三角函数图象解析式的求法

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求三角函数解析式方法总结超全面

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等【一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2！例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．>例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，《例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==|例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）>…变式练习]1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)#2、已知函数)sin(ϕω+=x A y(A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)

图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考

由图像求解析式的方法

当给出函数y=Asin(ωx+ψ)+b 的图像时,可由图像求出A、ω、b、ψ的值,进而求出函数y=Asin(ωx+ψ)+b 的解析式。

(当ψ的范围没给时,找一个适合题意的绝对值最小的;A 和ω正负没给时,一般取正。

)那么,具体如何由三角函数的图像来确定它的解析式?用什么方法达到快速解答的目的?我们用实例来作一简要说明。

一、左右平移法求ψ例1:图1-1是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可写成():A.sin(1+x)、B.sin(-1-x)、C.sin(x-1)、D.sin(1-x).分析:y=sinx →(左移π-1个单位)y=sin(x+π-1)=sin(π+x-1)=-sin(x-1)=sin(1-x).选D.(图1-1)(图1-2)(图2)(图3)(图4)例2:图2是函数y=Asin(ωx+ψ)的图像,确定A、ω、ψ的值,确定其一个函数解析式。

分析:由A=3,T=π,点(-π6,0),可知图像是将y=3sin2x →(左移π6个单位)y=3sin2(x+π6),即y=3sin(2x+π6).二、非平衡点代入法求ψA=y m ax -y m in 2,b=y max +y min 2,ω=πT ,ψ最后求,求ψ的方法是非平衡点代入法。

例3:如图3,是函数y=Asin(ωx+ψ)+B(A>0,ω>0)的图像的一部分,求f(x)的表达式。

分析:T 2=4,T=8=2πω,ω=π4,A=y m ax -y m in 2=2.b=y m ax +y m in 2=2,∴y=2sin(+ψ)+2.当x=-2时,y m ax =4,2sin[π4×(-2)+ψ]+2=4,∴-π2+ψ=2kπ+π2(k∈Z).取k=0,ψ=π,∴y=2sin(π4+π)+2.例4:图4是函数y=Asin(ωx+ψ)+k 在一个周期内的图像,这个函数的解析式为():A.y=3sin(x 2+π6)-1、B.y=2sin(2x+π6)-1、C.y=3sin(2x+π3)-1、D.y=3sin(2x+π6)-1.分析:T=π,∴ω=2πT =2,A=y m ax -y m in 2=3.b=y m ax +y m in 2=-1,∴y=3sin(2x+ψ)-1.当x=π12时,y m ax =2,将点(π12,2)的坐标代入上式,得ψ=π3+2kπ(k∈Z),∴y=3sin(2x+π3)-1,选C.以上几例以图像的形式考查三角函数解析式的求法,是高考中的热点题型,要求学生把所学的三角函数图像与性质和函数的解析式结合起来分析思考,充分体现了“数形结合”的命题原则。

求三角函数解析式方法总结超全面

A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

根据图像求三角函数解析

2 的图像如上图所示 ,求该函数的解析式。
或y3cos(2x－5)
6
练习 3 .函数 yA sin ( x ),(A 0 , 0 ,|| )
的部分图像如图所示 ,求该函数的解析式。
y2sin(2x) 3
y 2
o 3
5 6
x
-2
例3：求f(x)=Asin(ωx+φ)+B型的解析式
-2
ππ 42
3π 2
5π 2
7π 2
x
4
例2：如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.
练习 1.函数 yA sin(x),(A0,0,||)
2 的图像如图所示 ,求该函数的解析式。y
3
y3sin(2x) 3
2
3
o
6
x
-3
变式 .函数 yA cos(x),(A0,0,||)
巧记·主干知识
突破·重点要点
题型二由图象求函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋
φ)(其中 ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是
π，且 f(0)＝ 3，则( )
A.ω＝12，φ＝π6 C.ω＝2，φ＝π6
B.ω＝12，φ＝π3 D.ω＝2，φ＝π3
1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,
|φ|< )的图象的一部分如图所示：（1）求2f(x)的表达式；
（2）试写出f（x）的对称轴方程.
解（1）由图象可知，函数的最大值M=3，

利用图像求三角函数解析式

y
3
0 -3
x
y
4 1 0 -2
x
3.函数 y A sin(x （A 0， 0） y ) 的部分图像如图所示，则函数解 3 析式为__________
0 -3
4
2
x
内容：合作探究 1. 学习中遇到的疑问; 2.导学案“质疑探究”部分的问题.
要求：（1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。（2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论。（3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
知识要点
1.用“五点法”作函数 y A sin(x ) B（A 0， 0）一个周期的图像时， x 取那些值? y 2.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），T ，。 3.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），当 y 取得最大值时，解析式中的 x ；当 y 取得最小值时，解析式中的 x ；当 y= B时， x 。
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利用图像求三角函数解析式
数学组
学习目标
1.掌握函数 y A sin(x ) B（A 0， 0）中 A, B, , 与图像的关系。 2.掌握如何利用图像求三角函数的解析式。

8
)

) 4.（2009宁夏海南卷理）已知函数 y sin(x （ 0,- ）的图像如图4所示,则
B. 11 ， - 6
10

C. 2， 6

三角函数平移变换及求解析式

三角函数平移变换及解析式的求法类型一：平移变换1. y ＝2sin(2x －π6)＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换而来的？解方法一先伸缩后平移y ＝sin x ――――――――――――――→各点的横坐标缩小为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin 2x ――――――――――――→向右平移π12个单位y ＝sin(2x －π6)―――――――――――――――→各点的纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.方法二先平移后伸缩y ＝sin x ――――――――――→向右平移π6个单位y ＝sin(x －π6)――――――――――――――→各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π6)――――――――――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.2.试述如何由y ＝13sin(2x ＋π3)的图像得到y ＝sin x 的图像.解方法一 y ＝13sin(2x ＋π3)――――――――――――――→横坐标扩大为原来的2倍纵坐标不变y ＝13sin(x ＋π3)――――――――――――――→图像向右平移π3个单位纵坐标不变y ＝13sin x――――――――――――――→纵坐标扩大到原来的3倍横坐标不变y ＝sin x .方法二 (1)先将y ＝13sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度，得y ＝13sin 2x 的图像；(2)再将y ＝13sin 2x 图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝13sin x 的图像；(3)最后将y ＝13sin x 的图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)得到y ＝sin x 的图像.3.将函数x y sin =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是() A ．)102sin(π-=x y B ．)102sin(π+=x yC ．)1021sin(π-=x yD ．)1021sin(π+=x y解：将函数sin y =x 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin()10y x π=-，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin()210y x π=-的图象，故选：C ． 4.把函数)42sin(π+=x y 的图象向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的21，所得函数的解析式为（）A. x y 4sin =B. x y 4cos =C. )84sin(π+=x yD.)324sin(π+=x y解：选B5.要得到)42cos(π-=x y 的图象，只需将x y 2sin =图象()A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位解：将sin y = 2x 的图象向右平移8π个单位，可得sin(2)4y x π=-的图象，故选：D ．6.要得到函数x y cos 2=的图象，将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度解：2sin(2)cos(2)cos(2))42444y x x x x πππππ=+=--=-=- 答案为C 故选：C ．7.已知函数)4sin()(πω+=x x f R x ∈(，)0>ω的最小正周期为π，为了得到函数xx g ωcos )(=的图象，只要将)(x f y =的图象()A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度解：由题知2ω=，所以()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos2()42448f x x x x x πππππ=+=-+=-=-，故选：A ．类型二：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式1.已知函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)0πϕ<<的一段图象如图所示，则此函数解析式为__________.（例10）解：)33sin(2π+=x y2.下图是函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)20πϕ<<的图象的一部分，试求此函数解析式.解：)438sin(2ππ-=x y3.已知函数)sin(ϕω+=x A y ，在同一周期内，当9π=x 时函数取得最大值2，当94π=x 时取得最小值2-，则该函数的解析式为( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63sin 2πx yB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=63sin 2πx yC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=631sin 2πx yD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=631sin 2πx y解：由题意可知42993T πππ=-=，223T ππω∴==，解得3ω=，函数的最大值为2，最小值为2-，2A ∴=， 9x π=时函数取得最大值2，2sin(3)29πϕ∴⨯+=，解得6πϕ=．∴函数解析式为2sin(3)6y x π=+．故选：B ．4.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)的值.解 (1)由图像知A ＝32－122＝12，b ＝32＋122＝1，ω＝2πT ＝2π4＝π2.∴f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1.又∵点(0,1)在函数图像上，∴f (0)＝1即1＝12sin φ＋1，∴sin φ＝0.又|φ|<π2，故φ＝0，∴f (x )＝12sin π2x ＋1.(2)由(1)知函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝2ππ2＝4.∴S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012) ＝f (0)＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×503.又∵f (0)＝1，f (1)＝32，f (2)＝1，f (3)＝12，f (4)＝1，∴S ＝1＋(32＋1＋12＋1)×503＝2 013.反思与感悟要求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式，其关键是求参数A 、φ、ω、b 的值.求A 、ω、b 三参数相对容易，设函数的最大值为m ，最小值为n ，则⎩⎨⎧A ＝m －n2，b ＝m ＋n2.已知函数周期为T ，则由T ＝2πω可求出参数ω的值.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)的值.解 (1)由图像可知A ＝2，周期T ＝2(7π12－π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由图像过点(π12，2)，得2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3).(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋f (4π4)＝1－3－1＋3＝0，所以f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)＝0×503＋f (2 013π4)＋f (2 014π4)＋f (2 015π4)＝f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＝1－3－1＝－ 3.6.将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是________.答案 y ＝sin(2x ＋π3)解析函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位得到y ＝sin(ωx ＋ωπ6)，则712πω＋ωπ6＝3π2，解得ω＝2，故平移后的图像的解析式为y ＝sin(2x ＋π3).7.已知函数)cos(ϕω+=x A y 的图象如图所示，32)2(-=πf ,则=)0(f ( )(例13)A ．32-B ．21-C ．32 D ．21 解：由题意可知，此函数的周期11722()12123T πππ=-=，故223ππω=，3ω∴=，()cos(3)f x A x ϕ=+． 32()cos()sin 223f A A ππϕϕ=+==-．又由题图可知771()cos(3)cos()12124f A A ππϕϕπ=⨯+=-cos sin )02A A ϕϕ=+=， 2(0)cos 3f A ϕ∴==．故选：C ．。

由图像或性质求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

现就几道例题谈谈常用的求解方法。

1 利用五点法，逆求函数解析式例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．解:由22y -≤≤，得A=2已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω=把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3πϕ=所以y=)32sin(2π+x点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相ϕ。

2 利用图像平移，选准变换过程切入求解例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。

点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入，如本题y=sin 2x 向左平移了6π个单位进行验证化简是求解的关键。

对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ωϕ的影响，注重整体变量观念的应用。

3 特殊化赋值法求解例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。

求()y f x =的解析式。

解：对称性特殊赋值切入，8x π=是函数()y f x =的图像的对称轴，()()88f x f x ππ∴+=-令8x π=，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2πϕϕϕ+=，tan 1ϕ∴=。

三角函数解析式的求法教师版

第5页（共17页）
令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ，所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变式 1 ．函数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的部分图象如图所示，则函数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
第4页（共17页）
C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )

利用三角函数图像的变换求解析式及由三角函数图像求解析式

探究三如何确定的值
问题3 .如图是函数
y = 2 sin( 2 x + )(
<
p
)
2
的部分图像 , 求的值。
y
y
2
7p
2
12
x
o
p o
6
x -2
-2
例题讲解
【例 1】函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①，则其一个函数解析式为________．
①
[思路探索] 可由最高、最低点确定 A，再由周期确定 ω，然后由图象过三点确定 φ，或由点的坐标代入解析式求解．解析 (1)法一由图象知 A＝2，T＝78π－－π8＝π. ∴ω＝2ππ＝2. 又过点－π8，0，令－π8×2＋φ＝0. 得 φ＝π4，∴y＝2sin2x＋π4.
练习 1．将函数 y＝sinx＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移 2 个单位所得图象对应的函数解析式是 y_＝__s_in__x_＋__π6__＋__2___．
解析 y＝sinx＋π3向右平移π6个单位得： y＝sinx－π6＋π3＝sinx＋π6，再向上平移 2 个单位得 y＝sinx＋π6＋2.
原来的12，得到函数 y＝sin10x－74π的图象．
4．将函数 y＝sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)
个单位后，得到函数 y＝sinx－π6的图象，
则 φ 等于( D )
π
5π
7π
11π
A.6 B. 6 C. 6 D. 6
解析将函数 y＝ sin x 的图象向左平移
φ(0≤φ<2π)个单位得到函数 y＝sin(x＋φ)，在 A、B、C、D 四项中，只有 φ＝161π 时有 y ＝sinx＋161π＝sinx－6π.

求三角函数解析式的基本方法及练习题

求三角函数解析式的基本方法及练习题介绍三角函数解析式是数学中常见的概念之一，它能帮助我们描述和计算三角函数的值。

本文将介绍三角函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。

基本方法正弦函数（sin）正弦函数的解析式为：sin(θ) = 对边长度 / 斜边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。

余弦函数（cos）余弦函数的解析式为：cos(θ) = 邻边长度 / 斜边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。

正切函数（tan）正切函数的解析式为：tan(θ) = 对边长度 / 邻边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，邻边是指与角度θ相邻的边长。

余切函数（cot）余切函数的解析式为：cot(θ) = 邻边长度 / 对边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，对边是指与角度θ相对的边长。

正割函数（sec）正割函数的解析式为：sec(θ) = 斜边长度 / 邻边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，邻边是指与角度θ相邻的边长。

余割函数（csc）余割函数的解析式为：csc(θ) = 斜边长度 / 对边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，对边是指与角度θ相对的边长。

练题1. 求角度为30°时的sin值。

2. 求角度为60°时的cos值。

3. 求角度为45°时的tan值。

4. 求角度为60°时的cot值。

5. 求角度为30°时的sec值。

6. 求角度为45°时的csc值。

答案1. sin(30°) = 1/22. cos(60°) = 1/23. tan(45°) = 14. cot(60°) = 1/√35. sec(30°) = 26. csc(45°) = √2以上为三角函数解析式的基本方法及练习题。

【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法

φ＜
)图象上的一部分如
2
图 3 所示，则必定有（）
(A) A=-2
π （B）ω＝1 （C）φ＝ 3
（D）K＝-2
解：观察图象可知 A＝2,k＝2. ∴y＝2sin(ωx+φ)+2
下面用“解方程组法”求φ与ω的值.
∵ 图象过点（0，2+ 3 ）、（－，2） 6
∴ 2+ 3 =2sinφ+2
ｙ
４
（A＞0，ω＞0,φ∈（0，））,求该函数的解析式．
2
解法一：观察图象易得 A＝2,
Y
7π 3π ∴T＝2×（ 8 - 8 ）＝π，
2
2π ∴ω＝ π ＝2. ∴y＝2sin(2x+φ).
2 3π
8 0π
8
下面用“关键点对等法”来求出
图2
1111ππ 1122
x
7π 8
X
3π φ的值,由 2× 8 +φ＝π（用“第三点”）得
∴ Asinφ＝ 2
(1)
3π Asin(2× 8 +φ)＝0 (2)
3
由(2)得 φ＝kπ- (k∈Z)，又φ∈（0， )，
4
2
π
∴只有 K＝1，得φ＝ 4 ，代人（1）得 A＝2.
π ∴所求函数解析式为 y＝2sin(2x+ 4 )．
例 3.已知函数 y＝Asin(ωx+φ) (A＞0，ω＞0,
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法
已知函数 y＝Asin(ωx+φ)+k(A＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与
用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看

三角函数解析式的求法

函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝2πωωx ＋φ用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.| 微点提醒 |1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .(×)(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×)(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)‖自主测评‖1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( )A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度解析：选D 因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32………考点一函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及变换………|重点保分型|…………|研透典例|【典例】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值； (3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出的图象如图所示：『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 2．三角函数图象的左右平移时应注意的三点(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．(2)注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|. [提醒]y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T ＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．|变式训练|1．(2018届河南豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 2．(2019届南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，综上可得，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A. 3．(2019届石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52………考点二由图象确定y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式…………|重点保分型|………|研透典例|【典例】 (1)(2018届兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.22C.32D ．1(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.[解析] (1)由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. (2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－(－π12)＝π，由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝ 2k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. [答案] (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .|变式训练|1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. …………考点三三角函数图象与性质的应用……………|多维探究型|……………|多角探明|角度一三角函数模型的实际应用【例1】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. [解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. [答案] 20.5角度二与三角函数有关的零点(方程根)问题【例2】已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[解析] 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，所以题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根．所以y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．[答案] (－2，－1)角度三三角函数的图象与性质的综合问题【例3】已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝ 3 s in ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增，当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12， 7π12. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．|变式训练|1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π182．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2ω＝2πT ＝2，所以ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 核心素养系列数学建模——三角函数中的实际问题【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．[解] (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1>1.25，即cos π6t >12，又因为t ∈[0,24]，所以π6t ∈[0,4π]，故0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π，或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t<2或10<t≤12或12<t<14或22<t≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[点评]数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．。

三角函数解题技巧求解析式

三角函数解题技巧求解析式三角函数是数学中重要的一部分，解题时经常会遇到需要求解三角函数的值或等式的问题。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算并得到解析式。

1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆特殊角的正弦、余弦和正切的值，来简化计算。

一些常见的特殊角包括：0度、30度、45度、60度和90度。

比如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2， tan(60°)=√3。

2. 多角和差公式：三角函数的多角和差公式可以帮助我们将一个角的三角函数转化为两个角的三角函数，从而更容易进行计算。

常用的公式包括：- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B- tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)3. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式可以将一个三角函数的平方转化为两个三角函数的和或差。

常用的公式如下：- sin²A = (1 - cos 2A) / 2- cos²A = (1 + cos 2A) / 2- tan²A = (1 - cos 2A) / (1 + cos 2A)4. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式包括：- sin 2A = 2 sin A cos A- cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A- tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)5. 半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式如下：- sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]- cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]- tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]6. 和差化积公式：和差化积公式可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。

用“五点法”确定三角函数图象的解析式

ｃ。ｓ（一｛）＝５－．
轴上相邻两个交点之间的距离为号，可知号一Ｔ，即
Ｔ一７【，故 ∞一一２．下面我们用传统法和“五点法 ’’ 骤是：Ｔ一∞一 —Ａ一，（ｏ）．由（，０）ｘＣＦｉＮ，￣，
来求的值．（并把传统方法与“五点法 ”比较）
弦函数图象上的点（，ｏ）同样可得．
Ｒ（其中Ａ＞０，＞０，０＜＜詈）的图象与ｚ轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为要，且图象上一擎，得一一詈．再由＿，‘（号）一一号，得Ａ一．从
个最低点为Ｍ（，一２）．求－厂（ｚ）的解析式．
而得，（ｚ）一ｃ。ｓ３ｘ－手），因此，（０）一
解由最低点是Ｍ（，一２），可得Ａ一２．由ｚ
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中学数学月刊
２０１０年第１２期
用 “五点法＂确定三角函数图象的解析式
陶冶（江苏省常熟中学２１５５００）陈新（江苏省常熟市中学２１５５００）
在三角函数图象的教学中，有一类由图象确定解析式的问题经常困扰着学生．其实借助三角函数的 “五点法 ”作图中的五个点，可以解决这类问题．１例说 “五点法 ”的妙用
的横￣Ａ－＇／ｒ一，这个最高点应该对应Ｙ— ｓｉｎ３２某周
期上的最高点．
（Ａｃ）－专
由“五点法”可知，一詈对应着号＋２ｋｎ，走∈
一告（Ｄ）专一寺ｒ…一＼
ｚ，故２叫×詈＋号一号＋２ｋ，所以一１＋６尼．由解由图中轴上的

方法10：五点法求三角函数解析式

方法10 五点法求三角函数解析式一、单选题1．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 3x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 3x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【解析】解：由图象可得1A =，再根据35134362T =-=，可得2T =，所以22πωπ==，再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯+=∈，求得6πϕ=-，故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故选：C.2．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（） A ．3 B ．32C ．34D ．12【答案】B 【分析】由16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，可得52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，从而可求出ω的值【解析】解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=．故选：B3．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h ，低潮时水深为9 m ，高潮时水深为15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A ．y ＝3sin6πt ＋12 B ．y ＝－3sin6πt ＋12 C ．y ＝3sin12πt ＋12 D ．y ＝3cos6πt ＋12 【答案】A 【分析】由两次高潮的时间间隔12h 知12T =，且212(0)T πωω==>得6π=ω，又由最高水深和最低水深得3A =，12k =，将3t = y ＝15代入解析式解出φ，进而求出该函数的解析式．【解析】由相邻两次高潮的时间间隔为12 h ，知T ＝12，且T ＝12＝2πω(ω＞0)，得ω＝6π，又由高潮时水深15 m 和低潮时水深9 m ，得A ＝3，k ＝12，由题意知当t ＝3时，y ＝15．故将t ＝3，y ＝15代入解析式y ＝3sin 6t πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12中，得3sin 36πϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭＋12＝15，得6π×3＋φ＝2π＋2kπ(k ∈Z )，解得φ＝2kπ(k ∈Z )．所以该函数的解析式可以是y ＝3sin 26t k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＋12＝3sin 6πt ＋12．4．记函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图像为C ，已知C 的部分图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=，只要把C 上所有的点（）A ．向右平行移动6π个单位长度 B ．向左平行移动6π个单位长度 C ．向右平行移动12π个单位长度 D ．向左平行移动12π个单位长度【答案】A 【分析】根据图象可得周期，求出2ω=，根据图象上最低点求出3πϕ=，再根据平移变换可得结果.【解析】由图象可知周期74()123T πππ=-=，所以222T ππωπ===，又图象上一个最低点为7(,1)12π-，所以7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数()sin 2g x x =，只要把C 上所有的点向右平行移动6π个单位长度. 故选：A 【小结】根据图象求出ω和ϕ是解题关键.5．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）A ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．52,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再令()22k x k k Z πωϕππ≤+≤+∈，解不等式即可求解. 【解析】由图知：2A =，884Tππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以T π=，又因为2T ππω==，所以2ω=，所以()2cos(2)f x x ϕ=+，由()228k k Z ϕππ⨯+=∈，可得()24k k Z ϕππ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以0k =，4πϕ=-，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()2224k x k k Z ππππ≤-≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数的单调递减区间为5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 【小结】本题解题的关键是利用五点法作图的原理求出()f x 的解析式，再利用整体代入法求单调区间.6．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．12f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()f x 的图象的对称中心为,0()12k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】根据图象求出2,6πωϕ==可得()2sin(2)6f x x π=+，可知A 不正确；计算可知B 不正确；利用正弦函数的对称中心求出()f x 的对称中心可知C 不正确；解不等式()1f x ≥可知D 正确.【解析】由图可知54126T ππ=-，所以T π=，所以222T ππωπ===，由262ππϕ⨯+=，得6π=ϕ，所以()2sin(2)6f x x π=+，故A 不正确；()2sin(2)12126f πππ=⨯+=B 不正确；由26x k ππ+=，k Z ∈，得212k x ππ=-，k Z ∈，所以()f x 的图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故C 不正确；由不等式()1f x ≥得1sin(2)62x π+≥，得5222666k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，得3k x k πππ≤≤+，k Z ∈，所以不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故 D 正确. 故选：D 【小结】根据图象求出函数()f x 的解析式是解题关键.7．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(9)f =（）A ．1-B ．1C ．D 【答案】D 【分析】先利用图象分析得到解析式，再计算(9)f 即可.【解析】由图象可知，2A =，1152233T =-=，24,2T T ππω===，53x =时，52,23x k k Z πωϕϕππ+=⨯+=+∈，解得62,x k k Z ππ=+∈，故()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故922sin 2sin 2sin 262)6(39f πππππ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 故选：D. 【小结】根据图象求函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>解析式：（1）利用最值确定A 值；（2）利用图象求周期T ，根据2Tπω=求ω；（3）利用特殊点整体代入法确定ϕ值.8．如图是函数()cos(2)f x A x =+ϕ(0,0)A ϕπ>≤≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（）A ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 B ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 C ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数【答案】B 【分析】（1）根据题意可得2A =，且1222x x a b ++=，从而可得a b ϕ+=-，再由()12f x x +=解得6π=ϕ，即()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质即可求解. 【解析】解析：由函数()cos(2)f x A x =+ϕ()0,0A ϕπ>≤≤图象的一部分，可得2A =，函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称， ∴12a b x x +=+.由五点法作图可得22a πϕ+=-，22b πϕ+=，∴a b ϕ+=-.再根据()12()2cos(2)2cos()f x x f a b ϕϕϕ+=+=-+=-=cos ϕ=， ∴6π=ϕ，()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2(0,)6x ππ+∈，故()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数，故选：B .9．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【解析】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：A. 【小结】根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.10．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cos g x A xω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度【答案】B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【解析】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【小结】本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度【答案】A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【解析】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A12．如图，已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD △的重心.则ACD △的外接圆的半径为（）A ．2BCD ．8【答案】B 【分析】首先根据三角函数图象的对称性和重心的性质求得点A 的坐标，根据周期确定ω，再根据点C 的坐标确定ϕ，确定解析式后，确定点,B D 的坐标，结合正弦定理求ACD △外接圆的半径.【解析】根据三角函数的对称性可知点C 是BD 的中点，又O 是ABD ∆的重心，1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21OA OC ==， ∴点A 的坐标为()1,0，∴函数()f x 的最小正周期为3T 232=⨯=， ∴23πω=，∴()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由题意得121sin sin 02323f ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2πϕ<，∴3πϕ=，∴()2sin 33f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令0x =得()0sin3f π==， ∴点B的坐标为⎛ ⎝⎭，∴tan BCO ∠=3BCO π∠=，∴23ACD π∠=. 又点1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭是BD 的中点， ∴点D的坐标为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴AD ==设ACD ∆的外接圆的半径为R，则222sin sin 3AD R ACD π∠===∴R =. 故选：B. 【小结】已知图象求()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的步骤为： 1.一般根据函数的最大值和最小值求A ； 2.ω由周期确定，根据公式2T πω=，观察给定的图象，分析出确定的T 值；3.一般求ϕ，可以将图象中的一个点代入求解，或是根据“五点法”，利用图象的最高点或最低点，以及函数的零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应的ϕ值.13．函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()5sin 6g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只将()f x 的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】A【分析】根据三角函数的图像求出()sin(2)3f x x π=+，再利用三角函数的平移变换即可求解.【解析】由图像观察可知，741234T πππ=-=，所以T π=，则2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，根据图像过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以732122ππϕ⨯+=，则3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，函数()5sin(2)6g x x π=+，因此把()sin(2)3f x x π=+图像向左平移4π个单位即得到()g x 的函数图像，故选：A.14．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+在[]0,π上的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（）A ．()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()3)4f x x π=- D ．())4f x x π=-【答案】C 【分析】由函数的图像可求得,A T ，再利用周期公式可求出ω，然后对选项的解析式逐个验证即可【解析】解：由图像可得34884T A πππ==-=，所以T π=，所以22πωπ==，所以A ，B 不符合题意，对于C ，()30)14f π=-=， 333)884f πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭对于D ，33)0884f πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，不符合题意，故选：C15．已知()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断错误的是（）A ．要得到函数()f x 的图像，只需要现将y x =的图像保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移6π个单位 B ．函数()f x 的图像关于直线23x π=对称 C ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质可求得()f x 的解析式；根据三角函数平移变换原则可知A 正确；利用代入检验法可知,B C 正确；利用正弦型函数求值域的方法可确定D 错误. 【解析】()max f x =，0A >，A ∴=()f x 相邻两条对称轴之间距离为2π，()f x ∴最小正周期222T ππω==⨯，2ω∴=，0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6k k Z πϕπ∴-+=∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，()26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，y x =横坐标变为原来一半得到2y x =；再向右平移6π个单位得到23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 23236x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可知A 正确；对于B ，当23x π=时，4326362x ππππ+=+=，32x π=是sin y x =的对称轴，23x π∴=是()f x 的对称轴，B 正确；对于C ，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()f x ∴在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；对于D ，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()min 62f x π⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：D. 【小结】根据三角函数性质求解()sin y A ωx φ=+的方法：（1）max min 2y y A -=；（2）2Tπω=；（3）代入图象上的点，利用整体对应法，结合正弦函数图象构造方程求得ϕ.16．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，若函数()()1h x f x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -的最小值为（）A ．23πB ．2π C ．43π D ．π【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的解析式，再求函数的零点，比较相邻零点中12x x -的最小值. 【解析】由图象可知函数的最大值为2，所以2A =，24362T πππ=-=，所以221ππωω=⇒=，当6x π=时，2,6k k Z πϕπ+=∈， 2πϕ<，6πϕ∴=-()2cos 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即()2cos 16h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()0h x =时，1cos 62x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得22,63x k k Z πππ-=+∈或42,63x k k Z πππ-=+∈，解得：52,6ππ=+∈x k k Z ，或32,2x k k Z ππ=+∈，相邻的零点12,x x 中，12x x -的最小值是352263πππ-=. 故选：A 【小结】本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，三角函数的零点，属于中档题型.求()sin y A x b ωϕ=++()0,0A ω>>的解析式的求法：在一个周期内，若最大值为M ，最小值为m ，则A b M A b m +=⎧⎨-+=⎩，ω由周期确定，由2T πω=求出，通过观察图象，分析确定T 的值，将图象的一个最高点或最低点，也可以利用零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应ϕ值.17．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．3x π=-是()f x 图像的一条对称轴B ．()f x 图像的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()1f x ≥的解集为44,4,3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的单调递减区间为282,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果. 【解析】()10sin 2f ϕ==且2πϕ<，6πϕ∴=，又882sin 233f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可得：83362πππω+=，解得：12ω=， ()12sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当3x π=-时，1026x π+=，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，A 错误；对于B ，当223x k ππ=+时，1262x k πππ+=+，223x k ππ∴=+是()f x 的对称轴，B 错误；对于C ，由()1f x ≥得：1in 2612s x π⎛⎫⎪⎭≥+⎝，15226266k x k πππππ∴+≤+≤+，解得：4344k x k πππ≤+≤，C 正确；对于D ，当282,233x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，13,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，当1k =时，135,2622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，不是()f x 的单调递减区间，D 错误. 故选：C. 【小结】本题考查正弦型函数()sin y A ωx φ=+的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入x ωϕ+，确定x ωϕ+的值或范围，根据x ωϕ+是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴或对称中心.18．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，记关于x 的方程()f x =()21t t -<<-在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有解的和为θ，则tan θ=（）A ．BC ．D ．tan 2t【答案】B 【分析】由函数图象得函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数的性质得方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，进而得答案. 【解析】解：由图可知，2A =，再把点(代入可得2sin ϕ=所以sin ϕ=π2ϕ<，所以π3ϕ=，由五点作图法原理可得πππ33ω⋅+=，所以2=ω，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π2π233x +=，得7π12x =，由图像可知方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个，且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，即7π6θ=，所以7πtan tan6θ==故选：B ．【小结】本题考查利用三角函数图象求解析式，函数的对称性，考查运算能力，是中档题.19．设函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像大致如图，则()f x 的最小正周期为（）A ．5π6B ．6π5C ．5π4D ．3π2【答案】C 【分析】由图象观察可得最小正周期小于43ππ32T <<，排除A ，D ；再由5π132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得ω，即可得到结论.【解析】由图像可得()f x 的最小正周期T 满足：π,3π5π,232T T >⎧⎪⎨<-⎪⎩解得43ππ32T <<，故排除A ，D ；又由5π5ππsin 132324f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()5πππ2π3242k k ω+=+∈Z ，解得()86455k k ω=+∈Z . 因为π2πT <<，即2ππ2πω<<，所以12ω<<.所以当0k =时，85ω=，所以2π5π845T ==. 故选：C.二、多选题20．如图是函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是（）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．06f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．213f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】先由()0f =可求得3πϕ=-，再sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再利用23T ππω=>，可得03ω<<，所以2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可知A 正确，B 不正确，计算即可判断C 、D ，进而可得正确答案. 【解析】由图知()0sin 2f ϕ==-，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()233k k Z ππωππ--=+∈，解得：()46k k Z ω=--∈，因为23T ππω=>，所以03ω<<，所以1k =-时2ω=，可得()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选项A 正确，选项B 不正确，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；24sin sin 33332f ππππ⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 不正确，故选：AC 【小结】本题的关键点是求ω的值，先利用sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而且3π-是下降零点可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再结合图象可知23T ππω=>得03ω<<，求得2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭问题即可迎刃而解，属于常考题型. 21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【解析】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-， 2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ=2A =，()2sin(2)3f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin()1423f πππ=+=，所以C 正确；,D ()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC 【小结】求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()yA wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ，再把点((,),(,))P f x y g x y 的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.22．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确；对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确；对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确；故选：ABD.23．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．最小正周期为2πB ．()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象可由π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向在平移π6个单位长度得到【答案】BC 【分析】根据图象确定周期可判断A ，由周期求出ω，利用特殊值求出ϕ得出函数，根据正弦函数的单调性判断B ；根据正弦型函数的对称中心判断C ；由三角函数的图象平移可判断D. 【解析】由图象可知，2A =，ππ2π36T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的最小正周期为π，故A错误；所以2π2Tω==，得()()2sin 2f x x ϕ=+.又因为当πππ36212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==时，()2f x =，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭.又因为π2ϕ<，可得ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.由()πππ2π22π232k x k k -+≤+≤+∈Z ，可得()5ππππ1212k x k k -+≤≤+∈Z ，令0k =，可得()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 正确；又5π5ππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确； π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到πππ2sin 22sin 22cos2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误.故选：BC 【小结】根据三角函数图象求出函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的解析式，根据正弦型函数的图象与性质即可求出函数的单调区间，对称中心，周期，平移等问题，属于中档题.24．函数()()sin f x A x =+ωϕ，（,,A ωϕ是常数，0A >）的部分图象如图所示，则（）A ．()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 的对称轴为,12x k k Z ππ=+∈D ．()f x 的递减区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】AB 【分析】由最低点确定A =由周期的四分之一71234πππ-=确定ω，把最低点7,12π⎛⎝代入解析式确定ϕ，再根据正弦函数的对称轴、递减区间求该函数的对称轴和递减区间即可. 【解析】解：显然A =T ，则74123T ππ=-，所以T π=，又2,2ππωω==；所以()()()sin 2f x A x x ωϕϕ=+=+过点7,12π⎛⎝，所以7212πϕ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，()23k k Z πϕπ=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据sin cos 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2cos 223236f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故AB 正确；正弦函数的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，令()()2,32212k x k k Z x k Z πππππ+=+∈=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，故C 错误；正弦函数的递减区间为()2,222k k k π3π⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令()37222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤++<<+∈，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误. 故选：AB 【小结】已知三角函数的图像确定解析式，一般根据最高点或最低点确定振幅A ，根据周期确定角速度ω，根据函数图像经过的点确定初相ϕ，再根据正弦函数的性质用换元法确定待求函数的性质即可.25．函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A．1cos223xππ⎛⎫+⎪⎝⎭B．1cos226xππ⎛⎫+⎪⎝⎭C．1sin223xππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D．1sin223xππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据最小值求得A，根据周期求得ω，根据点111,122⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【解析】由图象可得12A=，3111341264T=-=，解得1T=，所以2ωπ=，所以1()cos(2)2f x xπϕ=+，又()f x的图象过点111,122⎛⎫⎪⎝⎭，则()112212k k Zπϕπ⨯+=∈，解得()1126k k Zπϕπ=-∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，即11()cos2sin226226 f x x xπππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin223xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭1sin223xππ⎛--=⎫⎪⎝⎭.故选BD【小结】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.三、填空题26．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式()f x =______.【答案】π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由五点法求得周期，由振幅可求A ，再由最低点可求得φ．【解析】由振幅得：A =由图象可得：75488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴2Tπω==2，∴y （2x +φ），当78x π=时，y ＝， ∴73282πϕπ⨯+=，π4ϕ∴=-∴解析式为：π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小结】本题关键点是利用五点法确定周期与φ.27．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.【答案】sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【解析】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭四、解答题28．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间. 【答案】（1）T π=，2ω=，3πϕ=；（2）,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性．【解析】解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，可得32134123πππω=-，解得2ω=，∴最小正周期22T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+因为函数过13,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523k k Z πϕπ=-+∈ 因为2πϕ<，所以3πϕ=．所以()sin(2)3f x x π=+（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，所以2[36x ππ+∈-，5]6π，令2632x πππ-≤+≤，解得412x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【小结】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.29．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于12x π=对称.（1）求()y f x =的解析式；（2）令函数g()()1x f x =+，且g()y x =在[0,]a 上恰有10个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）根据题意可得周期T π=，可得2ω=，根据对称轴可得3πϕ=，则可得()y f x =的解析式；（2）依题意由52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++解得结果即可得解.【解析】（1）由已知可得T π=，2ππω=，∴2ω=，又()f x 的图象关于12x x π=对称，所以2122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈∵22ππϕ-<<，∴3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）令()0g x =，得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，要使()y g x =在[0,]a 上恰有10个零点，只需52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++，解得1965412a ππ≤<. 所以a 的取值范围是1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【小结】利用周期求出ω，利用对称轴求出ϕ是解题关键.30．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式（2）设()()216g x f x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()2cos(2)3f x x π=+；（2）[11]2-，. 【分析】（1）由图求出A 、T 、ω和ϕ的值，即可写出()f x 的解析式；（2）由（1）可得()g x 的解析式，设()t g x =，问题等价于()0h t 在[3-，5]上恒成立，列出不等式组求出m 的取值范围．【解析】解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=，解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+；因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈；因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()2cos(2)3f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2)3cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2)136x ππ=+++ 4cos21x =+；设()t g x =，因为1cos21x -，所以3()5g x -；又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立，则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩，解得112m -，所以m 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【小结】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 31．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）若[]0,x π∈且()f x ≥x 的取值范围.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =，724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解. 【解析】（1）由题意知：A =，741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦【小结】利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得 ()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 32．某同学用“五点法”画函数()()sin (00)2f x A x k A πωφωφ=++>><，，在一个周期内的图象，列表并填入数据得到下表：（1）求函数()f x 的解析式；（2）三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()2f B =，4b =，22cos cos 622C Aa c +=，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）【分析】（1）由三角函数的图象与性质逐步计算出A 、k 、ω、φ，即可得解；（2）先计算出3B π=，利用降幂公式结合余弦定理可转化条件得12a b c ++=，再由余弦定理可得16ac =，结合三角形面积公式即可得解. 【解析】（1）由题意可得31A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A k =⎧⎨=⎩，函数()f x 的最小正周期T 满足22362T πππ=-=，所以22T πω==，又2sin 1363f ππφ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 13πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,32k k Z ππφπ+=+∈，即2,6k k Z πφπ=+∈，由2πφ<可得6πφ=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）由题意，()2sin 2126f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()0,B π∈可得132,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266B ππ+=，即3B π=，又221cos 1cos coscos 62222C A C A a c a c +++=⋅+⋅=，所以cos cos 12a c a C c A +++=，即2222221222a b c b c a a c a c ab bc+-+-++⋅+⋅=，化简得12a b c ++=，又4b =，所以8a c +=，由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，即22483ac =-，所以16ac =，所以11sin 16222ABC S ac B ==⨯⨯=△ 【小结】解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质及三角恒等变换、余弦定理的应用，细心运算即可得解. 33．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标；（2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【答案】（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；对称中心的坐标为(),126k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭--ππZ ；（2）单调增区间为50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图象上()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()f x 的对称中心；（2）求得图象变换之后的解析式()2sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再整体替换求出()g x 的单调区间. 【解析】（1）由图象可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得：2A =，1B =-.又由于7212122T πππ=-=，。

三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法

1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。