离散数学第二章前两节课件

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4、 量词 全称量词 ∀ ∀xF(x): 表示个体域中每个元素都有性质F 存在量词 ∃ ∃ xF(x): 表示个体域中至少有一个元素有性质F 注：量词的确切含义与个体域有关
例3：将下列命题符号化（一阶逻辑）
（1）每个人都是会死的 A(x) 表示 “x 是人”，B(x) 表示 “x 是会死的”， 则原命题符号化为：∀x(A(x) →B(x)) (2) 有些人不喜欢吃早饭 A(x) 表示 “x是人”，B(x) 表示 “x不喜欢吃早饭” 则原命题符号化为：∃x(A(x)∧B(x))。

结论：命题逻辑永真（假）式的代换实例 称为一阶逻辑永真（假）式 p ∧ q →p 永真 ∀xP(x) ∧ ∃ yQ(y) →∀x P(x) 永真
例5：判别以下公式的类型 （1）∀xP(x) →(∀x ∃ yG(x,y) → ∀x P(x)) （2）∃ xP(x) ∧﹁ ∃ xP(x) （3）∀ x∀y (P(x,y) →P(y,x)) （4）¬(∀xP(x)→(∃xQ(x)→∀xP(x)) )
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【练习1】给定解释I如下:D={ 2, 3 }, f (2)=3, f (3)=2, P(2)=1 P(3)=0, Q(2, 2)=1, Q(3, 3)=1,Q(2, 3)=0, Q(3, 2)=0. 求下列闭式在解释I下的真值
1) ∀x(Q( f(x), x)→P(x))
【练习2】在数学分析中极限定义为：任给小正数ε， 则存在着一个正数 δ，使得当 0＜|x−a|＜δ 时有 |f(x)−b|＜ε。 P(x,y) 表示 “x大于y”， Q(x,y) 表示 “x小于y” 则可表示为： (∀ε)(∃δ)(∀x)(((P(ε,0)→P(δ,0))∧Q(|x−a|, δ)∧P(|x−a|, 0))→Q(|f(x)−b|,ε))
2.2 谓词公式与翻译 一、项和原子公式 定义1、项的定义 (1) 个体变元是项； (2)个体常元是项； (3) f是n元运算符号，t1， t2，… tn是项， 则f ( t1， t2，… tn )是项 (4) 当且仅当有限次地使用以上三条得到的 是项。 定义2、原子公式定义 P是n元谓词，t1， t2，… tn是项， 称P（ t1， t2，… tn ）为原子公式
当个体域DI中的元素个数有限时,可将变元的所有 可能取值一一列举出来,此时量词可消除. 设解释I的个体域为{ a1, a2,…, an }, 则在解释I下, ∀ xA(x) ⇔ A( a 1 ) ∧ A( a 2 ) ∧ ... ∧ A( a n ) ∃ xA(x) ⇔ A( a 1 ) ∨ A( a 2 ) ∨ ... ∨ A( a n )
自由变元的代入规则: (1) 对公式中出现该自由变元的每一处都 用新的个体变元替换. (2) 新变元与原公式中所有变元名称不同。 如： ∃x(A(y)∧B(x,y))
例如
∀x(P(x)→R(x,y) ∧Q(x,y))
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注：当个体域中元素的个数是有限时，对量词 辖域中的约束变元的所有可能的取代是可 枚举的，即： 若设个体域为 {a1, a2, …, an} 则： (1) (∀x)A(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (2) (∃x)A(x)⇔A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
三、 谓词公式的解释
谓词公式的真值与那些因素有关?谓词公式的真值 能否像命题逻辑那样总可由真值表给出?
例
指定运算具体含义和个体 指定自由变元
∀x∃y (P(x)∧ Q( f(x,a), y ,z )) 的真值
给出个体域 指定谓词
定义6
闭式:不含自由变元的公式. 否则称为非闭式
定义7
谓词公式的一个解释I(Interpretation)
(2) ∀ห้องสมุดไป่ตู้∃z E( h( y,z ), x )
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例3：给定解释I如下: D={a, b }, P(a,b)=P(b,a)=1, P(a,a)= P(b,b)=0 求下列闭式在解释I下的真值
1) ∀xP(x,x)
定义8 A为一个一阶公式 1）如果公式A在任何解释下均为真,称A为永真式; 2）如果 A在某个解释I和I的一个赋值下为真,称A 可满足; 3）如果公式在任何解释下均为假,称A为永假式.
定义4 对于谓词公式 ∀xP(x) 或 ∃xP(x) 来说，x 称为量词 ∀x 或量词 ∃x 的指导变元或作用变 元。P(x)称为相应量词的辖域。 定义5 在一个谓词公式中，若 x 出现于 ∀x 或 ∃x的辖域中则称 x 的出现是约束的；若 x 的出现 不是约束的，则称是自由的。
(∀ x) A( x ) 或 (∃ x) A( x )

1).指定一个个体域DI. 2).为个体常元符号指定DI中的一个个体. 3).为n元运算符号指定具体含义. 4).为n元谓词符号指定具体含义 闭式在一解释下有一确定真值. 解释I下的一个赋值 为公式中的每个自由变元指定个体域DI中的一个个体. 非闭式在一组解释I及I下一个赋值下, 有一确定真值.
注：要求给一个公式，会给出使之成真 （成假）的解释；反之，给定公式的解 释，会求其真值。
第二章 谓词逻辑
命题逻辑的特点：在命题逻辑中，基本组成单 位是原子命题，并把它看作不可再分解的，而不涉 及其内部的逻辑结构。 命题逻辑的缺点： （1） 它不能揭示某些有效的论证； （ 2 ） 无法将具有某种共同属性的命题显示出 来。 引入了谓词和量词等概念，形成数理逻辑另外 一个重要的基础部分——一阶谓词逻辑。
例1 ：对下列公式，给出使之成真 （成假）的解释 (1) ∀x E(g(x,a), x) (2) ∀x ∃y L(x, y) (3) ∀y (E(x,y) ∨ L(x, y ))
例2：给定解释I和I 中的赋值如下: DI:自然数集,L(x,y):x<y, E(x,y):x=y, h(x,y):x·y, 自 由变元赋值 x=0,（x=1） 求公式在解释I下的真值. (1) ∀y (E(x,y) ∨ L(x, y ))
指导变元 辖域 约束变元
例如 ∀x∀y(A(x,y)∧B(y,z))∧∃xA(x,y) 注：1）一个变元在同一个公式中: 既可以为约束出现，又为自由出现。 2）公式 ∀xP(x)、∀yP(y) 和 ∀zP(z) 在相同的个体域中具有相同的意义
可将谓词公式中的约束变元更改名称符号，这 一过程称为约束变元换名。约束变元换名要遵循一 定的规则： (1) 换名时，更改的对象是量词中的指导变 元，以及该量词辖域中所出现的所有该变元， 其余不变； (2) 换名时换为 公式中未出现的变元名称。
2) ∀x∃yP(y,x) 3) ∃x∀yP(x,y)
定义9：设A是包含命题变元 p1, p2,...pn的 例4：判别以下公式的类型 (1) ∀xP(x) → ∃ xP(x) (2) ∀x﹁P(x) ∧ ∃ xP(x) (3) ∀xP(x) → ∀yP(y) 命题公式, B1,B2,...Bn是谓词公式, 用 B1,B2,...Bn 分别代替p1,p2,...pn 在A中 的所有出现,得到的谓词公式B称A的代换实 例. 例如 (1) ∀xP(x) ∧﹁∀xP(x) (2) ∀xP(x) ∧﹁ ∃ xP(x) (3) ∀x (P(x) → Q(x))
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二、一阶公式（谓词公式）
定义3 谓词公式，由如下递归定义构成： (1) 原子公式是谓词公式； (2) 若 A 是谓词公式，则 ﹁A 也是谓词公式； (3) 若 A 和 B 都是谓词公式，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B) 都是谓词公式； (4) 若 A 是谓词公式，x 是任何个体变元，则 ∀xA 和 ∃xA 都 是谓词公式； (5) 当且仅当有限次地应用规则 (1), (2), (3), (4)所得到的公式 是谓词公式。

注：n元谓词可以看作自变量取自个体域， 函数值取自真值集合{0，1}的n元函数。 例1：将下列命题符号化 1）2和4都是偶数 2）2既是偶数又是素数 3）如果张三比李四高，李四比王五高， 则张三比王五高
3、 运算 个体域上的运算用f,g,h表示

注：n元运算可以看作自变量取自个体域， 函数值取自个体域的n元函数。 例2：将下列命题符号化 1）2与3之和小于2与3之积
2) ∀x∃ yQ( x, y)
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2.1一阶逻辑命题符号化 1、 个体词 1）个体词：研究对象中的客体（客观事物，名 词） 2）个体域：研究对象组成的集合 全总个体域：一切事物的集合 3）个体常元：个体域中特定个体的符号 用a,b,c……表示 4）个体变元：泛指个体域中个体的符号 用x,y,z……表示 2、 谓词 1）一元谓词：表示个体的性质 只需提供一个个体即可成为命题 p(x) 2）二元谓词：表示2个个体之间的关系 p(x,y) …… 3）n元谓词：表示n个个体之间的关系 p(x1,x2,…xn)
(3) 并不是每一个学生都迟到过。 A(x) 表示 “x是学生”，B(x) 表示“x迟到过” 则原命题符号化为：﹁∀x(A(x) →B(x)) 。 （8）每个人都有自己喜欢的职业 （9）有些职业是每个人都喜欢的
也可写成 ∃x(A(x)∧﹁B(x))
(4) 没有不犯错误的人。 (5) 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。 (6) 火车比轮船快。 (7) 有些汽车比所有火车都慢。