概率论模拟试题一及参考答案

模拟试题一

一、 填空题（每空3分，共45分）

1、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19

，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： 2/3 ；

2、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：

14212661112C C ⨯；没有任何人的生日在同一个月份的概率 61266!

12C ；

3、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = 1/3 ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：Z 0 1 2

P 8/27 16/27 3/27；

4、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= ，COV(2X-3Y , X)= ；

5、设125,,,X X X L 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k =

时，

~(3)Y t =；

6、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X L 为其样本，11n

i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 2X 。

7、设样本129,,,X X X L 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： [，] ；

二、 计算题（35分）

1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：

1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

求：1）{|21|2}P X -<；2）2

Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；

解 1） 9{|21|2}{0.5 1.5}16

P X P X -<=-<<= 2）

(0()0,01,0440,X X Y y y y y ϕϕϕ+>=≤⎩

⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

3）45(21)212133

E X EX -=-=⨯-= 2、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大

解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，

已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0

则41{)()(|)i i i P B P A P B A ===∑23120

111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B ==，222()(|)8(|)()23

P A P B A P A B P B == 333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B =

=，444()(|)(|)0()P A P B A P A B P B == 由概率判断他乘火车的可能性最大。

3．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

‰，‰，‰，‰，‰

能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)

附表：

0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======

解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.5H a >

拒绝域为：00.95(4)}t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==

0.952.2857(4)x t t ==>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。