材料力学 第十章 组合变形(456)PPT课件
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《材料力学组合变形》课件
这种变形通常发生在承受轴向力 和弯矩的杆件中，其变形特点是 杆件既有伸长或缩短，又有弯曲 。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
第十章材料力学课程课件PPT
M ( x ) = Fcr y
(a)
2.11
y (tm + 1)
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
x F cr F cr l x O (a) δ l/2 y x O y y M(x) x
FN
(b)
图10.3 细长压杆的平衡形式 (a) 细长压杆的受压平衡;(b) 细长压杆受压局部受力分析
2.19
πx y = δ sin l
A
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
δ 但实际上, 之所以具有不确定性,是因为在公式推导过程中使用了式 (b)的挠曲线近似微分方程.若采用挠曲线的精确微分方程
F y dθ = cr ds EI
F F cr A
(j)
C B D
O
δ
图10.4 压杆的F-δ 关系
a =δ
上式说明积分常数a的物理意义为压杆中点处所产生的最大挠度,则 压杆的挠曲线方程又可以表示为
δ 在上式中, 是一个随机值.因为当 F = Fcr 时, = 0 ,即压杆处于稳 δ 定平衡状态而保持为直线;当 F < Fcr 时,在横向因素的干扰下,压 杆可在 δ 为任意微小值的情况下而保持微弯平衡状态,压杆所受压力 F和中点挠度 δ 之间的关系可由图10.4中的OAB折线来表示.
2.12
σ
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
当压杆的应力在比例极限范围以内,即在线弹性工作条件下,可利 用第6章的公式(6.1),即梁在小变形条件下挠曲线近似微分方程
M ( x) d2 y = 2 dx EI
将式(a)代入式(b)可得杆轴微弯成曲线的近似微分方程为
材料力学(单辉祖)第十章组合变形
17
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
材料力学10组合变形PPT课件
0McIozsy0sIiynz0
中性轴方程
cos
Iz y0
sIiynz0
0
（ y0，z0 ）
z
α φ
（1）中性轴是一条过截面形心 F 的直线；
y 中性轴
斜率 tany0 Iz tan
29
z0 Iy
10.1 斜弯曲
tan Iz tan
Iy
（2） 当Iz≠Iy，α ≠ φ，中性
轴与荷载线不垂直。
z
F
17
三、组合变形下的计算
分析方法：叠加法 前提条件：小变形
基本解法：
①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种 基本变形； ②分别计算各基本变形下的内力及应力；
④对危险点进行应力分析； ⑤用强度理论进行强度计算。
18
思考题
1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？ 2.叠加原理的适用条件是什么？ 能否应用于 大变形情况？
F
Fy
Fx B P
压弯组合变形
10
压弯组合变形
11
12
偏心压缩
拉弯组合变形
13
q
弯扭组合变形
14
F
弯扭组合变形
15
双向弯曲与扭转组合变形
16
组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉伸（压缩）与弯曲组合； 3. 弯曲与扭转组合； 4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般 组合变形的计算原理和方法。
A
B
C
22
10.1 斜弯曲
二、斜弯曲的研究方法
1.分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正 交的平面弯曲。
材料力学组合变形完整ppt文档
200
F
F
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的 变形组合类型
拉伸和弯曲的组合
200 F F
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
判断危险截面，应力叠加，并进行校核（如下）
200 F F
任意横截面上拉伸正应力： 任意横截面上弯曲正应力：
同一个方向上的正应力可以根据分布情 况直接叠加，叠加后仍为单向应力状态，直 接校核强度。
1. 分解 竖直xy面：
水平xz面：
2. 分别求两个面内的弯矩，绘制弯矩图
竖直xy面：
水平矩图确定可能的危险截面
竖直xy面：
FL
水平xz面：
2FL
FL
结论： 危险截面可 能是中点或 固定端。
4. 通过叠加求危险截面的最大正应力
z
z
y
y
Mxy Mxz Wz Wy
Mx
2 y
Mx
2 z
W
y
竖直xy面：
FL
Z
水平xz面：
2FL FL
求中点处的最大正应力：
FL FL
Wz Wy
求固定端的最大正应力：
0 2FL
Wz Wy
5. 强度校核
2FL
固定端的最大正应力： max
y
Wy
[σ]=20FL/bh
2
m ax[]
梁满足强度要求
组合变形/扭转与弯曲的组合
§8.4 扭转与弯曲的组合
3.确定危险截面，求基本变形的应力
拉伸
N
FN A
(均布 ),
弯曲
Mm
a x Mm a Wz
x(线性 )
材料力学 第十章 组合变形(4,5,6)
[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。 分析：这是偏心拉伸问题
最大拉应力发生在AB线 上各点，最大压应力发 生在CD线上各点。
CL11TU24
解：(1)应力分析
Ph Pb N P, M y , M z 2 2 t N M y Mz c A Wy Wz
3.算例 [例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。 b （1）作中性轴Ⅰ，z , a y a 解：
（2）求载荷点① ， 2 iy b2 2 b zF ② az 2 6 b 3 z iz ③ yF 0 ① ay ④ （3）作中性轴Ⅱ ， h a z , a y 2 b y b （4）求载荷点② ， 2 2 2 Ⅰ 2 2 iy iz h h h z F 0, yF ay 6 2 3 az
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标； （3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。 定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
z F , az ; zF , az
2.作截面核心的方法
zF 0, az ; zF , az 0
解:(1)简化外力：
材料力学第十章
fC
1 EI
AC
M
(
x1
)
Fs
0
M ( x1 Fs
)
dx
)
f ( x) 1 EI
x 0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6EI
(3l
x)
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
F=F0
A
1)dx段应变能：
dU 1(A)( d
x
)
2
d
xA
FQ2dx
2
2G
2GA
dx dx
2)l段应变能：
U
l
0dU
0l
FQ2 dx 2GA
FQ—横截面剪力； A—横截面面积；
—截面系数
矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；
3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的 剪力应变能，通常忽略不计。
若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。
3)求C点挠度：W
1 2
FfC
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
四、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
与比能：
U*
线性
非线性
u*
线性
2．余能与
F1
余比能：
U
d1
1 d
u
1
应变能：线弹性
F
由端挠度fB。
材料力学 第十章组合变形(123)PPT课件
MPa。
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
材料力学 第十章组合变形(1,2,3)
C 10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
《组合变形》PPT课件
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
材料力学第10章 组合变形综述资料.
矩形截面：只有两个平面为对称面
当力和弯矩作用在一个非对称平面上，杆件弯曲方向？
2020/7/3
F F
F F
16
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面分析：
中性轴
Mz z
My
M
z
θ
M
y
y
如果弯曲平面和弯矩作用平面一致，那么必须
2020/7/3
17
材料力学－第10章 组合变形
14
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
A
A
F
F
F
w
w
弯曲平面在哪 个方向？
对于矩形截面，变形与弯矩作用平面是否仍在同一 平面？
2020/7/3
15
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
圆形截面：任何通过轴心的力引起的弯矩所作用的平面均为 截面的对称面
2020/7/3
10
叠加原理
材料力学－第10章 组合变形
基本方法
变形
线弹性、小变形
分解
基本变形1 基本变形2 基本变形n
叠加
组合变形
2020/7/3
11
2020/7/3
材料力学－第10章 组合变形
计算简图
借助于带轮或齿轮传递功率 的传动轴，工作时在齿轮的齿上 均有外力作用。
将作用在齿轮上的力向轴的 截面形心简化便得到与之等效的 力和力偶，这表明轴将承受横向 载荷和扭转载荷。
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
Mz z
My
Mz
当力和弯矩作用在一个非对称平面上，杆件弯曲方向？
2020/7/3
F F
F F
16
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面分析：
中性轴
Mz z
My
M
z
θ
M
y
y
如果弯曲平面和弯矩作用平面一致，那么必须
2020/7/3
17
材料力学－第10章 组合变形
14
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
A
A
F
F
F
w
w
弯曲平面在哪 个方向？
对于矩形截面，变形与弯矩作用平面是否仍在同一 平面？
2020/7/3
15
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
圆形截面：任何通过轴心的力引起的弯矩所作用的平面均为 截面的对称面
2020/7/3
10
叠加原理
材料力学－第10章 组合变形
基本方法
变形
线弹性、小变形
分解
基本变形1 基本变形2 基本变形n
叠加
组合变形
2020/7/3
11
2020/7/3
材料力学－第10章 组合变形
计算简图
借助于带轮或齿轮传递功率 的传动轴，工作时在齿轮的齿上 均有外力作用。
将作用在齿轮上的力向轴的 截面形心简化便得到与之等效的 力和力偶，这表明轴将承受横向 载荷和扭转载荷。
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
Mz z
My
Mz
45-48-第09章-组合变形--王亲猛课件资料
y
应力分布图
s
s
应力: s FN
A
s M max
Wz
叠加：同向应力相加，反向相减
即可得出杆上最大拉、压应力。
（4）强度条件：
s max
s
s max
s
8
例9-1 起重机的横梁用25a号工字钢制成如图，梁长 l 4m，拉杆与横梁夹角 为30，电葫芦自重为 4k，N最大起吊重量为 20k，N许用应力为 [s ] 100MPa
300 500
500
解： （1）外力分析
5kN
d
A
C
B
D
2kN 5kN
2kN
力学简图
1.5kNm 7kN z
1.5kNm
建立坐标系 x
5kN
5kN 7kN
y
22
1.5kNm 7kN z 1.5kNm
5kN y
MT
12kN 1.5kNm
y 5kN 12.5k
N
Mz
z
1.5kNm
7kN
12kN 2.25kNm
A F
m1＝Fr1 A
F F、P 使轴弯曲
m1、m2 使轴受扭
C
E
B
P
m2＝Pr2 E
B
C
P
弯扭组合
(Combination of bending and torsion)
4
9.1 组合变形概述 (Summary)
讨论组合变形强度问题的基本思路 由于材料力学讨论线弹性、小变形，各载荷的
（1）将外力作局用部相等互效独变立换，（互分不解影或响平。移因）此并在分计组算：反使力每、一内组力 只产生力一、种应基力本、变变形形；时都可以应用叠加原理。
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W
W
W d3
32
[]
其中M ：r3 M2 T2
第三强度理论 相当弯矩
Mr4 M2 0.75T2 第四强度理论
注：1、公式只适用于圆杆或圆环截面杆。 2、对于非圆截面杆由于Wt≠2W,公式不适用。
[例10-6]图示传动轴传递功率p=7.5Kw,轴的转 速n=100r/min。A、B为带轮。轮A带处于水平位 置；轮B带处于铅垂位置。F‘p1= Fp1、 F’p2= Fp2为带拉力。已知Fp1> Fp2， Fp2=1500N,两轮直 径均为D=600mm,轴材料许用应力[σ]=80Mpa。 试按第三强度理论设计轴的直径。
[]
即： r3dM 3/r332[]
d33[M 2r]3338 21 016606 59.7 910 3m
讨论： 按第四强度理论？ Mr4 Mw 20.7T52
r4 dM 3/r432[]
d 3 32 M r3
[ ]
[例10-6]图示悬臂梁的横截面为等边三角 形，C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其 作用方向及位置如图所示，该梁变形有四 种答案:
FMyz Mz y
A Iy
Iz
FFzFzFyFy
A Iy Iz
FA(1ziy2zF yiz2yF)
式中 iz2 IAz ,iy2
Iy A
三.中性轴与最大应力
1.中性轴方程
中性轴上各点坐标（zo,yo),应力为零
中性轴方程0为：1z0zF y0yF 0
z0zF
y0yF
iy2 1
iz2
iy2
iz2
Wt=2W
r42 1(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2
r4
232
132M 202W W 0.752T3W dM 2223,,
2
W t W 1Td6t3
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
r3
M 2 T 2 M r 3 []
W
W
r4
M 2 0 .75 T 2 M r 4
（√A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
（C）纯弯曲； （D）弯扭结合。
[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。
0,
yF
iz2 ay
h2 6
Ⅰ
hh 23
(5)中性轴位置变化与截面核心边界变化的关系：
①中性轴为定直线，载荷作用点为一定点；
②中性轴位置绕定点转动，载荷作用点集呈直线
z0zF iy2
y0 yF iz2
1
zF iy2 / z0
izy2F/ y0
1
（6）截面为对称图形， 截面核心也成对称图形。 按顺序连接所得到的各载荷点，作出截 面核心。
3.算例
[例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。
解：（1）作中性轴Ⅰ，az
（2）求载荷点① ，
b 2,ay
zF
iy2 az
yF
b2 2b 6b 3
iz2 0 ay
z
②• ③ • •①
④•
h 2
h
（3）作中性轴Ⅱ ，
2
az
,ay
h 2
（4）求载荷点② ，
Ⅱ
by b
2
2
zF
iy2 az
传动轴 曲拐
CL11TU13
二.弯扭的应 力分析
1. 简化外力：
P弯曲变形 T=-Pa扭转变形 2. 分析危险截面：
M Pl T Pa
A截面为危险截面
3. 分析危险点：
k1
M W
T
Wt
2
பைடு நூலகம்
2
2
2
0
k2
1 3
2
2 2
2
2 0
r3 1 3
2 42
WM
2
4WTt
2
r3
M2 T2 W
定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
zF ,az ; zF ,az
zF0,az; zF,az0
2.作截面核心的方法
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标；
（3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
z0 y0 1 az a y
式中
ay
i
2 z
yF
az
i
2 y
zF
t c
FFzF A Wy
FyF Wz
§10-5 截面核心
一.截面核心的概念
z0zF y0 yF 1
z
iy2 iz2
z0 y0 1 az ay
ay
i
2 z
yF
az
i
2 y
zF
y
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。
y
5400N
C
B
3600N
C
1120N
B
T B
x
DA x 1800N
6520N
D
5400N
x
A
TAx
(3)按第三强度理论设计轴直径：
1）求第三强度理论相当弯矩：
Mr3 Mw 2T2 Mz2My2T2 0.71261.4240.442813016N 6m 9
2）按第三强度理论设计轴直径：
由： r3
Mr3 W
及绕x轴的扭转
1） x0y面内弯曲（ z为中性轴）
MzB=36000.4=1440N.m
y
2）x0z面内弯曲
（y为中性轴）
z
MyB=11200.4=448N.m
MyD=36000.4=1440N.m
Mz
3)绕x轴的扭转：
T=716.2N.m
z
M
由内力图可见，B轮 y
处为危险截面 T
MwmaxMB Mz2My2
[例10-5]圆截面的截面核心
（1）作中性轴Ⅰ，az R,ay （2）求载荷点① ，
zF
iy2 az
R2 R
4R 4
yF
iz2 ay
0
（3）按对称性求各载
荷点，并依次连接。
zR
•
Ⅰ
[例9-6] 截面的中性轴 如图，求载荷点。
•①
R
y
中性轴
CL11TU12
§10-6 扭转与弯曲的组合变形 一.引例
解:(1)简化外力： 外加 :T 9扭 5 N 4 9矩 9 5 7 .5 4 7 9 .2 1 N m 6 n 100
又： T(FP1FP2)D 2
FP139,F 0p20FP15400
求出各支反力如图。
(2)分析危险截面：
由计算简图可见，轴 在外力作用下，产生
x0y面内（z为中性轴） x0z面内（y为中性轴）弯曲
§10-4杆的偏心拉伸（压缩）
一.引例
房子的柱， 桥墩。
zF
yF zF y
Fz
Fy F y
Fz F
d c
d c
CL11TU11
二.偏心拉伸的应力计算
F
Z
z
Mz
y
y
z
My
y
F
Fz F
Fy F
FN F
AA
z
y
Myz FzFz
Iy
Iy
Mzy FyFy
Iz
Iz
FN MyzMzy
A Iy Iz