全称量词与存在量词课件(北师大版选修2-1)

答案：D
2．下列命题中全称命题的个数是
(
)
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数； ③有的等差数列也是等比数列； ④三角形的内角和是180°. A．0 B．1
C．2
D．3
解析：来自百度文库题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一 个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题． 答案：D
[例2]
问题1：(1)(2)是命题吗？若是命题，判断其真假．
提示：是 都为真命题.
问题2：(1)(2)中的“存在一个”，“至少有一个”有什么含义？ 提示：表示总体中“个别”或“一部分”. 问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？
提示：某些
有的
有些.
存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示
提示：任意一个 全部 每个.
问题2：上述词语都有什么含义？ 提示：表示某个范围内的整体或全部．
全称量词与全称命题 (1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定
范围内，表示 整体 或 全部 的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词 的命题，叫作全称命题.
观察语句(1)(2)： (1)存在一个x∈R，使3x＋1＝5； (2)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称
命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应 一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有tan x1<tan x2； (4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数． [思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的
在”、“存在”．
[一点通]
判断一个命题是全称命题还是特称命题
时需要注意以下两点： (1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称 量词还是存在量词； (2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意
义进行判断．
1．下列命题为特称命题的是
(
)
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数不小于3 解析：A、B、C均为全称命题，而D中含有存在量词．
[思路点拨]
题否定．
先判断是全称命题还是特称命题，再对命
[精解详析]
(1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三
角形的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
(3分)
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(6分) (3)是特称命题且为真命题． 命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数． (9分)
反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正
确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有 的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否 定是正确的．
[例1] 判断下列命题哪些是全称命题？哪些是特称命题？ (1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形； (4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0； (5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立； (6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他
自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮 脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他 又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．
问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的
人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其它词语代替吗？
为________． 解析：含有量词的命题在进行否定时，除了对结论否 定，还要注意把量词进行转换，即全称量词应变为存 在量词，存在量词应变为全称量词．
答案：有些可以被5整除的整数，末位数不是0
7．命题“对任意x∈R，都有x2＋ax＋1≥0”．
(1)若命题为真，求实数a的取值范围；
(2)写出命题的否定． 解：(1)若“对任意x∈R，都有x2＋ax＋1≥0”是真命题， 则Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2. (2)命题的否定为“存在x∈R，使x2＋ax＋1<0”．
(4)是特称命题，且为真命题．
命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形． (12分)
[一点通]
(1)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全 称命题． (2)写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词 改为存在(全称)量词，然后再否定结论．
5．命题“对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≤0”的否定是 (
A．不存在x∈R，使x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，使x3－x2＋1≤0 C．存在x∈R，使x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1>0
)
解析：原命题为全称命题，其否定为特称命题，即为：存 在x∈R，使x3－x2＋1>0.
答案：C
6．命题“所有可以被5整除的整数，末位数都是0”的否定
1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中
含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以
根据命题的实际含义作出判断． 2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题． (2)改变量词； (3)否定结论； (4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．
[思路点拨]
先观察命题中所含的量词，根据量词的
意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题
的语境进行分析． [精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量
词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故 (1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存
[一点通] (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中 的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只
要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．
(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中， 至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就 是假命题．
3．下列命题的假命题是
A．有些不相似的三角形面积相等 B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
(
)
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大 D．有一个实数的倒数是它本身 解析：以上 4 个均为特称命题，A、C、D 均可找到符合
条件的特例；对 B，任意 x∈R，都有 x 3 ＋ >0.故 B 为假命题． 4 答案：B
语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．
[精解详析]
(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面 直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题
是真命题．
(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，所以该 命题是假命题． (4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所 以该命题是真命题．
知识点一
理解教材 新知
知识点二 知识点三 考点一
第 一 章
§ 3
把握热点 考向
考点二 考点三
应用创新演练
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：
“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不 给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示 热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给 自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自
2
1 2 ＋x＋1＝x＋2
4．判断下列命题的真假． (1)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0； (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； (3)有些整数只有两个正因数； (4)所有质数均为奇数．
解：(1)因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3 ＝0的实数不存在，所以此命题为假命题．
问题2：命题(2)的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？ 提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数． 问题3：判断命题(3)的否定的真假． 提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是 真命题．
全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是 特称命题 ；特称命题的否定 是 全称命题 ．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首 先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称 命题，含有存在量词的是特称命题． 2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个
个别 或 一部分 的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有 存在量词 的命题，叫作特称命题.
观察下列命题： (1)被7整除的整数是奇数；
(2)有的函数是偶函数；
(3)至少有一个三角形没有外接圆． 问题1：命题(1)的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？ 提示：不对，命题(1)是省略了量词“所有”的全称命题，其 否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此
不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以此命题为假 命题． (3)存在这样的整数，如3只有两个正因数1和3，所以此命 题为真命题．
(4)2为质数，但2为偶数．故此命题为假命题．
[例3]
(12分)判断下列命题的真假，并写出这些命题的
否定．
(1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．