离散数学左孝陵版第一章答案
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1
课程说明
一、离散数学课程的地位和作用
离散数学是计算机专业的一门核心基础课程。 1 离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系统、数 据库、编译原理、网络和算法设计等课程提供必要的数学基础。
2 为学生今后从事计算机科学和技术各方面的工作提供有力的 工具。 3 离散数学是现代数学的一个重要分支，通过该课程的学习可 以提高学生的抽象思维、严格推理以及综合归纳分析能力，培养 出高素质的人才。
数理逻辑是用数学方法研究思维规律的一门学科。
所谓数学方法是指:用一套数学的符号系统来描述和 处 理思维的形式与规律。因此, 数理逻辑又称为符号逻辑。 本章介绍数理逻辑中最基本的内容命题逻辑。首先引入
命题、命题公式等概念。然后,在此基础上研究命题公式 间的等值关系和蕴含关系,并给出推理规则,进行命题演 绎。
1. 否定“¬” 定义7-1 设P是一个命题，利用“¬”和P组成的
复合命题称为P的否命题，记作“¬P” (读作“非P”)。
命题P取值为wk.baidu.com时，命题¬P取值为假；命题P取值为假 时，命题¬P取值为真。
P
¬P
1
0
0
1
例4 设P：上海是一个城市；Q：每个自然数都是偶数。
则有¬ P：上海不是一个城市;
¬Q：并非每个自然数都是偶数。
习，独立思考来真正获取知识。
3 注重抽象思维能力的培养。数学与其他学科相比较具有 较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它有着大 量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须具有较好的 抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
4
四、 离散数学课程的主要内容
离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 集合论。包括集合、关系和函数。（教材的第一、 二、三章） 第二部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。（教材的第四、五、六、七章）
例3 构造下列命题公式的真值表，并判断它们是何
种类型的公式
（1）（¬P↔Q）↔ ¬（P↔Q）； （2）（Q→P）∧（¬P∧Q）； （3）（（P∨Q）→（Q∧R））→（P∧¬R）。
24
解 令F1=（¬P↔Q）↔¬（P ↔ Q），F2=（Q→P）∧（¬ P∧Q）
F1和F2的真值表如下：
P Q ¬P
¬P↔Q
(P∨Q)→ (Q∧R)
1 1 0 1 0 0 0 1
P∧¬R
0 0 0 0 1 0 1 0
F
0 0 1 0 1 1 1 0
23
三、公式类型
定义7-8 如果对于命题公式F所包含的命题变元的任
何一组真值指派，F的真值恒为真，则称公式F为重言式 （或永真公式），常用“1”表示。相反地，若对于F所包含 的命题变元的任何一组真值指派，F的真值恒为假，则称公 式F为矛盾式（或永假公式），常用“0”表示。如果至少有 一组真值指派使公式F的真值为真，则称F为可满足公式 。
（2）使用合适的命题联结词，把原子命题逐个联结起 来，组成复合命题的符号化表示。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 （2） 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。 （3） 如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。 （4） 只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。
是所有出现于A和B中的命题变元，如果对于P1, P2, …, Pn 的任一组真值指派，A和B的真值都相同,则称公式A和B等 值，记为A B,称 AB为等值式。
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例10 非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
15
例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结 词的定义来看，因为P的真值为假，Q的真值为真， 所以PQ的真值为假。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
16
三、命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下： （1）从语句中分析出各原子命题，将它们符号化；
主要内容如下：
7.1 命题和命题联结词
7.2 命题公式
7.3 命题公式的等值关系和蕴含关系
7.4 范式
7.5 命题演算的推理理论
7
7.1 命题和命题联结词
一、 命题的概念
命题：是能分辨真假的陈述句。
例1 判断下列语句是否是命题。
（1）空气是人生存所必需的。 （2）请把门关上。
（3）南京是中国的首都。 （4）你吃饭了吗？
3
三、如何学好离散数学
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的上述特 点，需要做到以下几点：
1 熟读教材。准确理解各个概念和定理的含义（结合多个例子 来理解），必要的推理过程要看懂、理解（它可以帮助你熟悉 和深刻理解定理的含义）。
2 独立思考，大量练习。仅靠熟读教材并不能将书本上的知识 变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通过大量练
公式与其命题变元之间的真值关系，可以用真值 表的方法表示出来。
22
例2 给出公式 F=(（P∨Q）（Q∧R）) (P∧¬R）的真
值表。
解
公式F的真值表如下：
P QR
¬R
000
1
001
0
010
1
011
0
100
1
101
0
110
1
111
0
P∨Q
0 0 1 1 1 1 1 1
Q∧R
0 0 0 1 0 0 0 1
P ↔Q
¬(P→Q)
F1 Q→P ¬P∧Q F2
00
1
0
1
0
1
1
0
0
01 1
1
0
1
1
0
1
0
10 0
1
0
1
1
1
0
0
11 0
0
1
0
1
1
0
0
由上可知： F1是重言式 , F2是矛盾式。
(3)的真值表如第4页所示，它是可满足公式。
25
7.3 命题公式的等值关系和蕴含关系
一、命题公式的等值关系
定义7-9 设A和B是两个命题公式, P1, P2, …, Pn
19
7.2 命题公式
一 、 命题公式的概念 1. 命题常元
一个表示确定命题的大写字母。
2．命题变元 一个没有指定具体内容的命题符号。
一个命题变元当没有对其赋予内容时，它 的真值不能确定，一旦用一个具体的命题代入， 它的真值就确定了。
20
3. 命题公式
命题公式（或简称公式）是由0、1和命题变元以及 命题联结词按一定的规则产生的符号串。
2
二、离散数学课程的特点
离散数学课程是应计算机科学和技术发展的 需要，综合了高等数学的多个分支而形成的。其 特点是以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面 较宽。因此概念多、定理多、推理多并且内容较 为抽象。但由于它是为学生后继专业知识的学习 做必要的数学准备，因此它研究的内容均比较基 础，难度不大。
（5）x=3。（6）啊，真美呀！ (7) 明年春节是个大晴天。
解 语句（1）,（3）,（5），(7)是陈述句
（1）、（3）、(7)是命题
用真值来描述命题是“真” 还是“假”。分别用“1”和
“0”表命示题用大写的拉丁字母A、B、C、……P、Q、……或
者带下标的大写的字母来表示。
例2 判断下列陈述句是否是命题。
第三部分 图论。包括图的基本概念，几种特殊的图。（教 材的第八章） 第四部分 数理逻辑。包括命题逻辑和谓词逻辑。（教材的 第九、十章
5
五、 教材及参考书
1、教材：《离散数学基础》 第二版，洪帆主编，华中理 工大学出版社。 2 参考书：《离散数学习题题解》 洪帆、付小青编，华中 理工大学出版社。
6
第七章 命题逻辑
P：地球外的星球上也有人； Q：小王是我的好朋友；
解
P、Q是命题
8
二、命题联结词
原子命题 ：由简单句形成的命题。
复合命题：由一个或几个原子命题通过联结词 的联接而构成的命题。
例3 A：李明既是三好学生又是足球队员。
B：张平或者正在钓鱼或者正在睡觉。 C：如果明天天气晴朗，那么我们举行运动会。
9
定义五种联结词（或称命题的五种运算）。
解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪；
R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬R；（2）（¬P ∧¬Q）→R； （3）¬(P∧Q）→R； （4）R→（¬P ∧¬ Q）
17
例12．将下列命题符号化
（1） 派小王或小李出差； （2） 我们不能既划船又跑步； （3） 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定； （4） 如果李明是体育爱好者，但不是文艺爱好者，那么
由于“ ∨”可用“∨”，“ ∧”和“ ¬ ”表示，
故我们不把它当作基本联结词。
13
4. 蕴含“→”
定义7-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，
称为蕴含式复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则 Q”）当。P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
Q：他可能是400米赛跑冠军。
则命题可表示为P∨Q。
12
设P、Q是两个命题，P异或Q是一个复合命题，记作P∨Q。
P
Q
P∨ Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
例7
今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
令P：今天晚上我在家看电视。
Q：今天晚上我去剧场看戏
例7中的命题可表示为P ∨ Q，或者表示为 （P∧¬Q∨(¬P∧Q)。
10
2．合取“∧”
定义7-2 设P和Q是两个命题，由P、Q利用“∧”
组成的复合命题，称为合取式复合命题，记作“P ∧ Q” （读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P
Q
P∧Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例5 设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
11
3. 析取“∨”
定义7-3 由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，
称为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
例6 将命题“他可能是100米或400米赛跑的冠军。”符号
化。 解 令 P：他可能是100米赛跑冠军；
（1） P→(Q∧PR）；
解 （1） 不是命题公式。
（2）（P∨Q）→（¬（Q∧R））（2） 是命题公式。21
二、真值指派
命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一 个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才 有确定的真值，成为命题。
定义7—7 设F为含有命题变元P1，P2，…,Pn
的命题公式，对P1，P2，…,Pn分别指定一个真值,称 为对公式F的一组真值指派。
定义7-6 （命题公式的递归定义。）
（1） 0，1是命题公式；
（2） 命题变元是命题公式；
（3） 如果A是命题公式，则¬A是命题公式；
（4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B），
（A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式；
有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式。
例1 下列符号串是否为命题公式。
（5） 令P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家读书。
则命题可表示为（¬P → Q）∧（P→R）。
18
练习7-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） 只有小孩才爱哭。
(是 假)
（2） X+6=Y
( 不是 )
（3） 银是白的。
(是 真)
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
李明不是文体爱好者；
（5） 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里看书。
解 （1） 令P：派小王出差；Q：派小李出差。
命题符号化为P∨Q。
（2） 令P：我们划船；Q：我们跑步。则命题可 表示为¬(P∧Q）。
（3） 令P：你来了；Q：他唱歌；R：你伴奏。 则命题可表示为 P→（Q↔R）
（4） 令P：李明是体育爱好者；Q：李明是文艺爱好者。 则命题可表示为（P ∧¬Q）→¬（P ∧Q）
就读完它。”符号化。
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.14
5．等值“↔”
定义7-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合 命题，称为等值式复合命题，记作“P↔Q” （读作“P 当且仅当Q”）。
( 不是 )
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。
解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。
则该命题可表示为¬P∧¬Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。
解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事；
R：他看电视；
S：他听音乐。
则该命题可表示为（P∧¬Q）→（R∨S）
课程说明
一、离散数学课程的地位和作用
离散数学是计算机专业的一门核心基础课程。 1 离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系统、数 据库、编译原理、网络和算法设计等课程提供必要的数学基础。
2 为学生今后从事计算机科学和技术各方面的工作提供有力的 工具。 3 离散数学是现代数学的一个重要分支，通过该课程的学习可 以提高学生的抽象思维、严格推理以及综合归纳分析能力，培养 出高素质的人才。
数理逻辑是用数学方法研究思维规律的一门学科。
所谓数学方法是指:用一套数学的符号系统来描述和 处 理思维的形式与规律。因此, 数理逻辑又称为符号逻辑。 本章介绍数理逻辑中最基本的内容命题逻辑。首先引入
命题、命题公式等概念。然后,在此基础上研究命题公式 间的等值关系和蕴含关系,并给出推理规则,进行命题演 绎。
1. 否定“¬” 定义7-1 设P是一个命题，利用“¬”和P组成的
复合命题称为P的否命题，记作“¬P” (读作“非P”)。
命题P取值为wk.baidu.com时，命题¬P取值为假；命题P取值为假 时，命题¬P取值为真。
P
¬P
1
0
0
1
例4 设P：上海是一个城市；Q：每个自然数都是偶数。
则有¬ P：上海不是一个城市;
¬Q：并非每个自然数都是偶数。
习，独立思考来真正获取知识。
3 注重抽象思维能力的培养。数学与其他学科相比较具有 较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它有着大 量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须具有较好的 抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
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四、 离散数学课程的主要内容
离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 集合论。包括集合、关系和函数。（教材的第一、 二、三章） 第二部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。（教材的第四、五、六、七章）
例3 构造下列命题公式的真值表，并判断它们是何
种类型的公式
（1）（¬P↔Q）↔ ¬（P↔Q）； （2）（Q→P）∧（¬P∧Q）； （3）（（P∨Q）→（Q∧R））→（P∧¬R）。
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解 令F1=（¬P↔Q）↔¬（P ↔ Q），F2=（Q→P）∧（¬ P∧Q）
F1和F2的真值表如下：
P Q ¬P
¬P↔Q
(P∨Q)→ (Q∧R)
1 1 0 1 0 0 0 1
P∧¬R
0 0 0 0 1 0 1 0
F
0 0 1 0 1 1 1 0
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三、公式类型
定义7-8 如果对于命题公式F所包含的命题变元的任
何一组真值指派，F的真值恒为真，则称公式F为重言式 （或永真公式），常用“1”表示。相反地，若对于F所包含 的命题变元的任何一组真值指派，F的真值恒为假，则称公 式F为矛盾式（或永假公式），常用“0”表示。如果至少有 一组真值指派使公式F的真值为真，则称F为可满足公式 。
（2）使用合适的命题联结词，把原子命题逐个联结起 来，组成复合命题的符号化表示。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 （2） 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。 （3） 如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。 （4） 只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。
是所有出现于A和B中的命题变元，如果对于P1, P2, …, Pn 的任一组真值指派，A和B的真值都相同,则称公式A和B等 值，记为A B,称 AB为等值式。
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
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例10 非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
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例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结 词的定义来看，因为P的真值为假，Q的真值为真， 所以PQ的真值为假。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
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三、命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下： （1）从语句中分析出各原子命题，将它们符号化；
主要内容如下：
7.1 命题和命题联结词
7.2 命题公式
7.3 命题公式的等值关系和蕴含关系
7.4 范式
7.5 命题演算的推理理论
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7.1 命题和命题联结词
一、 命题的概念
命题：是能分辨真假的陈述句。
例1 判断下列语句是否是命题。
（1）空气是人生存所必需的。 （2）请把门关上。
（3）南京是中国的首都。 （4）你吃饭了吗？
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三、如何学好离散数学
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的上述特 点，需要做到以下几点：
1 熟读教材。准确理解各个概念和定理的含义（结合多个例子 来理解），必要的推理过程要看懂、理解（它可以帮助你熟悉 和深刻理解定理的含义）。
2 独立思考，大量练习。仅靠熟读教材并不能将书本上的知识 变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通过大量练
公式与其命题变元之间的真值关系，可以用真值 表的方法表示出来。
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例2 给出公式 F=(（P∨Q）（Q∧R）) (P∧¬R）的真
值表。
解
公式F的真值表如下：
P QR
¬R
000
1
001
0
010
1
011
0
100
1
101
0
110
1
111
0
P∨Q
0 0 1 1 1 1 1 1
Q∧R
0 0 0 1 0 0 0 1
P ↔Q
¬(P→Q)
F1 Q→P ¬P∧Q F2
00
1
0
1
0
1
1
0
0
01 1
1
0
1
1
0
1
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10 0
1
0
1
1
1
0
0
11 0
0
1
0
1
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由上可知： F1是重言式 , F2是矛盾式。
(3)的真值表如第4页所示，它是可满足公式。
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7.3 命题公式的等值关系和蕴含关系
一、命题公式的等值关系
定义7-9 设A和B是两个命题公式, P1, P2, …, Pn
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7.2 命题公式
一 、 命题公式的概念 1. 命题常元
一个表示确定命题的大写字母。
2．命题变元 一个没有指定具体内容的命题符号。
一个命题变元当没有对其赋予内容时，它 的真值不能确定，一旦用一个具体的命题代入， 它的真值就确定了。
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3. 命题公式
命题公式（或简称公式）是由0、1和命题变元以及 命题联结词按一定的规则产生的符号串。
2
二、离散数学课程的特点
离散数学课程是应计算机科学和技术发展的 需要，综合了高等数学的多个分支而形成的。其 特点是以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面 较宽。因此概念多、定理多、推理多并且内容较 为抽象。但由于它是为学生后继专业知识的学习 做必要的数学准备，因此它研究的内容均比较基 础，难度不大。
（5）x=3。（6）啊，真美呀！ (7) 明年春节是个大晴天。
解 语句（1）,（3）,（5），(7)是陈述句
（1）、（3）、(7)是命题
用真值来描述命题是“真” 还是“假”。分别用“1”和
“0”表命示题用大写的拉丁字母A、B、C、……P、Q、……或
者带下标的大写的字母来表示。
例2 判断下列陈述句是否是命题。
第三部分 图论。包括图的基本概念，几种特殊的图。（教 材的第八章） 第四部分 数理逻辑。包括命题逻辑和谓词逻辑。（教材的 第九、十章
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五、 教材及参考书
1、教材：《离散数学基础》 第二版，洪帆主编，华中理 工大学出版社。 2 参考书：《离散数学习题题解》 洪帆、付小青编，华中 理工大学出版社。
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第七章 命题逻辑
P：地球外的星球上也有人； Q：小王是我的好朋友；
解
P、Q是命题
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二、命题联结词
原子命题 ：由简单句形成的命题。
复合命题：由一个或几个原子命题通过联结词 的联接而构成的命题。
例3 A：李明既是三好学生又是足球队员。
B：张平或者正在钓鱼或者正在睡觉。 C：如果明天天气晴朗，那么我们举行运动会。
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定义五种联结词（或称命题的五种运算）。
解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪；
R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬R；（2）（¬P ∧¬Q）→R； （3）¬(P∧Q）→R； （4）R→（¬P ∧¬ Q）
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例12．将下列命题符号化
（1） 派小王或小李出差； （2） 我们不能既划船又跑步； （3） 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定； （4） 如果李明是体育爱好者，但不是文艺爱好者，那么
由于“ ∨”可用“∨”，“ ∧”和“ ¬ ”表示，
故我们不把它当作基本联结词。
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4. 蕴含“→”
定义7-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，
称为蕴含式复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则 Q”）当。P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
Q：他可能是400米赛跑冠军。
则命题可表示为P∨Q。
12
设P、Q是两个命题，P异或Q是一个复合命题，记作P∨Q。
P
Q
P∨ Q
0
0
0
0
1
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0
1
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例7
今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
令P：今天晚上我在家看电视。
Q：今天晚上我去剧场看戏
例7中的命题可表示为P ∨ Q，或者表示为 （P∧¬Q∨(¬P∧Q)。
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2．合取“∧”
定义7-2 设P和Q是两个命题，由P、Q利用“∧”
组成的复合命题，称为合取式复合命题，记作“P ∧ Q” （读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P
Q
P∧Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例5 设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
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3. 析取“∨”
定义7-3 由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，
称为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
例6 将命题“他可能是100米或400米赛跑的冠军。”符号
化。 解 令 P：他可能是100米赛跑冠军；
（1） P→(Q∧PR）；
解 （1） 不是命题公式。
（2）（P∨Q）→（¬（Q∧R））（2） 是命题公式。21
二、真值指派
命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一 个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才 有确定的真值，成为命题。
定义7—7 设F为含有命题变元P1，P2，…,Pn
的命题公式，对P1，P2，…,Pn分别指定一个真值,称 为对公式F的一组真值指派。
定义7-6 （命题公式的递归定义。）
（1） 0，1是命题公式；
（2） 命题变元是命题公式；
（3） 如果A是命题公式，则¬A是命题公式；
（4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B），
（A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式；
有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式。
例1 下列符号串是否为命题公式。
（5） 令P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家读书。
则命题可表示为（¬P → Q）∧（P→R）。
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练习7-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） 只有小孩才爱哭。
(是 假)
（2） X+6=Y
( 不是 )
（3） 银是白的。
(是 真)
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
李明不是文体爱好者；
（5） 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里看书。
解 （1） 令P：派小王出差；Q：派小李出差。
命题符号化为P∨Q。
（2） 令P：我们划船；Q：我们跑步。则命题可 表示为¬(P∧Q）。
（3） 令P：你来了；Q：他唱歌；R：你伴奏。 则命题可表示为 P→（Q↔R）
（4） 令P：李明是体育爱好者；Q：李明是文艺爱好者。 则命题可表示为（P ∧¬Q）→¬（P ∧Q）
就读完它。”符号化。
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.14
5．等值“↔”
定义7-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合 命题，称为等值式复合命题，记作“P↔Q” （读作“P 当且仅当Q”）。
( 不是 )
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。
解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。
则该命题可表示为¬P∧¬Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。
解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事；
R：他看电视；
S：他听音乐。
则该命题可表示为（P∧¬Q）→（R∨S）