2014年数学建模A题-省一等奖

1 1 2 2 mv1 mv2 FL mgh 2 2
求得 L 的大致范围：
451.27km L 2256.33km
上式所求 L 值为嫦娥三号从近月点到速度为 57 km 的位置所运转的抛物线路程，由 分析得， S >> h ,则有三角形勾股定理可知，s 和 L 的值基本相等。 然后，对距离 L 进行优化。 由近月点速度v 1 1.6925km / s ，月球半径轨道 r0 1752.013km ，根据公式：
关键词：软着陆、SQP算法、轨道优化、景象匹配
1
一
1.1 问题的背景
问题重述
中国是继美国、前苏联之后的第三个能使卫星登上月球实现软着陆的国家。因此， 嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注的焦点。北京时间 12 月 10 日晚， 嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一 次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在这条近月点高度约 15 公里、远月点 高度约 100 公里的椭圆轨道上继续飞行。 嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落 月”地点的选择仍存在一定难度。但嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为 -2641m。在大约距离月球 15 公里时，反推发动机就要点火工作；到离月球 100 米时， 卫星将暂时处于悬停状态，此时它已不受地球上工程人员的控制，因卫星上携带的着陆 器具有很高智能，它会自动选择一块平整的地方降下去，并在离月球表面 4 米的时候关 闭推进器，卫星呈自由落体降落，确保软着陆成功。为了确保探测器能够成功在月球表 面实现软着陆，需要认真设计降落过程中探测器的发动机的控制方案，使“嫦娥 3 号” 能够顺利完成科研任务，得到最大化的应用。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠 降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段 等软着陆任务。 这将是中国航天器首次在地外天体的软着陆和巡视勘探， 同时也是 1976 年后人类探测器首次的落月探测。 嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t， 其安装在下部的主减速发动机能够 产生 1500N 到 7500N 的可调节推力。在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过 多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。 要保证准确地在月球预定区域内实现 软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准 备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其 软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆 过程的燃料消耗。 1.2 提出问题 根据上述的叙述以及基本要求，提出以下三个问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 09 月 15 日
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（2）根据附件 2，建立相应的数学模型，确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的 最优控制策略。 （3）根据问题二中我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分 析。
ห้องสมุดไป่ตู้二 问题分析
1、问题 1 需要确定的是嫦娥三号着陆轨道近月点和远月点的位置，以及相应的速 度大小与方向。 首先我们要确定着陆准备轨道的位置， 然后再根据题中所给的一些数据， 根据天体运动的一些物理公式和霍曼转移来求出近月点和远月点的速度， 并确定速度的 方向。然后由近月点速度和题中所给的软着陆条件，运用动能定理和齐奥尔科夫斯基公 式确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置。 2、问题二是确定嫦娥三号的软着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。所谓软着 陆[1],是指月球着陆器经地月转移到达月球附近后,在制动系统的作用下以很小的速度 近乎垂直地降落到月面上。根据软着陆轨道离散化，利用离散点处状态连续作为节点约 束条件把确定轨道的优化问题转化为一个多参数优化问题， 然后利用逐次二次规划算法 （SQP）求解出最优化的着陆轨道。求出轨道之后，确定六个阶段的最优控制策略。确 定最优控制策略，需要考虑各个阶段的燃料消耗和每个阶段在关键点所满足的条件，然 后在通过景象匹配方法，将六个阶段分为三个阶段，建立模型，然后求解出来最优控制 策略。 3、 在问题二我们确定嫦娥三号的着陆轨道和 6 个阶段的最优控策略分析的基础上， 对模型进行改进和做相应的误差分析与敏感性分析。 在问题二中我们对嫦娥三号所建立 的软着陆轨道的研究模型。 根据问题二中我们建立的模型， 对月球软着陆建立误差模型， 运用误差敏感系数矩阵进行分析。分析结果表明，与初始位置偏差相比，初始速度偏差 对终端各状态的影响要大；位置、速度测量误差分析只对末端的位置、速度影响较大。
401 .3187s tf 750s
故可得准备轨道的近月点的位置：
5
4013.2 N F 7500 N
以着陆点处上方 15km 处为圆心， L 的取值范围：
451 .27 km L 843 .34 km
由于近月点与远月点是与月球中心位置在一条直线上， 故远月点是在与近月点相对 于月球球心对称的元月轨道上面。因此，远月点的位置是距着陆点下方月球直径加上远 月点的高度处。范围与近月点的范围一样。 近月点的位置：以(19.51W,44.12N)为圆心，以 451 .27 km L 843 .34 km 为圆环曲面 内； 远月点的位置： 以(160.09E,135.48S)为圆心， 以 451 .27 km L 843 .34 km 为圆环曲面 内; 如图 1 所示，上下阴影部分分别为近月点和远月点所在的位置范围。
4
a 时的重力位能）的一半，由此通过霍曼转移轨道的
霍曼转移轨道公式：
1 2 GMm GMm mv 2 r 2a
化简得：
2 1 v r a
求得近月点和远月点的速度：v 1
v2 v 2 1.6337km / s
v 1 1.6925km / s
5.1.2 求解近月点和远月点的位置 由动能定理：
F 1 exp v f v 0 / I sp I sp m 0 / tf
所以，当力 F 1500N 时，算得tf 2006s ；当力 F 7500N 时，算得tf 401.318s 当tf 750s 时，F 4013 .2N ，通过推力 F 的两个极值 1500N 和 7500N，可以得出：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》 （以下简称为 “竞赛章程和参赛规则” ， 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
月球软着陆是月球探测中的一项关键技术。 求解出嫦娥三号的软着陆轨道与最优化 控制的模型，让其燃料的消耗尽可能少。对我国的登月计划的发展有重要意义。根据软 着陆的一些条件，建立一种基于SQP算法的最优化求解方法来求出软着陆轨道。然后再 建立景象匹配的方法，算出6个阶段的最优控制策略，使其消耗燃料尽可能的少。 针对问题一， 为了求解嫦娥三号在着陆准备阶段的近月点与远月点的位置以及对应 的速度大小与方向。我们提出了以运动力学为基础，先求出近月点速 v1 1.6925km / s 与远月点的速度 v2 1.6337 km / s ， 再结合软着陆初始条件和齐奥尔科夫斯基公式求出近 月点以及远月点的大致位置，并求得方向，然后经过时间的变化范围对所求的位置范围 进行优化，得出近月点以及远月点的优化值是 451 . 27 km L 843 . 34 km 。 针对问题二，我们建立了一种基于SQP方法的常推力月球软着陆轨道非线性优化方 法，通过将常推力月球软着陆轨道离散化，利用离散点处状态连续作为约束条件，把常 推力月球软着陆轨道优化问题归结为一个非线性规划问题。利用SQP方法求解此轨道优 化问题。求出轨道之后，在求解6个阶段的最优控制策略的过程中，采用基于景象匹配 的月球探测器精确软着陆轨道的方法，将6个阶段优化为三个阶段。分别为主减速及快 速调整阶段、粗，精避障阶段和缓速下降及自由落体阶段。分别建立三个模型，将采样 数据与该最佳平面在当地的采样值作差，确定阈值，求出最大粗糙度是 hmax 0.3m 。然 后再分别求出这三个阶段在优化后所需要的最短时间， 因燃料消耗与最短时间之和成正 比，故此时6个阶段的最优控制策略可以求解。 针对问题三，在问题二中我们对嫦娥三号所建立的导软着陆轨道的研究模型，提出 了在景象匹配基础上通过分段控制的方法进行精确软着陆飞行， 并满足不同降落段约束 条件的精确软着陆控制方案。根据问题二中我们建立的模型，对月球软着陆建立误差模 型，运用误差敏感系数矩阵进行分析。分析结果表明，与初始位置偏差相比，初始速度 偏差对终端各状态的影响要大；位置、速度测量误差分析只对末端的影响较大。
L
h
tf F
五 模型建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 确定嫦娥三号相应速度的大小与方向 首先，计算嫦娥三号近月点及远月点的速度大小。计算速度大小采用霍曼转移轨道 公式。 霍曼转移轨道[2]：移轨道上物体的总能等于动能与重力位能的和，而总能又等于重 力位能（轨道半径为轨道半长轴 公式求出近月和远月的速度大小。
三 问题假设
假设嫦娥三号着陆不受月球自转的影响。 忽略其他行星对嫦娥三号的引力影响。 着陆设备相对于月面的速度接近于零。
3
假设问题一中软着陆过程力 F 的大小为恒值。 假设问题一中软着陆过程的燃料消耗忽略不计。 在观测过程中，一直有阳光的照射。 假设在软着陆过程中，嫦娥三号做类平抛运动。
四 符号说明
v1 v2 m M G r a x
S
近月点速度 远月点速度 嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量 月球的质量 万有引力常量 月球的标准重力参数 嫦娥三号至月球中心的距离 嫦娥三号绕月轨道的半长轴 表示着陆点与月心所构成的直线 表示近月点到 x 的距离 嫦娥三号从近月点到速度为 57km 的位置所运转的抛物线路程 卫星在主减速阶段运行的垂直高度差 嫦娥三号从近月点到 3000 米处所用的时间 发动机的产生的推力
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
v 1 r0w 0
得近月点的角速度：
w 0 9.65 104 rad 。
再通过齐奥尔科夫斯基[3]和终端结束时间（tf ）可得优化后的 L 的范围。 齐奥尔科夫斯基公式：
tf 1 exp v f v 0 / I sp I sp m 0 / F
由齐奥尔科夫斯基公式可转换求得 F ：