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，16448AOB COD AOC BOD S S S S =--=--= ABC AEF △AC EF BC AD CE ，ABDE BC ADCE BC ADCE ABC AEF △6060BAC AFE ACB FAE ∠=∠=︒∠=∠=︒，AB DE AE BD ∥，∥ABDE AB AC =BC AD BC BD CD ⊥=，AE CD =ADCE AD BC ⊥ADCE ABC AEF △6060BAC AFE ACB FAE ∠=∠=︒∠=∠=︒，AB DE AE BD ∥，∥ABDE BC ADCE AB AC =BC AD BC BD CD ⊥=，ABDE AE BD =AE CD =AE CD ∥∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．21. 如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的各个顶点都在格点上．（1）在边上作一点，使得的面积是，并求出的值；（2）作出边上的高，并求出高的长．（说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹）【答案】（1）画图见解析，； （2）见解析，．【解析】【分析】（）根据网格特征作即可；（）根据网格特征作即可，本题考查了无刻度尺的直尺作图—作垂线，熟练掌握无刻度尺的直尺作图的方法是解题的关键．【小问1详解】如图，由网格的特征可知：，∴，∴，∴面积为，∴即为所求；ADCE AD BC ⊥ADCE 1ABC BC M ABM 83BM CMAC BD BD 12BM CM =165BD =112BM CM =2BD AC ⊥BG CH ∥CHM BGM ∽12BG BM CH CM ==ABM 1118443323ABC S =⨯⨯⨯= ABM【小问2详解】如图，根据网格作垂线的方法即可，∴即为所求，由网格的特征可知：，∴，∴．22. 星期日上午，小明从家里出发步行前往离家的镇海书城参加读书会活动，他以的速度步行了后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程与小明所用时间的函数关系如图所示．（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s 关于t 的函数表达式及a 的值．（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？【答案】（1），（2）爸爸出发3分钟后追上小明，此时距离镇海书城1275米【解析】【分析】本题考查一次函数的应用以及路程、速度、时间之间关系的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．（1）根据爸爸行驶的路程和爸爸的速度，求出爸爸到达书城所用时间，再根据待定系数法求函数解析式，再求出的值；BD 5AC ==1144522ABC S BD =⨯⨯=⨯⨯ 165BD =9:00 2.4km 75m/min 12min 9:15375m/min ()m s ()min t 3755625s t =-27.8a =a（2）设爸爸出发后分钟追上小明，根据两人路程相等列出方程，解方程求出，并求出距离书城的距离．【小问1详解】解：爸爸到达达镇海书城所用时间为，设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程关于的函数表达式为，把，代入，得：，解得，爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程关于的函数表达式为；爸爸的速度不变，他返回家的时间和到达书城的时间均为，；【小问2详解】设爸爸出发后分钟追上小明，则，解得，此时，，答：爸爸出发后3分钟追上小明，此时距离镇海书城还有1275米．23. 根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图x x 2400 6.4(min)375=s t s kt b =+(15,0)(21.4,2400)s kt b =+15021.42400k b k b +=⎧⎨+=⎩3755625k b =⎧⎨=-⎩∴s t 3755625s t =- ∴ 6.4min 152 6.427.8a ∴=+⨯=x 37575(12)x x =+3x =240037531275(m)-⨯=6m 2m 1m2；（2）9名跳绳同学身高如右表．【答案】任务1：；任务2：当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学；任务3：方案可行【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；任务2，得出最右侧同学横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解；任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解．【详解】解：任务1：以两个摇绳人的中点所在直线与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点的坐标为，设抛物线解析式为，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为：任务2：∵抛物线的对称轴为直线，名同学，以轴为对称轴，分布在对称轴两侧，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，则最右边侧的同学的坐标为即，当时，的21129y x =-+()1.8,1.7 1.8x =x ()()3,1,3,1-()0,222y ax =+192a =+19a =-21129y x =-+3x =9y 0.45m ()0.454,1.70⨯()1.8,1.71.8x =211.82 1.649y =-⨯+=按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高：∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学；任务3：∵当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．设开口向上的抛物线解析式为，对称轴为直线，则的顶点坐标为，∵，的开口大小不变，开口方向相反，∴当绳子摇至最低处时，抛物线的解析式为：∵将出手高度降低至．∴抛物线向下平移∴改变方案后的抛物线解析式为将，代入因此，方案可行24. 如图1，已知四边形内接于，且为直径．作交于点E ，交于点F ．（1）证明：；（2）若，，求半径r ；（3）如图2，连接并延长交于点G ，交于点H ．若，．①求；②连接，设，用含x 的式子表示的长．（直接写出答案）【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②191.70 1.615 1.6420⨯=<2y1y =2y ()0,01y 2y 2219y x =-0.85m 10.850.15-=2310.159y x =--1.8x =223110.15 1.80.150.210.2599y x =-=⨯-=<ABCD O BD AF BC ∥CD O AF CD ⊥4cos 5DAF ∠=4AC =BE DF O AF CD =AEB BDC ∠=∠tan BDC ∠OE OE x =GH 52r =1tan 2BDC ∠=GH x =【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据平行线的得出，即可证明结论；（2）证明，得出，根据，得出，根据，求出结果即可；（3）①过点O 作于点P ，于点Q ，证明矩形是正方形，设，，得出，，证明，得出，求出，得出；②连接，证明，得出，即，求出，证明，得出，根据，得出，证明，得出，证明，得出【小问1详解】证明：∵为直径，∴，∵，∴，即．【小问2详解】解：∵，∴，又∵，∴，90BCD ∠=︒90AED BCD ∠=∠=︒AEC DAB ∽ AC AE BD AD =4cos 5AE DAF AD ∠==45AC BD =4AC =OP DC ⊥OQ AF ⊥OPEQ OP a PE ==CE b =2BC a =()22CD PC a b ==+BEC DBC ∽ 2BC CE CD =⋅1b a =1tan 2OP a BDC DP a b ∠===+HF ODP MDE ∽OP DP ME DE ==ME x =AMN CBN ∽ 37AN AC x ==ODP MDE ∽CEB CBD ∠∠=DEG DAN ∽ AN AD EG DE ==EG AN ==ABE HFE ∽ EH AE ==BD 90BCD ∠=︒AF BC ∥90AED BCD ∠=∠=︒AF CD ⊥AF BC ∥EAC ACB ∠=∠ACB ADB Ð=ÐEAC ADB ∠=∠∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即．【小问3详解】①如图2，过点O 作于点P ，于点Q ，如图所示：∵，∴四边形是矩形，∵，∴，∴矩形是正方形设，，∵，∴，∵，90AEC BAD ∠=∠=︒AEC DAB ∽ AC AE BD AD=4cos 5AE DAF AD ∠==45AC BD =4AC =5BD =52r =OP DC ⊥OQ AF ⊥90OPE PEQ OQE ∠=∠=∠=︒OPEQ AF CD =OP OQ =OPEQ OP a PE ==CE b =OP CD ⊥DP CP =DO OB =∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，∴；②如图，连接，由（3）①得，四边形为正方形，2BC a =()22CD PC a b ==+AF BC ∥AEB EBC ∠=∠AEB BDC ∠=∠EBC BDC ∠=∠BCE BCD ∠=∠BEC DBC ∽ BC EC DC BC=2BC CE CD =⋅()()222a b a b =⋅+1b a=1tan 2OP a BDC DP a b ∠===+HF OPEQ∵，∴，由，得，∴，∴，，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，，解得：，∴，∵，∴，∴，∴，OE x =OP PE QE x ===1tan 2BDC ∠=DP =CP DP ==CE CP EP x =-=CD =AF CD =AF CD ⊥ADE V x AE DE ==EF CE x ==AC ==90OPD DEM ∠=∠=︒ODP MDE ∠=∠ODP MDE ∽OP DP ME DE==ME x =AM AE ME x x x =-==AF BC ∥AMN CBN ∽ 34AN AM NC BC ===37AN AC x ==∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，ODP MDE ∽CEB CBD∠∠= CDCD =CBD CAD ∠=∠CEB DEG ∠=∠DAN DEG ∠=∠ CFCF =EDG CAE ∠=∠AF BC ∥CAE ACB ∠=∠ AB AB =ADN ACB ∠=∠ADN EDG ∠=∠DEG DAN ∽ AN AD EG DE==EG AN x == BFBF =EAB EHF ∠=∠AEB HEF ∠=∠ABE HFE ∽ EH EF AE BE ==EH AE ==GH EH EG x =-=解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线．。
(浙江杭州卷)2023年中考数学第一次模拟考试(A4考试版)
2023年中考数学第一次模拟考试（浙江杭州卷）（本卷共23小题，满分120分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 5．考试范围：中考全部内容.一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣12120的绝对值是（ ） A ．﹣2020B ．﹣12120C ．12120D ．20202．函数2y x =-x 的取值范围是（ ） A ．2x <B ．2x ≤C ．2x ≥D ．2x ≠3．据海外网消息，根据Worldometer 实时统计数据，截至北京时间2021年3月16日6时30分左右，数据“12000万”用科学记数法表示为（ ） A ．1.2×107B ．12×107C ．1.2×108D ．1.2×1094．把2a 2﹣4a 因式分解的最终结果是（ ） A ．2a （a ﹣2）B ．2（a 2﹣2a ）C ．a （2a ﹣4）D ．（a ﹣2）（a +2）5．下列运算中，正确的是（ ） A ．358a a a += B ．632a a a ÷= C ．()2223294a b a b +=+D 2054=6．使式子2433x x x -+-的值为零的x 的值为（ ）A ．3或1B ．﹣3或﹣1C ．1D ．37．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支杆子一条索，索比杆子长一托，对折索子来量杆，却比杆子短一托．”若1托为5尺，则杆子、索长分别为____尺（ ）A．15，20 B．20，15 C．7.5，12.5 D．12.5，7.58．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P 为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2 B．3 C．22D ．429．若关于x 的不等式组()202413x axx⎧-->⎪⎨--≥⎪⎩无解，且关于y的分式方程4122ayy y-=--有正整数解，则所有符合条件的整数a之和为（）A．－5 B．－8 C．－6 D．－410．一块含45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置，直尺的一边EF与直角三角板的斜边AB位于同一直线上，DE＞AB．开始时，点E与点A重合，直角三角板固定不动，然后将直尺沿AB方向平移，直到点F与点B重合时停止．设直尺平移的距离AE的长为x，边AC和BC被直尺覆盖部分的总长度为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）112712=______．12．不等式组343215xx-<⎧⎪+⎨≥⎪⎩的解集为______．13．已知关于x的方程250x a++=的解是2x=-，则a的值为__．14．如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率为______．15．如图，正比例函数 y ＝kx （k ≠0）的图像经过点 A （2，4），AB ⊥x 轴于点 B ，将△ABO 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADC ，则直线 AC 的函数表达式为_____．16．如图，在矩形ABCD 中，点N 为边BC 上不与B 、C 重合的一个动点，过点N 作MN ⊥BC 交AD 于点M ，交BD 于点E ，以MN 为对称轴折叠矩形ABNM ，点A 、B 的对应点分别是G ，F ，连接EF 、DF ，若AB =3，BC =4，当△DEF 为直角三角形时，CN 的长为 _____．三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）17．（本题满分6分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．2221(1)(1)(1)1211(1)1a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-+÷=+÷⎢⎥+++++⎣⎦（第一步） ＝1(+1)11a aa a -÷++（第二步） ＝1111a aa a -+÷++（第三步） ＝11a a a a+⨯+（第四步） ＝1（第五步）．任务一：填空：①第一步进行的运算是（填序号）；A、整式乘法．B、因式分解．②第步开始出现错误，这一步错误的原因是．任务二：请直接写出该分式化简的正确的结果；任务三：请根据平时数学的学习经验，就分式的化简过程写出一条注意事项．18．（本题满分8分）某校为了进一步宣传垃圾分类相关知识，举办了全体1200名学生参加的垃圾分类知识竞赛，并随机抽取了参加竞赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分），将抽出的成绩分成五组，绘制了不完整的统计图表．分数段频数频率74.5～79.5 2 0.0579.5～84.5 m 0.284.5～89.5 12 0.389.5～94.5 14 n94.5～99.5 4 0.1(1)表中m ＝_____，n ＝_____； (2)请在图中补全频数分布直方图；(3)小明同学的成绩被抽取到了，且他的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，则他的成绩落在的分数段为_____；(4)请你估计全校成绩为优秀（90分及以上）的学生人数．19．（本题满分8分）如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，D 是射线AB 上的一动点，将CD 绕点C 逆时针旋转90°得到CE ，连接BE ，DE ．(1)如图1，CDE △是______三角形．(2)如图2，猜想BC ，BD ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论． (3)在点D 移动过程中，当30DEB ∠=︒时，求BD 的长．20．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别是x 轴、y 轴上的一动点，以AD 为边向外作矩形ABCD ，对角线BD ∥x 轴，反比例函数(0)ky k x=>图象经过矩形对角线交点E ．(1)如图1，若点A 、D 坐标分别是(6,0)，(0,2)，求BD 的长；(2)如图2，保持点D 坐标(0,2)不变，点A 向右移移动，当点C 刚好在反比函数图象上时，求点A 坐标及k 的值．21．（本题满分10分）如图1，已知正方形ABCD ，AB ＝4，以顶点B 为直角顶点的等腰Rt △BEF 绕点B 旋转，BE ＝BF ＝10，连接AE ，CF ．(1)求证：△ABE ≌△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt △BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与钱段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DG 2+PG 的值最小时，求MP 的值．22．（本题满分12分）如图，抛物线2122y x x c =++经过点()0,3A ，将该抛物线平移后，点()0,3A 到达点()4,1B 的位置．(1)求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线； (2)过点B 画平行于y 轴的直线交原抛物线于点C ，求线段BC 的长；(3)若平行于y 轴的直线:l x m =与两条抛物线的交点是,P Q ，当线段PQ 的长度超过6时，求m 的取值范围．23．（本题满分12分）阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰ABC 中，AD 平分BAC ∠，∵AB AC =，BD CD =，∴AB BDAC CD=，他们猜想：在任意ABC 中，一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图1所示，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，求证：AB BDAC CD=． 丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；思思认为，可以通过比较ABD △和ACD △面积的角度来证明． (1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．(2)【尝试应用】如图2，O 是Rt ABC 的外接圆，点E 是O 上一点（与B 不重合，且AB AE =，连结AE ，并延长AE ，BC 交于点D ，H 为AE 的中点，连结BH 交AC 于点G ，求HGGB的值．(3)【拓展提高】如图3，在（2）的条件下，延长BH交O于点F，若BE EF=，求O的直径=，GH x（用x的代数式表示）.。
2024年中考数学第一次模拟试卷(湖南长沙卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（湖南长沙卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列四个实数中，最小的是()A．2-B．4C．1D．5-【答案】D【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．>，【详解】解：∵54∴52>，∴52-<-，∴5214-<-<<，∴最小的数是5-，故选：D．2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的；由此问题可求解．【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以都不是中心对称图形，而C选项可以找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以是中心对称图形；故选C．【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．3．下列计算中，正确的是（）A ．()326x x -=-B ．()2211x x =++C ．632x x x=D ．235+=【答案】A 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法对各选项进行判断即可．【详解】解：由题意知，()326x x -=-，正确，故A 符合要求；()2221211x x x x +=++≠+，错误，故B 不符合要求；6432x x x x=≠，错误，故C 不符合要求；235+≠，错误，故D 不符合要求；故选：A ．【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法．熟练掌握积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法是解题的关键．4．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A ．7.358×107B ．7.358×103C ．7.358×104D ．7.358×106【答案】A【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可．【详解】解：7358万77.3581735800000=⨯=，故选：A ．5．如图，把一个含有45︒角的直角三角板放在两条平行线m ，n 上，若123α∠=︒，则∠β的度数是（）A ．48︒B ．88︒C ．78︒D ．75︒【答案】C 【分析】可求1123α∠=∠=︒，178ACB B ∠=∠-∠=︒，即可求解．【详解】解：如图：m n ∥，1123α∴∠=∠=︒，1∠ 是ABC 的一个外角，45B ∠=︒，178ACB B ∴∠=∠-∠=︒，78ACB β∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．6．如图，AB 是O 的直径，42D ∠=︒，则CAB ∠=（）A ．52︒B ．58︒C ．48︒D ．42︒【答案】C 【分析】本题考查圆周角的性质．由AB 是O 的直径可得90ACB ∠=︒，又由“同弧或等弧所对圆周角相等”可得42B D ∠=∠=︒，从而可求得CAB ∠．【详解】∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC AC=∴42B D ∠=∠=︒，∴90904248CAB B ∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C7．一元一次方程不等式组11112x x +≥-⎧⎪⎨<⎪⎩的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：11112x x +≥-⎧⎪⎨<⎪⎩①②，由①得，x ≥−2，由②得，2x <，故原不等式组的解集为：22x -≤<．在数轴上表示为：故答案为：D ．8．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（）A ．众数是90分B ．方差是10C ．平均数是91分D ．中位数是90分【答案】B 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．【详解】解：A 、∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故此选项不符合题意；B 、方差是：()()()()2222128591295915909110091191010⎡⎤⨯⨯-+⨯-+-+-=≠⎣⎦；故此选项符合题意；C 、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此选项不符合题意；D 、∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键．9．在同一平面直角坐标系中，函数y ax =和()0y x a a =+≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题主要考查正比例函数的系数和一次函数常数项决定图象所过象限的知识点．【详解】解：A ．由函数y ax =得0a >，与()0y x a a =+≠图象的a<0矛盾，故本选项不符合题意；B ．函数()0y x a a =+≠所过象限错误，故本选项不符合题意；C ．函数()0y x a a =+≠所过象限错误，故本选项不符合题意；D ．由函数y ax =得a<0，与()0y x a a =+≠图象的a<0一致，故本选项符合题意．故选：D ．10．“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是()A ．19B ．16C ．13D ．12【答案】C【分析】分别用,,A B C 表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可．【详解】解：分别用A ，B ，C 表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下：AB C AA ，A A ，B A ，C BB ，A B ，B B ，C C C ，A C ，B C ，C共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有3种等可能的结果，∴3193P ==；故选C ．【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若22x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．【答案】2x ≥【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义则被开方数大于或等于零即可得出答案．【详解】解：22x -在实数范围内有意义，故20x -≥，解得：2x ≥．故答案为：2x ≥．12．分式方程422x x =-的解是．【答案】2x =-【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：去分母得：()224x x -=，解得：2x =-，检验：当2x =-时，()20x x -≠，∴原方程的解为2x =-．故答案为：2x =-【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．13．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，实数m 的取值范围是．【答案】1m </1m>【分析】利用方程有两个不相等的实数根时，0∆>，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，∴()2240m ∆=-->，即440m ->，解得：1m <，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．如图，扇形OAB 的半径为1，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P ，35BOP ∠=︒，则 AB 的长l =（结果保留π）．【答案】718π/718π【分析】先求解223570AOB BOP ∠=∠=⨯︒=︒，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：由作图知：OP 垂直平分AB ，∵OA OB =，∴223570AOB BOP ∠=∠=⨯︒=︒，∵扇形的半径是1，∴ AB 的长70π17π18018⨯==．故答案为：7π18．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．15．如图，反比例函数k y x=的图象经过ABCD Y 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD DC ⊥，ABCD Y 的面积为16，则k =．【答案】8-【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA 面积，在得到矩形PDOE 面积，应用反比例函数比例系数k 的意义即可．【详解】解：如图，过点P 做PE y ⊥轴于点E ．四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴=，又BD x ⊥Q 轴，ABDO ∴为矩形，AB DO ∴=，16ABCD ABDO S S ∴== 矩形，P 为对角线交点，PE y ⊥轴，∴四边形PDOE 为矩形面积为8，即8DO EO ⋅=，∴设P 点坐标为(,)x y ，8k xy ==-．故答案为：8-．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．16．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt ABC △的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF 的边长为．【答案】6017/9317【分析】先设正方形的边长为x ，再表示出DE ，AD ，然后说明ADE V ∽ACB △，并根据对应边成比例得出答案.【详解】根据题意可知=5AC ，=12BC ．设正方形的边长为x ，则=DE CD x =，5AD x =-.∵四边形CDEF 是正方形，∴==90C ADE ∠∠︒．∵A A ∠=∠，∴ADE V ∽ACB △，∴AD DE AC BC =，即5512x x -=，解得6017x =.所以正方形的边长为6017.故答案为：6017.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）17．计算：()2012sin60π2133-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭【答案】237+【分析】本题考查实数的混合运算，先计算特殊角三角函数值，零次幂，负整数次幂，绝对值，再进行加减运算即可，正确计算是解题的关键．【详解】解：()2012sin60π2133-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭2312131213=⨯-++-⎛⎫ ⎪⎝⎭31931=-++-237=+18．先化简，再求值：2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中3a =．【答案】21-a a ，336+【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式22212111a a a a a ---+=÷-+()()()21112a a a a a a -+=⋅+--21a a =-当3a =时，原式133633+==-．19．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC ，在点A 处用测角仪测得塔顶端点P 的仰角是45︒，向前走9米到达B 点，用测角仪测得塔顶端点P 和塔底端点C 的仰角分别是60︒和30︒．(1)求BPC ∠的度数；(2)求该铁塔PC 的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：3 1.73≈，2 1.41≈）【答案】(1)30︒(2)14.3米【分析】本题考查了仰角的定义、解直角三角形、三角函数；（1）延长PC 交直线AB 于点F ，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PC x =米，根据AF PF =，构建方程求出x 即可．【详解】（1）延长PC 交直线AB 于点F ，则AF PF ⊥，依题意得：45PAF ∠=︒，60PBF ∠=︒，∴906030BPC ∠=-=︒︒︒．（2）设PC x =米，∵60PBF ∠=︒，30CBF ∠=︒，∴30PBC ∠=︒，∴PBC BPC ∠=∠，∴PC CB x ==米，在Rt CBF △中，3cos302BF CB x =︒=，1sin 302CF CB x =︒=，在Rt PAF △中，45PAF APF ∠=∠=︒，∴PF AF =，∴3139222x x x x +=+=，∴933x =+，∴93393 1.7314.3PC =+≈+⨯≈（米），即该铁塔PC 的高度约为14.3米．20．为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，8089～分为良好，6079～分为及格，59分及以下为不及格．该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．a ．抽取七年级20名学生的成绩如下：65875796796789977710083698994589769788188b ．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100)x ≤≤）c ．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．d ．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：年级平均数中位数方差七年级81m 167.9八年级8279.5108.3请根据以上信息，回答下列问题：(1)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m 的值；(2)估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；(3)若本次竞赛成绩达到81分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．【答案】(1)补全条形统计图见解析；82m =(2)七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人(3)七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多；理由见解析【分析】（1）根据题意可得七年级成绩位于6070x ≤<的有4人；七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，即可求解；（2）先求出八年级成绩优秀的所占的百分比，再分别用300乘以各自的百分比，即可求解；（3）分别求出七、八两个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数，然后进行比较即可．【详解】（1）解：根据题意得：七年级成绩位于6070x ≤<的有4人，补全图形如下：七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，∴七年级成绩的中位数8183822m +==；（2）解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为72100%20%360︒⨯=︒∴八年级成绩优秀的所占的百分比为120%45%5%30%---=，∴八年级成绩达到优秀的学生有30030%90⨯=（人），七年级成绩达到优秀的学生有53007520⨯=人，9075165+=（人），答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人．（3）解：八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：()30020%30%150⨯+=（人），七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：1130016520⨯=（人），∵150165<，∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，用样本估计总体，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．21．如图，在Rt ABC 中，32AC BC ==，点D 在AB 边上，连接CD ，将CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到CE ，连接BE ，DE ．(1)求证：CAD CBE ≌；(2)若2AD =时，求CE 的长；(3)点D 在AB 上运动时，试探究22AD BD +的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)10(3)存在，18【分析】（1）由S AS 即可证明CAD CBE ≌；（2）证明CAD CBE ≌（SAS ），勾股定理得到DE ，在Rt CDE 中，勾股定理即可求解；（3）证明2222AD BD CD +=，即可求解．【详解】（1）解：由题意，可知90ACB DCE ∠=∠=︒，CA CB =，CD CE =．ACB DCB DCE DCB ∴∠-∠=∠-∠．即ACD BCE ∠=∠．()SAS CAD CBE ∴ ≌．（2） 在Rt ABC 中，32AC BC ==，45,26CAB CBA AB AC ∴∠=∠=︒==．624BD AB AD ∴=-=-=．CAD CBE ≌，2BE AD ∴==，45CBE CAD ∠=∠=︒．90ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒．2225DE BD BE ∴=+=．∴在Rt CDE △中，102DE CE CD ===．（3）由（2）可知，2222222AD BD BE BD DE CD ===++．∴当CD 最小时，有22AD BD +的值最小，此时CD AB ⊥．ABC 为等腰直角三角形，116322CD AB ∴==⨯=．∴222222318AD BD CD =≥⨯=+．即22AD BD +的最小值为18．【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．22．某服装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若购进A 种型号服装9件与B 种型号服装10件共需要1810元；若购进A 种型号服装12件与B 种型号服装8件共需要1880元．(1)A 、B 两种型号的服装每件分别为多少元？(2)若销售1件A 型服装可获利18元，销售1件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定购进A 型服装的数量要比购进B 型服装的数量的2倍还多4件，这样服装全部售出后可使总的获利不少于732元，问至少购进B 型服装多少件？【答案】(1)A 种型号服装每件90元，B 种型号服装每件100元．(2)至少购进B 型服装10件．【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．（1）根据题意可知，本题中的相等关系是“A 种型号服装9件，B 种型号服装10件，需要1810元”和“A 种型号服装12件，B 种型号服装8件，需要1880元”，列方程组求解即可．（2）利用两个不等关系列不等式，结合实际意义求解．【详解】（1）设A 种型号服装每件x 元，B 种型号服装每件y 元．依题意可得：91018101281880x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：90100x y =⎧⎨=⎩，答：A 种型号服装每件90元，B 种型号服装每件100元．（2）设B 型服装购进m 件，则A 型服装购进()24m +件．根据题意得：()182430732m m ++≥，解不等式得10m ≥，答：至少购进B 型服装10件．23．如图，四边形ABCD 为矩形，点E 在边AD 上，AE CD =，连接CE ，过点E 作EF CE ⊥交AB 于点F ，分别过点C 、F 作CG EF ∥、FG CE ∥且CG 、GF 相交于点G ．(1)求证：EF CE =；(2)连接GE ，若4CD =，点F 是AB 的中点，求GE 的长．【答案】(1)见解析；(2)210．【分析】（1）根据CE EF ⊥即余角的性质得到，可得∠=∠AFE CED ，根据矩形的性质可得90A D ∠=∠=︒，可证明(AAS)AEF DCE ≌ ，由此即可求证FE CE =；（2）根据题意可证四边形EFGC 是正方形，在Rt AEF 中由勾股定理求出的长，且EFG 是等腰直角三角形，根据其性质得到．【详解】（1）证明：∵CE EF ⊥，∴90CEF ∠=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，∴90AEF AFE AEF CED ∠+∠=∠+∠=︒，∴∠=∠AFE CED ，∵AE CD =，∴(AAS)AEF DCE ≌ ，∴EF CE =．（2）解：如图所示，连接GE ，∵CG EF ∥，FG CE ∥，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵90CEF ∠=︒，∴四边形CEFG 是矩形，∵EF CE =，∴四边形CEFG 是正方形，∵4AB CD ==，点F 是AB 的中点，∴122AF AB ==，∵4AE CD ==，在Rt AEF 中，90A ∠=︒，∴2225EF AF AE =+=，∵四边形CEFG 是正方形，∴EFG 是等腰直角三角形，∴2210EG EF ==．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是证明(AAS)AEF DCE ≌ ，由勾股定理求出FE 的长，由等腰直角三角形的性质即可得到2EG EF =．24．如图，A ，B ，C 是O 上的三点，且AB AC =，8BC =，点D 为优弧BDC 上的动点，且4cos 5ABC ∠=．(1)如图1，若BCD ACB ∠=∠，延长DC 到F ，使得CF CA =，连接AF ，求证：AF 是O 的切线；(2)如图2，若BCD ∠的角平分线与AD 相交于E ，求O 的半径与AE 的长；(3)如图3，将ABC 的BC 边所在的直线1l 绕点A 旋转得到2l ，直线2l 与O 相交于M ，N ，连接AM AN ，．2l 在运动的过程中，AM AN ⋅的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为256，5AE =(3)2l 在运动的过程中，AM AN ⋅的值不发生变化，其值为25【分析】（1）连接AO ，先证BCD ABC ∠=∠，推出AB DF ∥，得到四边形ABCF 是平行四边形，AF BC ∥，再得到OA AF ⊥，即可证得结论；（2）连接AO 交BC 于H ，连接OB ，由垂径定理得142BH CH BC ===，根据4cos 5BH ABC AB ∠==，求出5AB =，设O 的半径为x ，则OA OB x ==，3OH x =-，在Rt BOH 中，由勾股定理求出256x =，O 的半径为256，根据角平分线定义及同弧所对圆周角相等得到AEC ACB BCE ACE ∠=∠+∠=∠，由此得到5AE AC AB ===；（3）连接AO ，并延长AO 交O 于Q ，连接NQ ，过点A 作2AP l ⊥于P ，证明AQM ANP △∽△，得到AM AN AP AQ ⋅=⋅，由（2）可知，点A 到直线1l 的距离为3，直线1l 绕点A 旋转得到2l ，A 到直线2l 的距离始终等于3，不会发生改变，由此得到253253AM AN AP AQ ⋅=⋅=⨯=．【详解】（1）证明：连接AO ，如图1所示：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BCD ACB ∠=∠，∴BCD ABC ∠=∠，∴AB DF ∥，∵CF CA =，∴CF AB =，∴四边形ABCF 是平行四边形，∴AF BC ∥，∵AB AC =，∴»»AB AC =，∴OA BC ⊥，∴OA AF ⊥，∵OA 是O 的半径，∴AF 是O 的切线；图1（2）解：连接AO 交BC 于H ，连接OB ，如图2所示：∵OA BC ⊥，∴142BH CH BC ===，∵4cos 5BH ABC AB ∠==，∴554544AB BH ==⨯=，在Rt AHB 中，由勾股定理得：2222543AH AB BH =-=-=，设O 的半径为x ，则OA OB x ==，3OH x =-，在Rt BOH 中，由勾股定理得：()22234x x =-+，解得：256x =，∴O 的半径为256，∵CE 平分BCD ∠，∴BCE DCE ∠=∠，∵ABC ADC ∠=∠，∴AEC ADC DCE ABC DCE ACB BCE ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴5AE AC AB ===；图2（3）解：连接AO ，并延长AO 交O 于Q ，连接NQ ，过点A 作2AP l ⊥于P ，如图3所示：则AQ 是O 的直径，∴90AMQ ∠=︒，∵2AP l ⊥，∴90APN ∠=︒，∴AMQ APN ∠=∠，∵AQM ANP ∠=∠，∴AQM ANP △∽△，∴AM AQ AP AN=，∴AM AN AP AQ ⋅=⋅，由（2）可知，点A 到直线1l 的距离为3，直线1l 绕点A 旋转得到2l ，∴点A 到直线2l 的距离始终等于3，不会发生改变，∴3AP =，∵25252263AQ OA ==⨯=，∴253253AM AN AP AQ ⋅=⋅=⨯=，∴2l 在运动的过程中，AM AN ⋅的值不发生变化，其值为25．图3【点睛】此题考查锐角三角函数，证明直线是圆的切线，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．25．定义：在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点坐标为()0,c ，那么我们把经过点()0,c 且平行于x 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线221y x x =++的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______．【深入探究】(2)经过点()2,0A -和(),0(2)B x x >-的抛物线21142y x mx n =-++与y 轴交于点C ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D ，请用含m 的代数式表示点D 的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当45CDF ∠=︒时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,1和()2,1-(2)点D 的坐标为()2,1m m +(3)①顶点为91,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或顶点为125,336P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②存在，0m =或222m =+或222m =-【分析】（1）根据定义，确定c 值，再建立方程组求解即可．（2）把点()2,0A -代入解析式，确定1n m =+，根据定义建立方程求解即可．（3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．②设MN 与对称轴的交点为H ，用含m 的式子表示出点P 的坐标，分别写出极限分割线CD 、直线EF 及直线MN 的解析式，用含m 的式子分别表示出点B 到直线EF 的距离和点P 到直线MN 的距离，根据点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等，得出关于m 的绝对值方程，解方程即可．【详解】（1）∵抛物线221y x x =++的对称轴为直线=1x -，极限分割线为1y =，∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为()0,1，则另一个交点坐标为()2,1-．故答案为：()0,1和()2,1-．（2）抛物线经过点()2,0A -，∴()()21102242m n =-⨯-+⨯⨯-+∴1n m =+∴2111142x mx m m -+++=+，解得120,2x x m==∴点D 的坐标为()2,1m m +．（3）①设CD 与对称轴交于点G ，若45CDF ∠=︒，则DG GF =．∵点C 的坐标为()0,1m +，点D 的坐标为()2,1m m +．．∴1,2OC m CD m =+=，∴11,22DG CD GF OC ==，∴112m m =+，解得1211,3m m ==-．∵抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，∴抛物线()2211144y x m m m =--+++的顶点为21,14m m m P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴当1m =时，219144m m ++=，故顶点为91,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；∴当13m =-时，21111251112511144933649336m m ++=⨯-+=⨯-+=，故顶点为125,336P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；∴顶点为91,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或顶点为125,336P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②存在，0m =或222m =+或222m =-．如图，设MN 与对称轴的交点为H ．由()2知，1n m =+，抛物线()2211144y x m m m =--+++的顶点为21,14m m m P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴抛物线21142y x mx n =-++的极限分割线CD ：1y m =+， 直线EF 垂直平分OC ，∴直线EF ：12m y +=，∴点B 到直线EF 的距离为12m +； 直线EF 与直线MN 关于极限分割线CD 对称，∴直线MN ：()312m y +=，∵21,14m m m P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴点P 到直线MN 的距离为()()()2213111114242m m m m m ++-+=-+，点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等，∴()()211111422m m m -+=+，∴()()211111422m m m -+=+或()()211111422m m m -+=-+，解得0m =或222m =+或222m =-，故0m =或222m =+或222m =-．【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键．。
(江苏无锡卷)2023年中考数学第一次模拟考试卷(解析版)
2023年中考数学第一次模拟考试卷（江苏无锡卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1．|-2022|的倒数是（）A．2022B．12022C．-2022D．-12022品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．在简便运算时，把47249948⎛⎫⨯-⎪⎝⎭变形成最合适的形式是（）A．12410048⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭B．12410048⎛⎫⨯--⎪⎝⎭C．47249948⎛⎫⨯--⎪⎝⎭D．47249948⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：人数3485课外书数量（本）12131518则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（）A．13，15B．14，15C．13，18D．15，15【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．5．若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．6．一副三角板按如图所示的位置摆放，若BC DE ∥，则∠1的度数是（）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】C【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠B ＝45°，再由三角形的外角性质可得∠1＝∠2＋∠D 即可求解．【详解】如图所示：∵BC ∥DE ，∴∠2＝∠B ＝45°，∴∠1＝∠2＋∠D ＝45°＋30°＝75°，故C 正确．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．7．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．5152x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩B．5152x yx y=-⎧⎪⎨=+⎪⎩C．525x yx y=+⎧⎨=-⎩D．525x yx y=-⎧⎨=+⎩A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可．【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意；B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意故选D．【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键．9．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．【详解】解：函数y ＝ax 与y ＝ax 2+a （a ≠0）A.函数y ＝ax 图形可得a ＜0，则y ＝ax 2+a （a ≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a ）,应交于y 轴负半轴，而不是交y 轴正半轴，故选项A 不正确；B.函数y ＝ax 图形可得a ＜0，则y ＝ax 2+a （a ≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a ）,应交于y 轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B 不正确；C.函数y ＝ax 图形可得a ＞0，则y ＝ax 2+a （a ≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a ）,应交于y 轴正半轴，故选项C 不正确；D.函数y ＝ax 图形可得a ＜0，则y ＝ax 2+a （a ≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a ）,应交于y 轴正半轴正确，故选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（）A 33B ．22C ．13D ．3【答案】C【分析】由()1,1P 可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为OP AB ∥，则OAB 为等腰直角形，设OC =x ，OB =2x ，用勾股定理求其他线段进而求解．【详解】∵P 点坐标为（1，1），则OP 与x 轴正方向的夹角为45°，又∵OP AB ∥，则∠BAO =45°，OAB 为等腰直角形，∴OA =OB ，设OC =x ，则OB =2OC =2x ，则OB =OA =3x ，∴tan 133OC x OAP OA x ∠===．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P 点坐标推出特殊角是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．分解因式：am an bm bn +--=_________________【答案】()()m n a b +-【分析】利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．【详解】解：原式()()am an bm bn =+-+()()a m n b m n +-+=()()m n a b +=-，故答案为：()()m n a b +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．12．命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是：___________________________．【答案】同位角相等，两直线平行【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到逆命题．【详解】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论是：同位角相等，∴逆命题为：同位角相等，两直线平行，故答案为：同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13．“y的2倍与6的和比1小”用不等式表示为_____________．y+＜【答案】261y+再列不等式即可．【分析】根据题干的描述“y的2倍与6的和”可表示为26,y+＜【详解】解：“y的2倍与6的和比1小”用不等式表示为：261,y+＜故答案为：26 1.【点睛】本题考查的是列不等式，理解题意，注意运算的顺序，再列不等式是解本题的关键．14．我国古代数学家名著《九章算术》记载“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米512石，验得其中夹有谷粒．从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒16粒，估计这批谷米内夹有谷粒约是______石．【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．16．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE =，BD 与CE 相交于点F ，若DEF 的面积是3，则BCF △的面积是______．【答案】27【分析】根据矩形ABCD 的性质，很容易证明DEF ∽BCF △，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出BCF △的面积．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，AD BC ∥EDF CBF ∠∠∴=，EFD CFB ∠∠= ，EDF CBF∠∠=DEF ∴ ∽BCF △，2AE DE = ，AD BC =，DE ∴：1BC =：3，DEF S ∴ ：2BCF S DE = ：2BC ，即3：1BCF S = ：9，27BCF S ∴= ．故答案为：27．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．17．如图，长方形ABCD 中，34AB BC ==，，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转45︒到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为__．18．如图，已知正比例函数2y x =与反比例函数y x=交于A 、B 两点，点C 是第三象限反比例函数上一点，且点C 在点A 的左侧，线段BC 交y 轴的正半轴于点P ，若PAC △的面积是12，则点C 的坐标是______．【答案】()6,1--【分析】过A 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，联立正比例函数32y x =与反比例函数6y x=求得()2,3A --，()2,3B ，得到BC 的解析式为363y x m m=-++，利用PAC △的面积即可求得点C 的坐标【详解】联立326y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：()2,3A --，()2,3B ，设6,C m m ⎛⎫⎪⎝⎭，BC L ：y kx b =+，则236k b mk b m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：3k m =-，63b m =+，BC L ∴：363y x m m=-++过A 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，则122,3Q m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，126AQ m∴=+19．（8分）解方程(1)2230x x --=(2)2620x x +-=20．（8分）解不等式组21132x x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩，并把不等式组的解集表示在数轴上．【答案】13x -<≤，数轴见解析【分析】先求解不等式组的解集，然后再数轴上表示即可．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．21．（10分）如图，点C、D在线段AB上，且ACDE=CF．【答案】见解析【分析】只要证明△ADE≌△BCF即可解决问题．【详解】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即：AD=BC，∵AE∥BF，∴∠A=∠B，∵AE=BF，∴△ADE≌△BCF，∴DE=CF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．22．（10分）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．(1)将表格补充完整．正多边形的边数3456α的度数(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为．(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝．名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．8085x ≤<，B ．8590x ≤<，C ．9095x ≤<，D ．95100x ≤≤），下面给出了部分信息：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩：98，81，98，85，98，97，91，100，88，84．八年级10名学生的竞赛成绩在C 组中的数据是93，90，94，93．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数94b 众数c 93八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：=a ___________，b =___________，c =___________；(2)根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）；(3)我校七、八年级分别有780名、620学生参加了此次竞赛，请估计成绩达到90分及以上的学生共有多少名？(1)证明：ADB AED ∆∆ ；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长．点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE 平分CED ∠；(2)连接BD ，求证：90DBC ∠=︒．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．【详解】（1）证明：由旋转性质可知：AE AC =，AED C ∠=∠，AEC C∴∠=∠AED AEC∴∠=∠AE ∴平分CED ∠．（2）证明：如图所示：由旋转性质可知：AD AB =，90DAE BAC ∠=∠=︒，ADB ABD ∴∠=∠，DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠，=1802DAB ABD ∠︒-∠ ，1802EAC C ∠=︒-∠，ABD C ∴∠=∠，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，90ABC C ∴∠+∠=︒，90ABC ABD ∴∠+∠=︒，即90DBC ∠=︒．【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．26．（10分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间存在一次函数关系（其中8≤x ≤15，且x 为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．(1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w （元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)5150y x =-+(2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数关系式；（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w 关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，根据题意得：91051195k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：5150k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为5150y x =-+；（2）解：（-5x +150）（x -8）=425，整理得：2383450x x -+=，解得：1213,25x x ==，∵8≤x ≤15，∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）解：根据题意得：()()()851508w y x x x =-=-+-251901200x x =-+-()2519605x =--+∵8≤x ≤15，且x 为整数，当x <19时，w 随x 的增大而增大，∴当x =15时，w 有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，27．（10分）如图在△ABC 和△CDE 中，AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE ，连接AD ，BE 交于点M ．(1)如图1，当点B ，C ，D 在同一条直线上，且∠ACB =∠DCE =45°时，可以得到图中的一对全等三角形，即______≌______；(2)当点D 不在直线BC 上时，如图2位置，且∠ACB =∠DCE =α．①试说明AD =BE ；②直接写出∠EMD 的大小（用含α的代数式表示）．【答案】(1)△BCE ，△ACD(2)①见解析；②∠EMD =α．【分析】（1）由“SAS”可证△BCE ≌△ACD ；（2）①由“SAS”可证△BCE ≌△ACD ，可得AD =BE ，②由全等三角形的性质可得∠CAD =∠CBE ，由三角形的内角和定理可求解．【详解】（1）解：∵∠ACB =∠DCE =45°，∴∠ACD =∠BCE ，在△BCE 和△ACD 中，BC AC BCE ACD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△ACD（SAS ），故答案为：△BCE ，△ACD ；（2）①证明：∵∠ACB =∠DCE =α，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD =BE ；②解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，∵∠BAC +∠ABC =180°-α，∴∠BAM +∠ABM =180°-α，∴∠AMB =∠EMD =180°-（180°-α）=α．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACD ≌△BCE 是解题的关键．28．（10分）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．213n n -++。
2024届上海市宝山区初三一模数学试卷(含答案)
图 2 第1页 共12页2024届上海市宝山区初三一模数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各组中的四条线段成比例的是（ ▲ ）（A ）2cm ，3cm ，4cm ，5cm ；（B ）2cm ，3cm ，4cm ，6cm ； （C ）1cm ，2cm ，3cm ，2cm ； （D ）3cm ，2cm ，6cm ，3cm ．2.已知线段AB ＝2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，则AP 的长是（ ▲ ）（A ）253−；（B ）53−； （C）215−； （D ）15−.3.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图1，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为24°，则高BC 是（ ▲ ）（A ） 2450sin 米； （B ） 2450cos 米； （C ）︒2450sin 米； （D ）︒2450cos 米. 4.在四边形ABCD 中，如果BC AD 32=，|AB DA +|＝|DA DC −|，那么四边形ABCD 是（ ▲ ）（A ）矩形； （B ）菱形； （C ）正方形； （D ）等腰梯形.5.二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像如图2所示，则一次函数y ＝ax ＋b 的图像不．经过（ ▲ ）（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限.图3图16.如图3，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与△AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC ；②△ABD .关于这两个三角形，下列判断正确．．的是( ) （A ）只有①是； （B ）只有②是； （C ）①和②都是； （D ）①和②都不是．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段c 是a 和b 的比例中项，那么c ＝ ▲ .8.比例尺为1:100000的地图上，A 、B 两地的距离为2cm ，那么A 、B 两地的实际距离为 ▲ km .9.计算：sin 30°－sin 45°．cos 45°＝ ▲.10.二次函数()20y ax bx c a =++≠图像上部分点的坐标（x ，y ）对应值如表1所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ▲ .11.直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是 ▲. 12.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 为重心，联结AG 并延长，交BC 于点F ，如果BC ＝6，那么GF 的长是 ▲ .13.如图4，斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，如果坡比i ＝1:3，那么这个斜坡的长度AB ＝ ▲ m .14.在△ABC 中，如果2BC =，7AB =，3AC =，那么cos A = ▲.15.如果二次函数)0()2(<−=a x a y 2的图像上有两点），（149y 和），（237y ， 那么y 1 ▲ y 2.（填“>”、“=”或“<”）16.如图5，已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝ 6，△ABC 的面积为12，那么EF 的长为 ▲ .17.平面直角坐标系中，在x 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与y 轴的交点的距离．．之和．．最小的点，称为这条抛物线与x 轴的“亲密点”．那么抛物线2245y x x =++与x 轴的“亲密点”的坐标是 ▲ .18.已知AC 和BD 是矩形ABCD 的两条对角线，将△ADC 沿直线AC 翻折后，点D 落在点E 处，三角形AEC 与矩形的重叠部分是三角形ACF ，联结DE ．如果AB ＝6，BF ＝2，那么∠BDE 的正切值是 ▲ .图5表1图4三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图6，在△ABC 中，∠C ＝ 90︒，sinB ＝ 54，AB ＝10，点D 是AB 边上一点， 且BC ＝ BD ．（1）求BD 的长；（2）求∠ACD 的余切值． 20.（本题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E .（1）求DE 的长；（2）联结CE 交BD 于点F ，设a AB =，b AD =，用a 、b 的线性组合表示向量BD ＝ ▲ ，BF ＝ ▲ ．21.(本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点A (1,0)和B (0,3).（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点E (4,m )在该函数图像上，求△ABE 的面积．图6图722.（本题满分10分）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高.测高仪ABCD 为矩形，CD ＝30cm ，顶点D 处挂了一个铅锤H .图8是测量塔高的示意图，测高仪上的点C 、D 与塔顶G 在一条直线上，铅垂线DH 交BC 于点M .经测量，点D 距地面1.9m ，到塔EG 的距离DF ＝13m ，CM ＝20cm .求塔EG 的高度(结果精确到1m )．23.（本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分）如图9，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，且CE ＝BF ，DF 分别交AE 、AC 于点P 、Q ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）求证：DFPQ BF AQ ⋅=⋅2．图8图924.（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线221x y =平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线221x y =交于点N ，且MN ＝4.（1）求平移后抛物线的表达式；（2）如果点N 平移后的对应点是点P ，判断以点O 、M 、N 、P 为顶点的四边形的形状，并 说明理由；（3）抛物线221x y =上的点A 平移后的对应点是点B ，BC ⊥MN ，垂足为点C ，如果△ABC是等腰三角形，求点A 的坐标.图1025.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）如图11，已知△ABC中，AB＝AC＝1，D是边AC上一点，且BD＝AD，过点C作CE∥AB，并截取CE＝AD，射线AE与BD的延长线交于点F.2；（1）求证：BF=DFAF⋅（2）设AD＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式；（3）如果△ADF是直角三角形，求DF的长.图11参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.D ；3.A ；4.D ；5.C ；6.B .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.22；8.2；9.0；10.x ＝2 ；11.S ＝πx 2+2πx ； 12. 1；13.1030； 14.37； 15.>；16.2.4 17. ），085(−； 18. 31或33. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：（1）∵在Rt △ABC 中，sinB ＝ABAC ，又∵sinB ＝ 54，AB ＝10， ∴AC ＝8，…………………………………………………………………………2分 ∵∠C ＝ 90︒，∴，222AB BC AC =+∴BC ＝6，…………………………………………………………………………2分 ∵BC ＝ BD ，∴BD ＝6.………………………………………………………………………… 1分（2）过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E .………………………………………………………1分又由∠C ＝ 90︒，可得DE ∥BC ， ∴，ABAD BC DE = ∵BC ＝6，A D ＝4，AB ＝10，∴DE ＝2.4， ………………………………………………………………………1分 同理可得EC ＝4.8，………………………………………………………………1分 ∵在Rt △DEC 中，cot ∠ACD ＝ DEEC ， …………………………………………1分∴cot ∠ACD ＝ 2. …………………………………………………………………1分20.解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∵DE ∥BC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3， ………………………………………………………………………1分 ∴DE ＝BE ， ………………………………………………………………………1分 设DE ＝BE ＝x ，则AE ＝5-x , ……………………………………………………1分 ∵DE ∥BC ，∴ABAE BC DE =， ……………………………………………………1分 ∴，554x x −= ………………………………………………………………………1分解得920=x ，所以，.920=DE …………………………………………………1分（2）BD ＝a b −， ……………………………………………………………………2分BF ＝.149149a b −…………………………………………………………………2分21.解：（1）由图像经过点B (0,3)，可知c ＝3， ………………………………………2分再由图像经过点A (1,0)，可得0312=++b ，解得b ＝－4， ……………………2分所以，该二次函数的表达式为.342+−=x x y …………………………………1分（2）把x ＝4代入342+−=x x y ，得y ＝3，……………………………………1分由B (0,3)、E (4,3)可知BE ∥x 轴，……………………………………………1分 于是BE ＝4，BE 边上的高为3,…………………………………………………2分∴.63)04(21=⋅−⋅=∆ABE S …………………………………………………1分22.解：在Rt △CDM 中，cot ∠CDM ＝CMCD ， ……………………………………………1分又∵CD ＝30cm ，CM ＝20cm ， ………………………………………………………1分 ∴cot ∠CDM ＝ 23， ……………………………………………………………………1分∵DF ⊥EG ，∴∠DGF +∠GDF ＝90°，……………………………………………………………1分 又由题意可得∠CDM +∠GDF ＝90°，∴ ∠CDM ＝∠DGF ， …………………………………………………………………1分在Rt △DGF 中，cot ∠DGF ＝ DFGF ，…………………………………………………1分又∵DF ＝13m ，∴GF ＝m 239， ………………………………………………………………………1分∴EG ＝GF+EF ＝m 219.1239≈+， ……………………………………………………2分 答：塔EG 的高度约为21m . …………………………………………………………1分23.证明：（1）∵在正方形ABCD 中，∴CD ＝BC ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°， …………………………………1分又∵CE ＝BF ，∴CD -CE ＝BC -BF ，即DE ＝CF ， …………………………………………………………………………1分 ∴△ADE ≌△CDF ，∴∠1＝∠2， …………………………………………………………………………1分 ∵∠ADE ＝90°∴∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ……………………………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝∠2+∠3，∴∠APQ ＝90°，………………………………………………………………………1分 ∴AE ⊥DF.（2）过点E 作EG ⊥AC ,垂足为点G . ………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝90°，∴∠APQ ＝∠AGE ，又∵∠PAQ ＝∠EAG ，∴△APQ ∽△AEG ，……………………………………………………………………1分 ∴EGAE PQ AQ =，…………………………………………………………………………1分 ∵在正方形ABCD 中，∴ 45214=∠=∠DCF ， 在Rt △CDM 中，cot ∠4＝ 22=CE EG ， ∴CE EG 22=， ………………………………………………………………………1分 ∵CE ＝BF ，∴BF EG 22=，………………………………………………………………………1分 ∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝DF ， …………………………………………………………………………1分 ∴BF DF PQ AQ 22=， ∴DF PQ BF AQ ⋅=⋅2.……………………………………………………………1分24.解：（1），，设)0)(21(2>t t t N )421(2−t t M ，则，……………………………………………………1分于是平移后抛物线的表达式是421)(2122−+−=t t x y ， ………………………………1分由平移后抛物线经过原点O (0，0)，可得t ＝2(负值不合题意舍去），………………1分所以，平移后抛物线的表达式是2)2(212−−=x y . ……………………………………1分（2）四边形OMPN 是正方形.根据题意可得O (0，0)，M (2，-2)，N (2，2)，P (4，0)， …………………………1分记MN 与OP 交于点G ，则G (2，0)，∴OG ＝GP ＝2，MG ＝NP ＝2，MN ＝OP ＝4，22==NP NO ，∴四边形OMPN 是平行四边形， ……………………………………………………1分 ∵MN =OP =4，∴四边形OMPN 是矩形， ……………………………………………………………1分 ∵22==NP NO ，∴四边形OMPN 是正方形. ……………………………………………………………1分（3），，设)21(2a a A ，，则)2212(2−+a a B )2212(2−a C ，，222,2)2(22a BC a AC AB =+−==，可得，……………………………………1分；，（舍去①)84(),0,4,04,2)2(22,11222A a a a a a AC AB ===−+−==…………1分 ；，或，②)422()422(,22,22,22,112−−====A A a a a BC AB ………………1分 ；，，，③)22(2,2)2(222A a a a BC AC ==+−=……………………………………1分所以，点A 的坐标是)2,2()422()422()8,4(、，、，、−.25.（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠2，………………………………………………………………………………1分又∵AB ＝AC ，CE ＝AD ，∴△ABD ≌△AEC ，………………………………………………………………………1分 ∴∠3＝∠4，又∵∠AFB ＝∠AFD ，∴△ABF ∽△ADF ，………………………………………………………………………1分 ∴AFBF DF AF =，∴BF DF AF ⋅=2.…………………………………………………………………………1分 解：（2）过点D 作DG ∥AB ，交AE 于点G. ………………………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴DG ∥CE ， ∴AC AD CE DG =，……………………………………………………………………………1分由AD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝1-x ，∴2x DG =，………………………………………………………………………………1分∵DG ∥AB ， ∴BF DF AB DG =，……………………………………………………………………………1分∴y x y x +=12， ∴231x x y −=. ……………………………………………………………………………1分（3）①∠DAF ＝ABD ≠90°，………………………………………………………………1分 ②如果∠AFD ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3+∠4＝90°，可得∠3＝∠4＝30°，……………………1分 设DF ＝m ，则AD ＝BD ＝2m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝ABBF ， ∴2312=+m m ，63=m .………………………………………………………………1分③如果∠ADF ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°，可得∠3＝∠4＝45°，……………………………1分 设DF ＝m ，AD ＝BD ＝m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝BFAB ， ∴221=+m m ，22=m . ………………………………………………………………1分 所以,当△ADF 是直角三角形时，DF 的长为63或22.。
2024年中考数学第一次模拟试卷(徐州卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（徐州卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）118）A ．32B ．23C ．9D ．6【答案】A 189232==故选：A ．2．在下列运算中，正确的是（）A ．835x x x ÷=B ．()2236x x =C ．326x x x ⋅=D ．()235x x =【答案】A【解析】解：A 、835x x x ÷=，故A 符合题意．B 、22(3)9x x =，故B 不符合题意．C 、325x x x ×=，故C 不符合题意．D 、326()x x =，故D 不符合题意．故选：A ．3．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为2个小正方形，第二行是一个小正方形，选项B 中的图形符合题意，故选：B ．4．某轮滑队所有队员的年龄只有12，13，14，15，16（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C 【解析】解：由题图中数据可知：小于14的人有4人，大于14的人也有4人，∴这组数据的中位数为：14，队员年龄的唯一的众数与中位数相等，∴众数是14，即年龄为14的人最多，∴14岁的队员最少有4人，故选：C ．5．如图所示，在正五边形ABCDE 中，过点B ，A 作平行线BG ，AF ，46ABG ∠=︒，则FAE ∠的度数是（）A ．26︒B ．44︒C ．46︒D ．72︒【答案】A 【解析】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，∴()521801085EAB -⨯︒∠==︒．∵AF BG ∥，46ABG ∠=︒，∴1801804610826FAE ABG EAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=．故选：A ．6．二次函数2y ax bx c =++中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程20ax bx c ++=的一个解x 满足条件（）x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y 1.59- 1.16-0.71-0.24-0.250.76A ．1.2 1.3x <<B ．1.3 1.4x <<C ．1.4 1.5x <<D ．1.5 1.6x <<【答案】C【解析】解：由表格可知： 1.4x =时，0.240y =-<， 1.5x =时，0.250y =>，∴当1.4 1.5x <<，存在一个x 的值，使20y ax bx c =++=，∴一元二次方程20ax bx c ++=的一个解x 满足条件为1.4 1.5x <<；故选：C ．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形AOBC 的一个顶点O 在坐标原点，一边OB 在x 轴的正半轴上，4sin 5AOB ∠=，反比例函数48y x =在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则AOF 的面积等于（）A ．30B ．40C ．60D ．80【答案】B 【解析】解：过点A 作AM x ⊥轴于点M ，如图所示．设OA a =，在Rt OAM △中，90AMO ∠=︒，OA a =，4sin 5AOB ∠=，4sin 5AM OA AOB a ∴=⋅∠=，2235OM OA AM a =-=，∴点A 的坐标为3455a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 点A 在反比例函数48y x=的图象上，∴23412485525a a a ⋅==，解得：10a =，或10a =-（舍去）．8AM ∴=，6OM =，∴10OA =．四边形OACB 是菱形，点F 在边BC 上，∴10OB OA ==，114022AOF OBCA S S OB AM ∴==⋅=菱形△．故选：B ．8．如图，在ABC 中，点D 、E 在AC BC 、边上，连接DE 并延长交AB 延长线于点G ．过D 作DF AG ⊥于F ．若2ADF G ∠=∠，:2:1CE BE =，210AD =2AF =，4GE =，则BA 的长度为（）A 2103B ．4103C ．9D ．12【答案】C【解析】解：设ADF α∠=，则2G α∠=，∵DF AG ⊥，∴90AFD ∠=︒，∴90A α∠=︒-，∴18090ADG A G A α∠=︒-∠-∠=︒-=∠，∴GAD 为等腰三角形．由勾股定理得，226DF AD AF =-=，设GD x =，2GF x =-，由勾股定理得，222GF DF GD +=，即()22236x x -+=，解得10x =，∴6DE =，∵:2:1CE BE =，∴:2:3CE BC =，如图，过B 作BQ DG ∥交AC 于Q ，∴BQC EDC ∽，∴CEDEBC BQ =，即263BQ =，解得，9BQ =，∵BQ DG ∥，∴BQA DGA A ∠=∠=∠，∴9BA BQ ==，故选：C ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）9．实数5的平方根是．【答案】5±【解析】解：实数5的平方根是5故答案为：510．分解因式：22mx my -=．【答案】()()m x y x y -+/()()m x y x y +-【解析】解：()()()2222mx my m x y m x y x y -=-=-+；故答案为：()()m x y x y -+．11．作为锦州市非物质文化遗产，锦州烧烤已经成为我市的一张饮食文化名片，并于2022年入选国家《地标美食名录》．上网搜索“锦州烧烤”，网页显示找到相关结果约为5140000个，数据5140000用科学记数法可表示为．【答案】65.1410⨯【解析】65140000 5.1410=⨯．故答案为：65.1410⨯．12．圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则圆锥的侧面积为2cm ．【答案】6π【解析】圆锥的侧面积为：()12236cm 2ππ⨯⨯⨯=．故答案为：6π13．如图，O 的直径12cm CD =，AB 是O 的弦，AB CD ⊥于点E ，13OE OC =：：，则AB 的长为．【答案】82先求出OE 再利用勾股定理即可得得出AE ，最后用垂径定理即可得出AB ．【解析】解：如图，连接OA ，O 的直径12cm CD =，6OD OA OC ∴===，13OE OC = ：：，2OE ∴=，AB CD ⊥ ，290AB AE OEA ∴=∠=︒，，在Rt OAE △中，223642AE OA OE =--282cm AB AE ∴==．故答案为：8214．列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马x 两，每头牛y 两．根据题意，可列方程组为．【答案】273212x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】解：由题意得：273212x y x y +=⎧⎨+=⎩，故答案为：273212x y x y +=⎧⎨+=⎩．15．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60A ∠=︒，直尺的一边与BC 重合，另一边分别交AB ，AC 于点D ，E ．点B ，C ，D ，E 处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为．233233【解析】解：由题意得，1DE =，3BC =，在Rt ABC △中，60A ∠=︒，则33tan 3BC AB A ==∵DE BC ∥，ADE ABC ∴△△∽，DE AD BC AB ∴=，即1333=解得：233BD =，23316．在古代的两河流域，人们用粘土制成泥版，在泥版上进行书写．古巴比伦时期的泥版BM15285（如图1）记录着祭司学校的数学几何练习题，该图片由完美的等圆组成．受泥版上的图案启发，某设计师设计出形似雨伞的图案用作平面镶嵌（如图2），若图案中伞顶与伞柄的最长距离为2，则一块伞形图案的面积为．【答案】2【解析】解：观察图形，一块伞形图案的面积为：矩形面积-下半圆面积+上半圆面积=矩形面积，∴一块伞形图案的面积为：2×1=2．故答案为：2．17．如图，曲线l 是由函数k y x=在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45︒得到的，过点(42,2A -，(22,2B 的直线与曲线l 相交于点M ，N ，若OMN 的面积是46，则k 的值为．【答案】5【解析】解：连接OA ，OB ，过A 作AE y ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，如图所示：点(2,2A -，(2,2B ，42OE ∴=42AE =228OA OE AE ∴=+=，45EAO AOE ∠=∠=︒，同理得：4OB =，45BOF ∠=︒，90AOB ∠=︒∴，OA OB ∴⊥，函数(0)k y k x=>在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45︒，∴建立新的坐标系：OB 为x '轴，OA 为y '轴，则旋转后的函数解析式为：k y x '='，在新的坐标系中，()0,8A ，()4,0B ，设直线AB 的解析式为：y mx n '='+，则840n m n =⎧⎨+=⎩，解得28m n =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：28y x ''=-+，设()11,28M x x -+，()22,28N x x -+，由28k x x '-+='得：2280x x k ''-+=，124x x ∴+=，122k x x =，()121118484286222OMN AOB AOM BON S S S S x x =--=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-+= 整理得126x x -=-()2126x x ∴-=，∴22112226x x x x +-=，()2121246x x x x ∴+-=，24462k ∴-⨯=，5k ∴=；故答案为：5．18．如图，等腰ABC 中，4AB AC BC m ===，，点D 是边AB 的中点，点P 是边BC 上的动点，且不与B C 、重合，DPQ B ∠=∠，射线PQ 交AC 于点Q ．当点Q 总在边AC 上时，m 的最大值是．【答案】42【解析】解：设BP x =，则,PC m x =-AB AC = ，,B C ∴∠=∠,DPQ B ∠=∠Q ,C DPQ ∴∠=∠180,180PQC QPC C BPD ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠Q ,DPQ QPC -∠,PQC BPD ∴∠=∠,BPD CQP ∴V V ∽,BD PBCP CQ ∴=即2,xm x CQ =-2111(),222CQ x m x mx ∴=-=-+当12x m =时，CQ 取最大值，最大值为218m ，要使Q 永远在AC 上，则CQ AC ≤，即4CQ ≤，214,8m ∴≤232,m ∴≤042,m ∴<≤∴m 的最大值为42故答案为：42三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（1()10131330 3.142tan π-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭；（2）解方程：24810x x ++=．【解析】（1）原式()3313123131223=--+-=--=-（2）解：2124x x +=-212114x x ++=-+，()2314x +=312x +=±∴1312x =-+，2312x =--．20．（1）化简24()44-÷+--a a a a （2）解不等式组：2132(1)4x x x x <+⎧⎨--≤⎩【解析】解：（1）原式224444a a a a a --+=÷--224444a a a a a --=⨯--+2244(2)a a a a --=⨯--12a =-；（2）()213214x x x x <+⎧⎪⎨--≤⎪⎩①②解不等式①，得1x >-，解不等式②，得2x ≤，故原不等式组的解集是12x -<≤．21．2023年9月，为了更好地落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，某中学定于每周二、周四下午进行兴趣社团课“走班制”，开设了5类兴趣社团课（每位学生均只选其一）：A ．音乐；B ．体育；C ．美术；D ．信息技术；E ．演讲．为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查的学生人数为________人，并补全条形统计图；(2)求“C”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数；(3)该校现有学生1800人，请你估算该校参加“D”类兴趣社团课的学生有多少人？【解析】（1）解：1230%40÷=（人）参加“D”类兴趣社团课的学生有：40612859----=（人）补全条形统计图（2）“C”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数为：8 3607240︒⨯=︒（3）该校参加“D”类兴趣社团课的学生有：4061285 180040540----⨯=（人）22．元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客领取门票后可随机选择一个闸口通过．(1)一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为______．(2)当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率．【解析】（1）解：由题意可得：选择A闸口通过的概率为14，故答案为14；（2）解：设这两名游客为甲和乙，由题意可得如下表格：甲/乙A B C DA(),A A(),A B(),A C(),A DB(),B A(),B B(),B C(),B DC(),C A(),C B(),C C(),C DD(),D A(),D B(),D C(),D D由表格可知两名游客选择闸口通过的可能性有16种，其中选择不同闸口通过的情况有12种，∴两名游客选择不同闸口通过的概率为123164 P==．23．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．【解析】解：四边形AECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴//DC AB，∴∠DFA=∠BAF，又∵∠DCE=∠BAF，∴∠DCE=∠DFA∴//FA CE，∴四边形AECF是平行四边形．24．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．(1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；(2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润．【解析】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x 元，则第二次每件的进价为(120%)x +元，依题意得：3000300010(120%)x x -=+，解得：50x =，经检验：50x =是方程的解，且符合题意，答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．（2）解：由题意可得30003000703000217005050 1.2⎛⎫⨯+-⨯= ⎪⨯⎝⎭（元），答：两次的总利润为1700元．25．已知BC 是O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB AD =，AE 是O 的弦，30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD 是O 的切线；(2)若AE BC ⊥，垂足为M ，O 的半径为10，求AE 的长．【解析】（1）如图，连结OA ，∵30AEC ∠=︒， AC AC =,∴30260B AEC AOC AEC ∠=∠=︒∠=∠=︒,，∵AB AD =，∴30D B ∠=∠=︒，∴18090OAD AOC D ∠=︒-∠-∠=︒，∵OA 是O 的半径，且AD OA ⊥，∴直线AD 是O 的切线．（2）∵BC 是O 的直径，且AE BC ⊥于点M ，∴AM EM =，∵9060AMO AOM ∠=︒∠=︒，，∴30OAM ∠=︒，∴1110522OM OA ==⨯=，∴22221053AM OA OM =--∴2233AE AM ==⨯．26．如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的简化结构图，如图2所示．若座板CD 平行于地面，前支架AB 与后支架OF 分别与CD 交于点E ，D ，量得20cm ED =，40cm DF =，58AED ∠=︒，76ODC ∠=︒．(1)求椅子座板CD 距离地面BF 的高度；(2)求两支架着地点B ，F 之间的距离．（精确到0.1cm ）（参考数据：sin 580.85︒≈，cos 580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan 76 4.00︒≈）【解析】（1）解：过点E ，D 分别作EH BF ⊥于H ，作DG BF ⊥于G ，90EHB DGF ∴∠=∠=︒，∵ED BF ∥，58OED OBF ∴∠=∠=︒，76ODE DFG ∠=∠=︒，在Rt DGF △中，40DF =，sin sin 760.97DG DFG DF∠=︒=≈ ，()0.974038.8cm DG ∴=⨯=，∴椅子座板CD 距离地面BF 的高度是38.8cm ；（2）解：在Rt DGF △中，40DF =，cos cos760.24FG DFG FD∴∠=︒=，()0.24409.6FG cm ∴=⨯=，∵ED BF ∥，EH BF ⊥，DG BF ⊥，∴四边形EDHG 是矩形，38.8cm EH DG ∴==，20cm ED HG ==，在Rt EBH △中，38.8EH =，tan tan 58 1.60EH EBH BH∠=︒=≈ ，()24.25cm BH ∴≈，()24.25209.653.9cm BF BH HG GF ∴=++=++≈，∴两支架着地点BF 之间的距离约为53.9cm ．27．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线31y a x x =+-()()与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且3OC =．点P 是抛物线上的一个动点，连接AP 和BP ．(1)求a 的值和ACO ∠的度数；(2)当点P 运动到抛物线顶点时，求AOC 与APB △的面积之比；(3)如图2，当点P 在抛物线上运动，且满足APB ACO ∠∠=时，求点P 的坐标．【解析】（1）3OC = ，(0,3)C ∴，代入31y a x x =+-()()，得：33a -=，解得1a =-；令0y =，有(3)(1)0x x -+-=，解得3x =-或1x =，(3,0)A ∴-，(1,0)B ，OC OA ∴=，45ACO ∴∠=︒．（2）1a =- ，(3,0)A -，(1,0)B 2(3)(1)(1)4y x x x ∴=-+-=-++，1(3)4=--=AB ，∴顶点P 坐标为(1,4)-， 193322AOC S =⨯⨯=△，14482APB S ∆=⨯⨯=，∴992816AOCAPB S S ==⨯ ．（3）如图，这样的点P 有两个．过点B 作1BD BP ⊥交1AP 于点D过点D 作DE x ⊥轴于点E ，过点1P 作1PF x ⊥轴于点F ．145APB ∠=︒ ，1BDP ∴ 是等腰直角三角形．1BDE PBF ∴ ≌，DE BF ∴=，1BE PF =．设BF m =，则DE m =，21(1,4)P m m m +--，所以，214BE PF m m ==+．244AE AB BE m m ∴=-=--，4AF m =+．1ADE APF ∽，∴1DE AE PF AF =，∴224444m m m m m m--=++，化简得，243m m +=，即2(2)7m +=，解得27m =-±，取27m =-∴1(17,3)P --，根据对称性可知，2(17,3)P --．综上所述P 的坐标为1(17,3)P --，2(17,3)P--．28．（1）【方法尝试】如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系_______，位置关系________；（2）【类比迁移】如图2，在Rt ABC △和Rt ADE △中，909632BAC DAE AC AB AE AD ∠∠=︒====＝，，，，．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为α（0360α︒≤<︒），连接CE BD ，．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，在Rt ABC △中，906ACB AB ∠=︒=，，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连接CD ，使得3tan 4ACD ∠=，请求线段BD 的最大值和最小值．【解析】解：（1）如图，延长CB 交DE 于点H ．由旋转的性质可得：CB ED =，ACB BEH ∠=∠．又∵ABC HBE ∠=∠，∴90CAB BHE ∠=∠=︒，即CB ED ⊥．故答案为：CB ED =，CB ED ⊥；（2）32CE BD =，CE BD ⊥，理由如下，延长CE 交BD 于点Q ，交AB 于点O ，如图2．∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴CAE BAD ∠=∠．∵9632AC AB AE AD ====，，，，∴32ACAEAB AD ==，∴CAE BAD ∽，∴32CE ACBD AB ==，ACE ABD ∠=∠．∵AOC BOQ ∠=∠，∴90OQB OAC ∠=∠=︒，∴32CE BD =，CE BD ⊥；（3）如图，过点A 作AE AB ⊥，使得483AE AB ==，取AB 的中点R ，连接CR ER CE ，，．∵AP BC ∥，∴90DAC ACB EAB ∠=∠=∠=︒．∴CAE DAB ∠=∠．∵3tan 4ADACD AC ∠==，∴34ADABAC AE ==，∴DAB CAE ∽△△，∴34BD ADEC AC ==，∴34BD EC =．∵点R 为AB 中点，90ACB ∠=︒，∴3CR AR BR ===．∵908EAB AE ∠=︒=，，∴2273ER AE AR =+=∵ER CR EC CR ER -≤≤+，733373EC ≤≤∵34BD EC =，37399373BD -+≤∴BD 94373+37394-．。
2024-2025学年初中九年级上学期数学第一次月考卷及答案(北师大版)
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1章～第3章（北师版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．xx2−3xx−5=−5B．2xx2−yy−1=0C．xx2−xx(xx+2.5)=0D．aaxx2+bbxx+cc=02．下列命题为真命题的是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形3．若关于xx的方程xx2+mmxx−6=2．则mm为（）A．−2B．1 C．4 D．−34．a是方程xx2+2xx−1=0的一个根，则代数式aa2+2aa+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20215．如图，在正方形AAAAAAAA中，EE为AAAA上一点，连接AAEE，AAEE交对角线AAAA于点FF，连接AAFF，若∠AAAAEE=35°，则∠AAFFAA的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=11407．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）A．2 B．12 C．18 D．248．如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA相交于点OO，EE是AAAA的中点，若菱形的周长为20，则OOEE的长为（）A．10 B．5 C．2.5D．19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为xx人，则根据题意可列方程为（）A．xx(xx−1)=110B．xx(xx+1)=110C．(xx+1)2=110D．(xx−1)2=11010．关于xx的一元二次方程kkxx2−2xx−1=0有两个不相等的实数根，则kk的取值范围是（）A．kk>−1B．kk>−1且kk≠0C．kk<1D．kk<1且kk≠011．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（）A．74B．95C．1910D．76�312．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=4，E为对角线AAAA上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EEFF⊥AAAA于点F，EEEE⊥AAAA与点G，连接AAEE，FFEE，有下列结论：①AAEE=FFEE．②AAEE⊥FFEE．③∠AAFFEE=∠AAAAEE．④FFEE的最小值为3，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③④第Ⅱ卷二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．一元二次方程5xx2+2xx−1=0的一次项系数二次项系数常数项．14．xx1,xx2为一元二次方程xx2−2xx−10=0的两根，则1xx1+1xx2=．15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为．16．如图所示，菱形AAAAAAAA的对角线AAAA、AAAA相交于点OO．若AAAA=6，AAAA=8，AAEE⊥AAAA，垂足为EE，则AAEE的长为．17．如图，将一张长方形纸片AAAAAAAA沿AAAA折起，重叠部分为ΔΔAAAAEE，若AAAA=6,AAAA=4，则重叠部分ΔΔAAAAEE的面积为．18．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=6，点E，F分别在边AAAA,AAAA上，AAEE=AAFF=2，点M在对角线AAAA上运动，连接EEEE和EEFF，则EEEE+EEFF的最小值等于．三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：（1）3xx2−4xx−1=0；（2）2�xx−3�2=xx2−920．（8分）已知方程xx2+�kk+1−6=0是关于xx的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数kk方程中有两个不相等的实数根．(2)若xx1，xx2是方程的两根，kk=6，求1xx1+1xx2的值．21．（8分）如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA交于点OO，AAEE⊥AAAA交AAAA延长线于EE，AAFF∥AAEE交AAAA延长线于点FF．(1)求证：四边形AAEEAAFF是矩形；(2)若AAEE=4，AAAA=5，求AAAA的长．22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．请根据以上信息回答：(1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有______人．(2)请将条形统计图补充完整；(3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率．23．（8分）阅读材料，回答问题．材料1：为了解方程�xx2�2−13xx2+36=0，如果我们把xx2看作一个整体，然后设yy=xx2，则原方程可化为yy2−13yy+36=0，经过运算，原方程的解为xx1,2=±2，xx3,4=±3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数mm，nn满足mm2−mm−1=0，nn2−nn−1=0，且mm≠nn，显然mm，nn是方程xx2−xx−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知mm+nn=1，mmnn=−1．根据上述材料，解决以下问题：(1)为解方程xx4−xx2−6=0，可设yy=____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____．(2)应用：若实数aa，bb满足：2aa4−7aa2+1=0，2bb4−7bb2+1=0且aa≠bb，求aa4+bb4的值；24．（10分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．(1)设售价每盒下降xx元，则每天能售出______盒（用含xx的代数式表示）；(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；(3)该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形AAAAAAAA．判断四边形AAAAAAAA的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图2，已知四边形AAAAAAAA纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图3，AAAA是锐角△AAAAAA的高，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAEE，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAFF，延长EEAA,FFAA交于点G．①若∠AAAAAA=50°，当△AAAAEE是等腰三角形时，请直接写出∠AAAAAA的度数；②若∠AAAAAA=45°，AAAA=2,AAAA=5,AAEE=EEEE=FFEE，求AAAA的长．26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形AAAAAAAA中，E，F为平面内两点．【初步感知】（1）如图1，当点E在边AAAA上时，AAEE⊥AAFF，且B，C，F三点共线．请写出AAEE与FFAA的数量关系______；【深入探究】（2）如图2，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥EEFF，E，C，F三点共线．若AAEE=2，AAEE=4，求AAEE的长；【拓展运用】（3）如图3，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥EEAA，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥AAEE，且D，F，E三点共线，猜想并证明AAEE，AAEE，AAFF之间的数量关系．2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2024年中考数学第一次模拟试卷(深圳卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（深圳卷）数学·全解全析第一部分选择题一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．每题给出4个选项，其中只有一种是正确旳）1．同学们在进行乒乓球赛时，如果胜3局记作3+，那么0表示（）．A．胜2局B．负3局C．胜3局D．非胜非负【答案】D【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．+，那么0表示非胜非负；【详解】解：胜3局记作3故选：D【点睛】本题主要考查了“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量，以及0的意义，比较简单．2．以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合要求；B、不是轴对称图形，故不符合要求；C、是轴对称图形，故符合要求；D、不是轴对称图形，故不符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握轴对称的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，据统计“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示是（）A ．84410⨯人B ．84.410⨯人C ．94.410⨯人D ．104.410⨯人【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：94400000000 4.410=⨯．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．下列说法正确的是（）A ．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B ．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C ．数据6、5、8、7、2的中位数是6D ．甲乙两名射击运动员各进行10次射击练习，平均成绩相同，成绩的方差分别是：2s 甲=6，2s 乙=4，则甲比乙的成绩稳定【答案】C【分析】A.根据抽样调查和普查概念判断；B ．根据随机事件和必然事件概念判断；C.根据中位数概念判断；D.根据方差概念判断；【详解】A.为了解全国中小学生的心理健康状况，适宜采用抽查；故错误；B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上属于随机事件不一定；故错误；C.数据6、5、8、7、2的中位数是6，故正确；D.甲乙两名射击运动员各进行10次射击练习，平均成绩相同，成绩的方差分别是：2s 甲=6，2s 乙=4，则乙比甲的成绩稳定；故错误；故选：C【点睛】本题主要考查抽样调查和普查概念、机事件和必然事件概念、中位数概念、方差概念，掌握相关概念是解题的关键．5．一个菱形的边长为2，则它的周长是（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四边相等，即可求解．【详解】解：∵一个菱形的边长为2，∴它的周长是248⨯=，故选：A ．6．下列运算正确的是()A ．()236a a -=-B ．236a a a ⋅=C ．222()a b a b +=+D ．22232a a a -=【答案】D【分析】由幂的乘方、同底数幂乘法、完全平方公式、合并同类项，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：A 、()236a a -=，故A 错误；B 、235a a a ⋅=，故B 错误；C 、222()2a b a ab b +=++，故C 错误；D 、22232a a a -=，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂乘法、完全平方公式、合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．7．如图，O 是BC 上一点，AO BC ⊥于点O ，直线DE 经过O 点，25BOD ∠︒＝，则AOE ∠的度数为（）A ．100°B ．105°C ．115°D ．125°【答案】C【分析】由AO BC ⊥，可得90AOC ∠︒＝，由对顶角相等可得25COE BOD ∠∠︒＝＝，根据角的和差即可解答．【详解】解：∵AO BC ⊥，∴90AOC ∠︒＝，∵25COE BOD ∠∠︒＝＝，图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】先根据点H 的运动，得出当点H 在不同边上时HAF △的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．【详解】解：当点H 在AB 上时，如图所示，(cm)AH xt =，()214cm 2HAF S AF AH xt =⨯⨯= ，此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H 在BC 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP AB =，12HAF S AF HP =⨯⨯ ，点当点H 在DE 上时，如图所示，12HAF S AF EF =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在EF 时，如图所示，12HAF S AF HF =⨯⨯ ，点H 零，对照图2可得05t ≤≤时，点(44540cm HAF S xt x ==⨯= ∴2x =，2510(cm)AB ⨯==∴动点H 的速度是2cm /s ，故①正确，58t ≤≤时，点H 在BC 上，此时三角形面积不变，∴动点H 由点B 运动到点C 共用时()853s -=，∴236(cm)BC ⨯==，故②错误，12t b ≤≤，点H 在DE 上，862(cm)DE AF BC =-=-=，∴动点H 由点D 运动到点E 共用时()221s ÷=，∴12113b =+=，故③错误．当HAF △的面积是230cm 时，点H 在AB 上或CD 上，点H 在AB 上时，()24830cm AAF S xt t === ，解得 3.75(s)t =，点H 在CD 上时，()211830cm 22HAF S AF HP HP =⨯⨯=⨯⨯= ，解得7.5(cm)HP =，∴107.5 2.5(cm)CH AB HP =-=-=，∴从点C 运动到点H 共用时2.52 1.25(s)=÷，由点A 到点C 共用时8s ，∴此时共用时8 1.259.25(s)+=，故④错误．故选：A ．【点睛】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．如果从2、6、12、20、30、42这6个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是．【答案】13分析是解题的关键．14．如图，在Rt ABO 中，90,3023,ABO AOB OB ∠=︒∠=︒=反比例函数(k y k x=为常数且0k ≠)的图象经过边OA 的中点,C 则k =．【答案】3-【分析】先过点C 作CD ⊥OB ，根据90∠=︒ABO ，C 点是OA 的中点，得到CD 为Rt ABO 的中位线，再根据三角函数求得C （3,1-），代入函数解析式求出k 值即可.【详解】解：过点C 作CD ⊥OB∵90∠=︒ABO ，C 点是OA 的中点.∴CD 为Rt ABO 的中位线∵30,23AOB OB ∠=︒=∴OD=3，CD=3031tan ︒= ∴C(3,1-)∵反比例函数(ky k x=为常数且0k ≠)的图象经过边OA 的中点,C在Rt △BDE 中，222223104522BD BE ED x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭又∵∠DBE =∠ABC ，∠BED =∠BCA =90°∴△BED ∽△BCA∴BD DE BA AC=即245310263102x x +=+∴221010450x x -+=解得，()2110101010424591042x +-⨯⨯==，()221010101042451042x --⨯⨯==∵△BED ∽△BCA又∵BC >AC∴1BE BC ED CA=>∴BE >ED =3102∴BE =9102则22229103101522BD BE DE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴BC =BD +DC =18>AC =6∴116185422ABC S AC BC =⋅=⨯⨯= ，符合题意若1031022BE DE =<=，不符合题意舍去故答案为：54．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、一元二次方程，解题的关键是通过相似三角形的性质求出BE 的值．三、解答题（本大题共7小题，其中第16小题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）处理方A继续使用B直接丢弃C送回收点D搁置家中E卖给药贩F直接焚烧式所占比8%51%10%20%6%5%例(1)设计调查方式：有下列选取样本的方法：①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．其中最合理的一种是．（只需填上正确答案的序号）(2)描述数据：此次抽样的样本数为1000户家庭，下图是根据调查结果绘制的不完整的条形统计图，请补全此条形统计图．(3)分析数据：根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是．(4)分析数据：家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有800万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是正确的．【答案】(1)③(2)见解析(3)直接丢弃(4)80万【分析】（1）根据抽取的样本具有代表性解题即可；（2）用总量乘以各处理方式所占的百分比求出数量，补图即可；（3）由表格可以得到丢弃所占的百分比最大，即可得到结果；（4）用样本所占百分比乘以总户数解题即可．【详解】（1）解：∵抽取的样本具有代表性，∴③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取更具有代表性；故答案为：③（2）C 的数量为：100010%100⨯=；D 的数量为：100020%200⨯=，补图为：（3）根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是直接丢弃；（4）解：80010%80⨯=（万户）答：估计大约有80万户家庭处理过期药品的方式是正确的．【点睛】本题考查条形统计图，样本的选取，用样本估计总体，众数，解题的关键是利用统计图获取有关信息，在解题时腰认真观察、分析、研究统计图．19．北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国.阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠，梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”，世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨.为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A 品牌足球和2个B 品牌足球共需480元；购买5个A 品牌足球和2个B 品牌足球共需640元(1)求A ，B 两种品牌足球的单价；(2)若该校计划从某商城网购A ，B 两种品牌的足球共20个，其中购买A 品牌的足球不少于3个且不多于B 品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？【答案】(1)A 品牌足球单价为80元，B 品牌足球单价为120元；(2)共有8种方案【分析】（1）根据购买3个A 品牌足球和2个B 品牌足球共需480元；购买5个A 品牌足球和2个B 品牌足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）设购买A 品牌足球a 个，则购买B 品牌足球()20a -个，然后根据购买A 品牌的足球不少于3个且不多于B 品牌的足球个数，列出一元一次不等式组，即可得出答案．【详解】（1）解：设A .，B 两种品牌足球的单价分别为x 元，y 元，根据题意.，得3248052640x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得80120x y =⎧⎨=⎩，答：A 品牌足球单价为80元，B 品牌足球单价为120元；（2）解：设购买A 品牌足球a 个，则购买B 品牌足球()20a -个，根据题意.，得320a a a ≥⎧⎨≤-⎩，解得310a ≤≤，∵a 为整数，∴3,4,5,6,7,8,9,10a =所以共有8种方案【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．20．如图，已知Rt ABC 中，90C ∠=︒．（1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）①BAC ∠的角平分线AD ，交BC 于点D ；②作线段AD 的垂直平分线EF 与AB 相交于点O ；③以点O 为圆心，以OD 长为半径画圆，交边AB 于点M ．（2）在（1）的条件下求证：BC 是O 的切线；（3）若4AM BM =，10AC =，求O 的半径．用尺规作图，准确应用相关性质进行推理运算．21．如图，某蔬菜种植大棚一侧框架，它的上半部分是一个等腰ABC ，其中腰长AB 与底边BC 的比是5:8，它的下半部分是矩形BCDE ，点F 、H 是AB 边的三等分点，点G 、I 是AC 边的三等分点．已知，制造这一侧框架的材料总长（图中所有黑线的长度和）为42米，设AB 的长是x 米，BE 的长是y 米．(1)请直接写出y 与x 的函数关系式__________；(2)若该侧框架围成图形的面积用S 表示，请直接写出S 与x 之间的函数关系__________；(3)当x 等于多少米时，此框架围成图形的面积是28平方米（第2问结论可直接应用）？【答案】(1)1721102y x =-+(2)25684255S x x =-+(3)当x 取52或5时，此框架围成图形的面积是28平方米【分析】（1）先证明AFG AHI ABC ∽∽，则有::::1:2:3FG HI BC AF AG AB ==，即2FG HI BC BC ++=，再根据矩形的性质得到ED BC =，BE JK LM CD ===，然后得到方程168244255x x x y +++=，整理解题即可；（2）过点A 作AN BC ⊥于点N ，根据等腰三角形的性质和勾股定理可以得到35AN x ==，然后根据ABC BCDE S S S =+ 矩形求出面积即可；（3）令28S =，则2568428255x x -+=，解方程求出方程的根解题即可．【详解】（1）解：∵AB :BC 5:8=，AB x =米，∴85BC x =米，又∵F 、H 是AB 边的三等分点，点G 、I 是AC 边的三等分点，∴::::1:2:3AF AG AB AG AI AC ==，∴85ABC BCDE S S S =+=矩形故答案为：25625S x =-+（3）令28S =，则5625-解得：152x =，25x =，∴当x 取52或5时，此框架围成图形的面积是【点睛】本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用，式是解题的关键．22．在ABCD Y 中，点E 是(1)如图1，求证：180BFD FCD ∠+∠=︒；(2)如图1，探索EF 与BD 的数量关系，并证明；(3)如图2，若2AB AF =，3AF =，10AD =，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =2EF ，见解析(3)213FE =【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质以及等量代换即可解答；（2）如图：如图1，延长FE ，DC 交于点G ，先证CEG BEF ≌△△可得CG BF =、EF EG =，再证CEG BEF ≌△△和BFD GCF ≌△△，最后根据全等三角形的性质以及等量代换即可解答；（3）如图2，过点F 作MF CD ⊥于点M ，过点E 作NE BA ⊥于点N ，连接AC ，AE ，则90FMC ∠=︒;由直角三角形的性质可得2CD CM =，再证四边形ACMF 是矩形，然后运用勾股定理求得AC ，进一步求得EN 、FN ，最后运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴180BFD FDC ∠+∠=︒∵FC FD =，∴FCD FDC∠=∠∴180BFD FCD ∠+∠=︒．（2）解：2BD EF =，证明如下：证明：如图1，延长FE ，DC 交于点G ，∵AB CD ∥，∴G BFE∠=∠∵点E 是CB 中点，∴BE CE=又BEF CEG ∠=∠，∴CEG BEF ≌△△，∴CG BF =，EF EG=∵180BFD FCD ∠+∠=︒，180FCG FCD ∠+∠=︒∴BFD GCF ∠=∠，又∵FC FD=∴BFD GCF ≌△△，∴2BD FG EF ==．（3）解：如图2，过点F 作MF CD ⊥于点M ，过点E 作NE BA ⊥于点N ，连接AC ，AE ，则90FMC ∠=︒，∵FC FD =，∴2CD CM=∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，BA CD =，10DA BC ==∵26BA FA ==，∴FA CM =，FA CM ∥，∴四边形ACMF 是平行四边形，∵90CMF ∠=︒，∴四边形ACMF 是矩形，∴90CAF BAC ∠=∠=︒，21∴228AC BC AB =-=∵E 是BC 中点，∴AE BE =，∴3AN BN AF ===，∴142NE AC ==，∴222264213FE FN EN =+=+=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、判定定理成为解答本题的关键。
2024年中考数学第一次模拟试卷(上海卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A ．6B ．9C ．13D ．18【答案】C【解析】A 、6与3不是同类二次根式，B 、93=与3不是同类二次根式，C 、1333=与3是同类二次根式，D 、1832=与3不是同类二次根式.故选C ．2．将抛物线2y x =向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．2(2)y x =-D ．2(2)y x =+【答案】D【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y =x 2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y =（x +2）2，故选D ．3．已知在四边形ABCD 中，AB CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AD BC =B ．AC BD=C ．A C∠=∠D ．A B∠=∠【答案】C【解析】A 、B.∵在四边形ABCD 中，AB CD ，∴AD BC =或AC BD =，都不能判定四边形ABCD 为平行四边形，故A 、B 错误；C.∵AB CD ，∴180B C ∠+∠=︒，∵A C ∠=∠，∴180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，故C 正确．D.当A B ∠=∠时，无法判定四边形ABCD 为平行四边形，故D 错误．故选C．4．在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①线段是轴对称图形，②等边三角形是轴对称图形，③等腰梯形是轴对称图形，④平行四边形不是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．故选C．5．对于数据：6,3,4,7,6,0,9．下列判断中正确的是（）A．这组数据的平均数是6，中位数是6B．这组数据的平均数是6，中位数是7C．这组数据的平均数是5，中位数是6D．这组数据的平均数是5，中位数是7【答案】C【解析】对于数据：6，3，4，7，6，0，9，这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，9，这组数据的平均数是：034667957++++++=，中位数是6，故选C.6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（）A．4B．5C．6D．7.【答案】D【解析】根据勾股定理得：AB=5，根据题意，⊙A与直线BC相交，所以⊙A的半径的取值范围是大于3；又⊙A 与⊙B 没有交点，则r ＜5-1=4或r ＞5+1=6，∴3＜r ＜4或r ＞6．故选D ．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．52的相反数是．【答案】-52【解析】52的相反数是﹣52，故答案为﹣52．8．在四边形ABCD 中，向量AB 、CD 满足AB=-4CD ，那么线段AB 与CD 的位置关系是．【答案】平行【解析】∵AB =-4CD ，∴AB 与CD 是共线向量，由于AB 与CD没有公共点，∴AB ∥CD ，故答案为平行．9．如图，已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝45o ，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC上的点A 1处，点C 落在点C 1处，那么AC 1＝．【答案】22【解析】如图，连接AC 1，由旋转知，△ABC ≌△A 1BC 1，∴AB ＝A 1B ＝3，AC ＝A 1C 1＝2，∠CAB ＝∠C 1A 1B ＝45°，∴∠CAB ＝∠CA 1B ＝45°，∴△ABA 1为等腰直角三角形，∠AA 1C 1＝∠CA 1B+∠C 1A 1B ＝90°，在等腰直角三角形ABA 1中，AA 1＝2AB ＝32，在Rt △AA 1C 1中，22221111AC AA A C (32)222=+=+=．故答案为22．10．计算：32()m m ¸-=．【答案】m【解析】m 3÷（-m ）2=m 3÷m 2=m ．故答案为m ．11．不等式组10,25x x ->⎧⎨<⎩的整数解是．【答案】x =2【解析】1025x x -⎧⎨⎩＞①＜②，由①得x ＞1，由②得x ＜52，∴1＜x ＜52，∵x 取整数，∴x =2．故答案为x =2．12．方程10x x -=g 的根是．【答案】x=1【解析】原方程变形为x （x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．13．如果正比例函数3)y k x =-（的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围是．【答案】k>3【解析】因为正比例函数y=（k-3）x 的图象经过第一、三象限，所以k-3＞0，解得：k ＞3，故答案为k ＞3．14．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽AD 是6米，坝高4米，背水坡AB 和迎水坡CD 的坡度都是1:0.5，那么坝底宽BC 是米.【答案】10【解析】过点A 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，由题意可得：AD=EF=6m ，AE=DF=4m ，∵背水坡AB 和迎水坡CD 的坡度都是1：0.5，∴BE=FC=2m ，∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m ）．故答案为10．15．已知△ABC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，13DE BC =．如果设AB a = ，DE b = ，那么AC =．（用向量a 、b的式子表示）【答案】3a b+【解析】如图，//DE BC ，13DE BC =，DE b = ，∴3BC b =，AC AB BC =+，∴3AC a b =+，故答案为3a b +r r．16．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次骰子，掷的点数大于2的概率是．【答案】23【解析】∵在这6种情况中，掷的点数大于2的有3，4，5，6共4种结果，∴掷的点数大于2的概率为4263=，故答案为：23.17．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置，已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果'1AA =，那么'A D 的长为．【答案】3【解析】如图，∵S △ABC =16、S △A′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴14.52A DE A EF S S ''== ，182ABD ABC S S == ，∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，∴A′E ∥AB ，∴△DA′E ∽△DAB ，则2A DE ADBS A D AD S '⎛⎫ ⎝⎭'⎪ ＝，24.518A D A D '⎛⎫ ⎪'+⎝⎭＝，解得A′D=3或37A D ¢=-（舍），故答案为3．18．如果当a≠0，b≠0，且a≠b 时，将直线y=ax+b 和直线y=bx+a 称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：．【答案】3,31y x y x =+=+【解析】把（1,4）代入y ax b =+得：a+b=4又因为0a ≠，0b ≠，且a b ≠，所以当a=1是b=3所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：3,31y x y x =+=+故答案为3,31y x y x =+=+.第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：11213812221-⎛⎫+-+- ⎪-⎝⎭．【解析】原式＝23(21)2221++-+-＝2+32+3﹣222+﹣1＝224+．（10分）20．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y ＝6x经过第一象限内的点A ，延长OA 到点B ，使得BA ＝2AO ，过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为点H ，交双曲线于点C ，点B 的横坐标为6．求：（1）点A 的坐标；（2）将直线AB 平移，使其经过点C ，求平移后直线的表达式．【解析】（1）作AD ⊥x 轴，垂足为D ，∵BH ⊥x 轴，AD ⊥x 轴，∴∠BHO ＝∠ADO ＝90°，∴AD ∥BH ，∵BA ＝2AO ，12OD OA DH AB ∴==，∵点B 的横坐标为6，∴OH ＝6，∴OD ＝2，∵双曲线y ＝6x经过第一象限内的点A ，可得点A 的纵坐标为3，∴点A 的坐标为（2，3）；（2）∵双曲线y ＝6x上点C 的横坐标为6，∴点C 的坐标为（6，1），由题意得，直线AB 的表达式为32y x =,∴设平移后直线的表达式为32y x =+b ，∵平移后直线32y x =+b 经过点C （6，1），∴3162=⨯+b 解得b ＝﹣8，∴平移后直线的表达式32y x =-8．21．（10分）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB 的坡比i ＝1：2.4，AC 的长为7.2米，CD 的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D 到AB 的距离）．【解析】如图，延长CD 交AB 于E ，∵i ＝1：2.4，∴15tan CAB 2.412∠==，∴512CE AC =，∵AC ＝7.2，∴CE ＝3，∵CD ＝0.4，∴DE ＝2.6，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∴∠EDH ＝∠CAB ，∵5tan CAB 12∠=，∴12cos EDH cos CAB 13∠=∠=，12DH DE cos EDH 2.6 2.413=⨯∠=⨯=.答：该车库入口的限高数值为2.4米．22．（10分）已知：如图，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF AC ⊥，分别交AD 、BC 于点E 、F .（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）如果2·CD BF BC =，求BAF ∠的度数.【解析】()1证明： 四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，12∠∠∴=，点M 为AC 的中点，AM CM ∴=．在AME 与CMF 中，12AM CM AME CMF ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，AME ∴≌()CMF ASA ，ME MF ∴=．∴四边形AECF 为平行四边形，又EF AC ⊥ ，∴平行四边形AECF 为菱形；()2解：2CD BF BC =⋅ ，CD BC BFCD∴=，又 四边形ABCD 为矩形，AB CD ∴=，AB BCBF AB∴=又ABF CBA ∠∠= ，ABF ∴ ∽CBA ，23∠∠∴=，四边形AECF 为菱形，14∠∠∴=，即134∠∠∠==，四边形ABCD 为矩形，13490BAD ∠∠∠∠∴=++=，∴即130∠= ．23．（12分）如图，已知四边形ABCD 菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB ⊥，垂足为点H ，交AC于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G ．（1）求证：12DHO BCD ∠=∠；（2）求证：2HG AE DE CG = ．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，//,,,AB CD AB CD AC BD DO BO ∴=⊥=，12ACD BCD ∠=∠，DH AB ⊥ ，90DHA DHB ∴∠=∠=︒，//AB CD ，90DHA HDC ∴∠=∠=︒，90BDH BDC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒ ，90ACD BDC ∴∠+∠=︒，90,DHB DO BO ∴∠=︒=，OD OH ∴=，BDH DHO ∴∠=∠，12DHO BCD ∴∠=∠．（2）//AB CD ，1HO OB OG OD ∴==，12OH OG HG ∴==， AD CD =，DCA DAC ∴∠=∠，,AED HDC DCA HGC HDC DHG ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，又DHO DCA ∠=∠ ，AED HGC ∴∠=∠，AED ∴∆∽CGO ∆，OG CGDE AE∴=，••OG AE CG DE ∴=，1••2HG AE DE CG ∴=，∴2HG AE DE CG = ．24．（12分）已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于63时，求点N 的坐标.【解析】（1）把点A （-1，-2），B （0,1），代入2y x bx c =-++得2=11b c c ---+⎧⎨=⎩，解得=21b c ⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2；∴顶点坐标为()12P ，.（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得131m =+，231m =-+（舍去）；∴()2132y x =-++，得顶点()3,2P '-连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得3P H '=,HB=1，P’B=31+=2∵tan 3P HP BH BH ∠='=',∴60P BH ∠=' ,∴18060120P BB ∠=-=''.②∵2BB '=,2P B '=即BB P B '=',∴30BP B P B B ''''∠=∠= ;∵线段P B ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120 ，点P '落在点M 处;∴90OB M ∠=' ,B M B P '=''∴//MB x '轴，23B M B P ''='=;设MNB ∆'在B M '边上的高为h ，得：632MNB B M h S '∆⋅'==，解得6h =；∴设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++得2721a a -=-++解得：4a =或2a =-∴()47N -，或()27N --，，2521a a =-++方程无实数根舍去，∴综上所述：当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.25．（14分）如图，已知△ABC ，AB=2，3BC =，∠B=45°，点D 在边BC 上，联结AD ，以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ．（1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E 是 DF 的中点，求:BD CD 的值；（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长．【解析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB =2，∴·cos 1BH AH AB B ===．∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =+=-+．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos ADDF x x ADF ==-+∠．∴2442y x x =-+．()03x ≤≤;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．∵BC=3，∴312HC =-=．∴225AC AH HC =+=．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQDCQ CQ ∠=．在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AHACH HC ∠==．∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQCQ =．设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，∵35k =，53k =，∴2253DC DQ CQ =+=．∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =．（3）如果四边形ADCF 是梯形则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合．∴1BD =．②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒．∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠．∴ABD ∆∽DFC ∆．∴ABADDF DC =．∵2DF AD =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即()222-23x x x +=-,整理得210x x --=，解得152x ±=（负数舍去）．综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或1+52．。
2024届上海市静安区初三一模数学试题及答案
第6题图上海市静安区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列计算正确的是（）.A 010 ；.B 111 ；.C 111 ；.D 111 ．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）.A 两个平行四边形；.B 两个圆；.C 两个菱形；.D 两个等腰三角形．3..A 2．4.在//AC ，//DF AB ，且.A 5.）.A 3个单位；.C 个单位，再向下平移3个单位．6..A .C 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.0.5的倒数是．8.如果35a b （0b ），那么a b．9.已知线段2AB cm ，点P 是AB 的黄金分割点，且AP PB ，那么PB 的长度是cm ．（结果保留根号）10.如果二次函数2y ax bx c 图像对称轴的右侧部分是上升的，那么它的开口方向是．（填“向上”或“向下）11.已知抛物线29y x mx 的顶点在x 轴负半轴上，那么m 的值为．12.在三角形ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知4DE ，6BC ，:2:3AE AC ，那么能否得到//DE BC ？（填“能”或“否”）13.如果两个相似三角形对应边上的高之比是4:9，那么它们的周长之比等于．14.如图，小红沿坡度1:2.4i 的坡面由A 到B 行走了26米，那么小红行走的水平距离AC 米．15.16.在 处，那么DB 17.③31y x ；④y 18.点D 那么19.第20题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点 1,0A ，与双曲线my x（0x ）交于点 2,0B ．点 ,2P a 在直线AB 上，过点P 作x 轴的平行线分别交双曲线m y x （0x ）和my x（0x ）于点E 、F ．（1）求m 的值和直线l 的表达式；（2）联结EB 、FA ．求证：//EB FA ．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AC 是矩形ABCD 的对角线，//DE AC ，DE 交BC 延长线于E ，AE 交DC 于F ，BF 交AC 于G ．（1）求证：点G 是ABE 的重心；（2）如果2BG BC ，求AEB 的正弦值．第21题图第23题图如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为 ，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为 ．（参考数据：tan 1.25 ，tan 1.75 ）（1）请在图中标出俯角 、 ，并用计算器求 、 的大小；， ；（精确到1''）（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB AC ，D 是BC 中点，点E 在BA 延长线上，点F 在AC 边上，EDF B ．（1）求证：BDE CFD ∽；（2）求证：2DF EF CF ．第22题图第24题图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点 2,0A 、 6,0B 、 0,8C 、322,3D在同一个二次函数的图像上．（1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；（2）如果射线BE 平分ABC ，交y 轴于点E ，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段BE 的点F 处，求此时抛物线顶点F 的坐标；②如果点P 在射线BE 上，当PBC 与BOE 相似时，请求点P 的坐标．第25题图1第25题图2备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB ，4AD ，3DC ，7BC ．点P 在射线BA 上，点Q 在射线BC 上（点P 、点Q 均不与点B 重合），且PQ BQ ，联结DQ ，设BP x ，DQC 的面积为y ．（1）如图1所示，求sin B 的值；（2）如图2所示，点Q 在线段BC 上，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当DQC 是等腰三角形时，求BP 的长．第1页共4页2023学年第一学期九年级期终考试数学答案要点及评分标准一、选择题：1．D ；2．B ；3．C ；4．C ；5．A ；6．B ．二、填空题：7．2；8．35；9．53 ；10．向上；11．6；12．否；13．4：9；14．24；15．b a 4121；16．5512；17．①②④；18．a 21．三、解答题：19．解：原式=23322122…………………………（4+1分）=2322221 …………………………（2分）=231=25……………………………………（1+2分）20．(1)∵点B (2，1)在双曲线x m y(x ＞0)上，代入得：21m，∴2 m ；…（2分）又直线l 经过点A (1，0)、B (2，1)，设直线l ：)0( k b kx y ，∴代入得：120b k b k ，解得 11b k ，直线l 的表达式是1 x y ；………………（2分）（2）点P (a ，2)在直线AB 上，∴12 a ，∴3 a ，点P (3，2)，…………（1分）过点P 作x 轴的平行线分别交双曲线x y 2(x ＞0)和xy 2 (x ＜0)于点E 、F ，可知点E 、F 纵坐标为2，分别代入解析式得F （-1，2），E （1，2）∴EP =2，EF =2，∵BP =2)12()23(22 ,BA =2)01()12(22 ,…………（4分）∴BAPBEF PE,∴EB ∥FA ．………………………………（1分）21．证明:（1）∵矩形ABCD ，∴AD ∥BE ，AD =BC ，……………………（1分）又∵DE ∥AC ，∴四边形ADEC 是平行四边形，……………………（1分）∴AD =CE ，∴BC =CE ，……………………（1分）∵四边形ADEC 是平行四边形，∴AF =FE ，……………………（1分）∴AC 、BF 是△ABE 的中线，∴点G 是△ABE 的重心.……………………（1分）（2）解：∵G 是△ABE 的重心，BG =BC =2，∴GF =1，BF =3，……………………（1分）第2页共4页∵矩形ABCD ，∴∠ABC=∠FCB =90°，……………………（1分）∴EF =BF =3，Rt △ECF 中，CE =BC =2，∴5232222CE EF CF ，∴35sin EF CF FEC ，即35sin AEB .………………………………（3分）22．（1）标图（略）…（1分），α≈///0252051，β≈///0181560（2）作AH ⊥DE ，垂足为点H ，由题意得AB 、DE 均垂直于地面，∴ABEH 为矩形则HE =AB =200米，∴CH =400-200=200(米)，…………（1分）Rt △AHC 中，∠CAH=α，,cot CHAH1605420025.11200cotCH AH (米)，………（3分）Rt △AHD 中，∠DAH=β，,tan AH DH 28047160tan AH DH （米），……………………（2分）∴CD =280-200=80(米).答：热气球垂直上升的高度CD 为80米．……………………（1分）23．（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，……………………（2分）∵∠EDC =∠B +∠BED =∠EDF +∠FDC ，……………………（2分）又∵∠EDF =∠B ，∴∠BED =∠FDC ，……………………（1分）∴△BDE ∽△CFD ……………………（1分）（2）∵△BDE ∽△CFD ，∴DC BE DF DE ，……………………（1分）又∵BD =DC ，∴BD BE DF DE ，即BDDF BE DE ，……………………（2分）又∠EDF =∠B ，∴△DFE ∽△BDE ，……………………（1分）∴△DFE ∽△CFD ,∴CFDFDF EF，∴CF EF DF 2.……………………（2分）24.(1)由二次函数的图像过A （－2，0）、B （6，0），可知其对称轴为直线2 x ，又∵D （2，332）在同一个二次函数的图像上，可知抛物线顶点为点D ，设解析式为332)2(2x a y ，将C （0，8）代入得：32a ，…………………（3分）∴解析式为3322-322）（x y ．…………………（1分）（第22题图）AB BADCFE（第23题图）第3页共4页或者)6)(2(32 x x y ，或者838322 x x y ．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线2 x ，Rt △BOC 中，OB =6，OC =8，CB =1022 OB OC ，①作EH ⊥BC 于H ，∵BE 平分∠ABC ，EO ⊥OB ，得OE =EH ，设OE =m ，则CE =8-m ，由△BEC 面积一定可知，EH CB OB CE 2121，代入得：m m 106)8( ，∴m =3，即OE =3,∴E （0,3），…………………（2分）设二次函数对称轴交x 轴于点M ，则2163 OB OE MB FM ，2,4 FM MB ，即点F 的纵坐标y =2，又横坐标x =OM =2，∴F （2，2）.…………………（2分）②由△PBC 与Rt △BOE 相似，可知△PBC 为直角三角形，∠EBO =∠CBP ，536322 EB ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ，∴PN ∥EO ，∴51533 EB EO PB PN ，PB PN 55 ，（i ）当∠BP 1C =90°时，525361 BE OB BC BP ，∴541BP ,411 N P ，Rt △P 1N 1B 中，21tan 11BN P ，∴82111 N P BN ，21 ON ，∴P 1(-2，4).…………………（2分）（ii ）当∠BCP 2=90°，256532 BO BE BC BP ,∴552 BP ，522 N P ，Rt △P 2N 2B 中，21tan 22BN P ，∴102222 N P BN ，42 ON ，∴P 2(-4，5).…………………（2分）综上所述，点P 的坐标为(-2，4)或(-4，5).25.（1）AD //BC ，AB =2，AD =4，DC =3，BC =7．作AE //DC 交BC 于点E ，∴四边形AECD 是平行四边形.则AE =DC =3，BE =BC －AD =3，∴AE =BE ，…………（2分）作EF ⊥AB 于F ，则BF =AF =1，EF =2222BFBE ，∴Rt △BFE 中，322sin BEEF B ;…………………（3分）B第25题图（1）第4页共4页（2）由（1）得，Rt △EFB 中，31cos BEBF B ，∵PQ =BQ ，BP =x ，作QK ⊥AB 于K ，∴BK =x 21，Rt △QKB 中，31cos BQ BK B ，∴x BK BQ 233 ，x QC 237 ，………（2分）作DH ⊥BC 于H ，AG ⊥BC 于G ，Rt △ABG 中，2342322sin B AB AG ，∵AD //BC ，∴234 AG DH ，又∵△DQC 的面积为y ．x x S DQC 22314234)237(21，∴x y 22314，3140( x .…………………（3分）（3）Rt △DHC 中，373247 CH ，97cos DC HC C ，点Q 在线段BC 上，当△DQC 是等腰三角形时，①DC =QC ，3237 x ，38 x ；②DC =DQ ，CH QC 2 ，237237 x ，914x ③DQ =QC ,过Q 点作QI ⊥DC 于I ，DC =2IC ，IC =1.5，Rt △QIC 中，1427cos CIC QC ，1427237 x ，2171x 点Q 在线段BC 延长线上，当△DQC 是等腰三角形时，④∠DCQ 为钝角，仅存在CD =CQ ，320,3723x x ∴综上，当△DQ C 是等腰三角形时，BP 长为38或914或2171或320.……………（4分）B第25题图（2）。
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初三第一次模拟考试（数学）试卷一、选择题（每题四个选顶中只有一个是正确的）（每题2分，共24分） 1．－2006的绝对值是 A ．－2006 B ．20061-C ．20061D ．2006 2．地球赤道长约为4410⨯千米，我国最长的河流——长江全长约为36.310⨯千米，赤道长 约等于长江长的A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠B ＝50°，则A 等于A ．80°B ．60°C ．50°D ．40° 4．下列运算正确的是A .(－x )2∙x 3=x 6B .23)(x x x =÷- C ．2222)2(4xx x =-D ．6328)2(x x =5．右边几何体的俯视图是( )DC BA6．把分式方程12121=----xxx 的两边同时乘以（x -2），约去分母，得 A ．1-（1-x ）=1 B ．1+（1-x ）=1 C ．1-（1-x ）= x -2 D ．1+（1-x ）= x -2 7．方程组 ⎩⎨⎧=-=+12332y x y x 的解是A . ⎩⎨⎧=-=35y x B. ⎩⎨⎧-=-=11y x C . ⎩⎨⎧==11y x D. ⎩⎨⎧-==53y x8．如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12、BD=10、AB=m ，那么m 的取值范围是 A 、1< m <11 B 、2< m <22 C 、10< m <12 D 、5< m <69．若M ⎪⎭⎫⎝⎛-1,21y 、N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,41y 、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21y 三点都在函数kxy =（k <0）的图象上，则321y y y 、、的大小关系为A 、1y ＞2y ＞3yB 、2y ＞1y ＞3yC 、3y ＞1y ＞2yD 、3y ＞2y ＞1y 10．某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的 数据，结果如图．根据此条形图估计这一天该校学 生平均课外阅读时为BA ．0.96时B ．1.07时C ．1.15时D ．1.50时11．已知圆柱的底面半径为3，母线长为8，求得这个圆柱的侧面积为 A.24 B.24π C.48 D. 48π 12．在同一平面直角坐标系中,函数y=k(x －1)与y =)0(<k xk的大致图象是A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题3分，共12分）13．一个口袋中装有4个白球，1个红球，7个黄球，除颜色外,完全相同,充分搅匀后随机 摸出一球，恰好是白球的概率是 . 14．因式分解：x x x 4423+-＝ . 15．如图，某学习小组选一名身高为1.6m 的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长为1.2m ，另一部分同学测量同一时刻旗杆影长为9m ，那么旗杆的高度是＿＿＿＿＿＿m 。
16．已知n (n ≥2)个点P 1，P 2，P 3，…，P n 在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上. 设S n 表示过这n 个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S 2=1，S 3=3，S 4=6，S 5=10，…，由此推断，S n =______________. 三、解答题（每题6分，共24分） 17．计算：(1112cos302-︒⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭－1218．求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+<-231321x x 的整数解.19．化简：4)223(2-÷+-+x xx x x x20．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥DC ，M 为AB 的中点.求证：MD=MC.四、（每题6分，共12分）21．在边长为1的5×5的方格中，有一个四边形OABC ，（1）以O 点为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形与四边形OABC 位似，且该四边形的各个顶点都在格点上；（2）求出你所作的四边形的面积.D C BMAA B C D O x y1 -12 -2 22. 在边长为4的正方形平面内，建立如图所示的平面直角坐标系. 学习小组做如下实验：连续转动分布均匀的转盘（如图）两次，指针所指的数字作为直角坐标系中P 点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）.（1） 转盘转动共能得到 个不同点， P 点落在正方形边上的概率是 ； （2） 求P 点落在正方形外部的概率.五、（每题8分，共16分）23. 据2006年4月30日我市旅游局预测：今年“五一”黄金周期间,我市实现旅游收入再创历史新高,旅游消费呈现多样化,各项消费所占的比例如图所示,其中住宿消费为5000万元. （1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？ （2）对于“五一”黄金周期间的旅游消费,如果我市2008年要达到3.92亿元的目标,那么,2006年到2008年的平均增长率是多少？2006年我市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图-3-2-1321（第24题）25%20%24%18%5% 8%24. 某品牌电热水器，每单位时间内进出水都是一定的，设从某一时刻开始4分钟内只进冷水，不出热水，在随后的8分钟内既进冷水又出热水，如果时间s（分钟）与水量y（升）之间的函数关系如图所示.（1）每分钟进水多少？（2）当4≤x≤12时，x与y有何关系？（3）若12分钟后只放热水，不进冷水，求y的表达式，并在图中把相应的图象补充完整.六、（每题7分，共14分）25. 每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角 ABC＝60º。
为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡。
（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）26. 某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。
在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。
设这种面包的单价为x （角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）。
⑴求y 与x 之间的函数关系式； ⑵当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？ 七、（本题9分）27．如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 是正方形A ′B ′C ′O 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A ′B ′C ′O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的41。
请阅读思考后完成下面三个小题：（1）若正方形A ′B ′C ′O 的边长大于正方形ABCD 的边长，正方形ABCD 的面积为S ，则重叠部分的面积等于 。
（2）若将正方形A ′B ′C ′O 改为其它较大的图形，该图形只要满足条件 时，第（1）小题的结论仍然成立。
（3）若把正方形ABCD 改为正三角形ABC ，（如图②），O 为正△ABC 的中心，以O 为顶点的扇形OB ′C ′绕点O 无论怎样转动，要使它与正△ABC 的重叠部分的面积总是保持不变，问扇形OB ′C ′应该满足什么条件？试说明你的理由。
CC 图1 图2八、（本题9分）28．如图1，在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90o ，AB ＝AC ，BC ＝82㎝，大圆的圆心在A 点，半 径为2㎝，大圆以1cm / s 的速度移动（圆心从A 点出发，沿A —B —C —A 方向移动，圆心 始终在Rt ⊿ABC 边上），设运动时间为t （s ）． （1）当大圆与AC 边相切时，求t 的值；（2）如果一个小圆的圆心在C 点，半径为1㎝，它与大圆同时出发，以2cm / s 的速度沿C —A —B —C 方向移动，当一个圆的圆心到达其出发点时，另一个圆也停止移动（如图2）. ①当两圆相切时，它们的圆心都同时在（ ）A. AC 边上B. AB 边上C. BC 边上D. AB 和BC 边上 ②当两圆相切时，求t答案与评分标准：13.31 14.2)2(-x x 15.12 16.)1(21321+=++++n n n三、17. 原式=1222++⨯－23 …… (3分) (每个一分)=3－3 …（6分）18. －1<x <5，整数解是：0，1，2，3，4. 19. 2 x －420. 证法一：延长DA 交CB 的延长线于E先证明⊿AMD ≌⊿BME ，再在直角⊿CDE 中利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到结论.取DC 的中点N证法二：∵M 是AB 的中点 AD//BC ∴MN//AD∵AD ⊥DC ∴MN ⊥DC ∴MN 为DC 的垂直平分线 ∴MD=MC21. （1）如图：（2）S 四边形OA ‘B ’C ‘＝10.（1）36，31；（2）共有36个点，其中落在正方形外部的点共有20个，概率是：95. 23. (1)由图知,住宿消费为5000万元,占旅游消费的25%, ∴旅游消费共5000÷25%=20000(万元)=2(亿元).交通消费占旅游消费的18%,∴交通消费为20000×18%=3600(万元). 住宿消费占旅游消费的20%，∴住宿消费为20000×20%=4000(万元). ∴今年我市“五一”黄金周旅游消费中各项消费的中位数是（3600＋4000）÷2=3800(万元).(2)解:设2006年到2008年旅游消费的年平均增长率是x ,由题意,得 2（1＋x ）2＝3.92,解得 x 1＝0.4, x 2＝－2.4 因为增长率不能为负,故x 2＝－2.4舍去. ∴x =0.4=40%. 答:2006年到2008年旅游消费的年平均增长率是40%.24. (1)每分钟进水：5420=(升/分) (2)由图设b kx y +=，当x=4时，y=20，∴20=4k+b 当x=12时，y=30，∴30=12k+b解得：45=k ，15=b ， ∴当4≤x≤12时，1545+=x y(3)5=进V ，25.1810V -V ==出进 ∴75.3=出V (升/分)∴x x y 75.375)12(75.330-=--=25. （1）在Rt △ADB 中，AB ＝30m ，∠ABC ＝60º,sin ∠ABC ＝ADAB∴AD ＝AB ·sin ∠ABC＝30×sin60º ≈26.0（m ）答：AD 等于26.0米。