数学建模——灰色关联度分析(特制教育)

标 X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 16
1982 13.60 11.50 13.76 12.21 2.48 85 55 65 12.80 15.30 12.71 14.78 7.64 120 80 4"20 13"1 0
两极最大差与最小差：
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关联系数：
式中 为分辩系数，用来削弱Δ(max)过大而使关联系数失真的影响。 人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。
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关联度的计算与比较
由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n 个关联系数来反映的， 关联信息分散，不便于从整体上进行比较。因此，有必要对关联信息作集 中处理。而求平均值便是一种信息集中的方式。即用比较数列与参考数列 各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度，其计算 公式为：
一般地，三种方法不宜混合、重叠作用，在进行系统因素分析时， 可根据实际情况选用其中一个。
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若系统 因素 X i 与系统主行为 X
可以将其逆化或倒数化后进行计算。
0
呈负相关关系，我们
逆化
倒数化
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关联系数的计算
设经过数据处理后的参考数列为：
比较数列为：
从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡 比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线 形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联 度的衡量标准。 则：
灰色关联度分析
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➢何为灰色关联度分析? ➢如何计算? ➢有何应用?
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灰色关联度分析
灰色系统
是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系 统理论所要考察和研究的是Βιβλιοθήκη Baidu信息不完备的系统，通过 已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统 的目的。
关联度
关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。它 定量地描述了事物或因素之间相互变化的情况，即变 化的大小、方向与速度等的相对性。如果事物或因素 变化的态势基本一致，则可以认为它们之间的关联度 较大，反之，关联度较小。
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我们对表中的 16 个数列进行初始化处理。注意， 对于前 14 个数列，随着时间的增加，数值的增加意 味着运动水平的进步，而对后两个数列来讲，随着时
间的增加，数值（秒数）的减少意味着运动水平的进
步。因此，在对数列 X 15=（4"20，4"25，4"10，4"06， 3"99）及数列 X 16=（13"10，13"42，12"85，12"72， 12"56）进行初始化处理时，采用以下公式
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确定参考数列
对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统 行为特征的数据序列(参考序列)。我们称之为找系统行 为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如：
国民平均受教育的年限
教育的发达程度
刑事案件的发案率
社会治安面貌和社会秩序
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原始数据的处理
由于各因素各有不同的计量单位，因而原始数据存在量纲和数量级上的 差异，不同的量纲和数量级不便于比较，或者比较时难以得出正确结论。 因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化处理。
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1985 15.64 15.30 16.56 14.04 2.64 100 80 85 16.40 17.95 15.88 16.87 7.54 140 90 4"0 6 1 2"7 2
1986 15.69 15.02 17.30 13.46 2.59 105 80 90 17.05 19.30 15.70 17.82 7.70 140 95 3"99 12"56
设 X i (xi (1), xi (2),, xn (n)) 为因素 X i 的行为序列
初值化
一般地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因 为这样的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋 势更加明显。
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均值化
一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升降趋势现象的数据处理。 区间化
1983 14.01 13.00 16.36 12.70 2.49 85 65 70 15.30 18.40 14.50 15.54 7.56 125 85 4"25 13"42
1984 14.54 15.15 16.90 13.96 2.56 90 75 75 16.24 18.75 14.66 16.03 7.76 130 90 4"1 0 1 2" 85
所示。
rrrrrrr r
1
2
3
4
5
6
7
8
0.588 0.633 0.854 0.776 0.855 0.502 0.659 0.582
rrrrrrrr
9
10
11
12
13
14
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灰色关联度分析的运用
➢因 素 分 析
➢优 势 分 析
➢综 合 评 价
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二、铅球运动员专项成绩的因素分析 通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获
得其 1982~1986 年每年最好成绩及 16 项专项素质和 身体素质的时间序列资料，见下表。
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指 铅球专项成绩 4 公斤前抛 4 公斤后抛 4 公斤原地 立定跳远 高翻 抓举 卧推 3 公斤前抛 3 公斤后抛 3 公斤原地 3 公斤滑步 立定三级跳远 全蹲 挺举 30 米起跑 100 米
Xi
1,
X i (1) , X i (2)
X i (1) , X i (3)
X i (1) , X i (4)
Xi Xi
(1) (5)
i 15,16
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依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项
成绩作为参考数列，将上表中的各个数列的初始化数
列代入（1）、（2），易计算出各数列的关联度，如下表
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基本思想:
根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联 系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关 联度就越大，反之就越小。
100
90 80 70
90 80
887505
60
60
50
周阿舍 劉阿華 蕭阿薔
總成績 考試成績 出席率
圖一 某老師給學生的評分表曲線圖
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灰色关联度的计算
➢ 确定参考数列 ➢ 处理原始数据 ➢ 计算关联系数 ➢ 关联度的计算与比较