角平分线模型的构造

第二章角平分线模型的构造

技巧提炼：

与角平分线有关的常用辅助线作业，即角平分线的四大基本模型。

已知P是∠MON平分线上一点，

（1）若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”。

（2）若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。（3）若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。

（4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”。

例题精讲

例1 （1）如图a，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm。

（2）如图b，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC。

例2 如图a在R t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，

（1）求证：CE=CF 。

（2）将图a 中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ＇D ＇E ＇的位置，使点E ’落在BC 边上，其他条件不变，如图b ，试猜想:BE ’与CF 有怎样的数量有关系？请证明你的结论。

例3 阅读下列学习材料：

如图a ，OP 平分∠MON ，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点，连接AC ，在射线ON 上截取OB=OA ，连接BC ，易证△AOC ≌△OBC 。

请根据上面的学习材料，解答下列各题：

（1）如图c ，在△ABC 中，AD 中△BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于A 点的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由。

（2）如图d ，AD 中△BAC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。

例4 如图，已知等腰直角△ABC 中，∠A=90°,AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE 。

例5 （1）如图a ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD 、AE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE ，求证DE ∥BC ，DE=)(2

1AC BC AB ++； （2）如图b ，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变；

（3）如图c ，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变，

则在图b ，图c 两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。

变式练习：

如图，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE。

例6 如图a，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，问：

（1）图a中有几个等腰三角形？

（2）过点D点作EF∥BC，如图b，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？

（3）如图c，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF 与BE、CF有什么关系？

（4）如图d,BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由。

（5）如图e，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？

例7 如图，已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°,AD平分∠CAB，求证：AB=AC+CD。

变式练习：

1、已知△ABC中，AC=AC，∠A=108°,BD平分∠ABC，求证：BC=AB+CD。

2、已知△ABC中，AC=AC，∠A=100°,BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD。

例8 如图a，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图b，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图c，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得出结论是否依然成立？若成立请证明，若不成立，请说明理由。

牛刀小试

1、（1）如图a，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE

∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 之长为 。

（2）如图b ，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE ∥AB ，FD ∥AC ，如果BC=6，求△DEF 的周长。

2、已知：∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 的中点。求证：)(2

1

AC AB DH -=。

3、已知：四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°,BC=CD 。求证：AC 平分∠BAD 。

4、△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°,求∠CAP的度数。

5、在四边形中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°。

6、如图a，BP平分∠MBN，点D在射线BP上，∠ADC的两边分别交射线BM、BN于A、C两点，且∠ADC+∠MBN=180°。

（1）猜想AD与DC之间的数量关系，直接写出你的结论。

（2）图b是∠ADC绕点D旋转一定角度得到的，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。

a b