角平分线模型的构造2

第二讲角平分线模型的构造 3月

角平分线

(l)定义：如图2-1，如果∠AOB ＝∠BOC ，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC ，像OB 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线．

(2)角平分线的性质定理

①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角，

②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

(3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，

与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型，

已知P 是∠MON 平分线上一点， (l)若PA ⊥OM 于点A ，如图2-2(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．

(a)

O

(b)

O

(2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．

(3)若AP ⊥OP 于点P ，如图2-2(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．

(c)

O

(d)

O

(4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图2-2(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”． 例1

(1)如图2-3(a)，在△ABC 中，∠C=90。，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是（ ）cm.

图2-3（

a ）

(2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AP 平分∠BAC ．

图2-3（b ）

例2

如图2-4(a)，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥

AB，垂足为D. AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

⑴求证：CE= CF.

图2-4（a）

⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A，D，E，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图2-4(b)所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

图2-4（b）

例3

阅读下列学习材料：

如图2-5(a)所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB

=OA，连接BC(如图2-5(b))，易证△AOC ≌△BOC.

图2-5（a）

图2-5（b）

请根据上面的学习材料，解答下列各题：

(l)如图2-5(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点

A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

图2-5（c）

B

(2)如图2-5(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC

－PB与AC－AB的大小，并说明理由．

图2-5（d）

例4

如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，

求证：BD=2CE.

图2-6（a ）

B

(1)如图2-7(a)，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD 上BD 、AE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE.

求证：DE ∥BC ，DE=2

1

(AB+BC+AC)；

图2-7（a ）

D

(2)如图2-7(b)，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其它条件不变；

图2-7（b ）

(3)如图2-7(c)，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，其它条件不变，

则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。

图2-7（c

）

变式

如图2-8，在△ABC 中，AB=3AC, ∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，求证：AD=DE

例6

如图2-9(a)，AB=AC ，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB.问：

(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？

图2-9（a ）B

图2-9（

b ）

B

(2)过D 点作EF ∥BC ，如图2-9(b)，交AB 于点E ，交AC 于点F ，图中又增加了几个等腰三角形？ (3)如图2-9(c)，若将题中的△ABC 改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

(4)如图2-9(d)，BD 平分∠ABC ，CD 平分外角∠ACG . DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F 线段EF 与BE 、CF 有什么关系？并说明理由．

图2-9

（d ）B

(5)如图2-9(e)，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于点E ，交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

图2-9（e ）

例7如图2-10(a)所示，已知△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 平分∠CAB ， 求证：

AB=ACD

图2-10（a ）

变式1

如图2-11所示，已知△ABC 中，AB=AC ， ∠A=108°，BD 平分∠ABC. 求证：BC=AB ＋CD.