第五章 定积分的换元法

2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 2
(arcsin x)2
1 2
1 x2
dx
___________；
5、5 x 3 sin2 x
x 2 x 1 dx 5 4
2
________________________ ..
y a2x2
0
解1 由定积分的几何意义
xa
a
a2 x2dx
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a2
4
解2 a2x2d xxa2x2a2arx cC si
a
2
2a
故 a2 x2dx a 2
0
4
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解3 令 xasitnd xacot s
x 0 t 0xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
8 、
2
max{
x , x 3 }dx ；
0
2
9、
x
0
x
dx
（ 为参数 ） .
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三 、 设
f
(x)
1 1
1 , 当 x 0时，
x
求
1 , 当 x 0时， ex
2 f ( x 1 )dx .
0
四 、 设 f ( x )在 a , b 上 连 续 ，
0 xf(sinx)dx0 f(sitn)dt 0 tf(sint)dt
0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,
x(fsx)idn x f(sx)idn .x
0
20
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另证
将上式改写为 (x)f(sixn)dx0
令t x
0
2
2
则 (x)f(sixn)dx
2
tf(cot)sdt
0
例5
计算
e4
dx
e
x
. lnx(1lnx)
3
解 原式
e4
e
d(lnx) lnx(1lnx)
3 e4
e
d(lnx)
3
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin n x)(e4 e
. 6
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例6 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解一 令 xasitn , d xaco tds , t
（1） 用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
相 应 的 改 变 .
（2） 求出f[(t)](t)的一个原函数 (t)后，不
必象计算不定积分那样再要把 (t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量 t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了.
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a
例2 计算 a2 x2dx
0
2
01xscions2xxdx
2
2
01scionx2sxdx
奇函数
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0o s42 .
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例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
aL
f(x)dx的值a与 无关
a
证明
a L
0
L
a L
f(x )d x f(x )d x f(x )d x f(x )dx
1
tt
a 1f(x2a x2 2)d x2 xa 1f(xax2)dxx
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例12 设 f ( x )
连续
(x)
1
f(x)tdt
0
且lx i0m f(xx)A(A常)数
求 (x)并讨 (x )在 论 x0处的连
解
f 由 (0 l)x i0lm x fi0 (xxf )m ( x A ) 及 lx f (i0 x)[连 f m ( x x )续 x ] 知 0
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二 、计 算下列定 积分：
1 、 2 sin cos 3 d ； 2 、 3 dx ；
0
1 x2 1 x2
3 、
1 3
4
dx ； 1 x 1
4 、
2
cos x cos 3 x dx ；
2
5、 1 cos 2 x dx ； 0
6、
2
4
cos
4
dx
；
2
7 、 1 ( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ； 1
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
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一、换元公式
假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f(x)(x)dx f (t )dt
这说明可用
t(x)
a
引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t(x)
整体视为新变量，则不必换限
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例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本 问题之间的联系——微积分基本公式，利 用这个公式计算定积分的关键是求出不定 积分，而换元法和分部积分法是求不定积 分的两种基本方法，如果能把这两种方法 直接应用到定积分的计算，相信定能使得 定积分的计算简化，下面我们就来建立定 积分的换元积分公式和分部积分公式。
a
0
①f (x)为偶函数，则
a
a
a
f (x)dx20
f (x)dx；
②f (x)为奇函数，则aa f (x)dx0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 af(x ) d中 令 x x t,
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0 a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f(t)dt,
f[ (t) ](t)d t( ) ( ),
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() a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )] F (b)F (a),
b
af(x)d xF(b)F(a) () ()f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
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应用换元公式时应注意:
a
a
0
L
aL
a
f(x)d(x 令 xtL)f(tL)dt
L
a
a
0
f (t )dt f ( x)dx
aL 0
a0
f(x)dxf(x)dx 与 a 的值无关
a
0 精品文档
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
a1f(x2ax22)dxxa1f(xax2)dxx
证明 比较等式两边的被积函数知，令ux2
xa t , x0 t0,
原式 2
2
acots
Hale Waihona Puke Baidu
dt
0 asitn a2(1si2nt)
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
. 4
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解二 接解一
2
对
cos t
dt
0
sin
t
cos
(0)0
x0时
(x) 1f(x)tdt令xtu 0 精品文档
1 x f (u)du x0
(0)lx i0m (xx) 0(0)
lim lim x0
x 0
f
(u)du
0 型L法 则 0
x2
x
f(x) A x0 2x 2
xf(x) f(u)du
x0时 (x)
0
x2
x
lx i0 m (x)lx i0m x(fx)x 02f(u)du
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
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例8 计算 1 2x2xcoxsdx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
dx
1 1
xcoxs dx
1 1x2
偶函数
401
1
x2
dx
1x2
401 x21(1(11x2x)2)dx
奇函数
401(11x2)dx4401 1x2dx
4.
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3
(dt 1 0) dx 2x1
于是
4 x2dx 13(t23)d t22
0 2x1 21
3
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由此可见，定积分也可以象不定积分 一样进行换元，所不同的是不定积分换元时 要回代原积分变量，而对定积分则只需将其 上、下限换成新变量的上、下限即可计算出 定积分，而不必回代原积分变量
0
0
a2
2
(1cos2t)dt
a2
20
4
解4 令 xaco t s
仍可得到上述结果
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例3 计算
2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
x t0, x0 t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt t 6 1
1
6
1. 6
0
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注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
xse t c
t 23, 34, tatn 0, 正确解法是
x21tatn tat.n
2
2 x
dx x2 1
xsect
3 4
1 setctatndt
2 3
setctatn
3
4 dt 2 3
. 12
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练习题
一、填空题：
1、
sin(
3
x
3
)dx
___________________；
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四分之一单位圆的面积
例 9 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sinx)dx 2 f (cosx)dx;
0
0
（2）
xf (sinx)dx
f (sinx)dx.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx.
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证 （1）设 x t d xd,t
t
2
令 I
cost
dt
0
sint
cost
2
J
cost
dt
0 sint cost
则 I J 2 dt
IJ0 20scio ttn 2sc siottn ds tln(tsc in ot)s0 20
IJ
4
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例7 当f (x)在[a, a]上连续，则有
a
a
f (x)dx f (x) f (x)dx 且有
解 f(x)si3x nsi5x ncoxssinx2
si3nxsi5nxdx
coxssin x23dx
0
0
2
coxssin x2 3dx coxssinx23dx
0
2
3
2sinx2dsinx
sinx23dsinx
0
2
2
sin
5
x2
2
5
0
2
sin x
5 2
5
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2
4. 5
3
a 1f(x2a x2 2)dxxa12f(uau2)d 2uu
1a2
a2 du
2
f
(u
) u
u
1
1a
a2 dua2
a2 du
2[f(uu)uf(uu)u]
1
a
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a a 2f(ua u 2)d u(令 uta u 2)a 1f(ta t2)a t2(a t2 2)dt
a f (t a2)dt
则 有 a bf(x)d x f[(t)](t)d.t 精品文档
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(t)F [(t)],
(t)dFdx f(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
思考题
指 出 求 2 dx的 解 法 中 的 错 误 ， 并 写 出 正 确
2 xx21
的 解 法 .
解 令 xset,ct:23, d xtatsn e td ,ct
34
2
dx
3
4
1 setctatn dt
2 x x2 1 23setctatn
3
4 dt
.
2 3
12
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思考题 解答计算中第二步是错误的.
① f(x )为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 20a f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 0.
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍
x
lxi0m [f(xx)0
f(u)du x2 ]
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x
lx i0m f(xx)lx i0m 0 fx(u 2)du
A A A 22
lim (x)(0) x 0 即(x) 在 x0处连续
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二、小结
定积分的换元法
b
a
f
(
x)dxf[(t)](t)dt
几个特殊积分、定积分的几个等式
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x0
t
2, 2
x 2
t0,
2 0
0
f(sinx)dx 2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
0
0
（2）设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d] t
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0(t)f(sti)n d,t
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先来看一个例子
例1 4 x 2 dx 0 2x 1
换元求不定积分
令 t 2x1则
x1(t2 1)
2
x2 dx
2x1
12t2t12t2dt16t3
3t 2
C
1(2x1)323(2x1)12C
6
2
故
4 x2 dx22
0 2x1
3
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尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x1则 x t2 1