chapt10组合变形材料力学

最大压应力略小于许用应力，说明选取16号工字 梁是合适的。
1.5m
RA
HA A
A 2m
M
C
B
1m P
N
T
Ty
Tx C
B
12kN·m
P
_
_
24kN
例114 图示压力机，最大压力P=1400kN，机架用铸铁作成，许用拉
应力[sL]=35MPa，许用压应力[sy]=140MPa，试校核该压力机立柱部分的 强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8×105mm2， Iz=8.0×109mm4。
P P 500
z yc
c
y
h
e
M=Pe sMN=Pe
N=NP =Psa sa'
b
ca P
sb
sb' y2 yc
s
N
P A
sa'PIzecysb'PIze2y
sa
sN
sa
'
PPeyc A Iz
sb sN sb'APPIezy2
§114弯曲与扭转组合变形
一、单向弯曲与扭转组合变形
1.引例：以钢制摇臂轴为例。
3F 232 D T 1 n32 0 0 ..5 32 34 4.03k 1N 2
F1=2F2 y
300 D2 500 D1
A
C
D
B
200
400
y Tn
Pz Py 0.446kN·m
My
200 Q
Tn
3F2 Q 0.8kN·m
z
Pz
F2
Py
Pn
Q
20o
x
Tn95N n 5k 00.33k4N m 3
z D 1 a 2 co 3 s.9 m 4； y m D 1 d 2 si n 7.0 m 2 m
绘出了此粱分别以z轴和y轴为中 性轴对称弯曲时的正应力变化规律， 可以看出，D1点均处于拉应力而D2点 均处于压应力。因此，按两个对称弯 曲叠加后的D1点即为该截面上的最大 拉应力点，而D2点为最大压应力点。
和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平 面内的弯曲）
在梁的任意横截面m—m上，由P1和P2引起的弯矩值依次为：
M y P 1 x 和 M z P 2 x a
在梁的任意横截面m—m上任一点，与My和Mz对应的正应力
依次为：
ss' s'' My zMz y
Iy
Iz
上式即为双对称截面梁在两相互垂直平面内发生对称弯曲(斜 弯曲）时正应力的计算公式。
点坐标为yP、zP，将P向形心简化，则各内力在(y,z)点引起的应
力分别为： s ' P ， s " M z y P P y y ， s ''' M y z P P z z
①外力向形心简化(建立计算模型)：
②作弯矩、扭矩图(找危险截面)：
由弯矩图知：A截面|M|→max；全梁Mn处处相同，
∴A截面为危险截面：
|TMn AP|aPL
③危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大，
∴K1、K2点均为危险点：
K1点：
sstmax |M W A z|
tM n W n
解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。
在偏心拉力P作用下横截面上的内力及各自产生的应力如图：最大组合正应 力发生在截面内、外侧边缘a、b处，其值分别为
sa sb
PPeyc A Iz
PPey2 A Iz
32.3MPa 53.5MPa
可见，立柱符合强度要求。
⑤进行强度计算：
s
r3
s2 4t2 [s]
1)
(圆轴：Wn=2Wz)
sr3 sr4
M2 Tn2 [s] Wz
s2 3t2 [s]
2) 3)
sr4
M2 0.75Tn2 [s] Wz
4)
2.讨论： 公式1)、3)可用于一般构件中只有一对s的平面应力状态；
公式2)、4)只能用于圆轴单向弯扭变形。
解：该梁横截面具有两个对称袖，
但因荷载作用面与纵向对称面间有-φ＝ 300的夹角，故此梁为非对称弯曲。求解 方法是先将荷载沿两主轴分解为：
qyqco s1 5co3s001.2 9k9N qzqsin1 5si3 n007.5k0N
该梁在qy和qz作用下，将分别以z轴和y轴 为中性轴发生对称弯曲危险截面上的弯矩值为
ss s 条件，即:
m ( a m x ) A a 2 x . 5 1 1 3 q 0 1 1 6 6 0 0
解得： q16 10 30 7.4 4 13N 0 /m 7.4k4N/m
2.5 1
例题11-2 一铸铁悬臂梁受集度为q=15kN／m的均布荷载作用，如图所 示。已知铸铁的许用拉应力[σ]＝40MPa，许用压应力[σc]=160MPa，梁的截 面尺寸为d＝160mm，b=70mm，h＝110mm。试核核此梁的强度，并绘出危 险截面上的正应力变化图。
例113 图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许用应力 [s]=100MPa，试为AB杆选择适当的工字梁。
解：(1)根据AB杆的受力简图，由平衡条件，得：
T y2 3P 1k 8N ， T x4 3T y 2k 4N
(2)作AB杆的弯矩图和轴力图：C点左截面上，弯矩为极值而轴力与其 它截面相同，故为危险截面。
M D M 2 y M 2 z0 .8 2 0 .326 0 .8k 7•m 7 N
③最后根据第三强度理论设计轴的直径：
sr3
M2DTn2[s] Wz
d 3M D 2 T n 20 .82 7 0 .3 73 2 1 4 6 0 0 3 .11 17 7 m 03 3m
s 32[]
80
d30.117 17 3 03 24.9 3mm
解：①外力简化(建立计算模型)：外力向AB轴轴 线简化，并计算各力大小。
N7 T n 9 .5n 5 9 .52 50 0 .0 33 k4 • N m 3
P z2 D T2 n20 0..3 33 42.2 32 k8 N P y P zt2 go 02 .2 2 0 .3 86 3 0 .89 k 17 N 1
Pz2DT2n2.22k8N3F232D T1n4.03k2N PyPztg 2o00.81 k1N
0.16kN·m Mz
0.36kN·m
②作轴的扭矩图和弯矩图(确定轴的危险截面)：
因全轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作xz平面内的My图 和作xy平面的Mz图，可以看出D截面为危险截面，其上的内 力为 T n 0 .33 k• 4 m N 3
为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的
中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0
代表中性轴上任一点的坐标，则由上式可得中性轴的方程为：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它
与y轴的夹角θ为： tgz0 Mz Iy Iytg
y0 My Iz Iz
2.按叠加原理求正应力的代数和，即可。
二、注意事项：
1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受 拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并 分别按拉伸、压缩进行强度计算。
2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力 在横截面上引起附加弯矩DM=Py亦不能忽略，这时叠加法不能使用， 应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。
(3)计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强度条件确定工字梁的 抗弯截面模量，有：
W M max 1 216 012c0 m 3 [s] 100
(4)查型钢表，选取W=141cm3的16号工字梁，然后按压弯组合变形进行 校核。易知，在C截面下缘的压应力最大，且有：
s m aN A xM W ma 2 x 2.1 6 1 4 13 2 0 0 1 1 4 1 2 16 3 1 0 0 9.3 4 MPa
⑤用强度准则进行强度计算
§11-2 两相互垂直平面内的弯曲
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面
式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩； M y和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且 其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中， 也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的 绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况， 来判断上式右边两项的正负号。
Pz Psin400 q2asin400 0.32q1a
W z 2 3 1 6 m 7 0 3 ， W y 3 .5 1 1 6 m 0 3
根据工字钢截面Wz不等 于Wy 的特点并结合内力图情 况，可按叠加原理分别算出A
(sma)A xM W yyAM W Z zA0 3.6.1 54 q1 21 06 202.23 6q 1 7 6 1 0622.1 513 0q
在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的 最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，于是，可将最大 正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计 算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度 计算中可不必考虑。
例题11-1 20 a号工字钢悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力P=qa/2作
讨论：
①对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成
②合成弯矩可能最大点在各方向弯矩图的尖点处，如上题，可能 合弯矩最大值在C、D处；
§115偏心拉伸(压缩)
1.构件外力与轴线平行但不与轴线重合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，即为偏心拉伸或压缩。
2.横截面上任意点的应力：
①对于受偏心压缩的短柱，y、z轴为形心主惯性轴，P作用
用，如图所示。已知钢的许用弯曲正应力[o]=160MPa，a＝1m。试求此梁 的许可荷载集度[q]。
解：将自由端B截面上的集中 力沿两主轴分解，并分别绘出 两个主轴平面内的弯矩图。
由型钢表查得20a号工字钢的抗弯 截面系数Wz和Wy值分别为：
Py
Pco4s00 qaco4s00 0.38q3a 2
截面及D截面上的最大拉伸应 力，即：
(sma)D xM W yyD M W zZD0 3.4.1 54 q1 41 06 202.43 5q 1 7 6 1 0621.6 0 213 0q
由此可见，该梁的危险点在固定端A截面的棱角处。由于危险点处是单
轴应力状态，故可将最大弯曲正应力与许用弯曲正应力相比较来建立强度
二、双向弯曲和扭转强度计算(基本步骤与前相同)
例 115 图 示 皮 带 轮 传 动 轴 ， 传 递 功 率 N=7kW ， 转 速 n=200r/min。皮带轮重量Q=1.8kN。左端齿轮上啮合力Pn与齿 轮 节 圆 切 线 的 夹 角 ( 压 力 角 ) 为 20o 。 轴 材 料 的 许 用 应 力 [s]=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。
专题（四） 文化建设
chapt10组合变形材料力学
二、基本解法(叠加法)
1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起
的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加；
2.基本解法： ①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向 的一种基本变形
②分别计算各基本变形下的内力及应力
③将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面危险点) ④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)
s s max D1MIyymaxzD1MIzzmaxyD1
34.1MPas
该梁能满足正应力强度条件
§113 拉伸(压缩)与弯曲组合变形
弯曲与拉伸（压缩）组合变形：当杆上的外力除横向力外，
还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。
q
P
P
y
一、计算方法：
x
1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；
K2点：sscma|xM W A z|
tM n W n
y
A d
z
L
Tn
_
PL
M
_
P C
B a x
P Pa
K1
st Pa
K1 A
t s
s K2 t
K2
ss t
s
④对危险点进行应力分析：(从K1、K2点取单元体，因它们的 s、t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究)：
s1 s 2 s 2 2 t2,s2 0 ,s3 s 2 s 2 2 t2
Mzmax9.35kNm， Mymax5.40kNm
由于该梁横截面无外棱角，要求得危险截面上的最大拉应力和最大压
应力，须确定中性轴和位置
由Iz 2440104mm4， 得t： g M zIy2.0； 6 则 6： .1 401
Iy 2903104mm4
M yIz
作平行于中性轴的两条直线分别与横截面周边相切于D1和D2，该两点即 为斜弯曲时横截面上最大拉应力和最大压应力点。